DEUXIÈME CAS

Dans lequel les roues et les crosses sont soulesrées

alternativement.

18. Dans le cas du numéro 10, où les roues sont détachées du sol par l'action de la poudre, elles sont d'abord soulevées jusqu'à une certaine hauteur, puis elles retombent et viennent frapper le terrain. L'effet de ce choc est, en général^ d'imprimer au système un mouvement de rotation autour de l'essieu : les crosses sont soulevées; elles retombent à leur tour sur le terrain; ce nouveau choc soulève une seconde fois les roues; et ainsi de suite. Pendant la durée du recul, et même après qu'il est fini, le système tourne donc alternativement autour de l'extrémité des crosses et autour de l'essieu : de sorte que la

(39) question qu'il s'agit maintenant de résoudre consiste à déterminer la durée do chacune de ces rotations successives ^ la longueur du recul qui lui correspond', et les effets du choc qui la termine ; effets qu'il est nécessaire de connaître aussi bien que ceux de l'action immédiate de la poudre, pour juger de tous les efforts auxquels les différentes parties du système devront être capables de résister.

19. Relativement à la première rotation, nous représenterons, comme plus haut, par a: la distance, au bout du temps/, du centre de gravité du système à un plan fixe, perpendiculaire à la direction du recul, et passant par la position initiale de ce point; nous désignerons^ au même instant, par z l'angle décrit par ce même point autour de Taxe passant par les extrémités de^ crosses; par u la vitesse angulaire des roues du^ à leur rotation autour de l'essieu; par Z la force ég^l^ et contr ^ir^ à la prei^on exercée par chaque crosse contre 1^ tftrrwi» et p^i: cppséqi^eçt, par/Z }e. frott^m^t ^^ v^àvm point. I^a yite^fîç da tts^n^^iÎQn du système et^ vitesse gi^gulaîr^ dp rQtfttion sfront^ à UQ i^tiajd: quQlçpnqu^^

^ el:r; leurs valeurs initiales et cdle de utèsulteront de$ n°* iÔ et . 1 1 ; en sorte (juç^ ppujç

t =' o, nous aurons

^ = (cos9~/sinfl) i;~(A+/a)(p,

en Ëdsant toujours /ut = M(^ , et conservant la lettre ^ à la place de sa valeur, savoir :

[c— (a ~ /A) sin ft] t^

Si Tangle z pouvait devenir un peu considérable, les valeurs de x et des autres inconnues du problème en fonctions de t ne pourraient s'exprimer que par des séries très compliquées : c'^est pourquoi nous supposerons cet angle constamment très petit , ce qui est d'ailleurs conforme à l'expérience, et nous bornerons l'approximation au premier terme de chacune de ces valeurs en séries.

20. Pendant cette première rotation i les forces motrieeis dé tous les points du système, dues aux mouvements de tratistation et dé rotation, et prises en sens contraire de leurs directions, de^ irroxtt faire éqtiilïbre à son poids'P; et afux forces verticale et , horizontale aZet. — ^yz, appliquées à l'extrémité des crosses. L'apgle z étant supposé très petit, on pourra^ dans l'expression de ces

forces motrices et de leurs moments/, regard^ les coordonnées horizontale et. verticale du centre de gravité du système, comptées de cette extrémité , ' comnie constantes et égales à a et A , qui sont leurs valeurs initiales. D'après cela les trois équations nécessaires à cet écfuilibre, for* mées de la même manière que les trois premières équations du n"" 6, seront

2/Z4-M^+AMg=o,

2Z-P-aM^

les moments étant pris , dans la troisième équation , par rapport à l'axe de rotation.

Si l'on considère de même, à un instant quelconque , l'équilibre deç quantités de mouvement infiniment petites, perdues par tous les points de chaque roue^ l'une des trois équations nécessaires à cet équilibre sera

en faisant toujours abstraction du frottement contre l'essieu. Les deux autres serviraient à déterminer les pressions horizontale et verticale

(4a) que supportent les extrémités de l'essieu, et dont la connaissance serait inutile à la solution de notre problème. Cette équation est celle des moments que Ton a pris par rapport à l'axe de l'essieu, afin de rendre unis ceux du poids de la roue et de la force horizontale due à son moÙTement de translation. En supprimant le facteur niK^^ intégrant et observant que la va*

dz

leur initiale de u est la même que celle de g-,

nous aurons, pendant toute la durée de la première rotation,

dz

u = -=-• dt

Les équations précédentes donnent ensuite

^ — i^ iiF — '

où l'on a fait, comme dans le n® 11, K* — nT» + «• ^fah = HV

En ayant égard aux valeurs initiales de j- et ^,.

et; int^aut les deux dernières formules, on aura

dz [c — (a^^fh) sing] <^ — (a — fh) gt

^ = (cos 9 — /sin fl)i^ —fgt

{(a^ fh) gt ^ Ic^ja^f h) sine-] ^)(h+fa)

et, par une seconde intégration, on obtiendra les valeurs de j:r et z.

