ao.6oc: = .a5oc

« affirmer que de a on déduit que de b on déduit c , c'est comme affirmer que de ab on déduit c » (**); cette formule transforme une proposition contenant deux déductions en une qui contient un seul signe 0, et réciproquement. Nous appellerons importer Thypothèse a, le passage du premier au second membre, et exporter Thypothèse a le passage inverse.

Comme exemple de ces transformations, si a , 6 , c sont des q, on a: a) ac = 6c.c- = 0.o.a = 6.

Transportons le deuxième membre dans le premier (prop. 12); on a h) ac = &c.c- = 0.a- = 6. = A.

Transportons le premier ou le deuxième facteur; on a les deux propositions

c) a- = b.c- = 0.o.ac- = bc,

d) ac = &c.a- = &.o.c = 0.

Si dans la b) on transporte deux facteurs dans le second membre, on a les trois formules

e) ac = &c.o.a = &.v^.c = 0.

f) a- = &.o.ac- = &c.v^.c = 0.

g) c-==0.o.a = 6.o.ac-=6c.

n Ib., p. 102.

(*•) Peirce, On ihe Algebra of Logiky AmericaQ Journal of Mathematics, III (1881), p. 24.

Exportons la c - = ; on a encore h) c- = 0.o:ac = 6c.o.a = 6, et de ridentité a = 6 . o . ac = &c , on déduit

i) c- = 0.o:ac = 6c. = .a = 6, etc.

Lettres variables,

§ 13. Nous ferons encore les remarques suivantes sur le signe de déduction. En général les propositions contiennent des lettres indéterminées, X, yy z , que nous écrirons d'ordinaire en italique. Les lettres indéterminées représentent, selon les cas, des nombres entiers, des nombres réels ou imaginaires, des points, des lignes, des classes, des propositions, etc; et il convient, la première fois qu'une lettre indéterminée paraît dans une formule, d'écrire ce que Ton veut qu'elle représente; ainsi la première fois que dans une formule paraît une lettre indéterminée x , elle paraîtra toujours sous la forme x aa, où a est une classe bien déterminée ; p. ex. «fN, x £ q , xeq' , xaK , etc.

Font exception à cette règle les formules dans lesquelles figure une lettre variable; mais telles que leur valeur ne dépend point de cette lettre. Ainsi, étant fx une fonction de ce, les expressions

et d'autres, qu'on trouvera dans la suite (§ 17), ne dépendent point de la lettre x , qu'on peut substituer par y , z , ... sans en changer la valeur. Dans ces formules il n'est pas nécessaire d'expliquer la signification de Xy car cela est déjà dit dans la formule même.

§ 14. Si a et 6 sont des propositions contenant des lettres indéterminées x^ 2/,... c'est-à-dire, sont des conditions entre ces lettres, la déduction aob signifie : « quelles que soient les valeurs de Xy y , . , . pourvu qu'elles satisfassent à la condition a, elles satisferont aussi à la condition h ». Ainsi on interprète toutes les propositions du § 11.

Mais quelquefois on a les deux propositions a et 6 qui contiennent deux groupes de lettres variables, Xy y , ... et u, v , ...; et l'on doit dire que Uy Vy ... sont tels, que, quels que soient a?, y, ..., si la condition a est vraie, la b est aussi vraie. Alors on écrira

aox, y, ... b en écrivant, au pied du signe o, les lettres par rapport auxquelles on feiit la déduction. La proposition aox, y, ... b est une condition entre les lettres u y v y ... qu'on ne trouve pas indiquées, et elle est indépendante des lettres x, y y ... qui figurent comme indices.

T fV"*^**''*^-^-''-

On écrit les mêmes indices au signe = ; ainsi a =x, ^ & signifie a Oa?, y & . & o^r, 2/ a ; la a =a?, 2/ A Signifie * il n'y a pas de valeurs de X et y qui satisfont à la' condition a ^\ et sa négation a - ^=^-^ y a si* gnifie « il y des valeurs de a? et ^ qui satisfont à la condition a * .

Exemples. L'équation ax^ -f- te -h c = contient quatre lettres a , &, c et a?. Pour indiquer « quel que soit le nombre réel x^ cette équation est satisfaite j!>, on ne peut pas écrire

a? f q . . ax^ ^hx-^c = ,

car elle signifie « quel que soit le nombre ic, et quels que soient a ^ h j c Téquation est satisfaite ». On écrira donc a? f q * Ox * ctx^ -hbx-\- c^ qui signifie « les a^ b, c sont telles que, quelque soit x^ l'équation est satisfaite » . On ^déduit, si a , & j c sont des q , que a = & = c = ; donc :

a,6,C£q:a?£q.o^. ax^ -h6x-hc = 0:o*a = 6 — c = .

