LES DIFFÉRENTES PARTIES DE L’AFFUT

1 . Pendant que le boulet se meut dans l’âme de la pièce , le gaz de la poudre exerce à chaque instant des pressions égales et contraires sur le fond de l’âme et sur le projectile. Les pressions sur le fond de l’âme se transmettent sur toutes les parties de l’affût, et produisent le recul. Si l’on voulait déterminer à un instant quelconque les pressions que subissent les tourillons, l’essieu, ou d’autres parties du système, il faudrait connaître la loi de la force du gaz pendant l’in- ' flammation de la poudre , et tenir compte de la flexibilité des différentes parties de l’affût et de la matière même du canon, ce qui rendrait le problème impossible à résoudre. Mais pour éclairer la pratique sur les efforts auxquels les parties du système doivent être capables de résister, il suffit de déterminer la somme totale des pressions que chaque partie éprouve pendant toute

la durée de l’action ' de la poudre. Or cette somme est une quantité finie de mouvement ^ qui ne dépend que de celle que le boulet a reçue à la sortie de la pièce, et que l’on peut calculer en 'faisant abstraction de ‘la flexibilité du système. £n général, une percussion n’est autre chose qu’une pareille somme de preosions successives qui ont produit, dans un intervalle de temps très court, une quantité de mouvement indépendante de la durée de leur action. Dans la question actuelle, ce temps est celui que le boulet emploie à se mouvoir dans l’intérieur de lavpièceyil s’élève à peine à Ufi deuxcentième de secoude : d’où il résulte'' (j[lié l^éffet totàl 'de l’action' I de la poudre sUr dhaque point du>; système peut être assimilé à une percussion ^ èt que le problème que nous aurons à' résoudre consistera ; à calculer' la vitesse' dont ' un' ''corps d’ühe^ màsse donnée devrtdt 'être animé pour qu’ën veoant frapper soitUes crosses, soit l’es^ sieu,‘ ou- toute- autre partie’ de r'afiût, ce ChOc produisit snr ces parties le même effet que l’ac*ttoii'de:'lB>poudrei

2. Nous représenterons par /u la quantité de mouvement -.du - boulet' 'parvenu à - la -bouche du canom^Cette quantité sera aussi celle -qUr ' sera commuhiquée en ^ sens contraire' au^ système de laiipièue -et "-de l’affût par l’action totale de la

poudre (*). La direction de cette force fjt, sera Taxe de la pièce. Nous désignerons pard son inclioaison sur le terrain, angle qui sera positif ou négatif selon* que la culasse aura été abaissée ou élevée b dans le cas le plus ordinaire, cet abgle sera positif et d’un petit nombre de degrés.

Le système entier est symétrique par rapport à un plan vertical passant par l’axe de la pièce, ou parallèle à>la direction du recul;, nous supposerons les effets du tir semblables de part et d’autre de ce plan , en sorte que les deux roues , les deux crosses, etc., éprouveront chacune la même percussion. ‘ " . ■ ■ >,- >

Pour.£xer les idées, nous supposerons aussi le terrain hocixontal ; nous le regarderons comme inflexible, ou du moins comme capable de résister sans flexion sensible ' aux pressions qu’il éprouvera dans ses points de contact, soit avec les roues, soit avec les crosses. Nous 'représenterons par N et R les sommes des pressions ou les percussions qui auront lieu au point de contact de chaque crosse et à celui de chaque roue. Ces forces seront verticales et dirigées dans le sens de la pesanteur; en les prenant en sens contraire , elles exprimeront les percussions verticales que l’affût éprouvera aux mêmes points. Leurs grandeurs seront des fractions de fjt. qu’ü

(’*') Note première à la fin de l’ouvrage.