Uangle z croîtra jusqu'à ce qu'on ait ^ = o ;

il décroîtra ensuite pendant un temps égal à celui de son accroissement, après lequel il sera redevenu nul , et la première rotation sera achevée. En désignant donc sa durée totale par s^ nous aurons

2 [c — (« — fh) sin ê] sf {a — fh)g

Les valeurs de ^ et de i^, à la fin de cette rotation , seront égales et de signes contraires à leurs valeurs initiales , c'est-à-dire égales à — 9*

En même temps , la valeur de ^r sera

Enfin, si Ton appelle j^ la valeur de Xj qui répond à ^ = ^ , ou la longueur du recul pendant la première rotation , on aura

a {{a — fh) cos fl — /c] [c — (g —fh) sin 6] i^^ •^ (a—fhyg

21. Le choc des roues contre le terrain, qui terminera cette première rotation, détruira la vitesse — ^ dont tous les points du système seront animés à cet instant; en même temps les crosses seront soulevées, et le système prendra un nouveau mouvement de rotation, qui aura lieu autour de Taxe de l'essieu, et dont nous représenterons la vitesse angulaire initiale par (p'. Nous représenterons également les percussions qu'éprouveront les différentes parties du système par les mêmes lettres que dans le n* 4, avec un accent supérieur. Ainsi, R' désignera la percussion qui aura lieu au point le plus bas de chaque roue ; E' et F' exprimeront les conposantes horizontale et verticale de la percussion exercée à l'endroit où chaque roue est traversée par l'essieu; T et S' seront leç composantes, dans les mêmes sens , de la percussion qu'éprouvera l'encastrement de chaque tourillon, et V exprimera la percussion sur la vis de pointage , le tout comme dans le numéro cité.

A cause de la mobilité des roues autour de l'essieu, le choc leur imprimera une vitesse an-

gulaire différente de la vitesse ^' qu'elles prendraient si elles étaient enrayées. Nous la rqprésenterons par ^' + 4' » ^^ sorte qiie , — (p étant ,

comme on vient de le voir^ la vitesse des roues autour de l'essieu à la fin de la première rbta-^ tîon, ou immédiatement avant le choc, — .^-f-^'-f.^[,• sera leur vitesse autour du même axe, immédia*tement après, ou au commencement de la seconde rotation.

Enfin, le choc dont nous voulons déterminer lés effets imprindera à toits les points du système un accroissement de vitesse de translation. Nous représenterons par X' la résultante des quantités de mouvement due à cette addition de vitel^se : cette résultante s^ra une force horizontale, passant par le centre de gravité du système. ' *

Il s'agira donc de déterminer les neuf inconnues (t>\ R', E', r, r , S', V, X', 4', d'après la valeur de la vitesse <p , citée plus haut (n® 19).

Ppur cela, observons que l'équilibre. doit e^ister, soit dans le système entier^ soit par rappprt à la pièce, ou à chaque roue isolément, eptre.le^, quantités de mouvement de tous leurs points; dues à la* vitesse- -r- (p et détruites par* le choc ; celles que le choc leur imprimera et qui devront être prisés en sens contraires die leurs directions; et les résistances RV^', etc. Or, il est aisé' de voir que les équations relatives à ces équilibres se déduiront de celles du n" 6 , en y supprimant

les forces ft et N ^ ainsi que la vitesse c> « puisqu'on ne suppose aucune rotation particulière de la pièce autour des tourillons; en accentuant les lettres R, E, F, T, S, V, X, 4t conservant sans changement les termes qui co&* tiennent la lettre ^; et ajoutant ceux qui doivent résulter de la vitesse ^\ prise en sens contraire de sa direction.

Les sommes des quantités de mouvement dues à cette dernière vitesse angulaire, qui a lieu autour de l'axe de Fessieu , et la somme de leurs moments rapportés à un axe quelconque, s'obtiendront facilement au moyen de la proposition du n* 5« S'il est question , par exemple^ du système entier, les résultantes horizontale et verticale des quantités de mouvement de tous les points seront exprimées par

— (A — r)'M(p' et (*— a)Mip';

et la somme de leurs moments, par rapport à Taxe passant par les extrémités des deux crosses, aura pour vsdeur

[&» — a(è — «») H- * (A — r)3 Mff ;

ce qui résulte de ce que les coordonnées du centre de gravité du système sont h — r et b — a, ou A et — a, selon qu'elles 3ont comptées à partir de l'axe de rotation, ou k partir de

celui des moments , dans un plan perp^ndîou* laire à ces deux droites.

