ab)^{~a)'^{-b) ^\ - a^b}^{~a)(--b
* La négation d'un produit est la somme des négations des facteurs; la négation d'une somme est le produit des négations des term^ » . Ces curieuses propriétés de la négation sont dues à Aug. De Morgan, (Camibridge Phi!* Transactions^ 1858}^ qui les a explicitement énoncées^ car elles sont implicitement connues h tout homme qui raisonne bien* On *dédiiit que des deux signes o et o F un s'exprime au moyen de TautiB et du signe de négation, Ainsi au lieu de a^b on pourrait écrire - [(- a) (- b)]. ^
IOp a ^ - a =^ a 10 - a^^a^^ V t *
Des formules 8 et 8' résulte que a et v sont les modules des opérations ^ et o ,
IL ar,boa, 11', aoaoft.
De la combinaison de ces formules, on en déduit beaucoup d ^autres, qu'on peut lire dans le traité de M. SchrôdeEj ou dans le Formulaire publié par la Mimsta di Matêmatica^ première partie.
(•) LEiBNiTii, Opéra Philosophica^ J840, p. 98,
Noua nouB limiterons à énoncer la loi de dualité , par laquelle chaque identité entre classes^ composée par les signes
ae transforme en une nouvelle identité, si l'on renverse tous ces signes, c'est-à-dire ai on les substitue par = ,c^a,^,-^,-^v^A.
Ainsi de la 1 on obtient la l', de la 2 la 2', etc. La 5 se transforme en elle-même, '
L'intéressante théorie des opérations et des relations de logique a encore une nouvelle utilité, car il y sl des opérations et des relations appartenant à des branches tout-à-fait différentes des Mathématiques, qui ont les mêmes propriétés* Par ex. soient a , & ... des N; à la formule aob attribuons !a signification * a est un diviseur de b »; à la ao6 la signification « le plus grand commun diviseur de a et & »; à la a-'^b * le plus petit commua multiple »; et que a représente l'unité. Alors subsistent toutes les formules de logique , contenant seulement les signes = , o j -- , -j , a , et elles deviennent des propositions de la théorie des nombres* On pourrait au signe v attribuer la signification de ]' OBj en convenant que tout nombre soit diviseur de 1' oo. En consé^ quence toute proposition de la théorie des nombres , contenant les mots : « est diviseur *, « est multiple », c plus grand commun diviseur », « plus petit commun multiple », se transforme dans une autre, en échangeant le premier mot avec le deuxième, et le troisième avec le quatrième»
Kous avoua déjà dit qu'on peut exprimer l'opération o , somme logique, au moyen des opérations ^^ et - , (multiplication et négation). Quelques Auteurs ont encore introduit un nouveau signe d'opération, qu'on peut représenter au moyen des précédentes, et qu'on appelle la disjonction complète» Si « et & sont des classes, on pose, par définition aoh=^a'-b-^b-'a.
Le signe o correspond au latin aut; le signe o à vel. Cette opération, commutativc et associative, a de curieuses propriétés. Voir le Formul. I, § 3, P24-30.
Frojx)8ition8.
§ 9, On adopte entre propositions les signes déjà expliqués entre classes avec la signification suivante. Soient a, 6 des propositions:
aob signifie * de la a on déduit la .6 » ou « la 6 est conséquence de la a ». La formule aob s'appelle une déduction; a en est l'hypothèse (par abréviation Hp), et &en est la thèse (abrégée enTs).
a = & signifie « de la a on déduit la 6, et réciproquement », a^by ou aby est Taffirmation simultanée des propositions a et b. a^b signifie « une au moins des propositions a et & est vraie ». -a représente la négation de a.
A représente l'absurde.
Pour faciliter l'écriture, au lieu de placer le signe de négation devant une proposition, on le place quelquefois devant le signe de relation. Ainsi a- = 6 signifie -(a = &), ou a est difilérent de b. Si a et b sont des classes, a^&- = A représente la proposition particulière affirmative « quelques a sont b » .
§ 10. En mathématique on sépare les différentes parties d'une formule au moyen de parenthèses. Mais ces parenthèses rendent très compliquées les formules qui vont suivre. On arrive au même but au moyen de points. On écrira un point entre les signes d'une formule pour aviser qu'on doit unir ce qui précède le point avec ce qui le suit. Mais si l'une de ces parties contient déjà un point, on en écrira deux pour séparer les deux parties; etc. Donc, pour lire une formule décomposée par des points, on unira d'abord les signes qui ne sont pas séparés par des points, puis les groupes qui sont séparés par un point, puis ceux qui sont séparés par deux, et ainsi de suite. P. ex., si a, &, c, . . . désignent des signes quelconques, *
a.bc j ah.c j ab .cd '
signifient a (bc) , (ab) c , {ab) (cd) ,
et la formule
ab .cd: e ,fg .\hk A
est équivalente à la
\[{ob)(cd)][em]\{mi],
qu'on peut aussi écrire avec les vinculums:
ab cd e fghkh
On voit donc que les parenthèses, les vinculums, et les points sont des notations équivalentes.
Nous adopterons les points seulement entre propositions.
