l.xffr$$»ion du rayon de la sphère osculalriee

Soient' M Cfig. ?67 le point considéré de la courbe donnée , et C le centre du cerele oseniJAteur. La polaire au point M n^esi autre que l'a^Le de ce OBroh»; déai|^Deaa la par ex. Le plan MCX est le plan normal à la courbe au point Jlf, et le centre dé la sphère oscu^trice est situé sur €X. Soit MY la limite de la direction M^I considérée au numéro précédent, c^est-à-dire de celle qui j.oint un point M^ de la courbe infiniment voisin de M au point en lequel le plan déterminée par M* et par la droite CX coupe le cercle osculateur en M. Nous avons va que cette direction limite est située dans le plan normal en M, et qu'elle est tangente en ce point a 1^ sphère osculalriee. Si donc de M on élève dans le plan normal une perpendiculaire à JIfF, le point en lequel elle coupe CX est le centre de la sphère osculatrice. Désignons le par S; SM' est le rayon de cette sphère, et, par conséquent, la longueur dont noUvS nous proposons de chercher Texpression.

Appelant ot le rayon de première courbure, c'est-à-dire la longueur CM, et R le rayon de la sphère osculatrice, le triangle SMC donne :

Il suffit donc pour connaître Jl de déterminer CS. On a :

es = Çi tang SMC = (>, cotg CMY,

ce qui fait que tout est ramené à déterminer la cotangente de l'angle CMYj c'est-à-dire de Tangle que fait la direction MY avec le pian osculateur en M, Or cet angle est la limite de celui que fait avec ce même plan la direction M^I, et c'est en nous fondant là dessus que nous allons chercher Texpression de eoig CMY.

Désignant toujours par m' (fig. 35) la projection de M* sur le plan osculateur en M, la cotangente de l'angle que

fait avec ce plan la direction M'I est égale à --^ ^ . Faisant

usage des notations convenues, on a (44), en négligeant un infiniment petit d'ordre supérieur au troisième,

et, en désignant par é' l'angle des tangentes en M et en m' à la projection de la courbe sur le plan osculateur en If, et par lo la quantité dont varie le rayon de courbure de cette projection quand on passe du point M au point m', on a (20), au même degré d'approximation,

On tire de là:

^^^ *Mé i = eotgCMY = lim -.

Les quantités qui figurent au numérateur de cette valeur de cotg CMY ne se déduisent de la courbe considérée que par l'intermédiaire de sa projection sur le plan osculateur au point considéré; mais on peut les remplacer par d'autres qui dérivent directement de la courbe. Nous savons en efiet que s et t' sont des infiniment petits égaux (42;,

et que w est égal, en tant qu'infiniment petit, à la variation que subit le rayon de première courbure de la courbe considérée quand on passe de if à JH' (50, corollaire). Désignant cette variation par Jçi, puis remplaçant t^ et la par ê et Jçij il vient:

cotg CMY = lim^ = -i- «m ^^^, Or nous avons trouvé CS = q^ coig CMY, donc :

Multipliant et divisant — ^ par Js , et désignant par

(>2 le rayon de seconde courbure, qui est la limite de

— , il vient:

^ Js ^

ou, en faisant usage de la notation adoptée dans le calcul différentiel :

es = (^2-^.

On a donc, à cause de iP r= çi^ + CS:

Nous avons maintenant à nous occuper des développées des courbes gauches, mais à cet effet ii est indispensable d'acquérir préalablement quelques notions nouvelles sur les surfaces développables.

On a souvent à considérer une surface comme engendrée par une ligne mobile dont le mouvement est dirigé

par une ou plusieurs UgMS fixes* La ligne mobile a regu le nom de géninurietf et les lignes fixes sont» appelées éifm^ iriiws.

60. La iurfaee engendrée par %me droite qui gliite sur um eomrbe gaueke en lui reiianl lotapotirt tangenie^ ou, en d'aulret lermei, le lieu de$ langenlet à une- courbe gaueke, eel une eurfaee dévehppabte. (^elh surface a pour plans langenls les plans vscnlaieun de la courbe direclriee.

Soit M (fig. 37) un poini de cette courbe, et À un poiDt quelconque de la tangente en M Concevons une courbe (TMée à< vetonté sur la surfare par le poinv A. NMM*ii#)ns montrer que la tangente en il à cette courbe est contenue dans le plan osculateur au point M. Il sera établi par là que le plan osculateur en un point quelconque de la àxreiitrice est tangent à la surface tout le long de la génératrice qui passe par ce point, et la proposition sera démontrée.