De 'céVte matiière, TioOs' aurons piniF les v^nt équations du problème proposé :

— a/R'— X:— hM(p 4- (A — r) M ^' = p , aR' — aM^ — {b — d)W.<p'==: o , afcft'^ AX'— (K*-f- a*-f- A*) M^ + am'A'»>)/'

+ [¥L'—a{b~-a)+h{h—r)]mp* a= o ,

V'sin 6'— aT'—nX'—nh'Mf + n(A'— r)M^' = o ,

V'cosô'— aS'— noTMip — «(A — a*)]»!*?' = o ,

-Hi»[A*+(6— a')îH-(A'— r)/>]M^' = o ,

E'— /R'— 1 n'X'— i n'rM(p = o ,

r/R'— i w'ifM^ 4< m'if^^' -+- - «'A:'*M(p' :« o.

Les valeurs des inconnues qu'on déduira de ces équations poiit^oTit être positives' ou né^tives, à Texception de celles de ^^ et RV qui devront nécessâîrement être positives.

82^ £b résolvant ces ne«if équations , et faôsatit^

pour abréger, »

on trouve

X'= - (r+fb) M<f - [h-r-fif, -a)] [é-wi+/(A-r)] ^ ,

V = {,^^ Ç»:i^r2 \k'MV-*)P- (^-)?-Hv+» (»-)] l'îx^ , T'=i Vrin #'+ i { /(K*~«'*")(V-À)[6^+/(A-r)] } î^ ,

a l-x. /x ,u . w X 'JJ H

S'=iV'cosfl'-i {lt'~ „'*"+(«'-«) [6-^+/(À-r)]} î^,

ETsi (/•(i-n')(K»— «'*'•) -n' (A-r) [é-« 4./(fc-r)] )

ftM»

F'= -i { (i-nO (K'~n'A") -n' (*-«) [6-«+/(fc-r)] } ^;^ ,

+'=- ifiE?- n'k'^ (6 - a + /A)] ;^;pjgr.,

OÙ il ne restera . plus .qu'à substituer la valeur de du u** 19^ :

La valeur de B' est évidemment positive. .Celle de (p' le sera aussi , en général , à cause de la petitessie de la partie lïégatîve qù-eUe« renferme;

(49) ^ si cependant elle était négative dans un cas particulier, cela signifierait que les crosses ne sont pas soulevées : en sorte qu'il faudrait supprimer ^' dans les équations du numéro précédent, et y introduire une force N' qui exprimerait la percussion que chacune des deux crosses éprouverait , et dont la valeur devrait être positive.

On peut aussi remarquer que la valeur de V pourra être négative , quoique les tourillons soient au-dessous de l'axe de la pièce , et que la valeur de V du n* 11 soit positive : d'où i| résulte que le choc des roues contre le terrain pourra quelquefois soulever la culasse, si elle n'est pas attachée à la vis de pointage , et foire tourner la pièce autour des tourillons, lors même que cela n'aurait pas eu lieu par l'effet immédiat du tir.

â5. Après ce choc des roues contre le terrain , la seconde rotation commencera autour de l'essieu avec la vitesse angulaire ^^ En même temps, la vitesse de translation du système sera

> dx

la valeur finale de ' ^ du n* 20, augmentée de

la quantité ^ : sa valeur sera donc connue ^ et

nous la représenterons, pour abréger, par (/'. La vitesse angulaire des roues , au même instant, sera— ^^ +?' + '>^'> comme on l'a dit plus haut;

nous dés^erons par §', !a partie — ? ■+• 4'y ^^^ elle diffère dé la vitesse ^ commune à tons les points du système ; et, d'après le numéro précédent, nous aurons

Au bout du temps t compté de Torigine du mouvement, nous représenterons, pendant cette seconde rotation , par af la distance du centre de gravité du système à un plan fixe , perpendiculaire k la direction du recul; par z' Pangle décrit par ce point autour de Taxe de Tessieu, et par i/ la vitesse angulaire de rotation particulière aux points des roues. Les vitesses de translation et de rotation communes à tous les

points du système seront -j- et •^; et l'on aura

dt — ^^ dt ^^ ^» " — •»

p<Nir ^ s=s ^, la valeur de s étant donnée par le n- 20.

Soit encore, au bout du temps *, Z' la force égale et contraire à la pression que diaque roue exerce contre le terrain ; fZ' sera le maximum du frottement qui aura lieu au même point. Or, au commencement de la seconde rotation, la vitesse de translation l'emportera généralement

(Si) ,

«Ht- Ift yittA^ de tàlkliùh : pat conséquent le fmttemeiit yV/ atm tont soii effet, et éette force agira en iteùs et^ti^àire du rectil , dd moins pendant utté partie du tetaips^ qtxe durera cette rôtatiod. - • '

D'après Cela te» forcés n^tricés dé ton^ les points dct s^tème, dues aux moûTe^ènté de tratifilaticm et de M>tetion, et pi4sés en setis 4Côkitridre de leurs directions, feront équilibre à sdtt poids^ et àMX forces terticàle et horizontale aZ' et -*- àfZ* cyrtî agissent âUx poifats inférieurs des roues. Pour ' cet équilibre , il faudra qu'on ait les trois équations ^

a6Zr— aP— AM ^ + [K«— a(A--fl)4- A(ft-/-)]'lil"'^

les moments étant pris , dans la troisième.», par rapport à la droite menée par les points de contact des crosses avec le terrain , 4|iro!que cette droite ne soit pas l'axe de rotation. Nous supposons ici^ comme dkins le n"* 20,TatigIe décrit par le centre de gravité du système autour de

l'axe de rotation , constamment très petit, de sorte que les . coordonnées horizontale et verticale de ce centre, et celles de l'extrémité des crosses, comptées à partir de l'essieu , sont sensiblement constantes et égales à leurs valeurs initiales.

