PREMIER CAS

Dans lequel les, roues et les crosses demeurent en contact avec le terrain.

lé. La détermination du recul est une que^ tion bien plus compliquée qu'elle ne le paraît d'abord. La principale difficulté qu'elle présente provient de ce que Taction du frottement des roues contre le terrain n'est pas la même pendant toute la durée du mouvement. La manière dont nous considérerons ce genre de forces, soit dans les percussions, soit dans les mouvements continus, pourra être utile dans d'autres occasions, et) par exemple ^ dans la théorie dii tirage des voitures , qui n'a pas encore été donnée par les géomètres.

^ Ce problème est très différent selon que les roues sont ou ne sont pas soulevées; nous nous occuperons successivement de ces deux cas, en commençant par le plus simple, ceilui où les roues et les crosses restent en contact avec le terrain. Mais pour simplifier la question nous supposerons , dans ce premier cas et dans le second , que la culasse ne se sépare pas de la vis de pointage, et que l'une est attachée à Tautre, si cela est nécessaire, avec une force suffisante. Nous négligerons aussi, comme précédemment (n* 4), le firottement des roues contre l'essieu; et nous continuerons d'employer toutes les notations du n* 5.

15. Cela étant, désignons par P le poids du système entier, dont la masse est M, en sorte qu'en représentant à l'ordinaire par g la force accélératrice de la gravité, on ait

Soient , à un instant quelconque ^ ^ le temps écoulé depuis l'origine du mouvement, et a: la distance du centre de gravité du système à un plan fixe ,

perpendiculaire à la direction du recul : ^^ sera ,

à cet instant, la vitesse de translation commune à

tous les points du système, et M j la quantité de

mouvement dans le sens horizontal , dont la valeur à l'origine est celle de X du n* 8.^ Donc en faisant yte =: Mi^ , c'est-à-^lire en désignant par v la vitesse du projectile à la bouche du canon, diminuée dans le rapport de sa masse à celle du système entier (*), nous aurons

gj. = (cosB ~/sinfl)</>

quand / = o. Le recul sera terminé dès que cette vitesse initiale aura été épuisée, et qu'on aura

Représentons au bout du temps t, par Q et Q' les forces égales et contraires aux pressions de chaque crosse et de chaque roue contre le terrain; les frottements aux mêmes points seront /Q et /(^, et la vitesse du recul n'étant jamais très grande, le coefficient /* en sera indépendant, et devra être regardé comme constant pendant toute la durée du mouvement.

Soit encore, au même' instant, u la vitesse angulaire commune à tous les points des roues ; sa valeur à l'origine sera celle de 4 du n^ 7,

(^ Note deuxième 1 la fin de Touvrage.

(3a) Savoir :

diaprés la valeur de R du numéro suivant.

A cette époque, la vitesse de rotation ru des points inférieurs des roues tie sera pas égale et contraire à leur vitesse de translation ; la seconde vitesse remportera sur la première, c'est-à-dire que Ton aura

^ + ru > o'y

et cette inégalité subsistera pendant un certain temps. Or, tant qu'elle aura lieu, le frottement entier fQ' de chaque roue contre le terrain exercera toute son action; mais dès que ces deux vitesses seront devenues égales et contraires, ou qu'on aura

une partie seulement de ce frottement subsistera, et son action entretiendra cette égalité jusqu'à la fin du mouvement. Nous exprimerons par f ce frottement * partiel. Cette force agira dans le sens du recul, ou en sens contraire, selon qu'elle sera positivé ou négative; mais il faudra toujours qu'abstraction faite du signe, on ait

16. Nous voyons par .là. i^û' il. seira /nécessaire' de distinguer deux intervalles de temps dans la durée du recul : l'un, pendant lequel les roues glisseront^t tourneront à la fois, tandis que dans Tatitre le glissement aura disparu , et la vitesse absolue des points inférieurs sera constamment nulle. Dans le. premier intervalle,. les forces motrices de tous les points du' système, prises eîi sens contraires de leurs directions, feront équilibre, à chaque instant, aux forces aQ, aQ' — ^a/Q, — a^Q', et au poids P du système; et pendant le second , elles, feront équilibre à ces mêmes forces, à Texception de — ajfQ',, qu'il faudra remplacer par la force, af, dont le rapport à la presr sion Q' est iqçpqnv. .

En ayant seulement égard aux I»o^veInents de translation du système , , les forces motrices de tous ses poiilts auront pour résultante une force horizont^e, passaiit par ^ so^i centre de

gravité et égale à M ^— ; la somme des forces

motrices de tous les points de chaque rotiej^ dpes à sa rotation autQur. de l'essieu^ est égale à zéro, dans le sens horizontal et dans le sens vertical; la sopame de leurs mo^^aents sera exprimée pai;

m'jj»^ Éi^ qtrel que soit l'axe £»iquel ils sont râpH

portés (n* 5), les trois équations de l'équilibre dont il est question seront donc, pendant le pre-

mier intervalle de temps, •

les moments étant pris, dans la troisième, par rapport à la droite de contact des crosses avec le terrain.

Ces équations renferment les quatre inconnues Qj(^j Xj u : il en faudra donc une de plus pour résoudre le problème. Nous Tobtiendrons en considérant les roues isolément , et formant Tune des équations d'équilibre dé leurs quantités de mouvement infiniment petites y perdues à chaque instant , savoir, l'équation des moments rapportés "k Taxe de l'essieu , qui sera alors

puisque nous négligeons te frottement des roues ôofitre FessietL

Pendant le second intervalle de tetnps , bn aura de tncme quatre équations qui se déduiront des précédentes y en remplaçant, dans la première et la dernière , la force — /Q' par py

et faisant

rdt

( 36 ) Oo aura, de cette manière,

^/Q — ap + M ^ = o, aQ + »Q' — P = o,

arp 4- -^ M ^ s= o; et les quatre inconnues seront Q, Q', f^ <e.