Soit M' un point de la dii^ectrioe ÎE^finiment voisin de M, et À' le point en lequel la courbe tracée sur ta surfiefee coupe la tangente en M\ Considérons Parc MM* comme du premier ordre L'arc ÀÀ* est aussi du premier ordre, car les longueurs des deux courbes, comptées sur chacune d'elles à partir de Tun quelconque de ses points, sont deux quantités fonctions Tune de Tautre. D'un autre côté, l'angle que fait la tangente en M-^ avec le plan osculateur en M étant du second ordre (40), la distance du point À* à ce plan est une longueur du second ordre. Il suit de là que la direction ÀA' fait un angle infiniment petit avec le plan osculateur en Jlf, lequel, par conséquent, contient la limite de cette direction , c'est-à-dire la tangente en A à la courbe tracée sur la surface. La proposition est ainsi démontrée.

Remarque, La direclrUe joue^ dans la surface lieu des langenteêi le rôle d'arête de rebroussemeni. Pour s'en convaincre,

ii suffit de cauper la surface par ui> plao , car on recoaaakra alors aiséioeDi que la courbe d'intersection rebrousse au point où elle rencoiitre la directrice. Afin de simplifier la démonstration, nous supposerons le plan sécant normal à la directrice.

Soient ffig. 38) :

M le point de la directrice en lequel on mène le plan normal ;

Jlfr la tangente au point M;

MK l'intersection du plan normal et du plan osculateur en M\

M* un point de la directrice infiniment voisin de M\

N' le point en lequel la tangente en M' à la directrice perce le plan osculateur en M\

e celui en lequel elle perce le plan normal;

h le pied de la perpendiculaire abaissée de e sur MK; nous allons montrer que Tangle eMh est infiniment petit.

G^nsidéroiis Tare MM' comme du premier ordre. Dans ie triangle MM*e, le côté MM* et !'angle|en M* sont du premier oindre, et «omme Fatigier en M est droit à la limite, M*0 est, en tant qu'infiniment petit, égal à MM', Par suite, Me est du second ordin». D'un autre côté, M'N' est égal, en tant q»^infinimeBt petit, sm tiers de MM' (43) ; donc A''^ est égal aux deux tiers de MM' , d'où ii suit qu'il est du premier ordre. Mais Tangle que fait N^e avec le plan TMK est du second ordre (40); donc ek est du troisième. Il est par conséquent infiniment petit par rapport à Me , d'où il résulte que l'angle eMk est infiniment petit. Dès lors, Tare de courbe que la tangente a la directrice trace sur le plan normal en M, quand on la fait glisser de M' a M^ est tangent à MK au point M.

Maintenant, concevons c|ue la génératrice continue à glisser sur la directrice en s'avançant vers un point M" situé au delà de M par rapport à M' ; elle tracera sur le plan normal en M un nouvel arc tangent en Jf à MK. Cet arc sera situé, par rapport au précédent, du même côté du plan mené par M perpendiculairement à JflT, car pour qu'il n*en fût pas ainsi, il faudrait évidemment que la directrice tra\ersât ce plan, ce qui exigerait qu'elle présentât une inilexion au point M. En outre, ce nouvel arc sera situé, par rapport au premier, de Faulre côté de MK, car il faudrait évidemment, pour qu'il en fût autrement, que le plan osculateur ne traversât pas la directrice au point de conlaet. Il est ainsi démontré que la courbe tracée sur le plan normal en M par la tangente à la directrice ofire un rebrousseinent au point Jf.

La proposition énoncée en commençant résulte de là, puisque cette courbe n'est autre que l'intersection de la surlace, lieu des tangentes, par le pian normal à la directrice.

Toute surface développable qui n'est ni un cône, ni un cylindre, est le lieu des tangentes à une courbe gauche. (]ette proposition, qui est en quelque sorte la réciproque de celle établie tout à l'heure, résultera de celles qui feront l'objet des numéros suivants.

61. Lemme. L'angle des généralrieei qm poiêenl par lei deux exlrémiiés d'un arc infinimenl pelU iracé iur une surface réglée, est, en général^ du même ordre que cet arc.