Les forces motricies de tous les points de chaque roue^ priseS; en sens contraire de leurs directions , feront équilibre à son poids et aux forces TJ et — /Zf; prenant donc les moments par rapport à l'axe de l'essieu , ce qui fait disparaître ceux du poids et de Z', ncms aurons

pour Tune dès trois équations nécessaires à cet équilibre; les deux autres, que nous nous dispensons décrire, serviraient à déterminer les pressions horizontale et verticale aux extrémités de l'essieu.

24. On tire des quatre équations précédentes Z'= \ P-(A-a) \b-a•^-f{h-r)■\^^,

la quantité H'* étant la mjéme que dans le n* 22.

Si la vitesse absolue du point le plus bas de chaque roue ne devient pas nulle pendant la durée de la rotation que nous considérons, ces formules s'appliqueront à la rotation toute entière. L'intégration des trois dernières fera connaître, à un instant quelconque, les valeurs de

af et z' et des vitesses -^ > "T" > ^'» d'après leurs

valeurs initiales , ou correspondantes à / ss ^f ; on aura, par exemple,

L'angle zf croîtra et décroîtra pendant des temps égaux entre eux et à la inoitié de la durée totale de la rotation; et si l'on appelle s' cette durée, on aura

A la fin de la rotation, la vitesse angulaire

(54) 2" sera — • ^, c'est*à-dire égale et de signe contraire à ce qu'elle était au commencement. Les vitesse -^ et 9^ auront ppur valeurs iSwUes

Désignons enfin par y )a grand^W du ipeci}!

pendant la seconde rotation , et supposons que le plan fixe d'où la distance x' est comptée y sott la position du centre de gravité du système à la fin de la première , de sorte qu'on ait a:' = o quand / = ^, et x- =5? j^ quand ^ œ= j -f- ^ ; la valeur de /' sera

ij

^ Mi^ il n'm sera plus de même , Iprsqua la yî^

tesse absolue du point de qpn^^t dç pl^aque roue' avec le terrain, deviendra nulle avant la fin de la rotation. Or, cette vitesse à un instant quelconque est -^ --f- r (-^ + u'^ ; sa vateur siena par ccNisé^uent, d'après les fonnides

( 55 ) précédentes ,

Le coefficient de ^ dans cette expression étant une quantité négative^ cette vitesse diminuera continiieliemeiii ; et si Ton désigne par ^ + i^. la Tafetnr ide t qui aura Kea quand elte sera nuRe , on aura

On comparera donc cette valeur de Sj à celle de y : si IVm a ^ < *, , la vitesse du point le plus bas "de chaque roue ne sera pas nulle avant la fin de la rotation, et les formules précédentes subfiisteroiA pendant toute sa durée'; si, au contraire , on a :r' > ^, , ces formules ne subsisteront que pendant une partie de la rotation , savoir : depuis t'iss s jusqu'à t zszs+ s^.

SSw PaoB ce dernier cas, oes formules donneroirt » pwr 1» fin du temps S'^^^fles vitesaca

(56) Si l'on représente , en outre , par ar, et «, les va* leurs de acf et J au même instant , on aura

r.=»''#,— i/^*:-tA-f—/(ft-«)][ft-«+/(*-r)] g^. ,

et, de cette manière, Tétat du système à Finsr tant où les points inférieurs des roues ont perdu toute leur vitesse absolue, sera complètement déterminé.

A partir de ce moment, le frottement des roues contre le terrain n'exercera plus son action entière ; une partie seulement de cette force maintiendra , jusqu^à la fin de la rotation , la vitesse absolue de leurs points inférieurs égale à zéro ; nous désignerons , comme dans le n* 15 , ce frottement partiel par p. Cette force agira dans le sens du recul ou dans le sens opposé., selon que sa valeur sera positive ou. négative; et il faudra qu'on ait p <C,JZ\ abstraction £dte du signe.

Pendant cette deuxième partie de la seconde rotation, les équations d'équilibre des quantités de mouvement infiniment petites, perdues ou gagnées à chaque instant, se formeront d'après, celles du n"" SS3 , en y remplaçant la force — /Z' par /; en sorte que nous aurons ces quatre

équations :

ap — M ^ + (fc— r) M ^ = o ,

auxquelles il faudra joindre celle*ci :

d*x' , /rfV , Jii'N

qui résulte de ce que la vitesse -^ + r T-jT+^J

du point le plus bas de chaque roue est supposée constamment nulle.

