DEUXIÈME CAS

Dans lequel les roues et les crosses sont soulevées alternativement.

18. Dans le cas du numéro 10, où les roues sont détachées du sol par l’action de la poudre, elles sont d’abord soulevées jusqu’à une certaine hauteur, puis elles retombent et viennent frapper le terrain. L’effet de ce choc est, en général, d’imprimer au système un mouvement de rotation autour de l’essieu : les crosses sont soulevées; elles retombent à leur tour sur le terrain; ce nouveau choc soulève une seconde fois les roues; et ainsi de suite. Pendant la durée du recul, et même après qu’il est fini, le système tourne donc alternativement autour de l’extrémité des crosses et autour de l’essieu : de sorte que la

question qu’il s’agit maintenant de résoudre consiste à déterminer la durée de chacune de ces rotations successives, la longueur du recul qui lui correspond , et les effets du choc qui la termine ; effets qu’il est nécessaire de connaître aussi bien que ceux de l’action immédiate de la poudre, pour juger de tous les efforts auxquels les différentes parties du systèlne devront être capables de résister.

19. Relativement à la première rotation, nous représenterons, comme plus haut, par x la distance, au bout du temps t, du centre de gravité du système à un plan fixe, perpendiculaire à la direction du recul, et passant par la position initiale de ce point; nous désignerons, au même instant, par z l’angle décrit par ce meme point autour de l’axe passant par les extrémités des crosses; par u la vitesse angulaire des roues due à leur rotation autour de l’essieu ; par Z la force égale et contraire à la pression exercée par chaque crosse contre le terrain, et par conséquent, par JTi le frottement au même point. La vitesse de translation du système et sa vitesse angulaire de rotation seront, à un instant quelconque,

— et — ; leurs valeurs initiales et celle de « rédi di ’

sulteront des n" 10 et II ; en sorte que, pour

t z=s O, nous aurons dz

^ = (cosfl — /sinfl) V— (A-f-yâ)(p,

en faisant toujours /j. = Mv , et conservant la lettre ^ à la place de sa valeur, savoir :

- [c — (a — /A)8infl] v

^ K’— a*—fah'

Si l’angle z pouvait devenir un peu considérable, les valeurs de x et des autres inconnues du problème en fonctions de t ne pourraient s’exprimer que par des séries très compliquées : c’est pourquoi nous supposerons cet angle constamment très petit , ce qui est d’ailleurs conforme à l’expérience, et nous bornerons l’approximation au premier terme de chacune de ces valeurs en séries.

20. Pendant cette première rotation , les forces motrices de tous les points du système, dues aux mouvements de translation et de rotation, et prises en sens contraire de leurs directions, devront faire équilibre à son poids P, et aux forces verticale et horizontale aZet — a yz, appliquées à l’extrémité des crosses. L’angle z étant supposé très petit, on pourra, dans l’expression de ces

forces motrices et de leurs moments, regarder les coordonnées horizontale et verticale du centre de gravité du système, comptées de cette extrémité, comme constantes et égales k a et h, qui sont leurs valeurs initiales. D’après cela les trois équations nécessaires à cet équilibre, formées de la même manière que les trois premières équations du n° 6, seront

2/Z + M^+AMg=o,

les moments étant pris, dans la troisième équation , par rapport à l’axe de rotation.

Si l’on considère de même, à un instant quelconque, l’équilibre des quantités de mouvement infiniment petites, perdues par tous les points de chaque roue, l’une des trois équations nécessaires à cet équilibre sera

en faisant toujours abstraction du frottement contre l’essieu. Les deux autres serviraient à déterminer les pressions horizontale et verticale

que supportent les extrémités de l’essieu, et dont la connaissance serait inutile à la solution de notre problème. Cette équation est celle des moments que l’on a pris par rapport à l’axe de l’essieu, afin de rendre nuis ceux du poids de la roue et de la force horizontale due à son mouvement de translation. En supprimant le facteur m'A:'*, intégrant et observant que la valeur initiale de u est la même que celle de

nous aurons, pendant toute la durée de la première rotation,

dz

dt

J.>es équations précédentes donnent ensuite

—fg 4 - (^ 4 -/a)(a—

où l’on a fait, comme dans le n** il ,

K‘ — wT* 4 - a* —fah = H*.

En ayant égard aux valeurs initiales de ^ et

dï* ~ ^5 —

df^ —

et intégrant les deux dernières formules, on aura

dx [c — (a — fh) sinS] f^)€^

dt — ’

^ == (cos 0 — /sin 9) O —fgt

, { (a — /^) — [g— (a— //») sine] v){h-\-fa)