Concevons que tandis qu'un mobile se transporte le long de la courbe dont fait partie Tare infiniment petit con* sidéré, une droite, assujettie à passer par un certain point de l'espace, que nous désignerons par 0, se meuve de façon à être continuellement parallèle à la génératrice à laquelle appartient le point où le mobile se trouve au même

instant. Cette droite, en vertu de son mouvement, engendre un cône qui est le lieu des parallèles menées par aux génératrices de Ja surface donnée.

Soient M, 31' les extrémités de Tare considéré, et m, m' les points correspondants d^une courbe tracée à volonté sur le cône, c'est-à-dire les points de cette courbe situés sur les parallèles aux génératrices qui passent par M et .1/'. Les arcs MM^ n^n' sont du môme ordre infinitésimal, et il en est de même de Tare mm' et de Tangle mOm\ Par suite, l'arc MM' et l'angle mOm' sont du même ordre, et comme cet angle est égal à celui que font entre elles les génératrices de la surface considérée qui passent par M et M\ la proposition se trouve démontrée.

Ce raisonnement se trouve en défaut si la surface considérée est un cylindre, et il devait en être ainsi, car, dans ce cas, le théorème cesse d'avoir lieu.

62. Les plans tangenlt au cône, lieu des parallèles menées par un point de Vespace aux génératrices d^une surface développable, sonl parallèles aux plans tangents à celte surface.

Soient A et A' (fig 39) deux génératrices de la surface considérée infiniment voisines. Traçons sur cette surface deux courbes. Soient M et M' les points en lesquels les deux génératrices sont coupées par la première courbe, iV et iV' ceux en lesquels elles sont coupées par la seconde, et p, q les pieds des perpendiculaires abaissées de M' et de N* sur le plan tangent à la surface suivant la génératrice A Si nous considérons l'angle des deux génératrices comme du premier ordre, les longueurs MM* et I^N* sont aussi du premier ordre (61), et, par suite,, les longueurs M*p et N'q sont du second (^4. cor. III).

Gela posé, menons par le point M une parallèle à la génératrice A^\ sur cette parallèle prenons MN*i égal à jH^V , et soit q\ le pied de la perpendiculaire abaissée de

iV'i sur le phn langent soivaoi \h génératrice Â. La quantilé dont N'^t diftère de S'q étant égale à lf'|^ et les longueurs M'p et S'q étant dn second ordre, AT'ifi est du second ordre an plus. Mais NN\ est du même ordre que Tangle NMS'if donc du premier, et, par conséquent, Tangle que fait NN'i a\ec le plan tangent suivant la génératrice À est NifiBimenl petit. Dés tors, la taagenie en iV à la courbe que décrit le point K't lorsque la génératrice À' teml à se ooofondre arae la génératrice A, est contenue dans ce plan.

Il résulte de lé que le plan tangent sufvant la génératnoe il à la soHhoe considérée est tangent aussi au c^ne qu^on obtient en menant par te point M des parallèles à tontes les génératrices de cette surface.

La proposition est ainsi démontrée.

Nous allons en déduire, comme corollaires, quelques propriétés des surfaces développables.

CortAlaire I. L'angle de deux génératrices d^un eûne îafinimenl voisines et celui des plans tangents au cône suiva«t ces deux génératrices sont du même ordre infinitésimal. Il résttite €le là, et de la proposition qu'on vient d'établir, qu'il en est de même dans toute surface développabfe, pourvu, bien entendu, qu'elle ne soit pas un cylindre.

CoTollawe II. L'angle que fait le plan conduit par deux génératrices d'un cône infiniment voisines avec le plan tangent suivant l'nne d'elles est égal, en tant qu'infiniment petit, à la moitié de l'angle des plans tangents suivant ces deux génératrices. On le démontre aisément sur la figure du numéro 40. Dès lors, l'angle que fait avec le plan tan* |:;ent suivant il celui conduit par À' parallèlemeDl à il est égal, en tant qu'infiniment petit, à la moitié de l'angle des plans tangents suivant À et A\ 11 est donc du même ordre que l'angle de ces plans, et, par suite, d'après le corol-

~ loi ~

(dire précédent, du uiéine «rare ^ue l'aDgle ées géDcratrioes

Corollaire lU. Désignons par u l'ange ée deux génératrices d'un eône înfinimeot voisines , et par li celui des plans tangents au cône suivant ces deux génératrices. D'après ce qu^on a vsii au numéro 40, l'angle que fait Foi^e d'elles avec le plan tangent mené par Tautre est égal, en

tant qu'infiniment petit, à -^ol3- H suit de là, et de notre

théorème, que i'angie que fait A* avec Je plan tangent suivant A est égal, en tant qu'infiniment petit, à la moitié du produit de l'angle des plans tangents suivant A et A' par i'angle même de ces droites. W est donc du second ordre, l'angle des génératrices A et A* étant considéré comme du premier.