On en déduit

wT* (h — r) (6 — fl) P

2/— 'p (r'+?iT')(6-^flrP

( 58 ) en Élisant y pour abréger,

(K*-n'JK»)(r»+n'Jfr'«)+(i*-fnT*)(6— tf)»+nT«(A— jr)>=D».

Dans la construction ordinaire des afiuts, les distances horizontale et verticale 6-»aetA — « r, du centre de gravité du système A Taxe de l'essieu sont très petites, et leurs carrés et leurs produits doivent aussi être très petits par rapport à P ; d'où il résulte que la condition p<J^V sera remplie, à moins que le frottement des roues contre le terrain étant très faible, le coefficient y ne soit une très petite fraction. Dans le$ cas d'exception où cette condition ne serait pas satisfaite , il en faudrait conclure que le frottement n'est pas assez fort pour maintenir nulle la vitesse des points inférieurs des roues, et qu'après l'instant où cette vitesse est devenue égale à zéro, elle prendrait un signe contraire à celui qu'elle avait auparavant. Le frottement exercerait alors toute son action proportionnellement à la prest sion, après comme avant cet instant; mais sa direction changerait en même temps que celle de la vitesse absolue de son point d'application ; par conséquent, les formules du numéro précédent s'appliqueraient, dans ces sortes de cas, à la seconde partie de la rotation , avec l'attention seulement d'y changer le sigpe de/.

Mais nous supposerons la condition / < fV

(Sg)

rtiaiplie,et€niatégraDt ie» formales précédentes , et ayaht égard aux valeurs de -^ et -^ cpii répondent à t = s+s^j nous aurons

pour toutes les valeurs de < > i + ^r Oa connaîtra ensuite , pour ces mêmes valeurs, la vitesse ul au moyen de Téquation

Une seconde, intégration donnera

La rotation que nous considérons sera terminée quand on aura js* = o; si donc nous désignons par « = ^ + J, + ^a, la Valeur de t qui aura lieu à cet instant , la quantité ^ dépendra de Téquation du second degré :

dont elle sera la racine positive ; et ^^ -f- s» ^^i^ la durée de cette rotation. La valeur finale de la

vitesse angulaire ^ ne sera plus , comme dans le

cas du numéro précédent , égale et contraire à la valeur initiale ç'; en la représentant par — ^',, on aura

Les valeurs correspondantes de -^ et i/ se déduiront des expressions de ces vitesses à un instant quelconque , en y faisant t zss s ^ s^-^ s^; et si nous représentons par ar« , l'espace parcouru par le centre de gravité du système, nous aurons

quantité qu'il £audra ajouter à Xi pour avoir la longueur du recul pendant toute la durée de la seconde rotation.

26. A la fin de cette rotation, il y aura un choc des crosses contre le terrain, dont les effets seront faciles à déterminer, d'après ce que nous avons déjà vu. Ce choc détruira le mouve-

ment du système autour de l'essieu, et lui en imprimera un autre autour de la droite menée par les extrémités- des crosses. Nous représenterons la vitesse initiale de cette troisième rotation par ^" ; et généralement nous désignerons par X", N", T", S", V", E'', F', 4", les quantités analogues à celles que nous avons représentées par les mêmes lettres sans accent dans le n* 4. Les équations d'équilibre entre les quantités de mouvement perdues ou gagnées, soit par les points du système entier, soit par ceux de la pièce ou de l'une des roues, se déduiront de l'une de celles du n*" 6 ; en y supprimant les forces yu et R et la vitesse a» ; mettant deux accents aux lettres 4 , Xy N , etc. ; puis ajoutant, dans le cas du n^ 24, les termes relatifs à la vitesse détruite — ^', lesquels seront les mêmes que dans le n^ 21; et changeant 4)' en ^'i, si c'est ^ au contraire, le cas du n^ 25 qui a lieu.

De cette manière , nous aurons pour déterminer les neuf inconnues que la question présente ,^ les neuf équations

a/N"~X"— AM^"H-(Â — r)M^'= o, aN"— flM(p"— (i — a)M(p'= o,

-|-[K*-.a(ft— a)+A(A— r)]M(p'=t= o,

V"8lnfi'-aT"-»X"-iiA'Mf"4-n(A'-r)Bi^' ac o, V'cosfi'— aS"— nalU^'— ii(&— a')M^'= o,

+ « [it*+(* — fl') 9 H- (A'— r)p] M^' = o,

E"— - n'X"— i n'iM(p" s= o ,

cvù l'on pettt d'abord remarquer que la dernière équation donne 4"^^^ ^— * 4'^ <^^ ^^i changée la troisième en celle-ci :

— AX'— (K^— nfk*-{- «•-+• ^) Mf*

£n rés(dTaBt ces équations, on troute f =* g: »

F-«i [E-- «'*'•- (6 - a) (^ ^/ft)] l^i,

la quantité H* étant la même que dans le n" H , saToir :

H* = K* ~ n'k^ + a^— fah.