Soient p ^^ ,p ,q' des q'. La proposition « les équations x^-^px-hq=0 et x^ -\-px -h gr' = 0, ont nne racine commune » est une coudition enti^ P ^9. jP jq\ indépendante de la lettre x ; T Algèbre^ par Télimination^ montre comment on peut énoncer cette môme proposition sans écrire la lettre x ; *et l'on a :

Pjq^Pjg^a(^.O.\xa((,x^^px-\-q=0.x^ -\-px H- ^' = *

a ,& , cen.o ,\x ,yen*ax^hy = c.~ ^^^yX : =^ .es ny^Dta^b).

« Si a,* 6, Cj sont des nombre entiers, la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation ax -hby = c soit satisfaite par des valeurs entières de a? et z/ , c'est que c soit un multiple du plus grand commun diviseur de a et &. »

a £ 1 -hl^ : X £ 1 -h'N . x^ ^ a . a £ 1^ X. X - =-«; Aïo.as Np,

< Si a est un nombre supérieur à l'unité, et s'il n'y a pas de nombre X, supérieur à l'unité, dont le carré soit moindre ou tout au plus égal à a, et qui divise a, alors a est un nombre premier* »

§ 15. Comme en Analyse on regarde comme des fonctions d'une va- * riable x, même les expressions qui ne contiennent pas x^ ou qu'on peut réduire à ne contenir le x, ainsi dans nos recherches il se pi'é sente des propositions qui ne contiennent pas de lettres indéterminées. Si a et 6 sont des propositions qui ne contiennent pas des lettres indéterminées, la déduction aob signifie toujours ^ si a est vraie, b

est aussi vraie », c'est-à-direj ou a est vraie et h est vraie, ou a est fansse et b est vraie, ou a est fausse et h est fausse^ et Ton exclut le Beul cas « a ^t vraie et b est fausse ». P, ex. conaidérons la proposition

a fh j a' jb' a q . a"^ b , a' > b\ * aa' -h bb* ^ ab' -\- a'b ,

Faisons a ^ 2 , & = 1 , a' = 2 , &' = 1 ; on a :

l,2fq,2>l .o.5>4

dans laquelle THp et la Ts sout vraies. Faisons a = l ^b = 2 jU' = 1 ^ 5' = 2 j on a :

l,2tq,l>2,o.5>4 ,

dans laquelle l'Hp est fausse, et la Ts vraie. Faisons a=l ^b^2 , a' = 2,6'= 1 ; on a;

dans Jaquelle THp et la Ta sont ' Élusses. Le deuxième cas est aussi un exemple de la proposition très connue, que d'IIp fausses on peut tirer des conséquences vraies.

Remarquons que dana le troisième exemple nons n'affirmons ni que 1 > 2 j ni que i > 5 ; nous affirmons seulement la déduction de la Thèse de l'HypottièsGj laquelle déduction est juste, bien que l'Hp et la Ts soient ikusses* En général lorsqu'on dît aob on n'affirme ni la vérité de o, ni celle de bf mais seulement une relation , o , entre a et b. Et lorsqu'un dit au .boc on n'affirme ni a^ ni bj ni c, ni &oc; rafïirmation est contenue dans le sig^ne de déduction principal^ c'est-à-dire celui qui a, à Tnn des côtés, le plus ^a.nd nombre de points. Bien que cela soit très simplCj il est curieux de noter combien d'hommes se trompent sur la signification des propositions conditionnelle.

Si la proposition a ne contient pas de lettres indéterminées, la formule a = A signifie - a; la a - = a signifie a.

§ 16. Nous avons vu comment les mêmes signes =, o, '^^ ^j -^ a représentent des relations et des opérations entre propositions et entre classes. On peut déduire la deuxième signification de la premièi-e. Soient a, h des K. On a:

1, aob. = ixia .Oa^'Xfb.

« Affirmer que la classe a est contenue dans b , signifie que, quel que soit œ j s'il est un a , il est aussi un b ».

* Affirmer que x est un individu de la classe a^-b, signilie qn^U est uu et et qu'il est xm h * .