Corollmire IV. Soit « le point en lequel la génératrice A' perce le plan tangent suivaat la génératrice A. L'angle M*8p étant du second ordre et la longueur M'p aussi, Je point 8 est situé è une distance finie de Af^, car on a

M' s = r-rFé — • Par suite, ce point est nécessairement inêtn M sp ' '

iiniment voisin de la génératrice A,

63. Dans louie surface diveloppable qui n'est pas un cylindre,

la plus eeurle dislance de deux génératrices infaiimenl voisines esl,

en fénéral, infiniment petite par rapport à leur angle.

Reprenons la figure du numéro précédent, et appelons M l'angle des génératrices A et A\ Par le poifit s menons cine paraUèle à i, et appelons. IT h plan déterminé par cette parallèle et par la droite A\ La plus courte distance des droites A et A* est égale à la distance de la droite A au plan JT. Désignons par B l'angle que fait le plan K avec le plan tangent suivant i à la snrface considérée , et par u la distance du point « à la droite A La distance de cette

droite au plan K est égale à aiinS^ et fa question est ramenée à prouver que le produit asinS est infiniment petit par rapport à o».

On a vu au numéro précédent, corollaires H et IV, que les angles ta et S sont du même ordre inânitésimal , et que la longueur a est infiniment petite. Il suit de là que asinB est infiniment petit par rapport à oi, et la proposition se trouve démontrée.

64. Lortqui, dam une iurface réglée^ la plus courte dislanee de deux générairiees tn/intmeni voismên eiî infiniment petite par rapport à leur angle ^ la êurfaee e$t le lieu de$ tangentes à une courbe gauche.

Soient À, A' [fig. 40) deux génératrices de la surface donnée infiniment voisines, et p, p' les points où elles sont rencontrées par leur commune perpendiculaire. Lorsque À' s^approche de i, le point p tend vers une certaine limite. On ne peut admettre en eOet qu'il s'éloigne indéfiniment, car concevons qu'on trace une courbe sur la surface, et soient m, m' les points en lesquels elle est coupée par les génératrices À, À^; si les points p etp' s'éloignaient indéfiniment, l'angle de ces génératrices serait Infiniment petit par rapport à l'arc mm*, et nous avons vu au numéro fit que cet arc et cet angle sont du même ordre infinitésimal

La limite vers laquelle tend le point p a reçu le nom de point central. Sur chaque génératrice se trouve un point central, et nous allons montrer que les génératrices sont tangentes à la courbe lieu des points centraux

Soient 0, 0' les points centraux situés sur les génératrices A, A\ eX t le pied de la perpendiculaire abaissée de 0' sur la génératrice A. Nous allons faire voir que O^t est infiniment petit par rapport à 00^ Il en résultera que la génératrice A est la limite de la direction 00', Comme 00' est une corde infiniment petite de la courbe lieu des

points centraux , il suivra de là que la génératrice A est tangente en à cette courbe, et la proposition se trouvera démontrée.

Remarquons d'abord que la longueur fp' est inHniment petite par rapport à l'arc 00* (que Ton n'a pas tracé sur ia figure, parce qu'il l'aurait chargée sans utilité); cela résulte de ce que cet arc est du même ordre que l'anaile des génératrices A^ A' (61), et de ce qu'en vertu de l'hypothèse, ip/p' est infiniment petit par rapport à cet angle. Remarquons encore que p et p' étant infiniment voisins de et de 0', les longuenrs Op, O'f* sont infiniment petites.

Soit F la projection de 0' sur le plan mené par A parallèlement à A'. On a OT = fip* , et Vp — O'v*^ La longueur O'i est plus grande que F^, car le triangle 0*(V est rectangle en F; mais la diflérence est inférieure à O'V ou fp' y d'où il suit que si Vi est infiniment petit par rapport à 00'^ il en est de même de 0*i. Il suffit donc de démontrer que Yi est infiniment petit par rapport à 00* . Or on a :

Vi = Vp sin Vpl, d'où il résulte, puisque Vp est infiniment petit, que Vi est infiniment petit par rapport à l'angle Vpi; mais cet angle n'est autre que celui des génératrices A et A*, et puisque ce dernier est du môme ordre que l'arc 00* ^ Vt est infiniment petit par rapport à cet arc.