It ne restera plus qu'à substituer dans ces formules , à la place de (p^ sa valeur du n^ 22 , ou bien celle de ^\ du n^ 25.

La valeur de W est positive, ainsi que cela devait être ; celle de V Test aussi , en sorte que le choc des crosses contre le terrain ne peut pas , comme celui des roues (n* 22) , faire tourner la pièce autour des tourillons. Dans des cas particuliers la valeur de ^' pourra se trouver négative; d^où Ton conclura qu'alors le choc des crosses contre le terrain ne soulève pas les roues, comme nous l'avions supposé. On supprimera donc, quand cela arrivera, les termes des équa-

(64) tioDS d^équilibre qui contiennent ^\ et Ton y introduira une force R'' qui exprimera la percussion au point le plus bas de chaque roue, et dont la valeur devra être positive : la formation de ces équations ainsi modifiées , et leur résolution ne présenteront aucune difficulté.

La troisième rotation commencera avec la vitesse ^'' autour des crosses ; en même temps la vitesse de translation du système, et la vitesse angulaire des roues autour de l'essieu, seront celles que Ton a déterminées dans le numéro précédent pour la fin de la seconde rotation,

augmentées respectivement de ^ et de «xf^". Ces

vitesses initiales étant ainsi connues ^ on délerminera le mouvement du système pendant la troisième rotation, par l'analyse du n"" 20, relative à la première.

27. Sans (pi'il soit nécessaire de continuer davantage cette discussion , nous voyons comment on pourra calculer les uns par les autres, les effets des chocs successifs , et les portions de recul entre deux percussions consécutives. Les quantités relatives aux chocs des crosses contre le terrain , se détermineront au moyen des formules du numéro précédent, en y mettant à la place de ^\ pour chacun de ces chocs , la vitesse angulaire du système qui avait lieu immédiatement

auparavant , prise avec un signe contraire ; et de* méme^ lés quantités qui répondent aux chocs des roues contre le terrain seront données, en gêné* rai, par les formules du n* 22, dans lesqudles on mettra à la place de ^, pour chacun de ces chocs, la vitesse initiale de la rotation dont il est la fin : toutefois ces dernières formules devront être quelquefois modifiées, comme nous allons l'expliquer tout-à^l'heure , vers la fin du recul, lorsque la vitesse de translation du système sera très a£EaibIie.

Les vitesses initiales des rotations successives du système , ainsi déduites les unes des autres , formeront une série généralement décroissante; de sorte que les oscillations alternatives du système, autour des crosses et autour de l'essieu, s'affaibliront continuellement. Tous les effets des chocs successif seront proportionnels aux vitesses de rotation qui leur correspondent; par conséquent, les percussions que les différentes parties du système éprouveront pendant le recul, seront aussi de moins en moins considérables.

Le mouvement du système entre deux chocs consécutifs se déterminera par l'analyse du n^ 20, ou par celle des n*" 24 et 25 , sauf les modifications relatives à la fin du recul dont il nous reste à parier.

S8b- A l'origiBe cki mouvement, la vitesse de

tflMvlaMin camxxmDB k tons les pmats en ^«* lÀifte,. FcmpfwCd ^ beaucoup flur la intense de Tok^àfon dû poînA le pkis tu» de cha^e loue; miib dans la suite ^ il peut armer que ces deos iRtesses diffèrent peu l'une de Tautre^ à ïvm do» instants on ks rO(te& viômeat fiapper le terranaf et atorsi il est pessiUe qxe le frottemeiÉ^ pendant la durée de la percusskMH^ Imsc disfMealtie! cetCe difféeence, en sorte que la vitesse absolve du poÎBt ok cette farce coBenae son aclîeti doira; être égale à zéro après le choc. On ne doit post perdre de Tue qu'une- petoussion est. une suite de pressions qui ont liisu pendaM im temps très eourt^ xnaift d'ime' durée finie. Dan» le choc des voues contre le terrain. , le frottement s'exerce à chaque instant de ce temps très eourt., en sens contFaire de ho tîtesse actUeHe do poiai: le plus bas d'e chacpie roise;i son inteasité, quand cette vztesae m'est pas. msàieèy, est proportionneUe à h pves« sion qui a liâu au même instant et ait nwme point ; oette TÎÉBSse viarîe gmduettettieBt pendant la durée du choc ; et s'il arcm qu'elle- de^nenaer nulle k uift cettaàn instant de celte, durée ^ une partie du freiktsment snâit cnsoile,, en géKlénil> poul^ la. maintenir égale à ztrô, jusqu'à h fin de \b pevaussicmi