-- by Giiogle

s’agira de déterminer; et si l’on trouve, par exemple, N = n^u, n étant une fraction donnée, cela signifiera que chaque crosse éprouve le même choc que si le boulet lancé par le canon venait la frapper avec sa vitesse initiale, diminuée dans le rapport de n à l’unité. Il en sera de même à l’égard des percussions éprouvées par les autres parties du système , dont nous aui-ons à déterminer les rapports avec la force fi.

Pendant toute la durée de l’action de la poudre, on devra négliger la pression exercée à chaque instant contre le terrain par le poids du système, par rapport à celle qui est due à l’ao tion du ''gaz, et qui est incomparablement plus grande que la première; mais il faudra tenir compte du frottement, attendu qu’à un instant quelconque cette force est proportionnelle à la pression qui existe au même instant. Les résistances totales que le frottement des crosses et des roues contre le terrain opposera au mouvement de l’affût seront des forces horizontales agissant en sens contraire du recul , que nous pourrons exprimer par pour chaque crosse, et par yH pour chaque roue; y étant une fraction donnée qui dépendra de la nature du terrain et de celle des surfaces frottantes, et que nous supposons la même f>our les roues et les crosses, afin de simplifier les formules que nous aurons à trouver.

3. Les quantités connues, dépendantes du poids et des dimensions des diverses parties du système, qui entreront dans ces formules, seront représentées de la manière suivante (*).

Nous désignerons par y la perpendiculaire abaissée de l’extrémité des crosses sur l’axe incliné du canon, et par c la perpendiculaire abaissée du

(*) Voyez la figure jointe à cet écrit , qui m’a été communiquée par un officier supérieur d’artillerie, avec cette note :

On a déterminé la position du centre de gravité du canon sur l’axe , en plaçant la pièce en équilibre sur l’arète saillante d’un corps résistant (par exemple sur l’arète d’un essieu placé en travers dans les encastremens) , de manière que l’axe fût horizontal.

Pour obtenir la position du centre de gravité du système de la pièce et de son affût dans le plan vertical passant pat l’axe , l’on a cherché d’abord celui de l’affût dans ce plan -, qui le partage en deux parties à peu près symétriques, en le suspendant au moyen d’un fil de fer d’environ 4 millimètres de diamètre , en sorte que la direction de ce fil rencontrât ce plan presque à angle droit.

Ensuite , au moyen de ce centre de gravité et de celui du canon , et des poids connus de la pièce et de l’affût, il a été facile de déterminer sur la figure la position du centre de gravité du système entier.

Dans les pièces de campagne , la distance de l’axe des tourillons à celui du canon est un douzième du calibre. Afin de rendre ici cette distance plus sensible et d’apporter moins de confusion dans le dessin , l’on a descendu les tourillons, comme dans les pièces de siège.

centre de gravité du système sur la même droite;i > ‘ Par l la plus courte distance de l’axe des tour rillons à celui de la vis de pointage, à peu près égale à la demi-longueur de la' pièce ;

■ Par fl' l’angle peu difFérent de fl que le second de ces deux axes fait avec la verticale;

Par h la hauteur du centre de gravité du système au-dessus du terrain , et par a la distance de sa . projection horizontale à l’extrémité des crosses;

Par h' et a' les mêmes quantités relativement au centre de gravité du canon , que nous supposerons situé sur l’axe de la pièce, direction de la force ^ ,,

Par r et 6 les mêmes quantité» cdativement à chacune des deux roues, c’est-à-dire la longueur de son rayon et la distance de son point le plus bas à l’extrémité des crosses.

