DES COURBES PLANES

1. Nous admettons comme évidente la proposition que voici : Une ligne convexe, c^esl-à-dire qui ne peut être coupée par une droite en plus de deux points, étant enveloppée par une autre ligne de telle façon que les extrémités des deux lignes soient toutes sur une même droite, la ligne enveloppée est plus courte que Venveloppante.

2. Définition de la tangente. Qu'on fasse passer une droite par deux points M et M' d'une courbe; si Ton suppose M fixe et M' infiniment voisin de M, c'est-à-dire se rapprochant de M et finissant par se confondre avec lui, la droite tournera autour de M et tendra vers une certaine position limite, Cest cette position limite qu'on appelle la tangente à la courbe au point M,

11 résulte de cette définition que Tangle que fait la tangente en un point d'une courbe avec la corde d'un arc infiniment petit dont ce point est une des extrémités, est un angle infiniment petit.

3. La longueur d'un are de courbe infiniment petit et celle de sa corde sont deux infiniment petits égaux, c'est-à-dire dont la différence est infiniment petite par rapport à chacun d'eux.

Soient M, M* (fig. 1) les extrémités de l'arc considéré ; la proposition sera démontrée si l'on fait voir que, M, tendant vers M, on a:

Uni ^^^ ^^' — corde MM'

Soit L le point de rencontre des tangentes à la courbe en M et en M' ; nous allons montrer que le rapport -, .,

tend vers l'unité. La proposition énoncée résultera de là, car d'un côté ^ ■ est toujours plus grand que l'unité, et de l'autre il finit toujours par être et rester plus petit que -^ — , puisque Tare MM' étant infiniment

petit finit toujours par être convexe et par suite plus petit que la ligne brisée MLM* qui l'enveloppe (1).

Soit P Je pied de la perpendiculaire abaissée de L sur

MM'. Le rapport ^,,^^ i^^ - étant égal è .^^ ^ ^.^ ,

il est, en vertu d'une proposition élémentaire d'arithmétique,

compris entre les rapports ^p , ..^^ ^ ^ ; mais ceux-ci

tendent vers l'unité/ car ils sont respectivement égaux à

TTTE- ) rurw ) et les angles LAfP, LMP ten-

eos LMP ' cos LM*P ' ^ '

dent vers zéro (2). Le rapport — -.-., est donc compris entre deux quantités qui tendent vers ]'unité, par conséquent il tend lui-môme vers l'unité, ce qu'on voulait démontrer.

11 est donc établi que la différence entre un :''rc infiniment petit et sa corde est infiniment petite ]u:r "epport à chacun d'eux. Nous ferons ooniiattre plus loir / ^rdre de grandeur et l'expression de cette difiérence.

4l L'angie que font entre elles les tangentes en dtttx points dffwMi eouràiê infiniment voisins, est, en général, dn même ordre q^^ rare compris entre ces points.

Traçons dans le pian de la courbe une droite quelconque que nous nommerons À (fig. 2), et marquons sur la courbe on point que nous désignerons par B. L'angle que fait avec Fa dnoite À la tangente en un point M de la courbe est une fonction de la longueur de Tare BM, Le rapport des accroissements simultanés et infiniment petits que reçoivent ces deux quantités quand on passe du point M à un point infiniment voisin M' tend donc en général vers une limite finie. Or Tangie que font entre elles les tangentes en Si et en M' est égal à l'accroissement de Pangle que fait la tangente à la courbe avec la droite À quand on passe de m h M', et la longueur de l'arc MM* est l'accroissement que reçoit alors l'arc compté à partir du point B. De là résulte la proposition.

On peut la démontrer directement comme suit: Entre deux points A et K de la courbe considérée marquons une suite de points a, b, c^ . , . que nous supposerons ensuite augmenter en nombre indéfiniment. Soit «i l'angle de la tangente en H avec celle en a, a2 celui de la tangente en a avec celle en b, etc. Soit si la longueur de l'arc Ha, «2

celle de l'arc ab, etc. Si les rapports — ^ , -^^ , -^^,.-

tendent tous vers zéro ou vers l'infini quand le nombre des points de division croît indéfiniment, ie rapport

n± fX2 fx^ » . . ^^^j ^^^^, ^^^g ^^^^ ^^ ^^^^ rinfini.

Hais la somme ii + ^ + <3 . • • est égale à l'arc HK, et te somme «i + ixs + «3 . . . est égale à l'angle des tangentes en 11 et en K si toutefois l'arc HK est convexe , condition qu'on peut toujours réaliser en le prenait assez petit. Le

rapport en question est donc fini, c'est-à-dire différent de zéro et de Tinfini, et il est même constant. Les rapports

— — , -^^ , — ^ , .... ne peuvent donc pas tous tendre

vers zéro ou vers l'infini. Comme cette conséquence a lieu quelque petit que soit Tare HKy ce n'est qu'en des points isolés que le rapport de l'angle des tangentes en deux points infiniment voisins à l'arc compris entre ces points peut tendre vers zéro ou vers l'infini. En d'autres termes, cet angle est, en général, du même ordre que l'arc.