D'après cela, il y aura deux cas à distkfcpieirt selon que le point de contact de chaque roue dtvec te termn auKâ consent aptè$< le> dboc iine

(6? ) ^rtie de Ijt vitesse qu'il avait auparavaiyt ? ou $aivan(; que la vitesse de ce point après le choc devra être totit^ihfait nallcw

Dans le premier cas, le frotiemeûl tfura estêveé 0Ofi action entière pendant toute la durée du choc : par conséquent la quantité de mouvenletit qu'il aura produite en sens contraire de la vitesse initiale de ce point de contact. sera égale à jTRf; B! étant la somme des pressions verticales, ou la percussion que chaque roue aura éproiiy^ée, et y désignant un coefficient donné.

Dans le second cas^ au contraire, Iç frqtlf^ vient n'aura exercé la tonalité de 3Qn ac^n, que pendant une partie du çhpc ; pen^nt l'autre partie, son action partielle aura pu être dii^îgée dans le sens ou en sens contraire de la vitesse précédemment détruite; la quantité de mouvement qu'il aura produite sera inconnue en grandeur et en direction; seulement nous saurons <pi'en la repréaentant par //; il ftM^a- qu'on âk ^ < fBf^ abstraction foïte du signe.

En supposant que toutes les notations enîpl<^ées dans le n^ 21 se rapportent maintenant à une percussion d'un rang pair quelconque ^ c'est-à-dire à une percussion où ce sont les roues qui viennent frapper le terrain, les formules de ce numéro s'appliqueront, sans aucune modification, au premier de nos deux cas; mais pour ^assirrèr qu'il a ^ffe^irem^t lieu , il faudra

comparer la vitesse du point le plus bas de chaque roue avant le choc, calculée d'après les rotations et les chocs précédents , avec sa vitesse après le choc, résultante de ces formules. Si l'on désigne la première vitesse par Çj et la seconde par ^', on aura

il faudra que ces deux vitesses aient la même direction, ou soient de même signe. Pour fixer les idées , nous supposerons que la quantité Ç soit positive; et en mettant à la place de X' et ^+4' leurs valeurs données par les formules citées , nous en conclurons

pour la condition relative au premier cas ; ^ représentant la vitesse angulaire du système autour des crosses, au commencement de la rotation terminée par le choc des roues contre le terrain, que l'on considère.

Dans le second cas, on aura

M^ + X'+ HM[((p'-H 40= o/ équation qu'il faudra joindre^ à celles de l'équili-

(69) bre des quantités de mouvement perdues ou ga^ ' gnées pendant le choc dont il sera question.

29. Pour obtenir ces équations, il suffira de remplacer dans celles du n® 21 , la force — fR! par la force inconnue p', qui agira dans le sens du recul ou en sens contraire , selon qu'elle sera positive ou négative. Au moyen de la condition Ç' = o , le nombre des équations restera égal à celui des inconnues; mais pour abréger, nous nous dispenserons de former les valeurs des percussions V, T', S', E' , F' ; et nous ne considérerons que les inconnues X', R', ^', 4'> f'' Nous^ n'aurons besoin alors que des quatre équations :

ap'— X'— ÂM(p + (* — r) M(p' = o, aR' — aM(p — (6 — a) M(p' = o ,

+ [R*— a (6— a)+ *(A— r)] M^' = o , — rf'--- i n'k'^ M<p 4- w'A'* ((p'4- 4') = o »

jointes à celles du numéro précédent.

On en déduit

ti/«rA»f* *(&-a)'(«'y'4-/*)M» B'*"(&-«)(ft-r)MC l R-|*M^ gj gP J,

, I r*(*— «)(ft-;^n'*"M^ [K*— nT'+ (ft-a)'] «'y'MÇ-1

le dénominateur D* étant la même quantité que dans le n* 25,

lies valeurs de ^' et R' devront être positives ^ et il faudra qu'on ait p' < fR!y abstraction faite du signe. La seconde condition revient à ce que les deux quantités yR'+ f et/K — f ' doivent être de même signe que le coefficient y*, lequel est positif dans le cas où la vitesse Ç est dirigée dans le sens du recul, comme nous l'avons supposé.

Or, on aura

/R' + P= ^{An'k''+ /-)(K'-«'*")+n'A'«(ft-r) ib-a+J{h.r)] }

- ^^^ {KW*"+(6-a)[A-fl+/(W)] },

OÙ l'on voit d'abord que la condition j^R' — f'>o sera généralement satisfaite, à cause que la petitesse des lignes b — a et h — r, dans la cons-

(70 truclion ordinaire des affijtfls, rend p«e>6iltfs les coefficients des vitesses^ et ^, dans l'expression de yR' — f î il n'y aurait d'exception- à l'égard du coefficient da ^ que ^ Le' frottem^mt. 4^s rpues contre le terrain éçail:. très Cajifbl^, et, le coefficient f une très petite. fraction^ ^ i|ui n'^ p^s lieu ordinairement.