Dans la construction ordinaire des affûts,, les trois lignes a, nf;, A, différeront, peu entre elles; on aura A, A > r; et l’angle 6 étant peu considérable , les lignes y et c seront à peu près égales à A' et A' — A ; elles auront pour valeurs exactes :

y SS hf cosfl — o' sinfl, ' c = (A' — A) cos 6 — (a’ — a) sinft.

i . i - . j IJ' > jL ■ ■

Concevons par l’axe des tourillons deux plans , l’un horizontal et l’autre vertical; nous représen-

terons par p I& distatice du centre de gravité du canon au premier plan^ et par q sa distance au plan vertical. A cause de la prépondérance de la culasse, ee centre sera situé du même côté quel cette partie de- la pièce par rapport- au second plan ; il sera plac^ au-dessus ou au-dessous du plan horizontal , selon que l’axe de la pièce sera au-dessus ou au-dessous de celui des tourillons. Pour comprendre ces deux cas dans les mêmes formules, nous regarderons la quantité P connue positive dans le premier cas, et comme négative dans le second. Ces distances p et q varieront avec l’angle 0; mais si on les a mesurées quand cet angle ^t nul , et que l’on représente alors leurs valeurs par «, ç s=s jS, on aura, pour un angle d quelconque,

p sss et cosô — /S sin|9, q d, sin8 -f* jS cosfl.

Enfin, nous appellerons M, m, m', les masses du système entier, du canon et de chacune. des deux roues; et nous représenterons par MK*, mk*y les moments d’inertie de ces masses,

rapportés à des axes parallèles à celui dejS tourillons, et passant par leurs centres de gravité respectifs. Nous ferons aussi

aT

de sorte .que, les poids étant entre eux comme les masses , n et n' exprimeront les rapports des poids du canon et des deux roues au poids du système entier.

Il serait à désirer qu’on eût déterminé toutes ces quantités, pour les différentes espèces de bouches à feu, soit par des mesures directes, soit par le calcul ou l’expérience.

4. Voici également comme nous représenterons les inconnues de notre problème qu’il s’agira d’exprimer en fonctions des quantités précédentes.

Nous avons d’abord exprimé par N et R les percussions verticales qu’éprouvent les crosses et les roues à leurs points d’appui sur le terrain. Nous représenterons en outre :

Par T et S les percussions horizontale et verticale exercées sur l’encastrement de chaque tourillon ;

Par E et F les mêmes forces relativement à la partie de chaque roue que traverse l’essieu;

Par V la percussion sur la vis de pointage, dont la direction est l’axe de cette vis, faisant l’angle 6' avec la verticale : nous conviendrons de regarder comme positives ou comme négatives les forces horizontales, selon qu’elles agiront dans le sens du recul ou en sens opposé, et les forces verticales suivant qu’elles seront dirigées en sens

contraires de la pesanteur ou dans le mênie sens; d’où il résultera que les composantes horizontale et verticale de la force V appliquée à la vis de pointage seront — V sin9' et — V cos 8'.

Les mêmes forces T, S, V, E, F, prises en sens contraire de leurs directions respectives, agiront les trois premières sur le canon, et les deux autres à chaque extrémité de l’essieu.

Tous les points du système prendront, dans le sens horizontal, une vitesse commune; leurs quantités de mouvement correspondantes, étant proportionnelles à leurs masses, auront une résultante qui passera par le centre de gravité du système ; nous désignerons par X cette force horizontale.

Le système entier pourra aussi prendre un mouvement de rotation autour de la droite qui joint les extrémités des deux crossses , ou plutôt leurs points de contact avec le terrain : nous désignerons, dans ce mouvement, par ^ la vitesse angulaire dont tous les points seront animés.

Il se pourra encore qu’indépendamment de la rotation du système entier, la pièce tourne autour de l’axe des tourillons : nous représenterons par a la vitesse angulaire de ce mouvement, produite, comme la vitesse (p et la force X, par l’action totale de la poudre.

Enfin, cette même action imprimera à chaque

( «lO )

roue un mouTementide rotation autour de l’essieu, dont Hpus exprimerons la vitesse angulaire par s®ra possible que cette rotation tende à élever les points de derrière des roues, ou qu’elle tende aies abaisser : dans le premier cas, noua regarderons kt vitesse 4 comme positive , et dans le< second cas comme négative.