Si en écrivant deux signes a et 6 l'un après l'autre, on obtient quelque chose aô, nous dirons que ab est une combinaison binaire des signes. Tel est le prodiiit ab des nombres a et 6. Une formule peut être obtenue au moyen de plusieurs signes combinés plusieurs fois par des combinaisons binaires; avec la suite de 4 lettres, par des combinaisons binaires on obtient les 6 formules
aihcd j a:h,€d , ab .cd , a ,bc:â j cib ,c:d
ou
a[{bc)d] , a[b{cd)] , (o^?) (cd) , [a (&c)] f^ ^ [(a&) c] d et avec la suite de n-hl lettres, par des combinaisons binaires on
obtient ^^ -^ — ^^ — - tormuleg différentes (*)-
On a fréquerament à considérer des combinaisons ternaires, c'est-àdire une combinaison abc de trois signes a^ b^ e^ laquelle n'est pas décomposable en combinaisons binaires a . ôc , ou ab.c , car bc et ab n^ont pas de sîj^niiication. Telles sont les formules aH-&, «— &, a=^&, a v&, aD/>j.„ P* es. a>-& est une combinaison de troi^ signes, indécomposable en combinaisons binaires; car les groupes a > et > & , n'ont pas de signification* Mais on peut réduire une combinaison ternaire abc aux binaires^ en attribuant au groupe ah la signiûcAtion de * signe qui étant suivi de c produit cthc », et au groupe bc la signiâcation * signe qui, en sniyant a, produit abc ». Alors on pourra décomposer aob eu ao eîb , ou en a et o b. Par exemple ab ,oc signifie (ab) (p c) ou fab) oc, et ao^bc signifie (a o) (bc) ou a (bc). Par ex. étant « , & , *.. des propositions,
a , b Cl d e'^^ f r. o:h^kol,o.7non
signifie « si de a on déduit que de b on déduit c , et si de d on déduit e QM f ^ alors sr de A et fc on déduit Z , de m on déduira n » .
En Analyse on n'a jamais des combinaisons quaternaires, irréductibles aux précédentes.
Mais si Ton regarde les combinaisons des divers ordres comme irréductibles, alors avec la suite de 4 lettres on peut former 11 groupements, dont 5 sont ci-dessus écrits j et les autres sont:
a < bcd , abc , d , a.bc , d , cd) ^c , d , a .b *cd , abcd , ou
a (bcd) , (abc) d ^ a (bc) d , (ab) cd , ab (cd) ^ abcd ;
on nç connaît pas la formule qui donne le nombre des groupements qu'on peut faire avec la suite de îi -h 1 lettres.
En Algèbre on a nu grand nombre de conventions pour suppiimer les parenthèses; nous ferons la suivante;
Si a , 6 , c sont des propositions, en écrivant a& o c nous entendons a& , D c (de ab on déduit c\ et non a , 6 o c (la et est vraie, et de b on
{*) Lucas, Théorie des nombres, 1891, pug. 149*
déduit c). La fofmule aohc signifie ao(hc) et non (ao6)c; et la ab = cd signifie (àb) = {cd) , et non aQ) = c) dj etc.
En introduisant )es points pour séparer les parties d'une proposition, il fiiut abolir leur usage pour indiquer la multiplication a . & , qui s'écrira aô ou a X ^ ? ^t la division a : 6 , qu'on écrira a/&.
§ 11. Exemples.
afNp.o.(a — l)!-f-l£Na
« Si a est un nombre premier, (a — 1) ! h- 1 est un multiple de a » (Théorème de Wilson). Ici les points décomposent la proposition en trois parties, hypothèse^ signe de déduction et thèse.
« Quel que soit le nombre a, le produit a (a -h 1) (a -f- 2) est divisible par 6. »
« Si a et h sont des q^ on a l'identité écrite. » On ne peut pas écrire cette identité sans faire d'hypothèse sur a et & ; car elle subsiste encore si a et & sont des nombres imaginaires; mais elle n' est plus exacte si a et & sont des quaternions.
a,&£Q.a- = &.o.(a-f- 6)/2 > Kâft
« Si a et & sont deux quantités positives, différentes entre elles, leur moyenne arithmétique est plus grande que leur moyenne géométrique. » Les points divisent la formule en quatre parties; les deux premières constituent rHp.
a3,y£q.o:a?y = 0. = .aî = 0.v^.y=0.
« Étant X et y des quantités, si leur produit est nul, une au moins d'entre elles est nulle, et réciproquement. » Ici les : décomposent la proposition en deux parties; la première est composée de rHp, et "du signe de déduction; la deuxième, qui est la Ts, est une égalité logique. Si l'on prend les négatives des deux membres de la thèse, en appliquant la règle 6' du § 8 on a:
N2^(N2h-N2)- = a « Il y a des nombres carrés, qui sont la somme de deux carrés. »
N3r>(N3-hN3)==A
« Il n'y a pas de cube, somme de deux cubes. »
■^■^*j)e-xvK^itnë v,t jii'^^f^gummmi^^
ayb,x,y s q.o: xA-y == a . x — y = h , = .a5==.(a-f-6)/2 . y=(a—b)l2. a5,y£q.o;aî*-i-y* = 0.==.aî==0.y==0.
§ 12. Toutes les identités du § 8 subsistent si a , b, ... représentent des propositions quelconques. Maintenant nous avons le moyen d'écrire en symboles beaucoup d'autres propositions de logique ; nous en reporterons ici quelques-unes des plus importantes. Dans ce qui suit, a, 6,... sont des propositions. Klles subsistent aussi, si a , 6 , ... sont des classes; mais alors les signes o et a entre les classes signifient « est contenu » et « rien », et les mêmes entre propositions signifient « on déduit », et « absurde ». [On peut même supposer que a, 6 , ... sont des N, en faisant la convention de la fin du § 8.]
