IJ

en Élisant, pour abréger,

(K*-n'*'*)(r*+n'*'*)+(r*+n'A'»)(i— r)>sr:D*.

Bans la construction ordinaire des affûts, les distances. horizontale et verticale û— aetû — -r, du centre de gravité du système à l’axe de l’essieu sont très petites, et leurs carrés et leurs produits doivent aussi être très petits par rapport à D; d’où il résulte que la condition sera remplie , à moins que le frottement des roues contre le terrain étant très faible, le coefficient f ne soit une très’ petite fraction. Dans les cas d’exception où cette condition ne serait pas satisfaite , il en faudrait conclure que le frottement n’est pas assez fort pour maintenir nulle la vitesse des points inférieurs des roues, et qu’après l’instant où cette vitesse est devenue égale à zéro, elle prendrait un signe contraire à celui qu’elle avait auparavant. Le frottement exercerait alors toute son action proportionnellement à la pression, après comme avant cet instant; mais sa direction changerait en même temps que celle de la vitesse absolue de son point d’application; par conséquent, les formules du numéro précédent s’appliqueraient, dans ces sortes de cas, à la seconde partie de la rotation , avec l’attention seulement d’y changer le signe de J.

Mais nous supposerons la condition y < fZ*

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remplie, et en intégrant les formules précédentes’, et ayant égard aux valeurs de ^ et ^ qui répondent à « = J -4* , nous aurons

pour toutes les valeurs de i j -f- J,. On connaîtra ensuite , pour ces mêmes valeurs, la vitesse u' au moyen de l’équation

dxf , ^dz' . ,\

Une seconde intégration donnera

La rotation que nous considérons sera terminée quand on aura z' = o; si donc nous désignons par < = J -f- J, -}- la valeur de t qui aura lieu à cet instant, la quantités dépendra de l’équation du second degré :

. V [*-<»+/ (ft-rllg-C-fî-f-a-ï.-fx) {r^-hn'k’*)(b-a)gsl

aD*

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dont elle sera' la racine positive ; et + s, sera la durée de cette rotation. La valeur finale de la

vitesse angulaire ^ ne sera plus, comme dans le

cas du numéro précédent, égale et contraire à la valeur initiale (p'; en la représentant par — (p',, on aura

m' , — , (r^+nk'^){b—a)gs,

Les valeurs correspondantes de ^ et u' se déduiront des expressions de ces vitesses à un instant quelconque , en y faisant « = j 4 - ;

et si nous représentons par jr, , l’espace parcouru par le centre de gravité du système, nous aurons

X, = /i, —fgs,s^—[h—r—f(l,-a)] [b-a -}-/(A-r)]

r' (h—r) (b—a)gsl aD“ ’

quantité qu’il faudra ajouter à ar, pour avoir la longueur du recul pendant toute la durée de la seconde rotation.

26. A la fin de cette rotation, il y aura un choc des crosses contre le terrain, dont les effets seront faciles à déterminer, d’après ce que nous avons déjà vu. Ce choc détruira le raouve-

ment du système autour de l’essieu, et lui en imprimera un autre autour de la droite menée par les extrémités des crosses. Nous représenterons la vitesse initiale de cette troisième rotation par <p" ; et généralement nous désignerons par X", N", T", S", V", E", F', 4", les quantités analogues à celles que nous avons représentées par les mêmes lettres sans accent dans le n* 4. Les équations d’équilibre entre les quantités de mouvement perdues ou gagnées, soit par les points du système entier, soit par ceux de la pièce ou de l’une des roues , se déduiront de l’une de celles du n° 6; en y supprimant les forces et R et la vitesse a> ; mettant deux accents aux lettres 4 » X, N, .etc.; puis ajoutant, dans le cas du n“ 24, les termes relatifs à la vitesse détruite — ■ <p', lesquels seront les mêmes que dans le n“ 21 ; et changeant (p' en (p\, si c’est, au contraire, le cas du n° 25 qui a lieu.

De cette manière , nous aurons pour déterminer les neuf inconnues que la question présente, les neuf équations

-1- [ K.* — ci(h— /i (Ji — = O,

V"sin6'-2T"-nX"-7î4'M9"+w(A'-r)M<p' = o, V'cosfi' — aS" — na'M(p' — n{b — a')M^'= o, /V"— np-yü'^ n {k*— a'q + h'p) M(p"

-j- n [it*+ {b — a') J + (h ' — r ) />] M<p' = o,

E"— i n'X"— i n VM<p" = o , F'— ^r'Z»M(P"= o,

où l’on peut d’abord remarquer que la dernière équation donne •vj.'ss ç'— <p', ce qui change la troisième en celle-ci :

+[K* — nT * — a {b — a)-4-(^ — r)]M(p'= o.

En résolvant ces équations, on trouve

{a-fh)b<p' H* ■’