La proposition est ainsi démontrée.

Il résulte des deux dernières propositions que loulg surface développable qui rCesl ni un cône , ni un cylindre^ ett le lieu des tangentes à une courbe gauche.

Remarque, Nous savons que la plus courte distance de deux tangentes d'une courbe gauche infiniment voisines est du troisième ordre, leur angle étant considéré comme du premier. De là, et de la proposition qu'on vient de démontrer, résulte le curieux théorème que voici: Lorsque, dans une

$urfa€€ réglée^ ht plm courte diêia$^ei ai dêux ginéimirkes infini- MfNl toisines êity en finirai, «Tiui ordre êupiriêwr A cêlmi ée leur angie, elle €$i de Vordre du cube de cet angle.

Les notions dont nous avons besoin sur les surfaces développables étant maintenant établies, nous retournons aux courbes gauches. Nous allons nous occuper de la surface polaire, dont la considération est à la base de la théorie des développées.

65. La surface polaire est déeeloppable, et Us pians normaux de la courbe considérée sont ses plans tangente

Coupons la surface polaire par un plan quelconque, et appelons A la courbe d'intersection. Soit N (6g. 41) le point de cette courbe qui correspond à un point M de la courbe donnée, c'est-à»dire le point en lequel le plan sécant est percé par la polaire relative à M. Soit NU Tintersection du plan normal en M par le point sécant. Nous allons faire voir que NU est tangent en i^ à la courbe A, La proposition sera alors démontrée, car le plan sécant étant arbitraire, et iV étant, par conséquent, un point quelconque de la pofaire au point M, il sera établi par là que le plan normal en M est tangent à la surface tout le long de cette polaire. Soit iV' un point de la courbe A infiniment voisin de S; conformément à la définition de la tangente, jl s^agit de montrer que Tangle que fait NU avec la corde NN' est infiniment petit. Soient M^ le point de la courbe donnée qui corrospon" à N\ N'U' Tintersection du plan normal en M- par le point sécant, et F le point de rencontre des «Iroites NU et JVIT'.

Remarquons d'abord que le point V est infiniment voisin de N, En efféf» ce point appartient h l'intersection des plans normaux en Jtf et en M' , et le point N est situé snr la

polaire relative à^ M, laquelle n^est autre ehose qoe la li-^ mite de cette intersection. Par ane raison analogue, F est infininieut voisin de K\ Il suit de là que les longueurs Vrij FA'' sont infiniment petites.

Remarquons en second fieti que Tare ^iV' est du mémo ordre infinitésimal que Tare MM*. En efl'et, Tare de la courbe donnée et celui de la courbe i, comptés à partir de points fixes pris sur ces courbes, sont deux longueurs fonctions l'une de Tautre.

En troisième lieu, Pangie UVU' est aussi dti même oi^ro que Tare MM\ Pour Je faire voir, nous allons montrer qu'il est du même ordre que l'angte des plans normaux en M et en M^ , et cela suffira, puisque cet angle est du même ordre que l'arc MM'. A cet efiet, considérons le triédre dont le sommet est F et dont les trois arêtes sont VU, VU\ et Uintersection de deux plans normaux, intersection que nous appellerons VX Dans ce triédre , la face UVU* et le dièdre dont l'arête est VX sont infiniment petits, tandis que les deux autres faces, c'est-à-dire UVX, U'VXy et les deux autres dièdres, c'est-\à-dire ceux dont les arêtes sont Ft/, VU\ sont des quantités finies. Donc, puisque les sinus des faces sont proportionnels à ceux d^ dièdres opposés, ot q«e In fece UVU* est opposée au dièdre doot l'arête esft FJf, le rapport de l'angle I/Ff/' à ce dièdre, c'est-à-dire à i'aagle des plans normaux , a une limite finie, ce qu'on voulait démontrer.

Ces préliminaireB posés, la démonstration s'achève facilement. L'angle VVU' et la longueur NN* étant du même

ordre infinitésimal, le rapport — jfs-, — a une limite finie, et par §uHe aussi Je rapport ^^^^ — , puisque les sinus

des angles UVV*, NVS' sont ^aui. Or, le triangle ATA' donne :