En déterminant I ces deux derniers mouvements, .nom supposerons très peu considérable le frottement des roues contre l'essieu et celui des tourillons. contre leur encastrement, et nous en ferons abstraction, afin de ne pas trop compliquer nos, calculs. En effet, ces forces seraient proportionnelles aux résultantes de E et F, et de T et S, ou à \/E*-f-F* et S*; d’où il

résultevait qu’en y ayant égard , les équations du pi^blème ne seraient plus linéaires par rapport à toutes les inconnues. En les négligeant, comme nous en convenons , la résultante de £ et F sera normale à la surface de l’essieu , et passera par son axe, et la résultante de X et S coupera à angle droit la surface des tourillons, et passera aussi par leur axe , ce qui n’aurait pas lieu si l’on tenait compte des frottements contre ces surfaces.

. ) ; Nous devons encore remarquer que la rotation du système autour de l’extrémité des crosses suppose que les roues sont soulevées et ne s’appuient plus contre le terrain : par conséquent

H faudra supprimer la force R, lorsque la vitesse ç aura lieu, et ne conserver cette force que quand on supprimera cette vitessel De même, on devra ne conserver qu’une seule des deux inconnues V et a»; car la rotation particulière de la pièce autour des tourillons’ exige' que la culasse soit soulevée et ne s’appuie plus sur la vis de pointage. £n faisant ainsi égales à zéro l’une des deux quantités’ R et ^ et l’une- des deux quantités V et ©,’le nombre des inconnues que nous venons d’énumérer se trouvera réduit à neuf, et 3 sufiSra d’un pareil nombre d’équations pour les déterminer. Nous formerons néanmoins ces équations en conservant d’abord les quatre inconnues R, Y, nous les appliquerons ensuite aux quatre suppositions qu’on pourra faire, savoir :

(p = O et a = 0, ^ =s O et V := O,

R=oetû) = o, R==oetV=:2 0.

S. ‘Nous aurons besoin, pour cela, d’une proposition qui se déduit facilement de la théorie connue des mouvements de rotation, et qu’il nous suffira d’énoncer.

Si une masse ‘m tourne autour d’un axe fixe avec une vitesse angulaire a»; que l’on représente par mA* son moment d’inertie, rapporté à un axe passant par son centre de gravité et

parallèle à Taxe de rotation; par x et j- les coordonnées horizontale et verticale de ce centre, comptées dans un plan perpendiculaire à Vaxe de rotation, à partir de leur intersection comme origine; par x' et y les coordonnées du même centre, comptées dans les mêmes directions et dans le même plan que x et y, mais à partir d’une autre origine ; les résultantes horizontale et verticale des quantités de mouvement de tous les points de m seront exprimées par — mya> et mxa ; et la somme de leurs moments pris par rapport à un axe mené par la seconde origine, parallèlement à l’axe de rotation , aura pour valeur

(A:* 4“ yy') wcj.

Quand ce second axe coïncidera avec celui de rotation, cette somme deviendra (À* 4- f/*) ma» ; d étant la distance du centre de gravité à cétte droite. Quand l’axe de rotation, ou l’axe des moments, passera par ce centre, cette même somme se réduira à k*ma> , quelque part que soit l’axe des moments dans le premier cas, ou l’axe de rotation dans le second. Les valeurs positives dey étant portées au-dessus de l’axe des x, on regarde dans ces formules la vitesse a , comme positive ou comme négative, selon qu’elle tend à élever ou à abaisser la partie de cet axe hori-

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zontal sur laquelle sont comptées les valeurs positives de X.

En appliquant, par exempte, ces formules à la rotation du canon autour de l’axe mené par l’extrémité des* crosses, et prenant les moments par rapport à l’axe des tourillons, il faudra faire

Les résultantes horizontale et verticale des quantités de mouvement de tous ses points seront mh'<p et ma'<p, et la somme de leurs moments

De même, si l’on considère la rotation de la pièce autour de l’axe des tourillons, et qu’on prenne les moments par rapport à l’axe parallèle passant par l’extrémité des crosses, on fera

d’où il résultera

— mpa et mqa

pour les résultantes horizontale et verticale des quantités de mouvement de tous ses points, et

(k* — a'q ~|- h'p)mcù

pour la somme de leurs moments.