Il convient de remarquer que cette seconde démonstration n'est que la répétition sur un cas particulier du raisonnement par lequel on établit le théorème général que nous avons invoqué dans la première démonstration , théorème qui consiste en ce que le rapport des accroissements simultanés et infiniment petits de deux grandeurs fonctions l'une de l'autre est une quantité finie. A l'avenir, dans les cas analogues, nous nous bornerons à rappeler ce théorème.

L'angle que forment entre elles les tangentes aux deux extrémités d'un arc infiniment petit a reçu le nom d'angle de contingence; nous le désignerons habituellement par la lettre grecque e,

5. Définilion de la courbure, du cercle, du rayon et du centre de courbure. L'angle que font entre elles les tangentes aux deux extrémités d'un arc convexe exprime la quantité dont la courbe a dévié de la ligne droite dans l'étendue de cet arc; mais c'est bien moins cette quantité elle même que son rapport à la longueur de l'arc qu'il peut être utile de connaître, car c'est ce rapport qui donne une idée de l'intensité de la courbure de l'arc considéré.

Si la courbe est un cercle, ce rapport est constant, c'està-dire indépendant de la longueur de l'arc. Il est égal à la réciproque du rayon, et constitue ce qu'on appelle la cour-

(mre du cercle. Dans toule autre courbe il est variable, et pour un arc donné il constitue ce qu'on pourrait appeler ta courture moyenne» Supposons l'arc infiniment petit; le rapport que nous considérons tendra vers une limite que nous savons être en général finie (4), et si nous désignons par M celle des deux extrémités de l'arc qui est fixe, cette limite est ce qu'on appelle la courbure de la courbe considérée au point M.

Le cercle dont la courbure est égale à cette limite est appelé le cercle de courbure au point M ; son rayon est le rayon de courbure. Si on place ce cercle tangentiellement à la courbe au point M de façon que les concavités de la courbe et du cercle soient tournées du même côté, son centre est le centre de courbure au point M,

II résulte de la définition du rayon de courbure qu'il est la réciproque de la courbure, et, par conséquent, quHl est égal à la limite du rapport d*un arc infiniment petit commençant au point M à Vangle des tangentes en tes extrémités*

De tous les cercles tangents à une courbe en un point donné, le cercle de courbure est celui qui s'en rapproche le plus dans les environs de ce point. On peut dès à présent prévoir ce fait, et nous en aurons plus tard la démonstration.

6. Le centre de courbure en un point M d^une courbe est la limite du point de rencontre des normales en M et en un point M' infiniment voisin.

Soit (fig. 3) le point de rencontre des normales en M et en M' ; la proposition sera démontrée si l'on établit que la limite de la longueur MO est le rayon de courbure au point M, c'est-à-dire , en désignant par e l'angle des tangentes en M et en Af , que l'on a

lim MO z=i lim .

Les tangentes étant perpendicalaires aux normales, Tangle désigné par t est égal à l'angle des normales, c^est*à-dire à Fangle 0. La question est donc ramenée à démontrer qu'on a

(a) «» MO = «« ^^.

De O comme centre avec OM comme rayon décrivons un cercle, et soit P le point où il coupe la normale M*0. On a

angle O et, par conséquent,

are MF

lim MO = lim

angle

En vertu de cette égalité, pour que l'égalité (a) que nous avons en vue de démontrer soit vraie, il faut et il suffît que les arcs MM* et MP soient des infiniment petits égaux; tout revient donc à démontrer qu'on a

are MM

hm rrr^- = 1.

arc MP

Un arc infiniment petit et sa corde étant deux infiniment petits égaux (3), on n'altérera pas la limite du rapport

i^iï— si l'on y remplace les arcs par leurs cordes, et

arc MP .

la proposition se trouvera démontrée si l'on fait voir qu'on a

,. corde MM' .

lim 35 — =^5- ~ 1.

corde MP

Or cela est évident, car le triangle ilfJH'P. donne

corde MM' sin P corde MP ~ sin M' ' et comme les angles M' et P sont droits à la limite, la

limite du rapport . ^ est l'unité.

'^'^ stn M'

La Uea des ceulresi de oourbure en tous les points d'une eoarbe esi vm» e0Qri>e remarquaJ;de dont nous allons Hn*^ dîer les propriétés. On la ncNnme la dévehffpée^ et noiAS verrons tout à Theure la raison de cette dénomination.