Quant à la condition y R'-+- p'> o, on en conclura

H'* étant la même quantité que précédemment.

En comparant cette inégalité à celle du numéro précédent 9 on voit que les deux cas énoncés dans ce numéro s'excluent l'un Tautre , et qu^un seul pourra avoir lieu à la fois, ainsi que cela devait effectivement avoir lieu (*),

{*) Cette dernière inégalité étant satisfaite, M là <ion*ditîony^' — p' positive n'était pas remplie, à cause de Pexception très particulière que nous avons indiquée , aucun de €08 àemsL saasne ferait |MMsiUe^ et îl ^c»! iRsiuArait consMérèr un troisième. Ce serait câui d«iis leqvel la iritesise du pofht dis «Kitaot de chaque Mue.aviee le tcrrraîn ^pa<s6«rtiit au p«H sHif au ségÉtif pendawt la durée èa «hoe; en sbKe qt^^Ife serait «dirigée ten te^s opposé» au «omÉarenceiti^t *et.à Iti 'Qh i dans ne -cas y le itfottevieMt agirait 'êiwa. toute son înteMfSté pendaM h^buiée «nlière de k vola%ion; «iai« pendant une partie 9 il serait dirigé dans le sens du recul; et pendant Tau*

( 70 A cause que Ton a

aR' = ^M^ + (6 a) M(p',

la condition R' > o sera une suite de ^ > o. Or, si Ton met dans l'expression de ^\ à la place de ^, la limite précédente que cette quantité ne peut dépasser, on aura, toute réduction faite,

et, en général, ^' > o, à cause de la petitesse de h — a et A— r. Si cependant on avait ^'<C o dans un cas particulier, il faudrait supprimer cette vitesse ^' dans les équations du problème , et la remplacer par une force inconnue, pour exprimer la percussion éprouvée par les crosses, qui, dans ce cas, ne seraient pas soulevées.

Nous ne nous arrêterons pas à considérer ce cas particulier, qui ne saurait présenter aucune difficulté.

tre partie, il agirait en sens contraire; et pour déterminer les effets du choc , il serait nécessaire de considérer ces deux parties séparément. Quoique nous ne nous occupions pas de ce troisième cas, à cause de son peu d'importance dans la question présente , il était bon néanmoins de le mentionner, parce qu'il peut se rencontrer d'autres problèmes relatiftaa frottement des corps tournants, où il soit indispensable d'jr avoir égard.

(73) Le mouvement du système pendant la rotation autour de l'es^eu, qui suivra le choc auquel ces formules se rapportent, se déterminera par l'analyse du n® 24, en supposant la vitesse du point le plus bas de chaque roue, égale à zéro dès l'origine de cette rotation, et par suite pendant toute sa. durée.

30. Au moyen des différentes règles que nous venons d'exposer , on pourra calculer , dans tous les cas, l'espace parcouru à chaque instant par le centre de gravité du système , et la vitesse horizontale dont il est encore animé : on connaîtra donc l'espace total qu'il aura décrit quand cette vitesse sera devenue égale à zéro , lequel espace sera la longueur du recul, dont la durée se trouvera en même temps déterminée. Cette longueur et cette durée dépendront de toutes les quantités comprises dans les formules précédentes, savoir : la vitesse du projectile à la bouche du canon, le rapport de son poids à celui du système entier, le moment d'inertie de ce système, la grandeur du frottement, le rayon et le moment d'inertie des roues, la distance de leurs points inférieurs à l'extrémité des crosses, la hauteur du centre de gravité du système au-dessus du terrain et la distance de sa projection sur le sol à celle de l'essieu , enfin la distance de ce centre à l'axe de la pièce et l'inclinaison du tir.

(74) ~ Dam le cas où le systène loane attemativement autour des crosses et autour de l'essieu, Mtle deruière distance entre dans l'expressicm de la TÎtesse initiale de la première rotation , qui hii est à jpeu près proportionnefle , quand on tire sous un angle peu considérable (n^'lS) : pour cette raison , les variations de cette distance devront influer beaucoup sur le recul. Or, elle varie très sensiblement par rapport à sa propre grandeur, quand on rapproche ou qu'on éloigne Taxe des tourillons de celui de la pièce : la distance de Tun de ces axes à Tautre aura donc aussi une grande influence sur la longueur du recul; ce qui est, en e£Fet, conforme à rexpérience, quoique d^abord il paraisse difficile de se rendre raison d'un semblable résultat, surtout lorsque la pièce ne prend aucun mouvement de rotation autour des tourillons. ïl en est de même à Pégard de la longueur de Taffâtt, ou de la distance comprise entre î'iextrémité des crosses et les points inférieurs des roues, qui entre dans les formule^ précédentes , el dont l'expérience a aussi fait connaître l'influence sur la grandeur du recul.