PREMIER CAS

Dans lequel les roues et les crosses demeurent en contact cwec le terrain.

14. La déternaination du recul est une question bien plus compliquée qu’elle ne le parait d’abord. La principale difficulté qu’elle présente provient de ce que l’action du frottement des roues contre le terrain n’est 'pas la même pendant toute la durée du mouvement. La manière dont nous considérerons ce genre de forces, soit dans les percussions , soit dans les mouvements continus, pourra être utile dans d’autres occasions, et, par exemple, dans la théorie du tirage des voitures , qui n’a pas encore été donnée par les géomètres.

Ce problème est très difTérent selon que les roues sont ou ne sont pas soulevées; nous nous occuperons successivement de ces deux cas, en commençant par le plus simple, celui où les roues et les crosses restent en contact avec le terrain. Mais pour simplifier la question nous supposerons, dans ce premier cas et dans le second, que la culasse ne se sépare pas de la vis de pointage, et que l’une est attachée à l’autre, si cela est nécessaire, avec une force suffisante. Nous négligerons aussi, comme précédemment (n‘ 4), le frottement des roues contre l’essieu; et nous continuerons d’employer toutes les notations du n« 5.

15. Cela étant, désignons p»ar P le poids du système entier, dont la masse est M, en sorte qu’en représentant à l’ordinaire par g la force accélératrice de la gravité, on ait

P = Mg.

Soient , à un instant quelcùnque , t le temps écoulé depuis l’origine du mouvement, et x la distance du centre de gravité du système à un plan fixe ,

perpendiculaire à la direction du recul : ^ sera ,

à cet instant, la vitesse de translation commune à

tous les points du système, et M ^la quantité de

mouvement dans le sens horizontal , dont la valeur à l’origine est celle de X du n" 8. Donc en faisant fi == , c’est-à-dire en désignant par v

la vitesse du projectile à la bouche du canon, diminuée dans le rapport de sa masse à celle du système entier (*), nous aurons

^ = (cos fl — /sinfl)t/,

quand < = o. Le recul sera terminé dès que cette vitesse initiale aura été épuisée, et qu’on aura

Représentons au bout du temps par Q et Q' les forces égales et contraires aux pressions de chaque crosse et de chaque roue contre le terrain; les frottements aux mêmes points seront /Q et /Q', et la vitesse du recul n’étant jamais très grande, le coefficient f en sera indépendant, et devra être regardé comme constant pendant toute la durée du mouvement.

Soit encore, au même instant, u la vitesse angulaire commune à tous les points des roues -, sa valeur à l’origine sera celle de -vl, du n® 7,

Note deuxième à la fin de l’ouvrage.

savoir :

[c — {a—fh)nni\frv {b-fr)n'k^'

d’après la valeur de R du numéro suivant.

A cette époque, la vitesse de rotation ru des points inférieurs des roues ne sera pas ^ale et contraire à leur vitesse de translation ; la seconde vitesse l’emportera sur la première, c’est-à-dire que l’on aura

et cette inégalité subsistera pendant un certain temps. Or, tant qu’elle aura lieu, le frottement entier yQ' de chaque roue contre le terrain exercera toute son action; mais dès que ces deux vitesses seront devenues égales et contraires, ou qu’on aura

^ - ru-,

une partie seulement de ce frottement subsistera, et son action entretiendra cette égalité jusqu’à la fin du mouvement. Nous exprimerons par f ce frottement partiel. Cette force agira dans le sens du recul, ou en sens contraire, selon qu’elle sera positive ou négative; mais il faudra toujours qu’abstraction faite du signe, on ait

P < fQ'-

16. Nous voyons par là qu’il sera nécessaire de distinguer deux intervalles de temps dans la durée du recul : l’un pendant lequel les roues glisseront et tourneront à la fois , tandis que dans l’autre le glissement aura disparu, et la vitesse absolue des points inférieurs sera constamment nulle. Dans le premier intervalle, les forces motrices de tous les points du système, prises en sens contraires de leurs directions, feront équilibre, à chaque instant, aux forces aQ, aQ' — a/Q, — a y"Q', et au poids P du système ; et pendant le second, elles feront équilibre à ces mêmes forces, à l’exception de — ^yQ', qu’il faudra remplacer par la force ap, dont le rapport à la pression Q' est inconnu.

En ayant seulement égard aux mouvements de translation du système, les forces motrices de tous ses points auront pour résultante une force horizontale, passant par son centre de

gravité et égale à M ; la somme des forces

motrices de tous les points de chaque roue, dues à sa rotation autour de l’essieu ^ est égale à zéro, dans le sens horizontal et dans le sens vertical; la somme de leurs moments sera exprimée par

m'A/* quel que soit l’axe auquel ils sont rapportés (n* 5), les trois équations de l’équilibre dont il est question seront donc , pendant le pre-

inier intervalle de temps,

aQ -4- aQ' — P = O,

jsm du

• àP— aèQ'+ AM ^ — am'A'* = o;

les moments étant pris, dans la troisième, par rapport à la droite de contact des crosses avec le terrain.

Ces équations renferment les quatre inconnues Q , Q', X, U : il en faudra donc une de plus pour résoudre le problème. Nous l’obtiendrons en considérant les roues isolément, et formant l’une des équations d’équilibre de leurs quantités de mouvement infiniment petites, perdues à chaque instant, savoir, l’équation des moments rapportés à l’axe de l’essieu, qui sera alors

ryi? + m'*'* ^ = O,

puisque nous négligeons le frottement des roues contre l’essieu.

Pendant le second intervalle de temps, on aura de même quatre équations qui se déduiront des précédentes, en remplaçant, dans la première et la dernière, la force — /Q' par p, et faisant

On aura, de cette manière.

yg jp + M ^ = aQ + aQ' — P =

aP-aiQ'+(A+î^)M^ =

arf + M ^ = o;

et les quatre inconnues seront Q, Q', x.