6. Cela posé, les quantités de mouTemeut de tous les points du système, étant prises «n sens contraire de leurs directions, doivent faire équilibre à la quantité de «ouvemeut fi quihii » été communiquée, et aux résistances aR,(— ayU, qu’il éprouve à ses pomts d’appui sur le terrain. Égalant donc à zéro les sommes des composantes, soit horizontales, soit verticales, de toutes ces forces, et observant que celles de la force fi sont fi cos 6 et — /te sin8> nous aurons ' • '1 . .i

fi COS0 — ay (N “h R) — X — AM^-1 - pma = o , — fi sinfl -f- a (N -j- R ) — aMf — qmoj=: o.

Prenant ensuite leurs moments par rapport à l’axe passant par les points de contact des crosses aVec le terrain, et égalant à zéro la'somme des moments des forces qui tendent à faire tourner le système autour de cette droite dans le sens de la force fi y moins la somme de ceux des forces qui tendent à le faire tourner dans le sens opposé, on trouve

y fi •+■ aéR — hX— (K* -f- a* A*)M(p

-+- {k* — a'q h'p) ma -|- — o.

, • » * 'if. *'

Les quantités de mouvement de tous les points de la pièce dues à la vitesse horizontale commune à tous les points du système auront pour résul-

tante une force passant par le centre de gravité du canon , et qui sera à la force X comme, sa masse m est à la masse M du système, c’est-àdire égale à nX. Cette force et les quantités de mouvement des points du canon dues à ses rotations autour de l’axe passant par l’extrémité des crosses et autoiur de l’axe des tourillons, étant prises en sens contraire de leurs directions, feront équilibre à la quantité de mouvement /* qui a été communiquée à la pièce et atix résistanceà horizontale et verticale V sin Q', V oosô' — liS, qu’elle éprouve éh s’ap-

puyant sur la vis de pointage et sur l’encastrement des tourillôns:’ Pour cet équilibre ^ il faudra

qu’On ait ■

^C 08 Ô 4- V sinô'— aT — nX— nh'Mp + pmm = o, — «'sin ê -+* V CÔ9 6i'( — ■ 48 — çm» o,

Mfi—lV-npX-n{k' — a‘q+h’p)Mp + {k*-^p‘-i-q')mm = 0;

les moments étant pris, pour former la troisième équation, par rapport à l’axe des tourillons, ce qui fait disparaître ceux des forces T et S, dont la résultante passé par' cet axe'fn® 4). * '

En formant de 'même' les trois équations nécessaires à 'l’équilibre des' quantités de mouvement de tous les points de chaque roue, prises en sens contraire de leurs directions ^ et dés résistances E, F, R, — y R , qu’elle éprouve à

ses points de contact avec l’essieu et avec le terrain, on trouve

E — yR — ^ n'X — ^ == o,

F H- R — ^ n'bMp = o, ifR — ^ = z = o ;

les moments étant rapportés, dans la troisième équation, à l’axe de l’essieu, ce qui dispense d’avoir égard à ceux des forces E et F dont la résultante passe par cette droite.

Si l’on substitue la valeur de , tirée de

la dernière équation de ce numéro , dans la troisième ; que l’on retranche de celle-ci la première multipliée par A, et la seconde multipliée par a; et que l’on ait égard aux formules du n* 5, on aura

+ 2 (é — /r)R — 2 (a — /fc) (N + R) - (K*— n'A'*) Mp + [Jt*— (a'— a) q + (A'— A)/>] =: o ;

équation que nous emploierons à la place de la troisième , dans les calculs suivants.

Telles seront les neuf équations qui serviront à déterminer les inconnues du problème, dans tous les cas qu’il présente, et que nous allons succès- sivement examiner.