I.» EÔA’/ , 4PLS

r- îr, dou J=w

Le qui fait voir que les valeurs de PL cl / sont respectivement moitié et doubles de celles données par le losange entier.

Lorsque la section d'un solide est un triangle ABC [fig. 53), et que la ligne d'inertie ou des fibres invariables MN est parallèle h l’un dt*s «■ôtés, on a

d'où l’on conclut, en substituant ces valeurs dans les formules '1) et (2),

R bh'

d’où / =

Kbd '

La section du solide étant un rectangle disposé de manière que la ligne d'inertie MN fasse s arec le côté b un angle a fig. 54), on a [Int., 995) :

n = ^ ( b sin * + A cos a) et 1 = ? ^ ■ (6* sin’ a + A* cos* a) ;

d’où l’on conclut, pour les formules (t) et (2;,

R bh b' sin’ s + A* cos* «

' 6 ^ b sin a + h cos a '

pii ci,u 4PLS

= -L-J. '6* sin* a + A* cos’ a), d’où / = c., , — rn i~>

3 12 ‘ Ebh [b* sin’a -f- A’ cos’ a)’

RÉSISTASCfc DES MATÉRIAUX.

Si * = 0, on a sin « = 0, cos o = 1, et par suite

Pl.s Ebhsf . , 4PL*

t=- a"' dou / = iwr>:

valeurs déjà trouvées, page 294, pour la section rectangulaire, quand la pièce est fléchie dans le sens des côtés de cette section.

La section du solide étant un cercle de rayon r, on a

n — r et 1 = — ;

ce cjui donne, pour les formules (!) et (2),

r.Er^f

d’où / —

3nEr‘‘

De ce qui précède, il résulte que le moment de résistance du carré

est à celui du cercle inscrit dans le rapport de 1 à ïj.

Si le solide est un cylindre creux, r étant son rayon extérieur et r' son rayon intérieur, on a

n = r et I = ^ (r* — r'*),

d'où l’on conclut, pour les formules (1) et (2),

Ra(r* — r1*)

PL* cE/, , ... ,, . , 4PL*

el T = -r^“^)’ doù f= my-pr-f

Pour r' — mr, il vient

PL — r*(i mu et f—

IL — 4 m ,, j 3sEr*(l — m*)

En faisant r' = 0 ou m = 0 dans ces formules, on obtiendrait celles données pour le cylindre plein.

Pour un solide à section elliptique dont 2 h est Taxe vertical et 26 l'axe horizontal [Int., 1041), on a

et les formules (1) et (2) deviennent

rr.EMifcr.E partie.

r.Ebh'f 4 ’

Rr.bh' 4 ’

d’où

3aE 6 A5'

Pour b = A, on rentrerait dans les formules relatives à la section circulaire.

Pour un solide creux à section elliptique , 2A et 26 étant les axes de l'ellipse extérieure, et 2A' et 26' ceux de l cllipse intérieure [fig. 55),

on a

Fig. 55.

et les formules (t) et (2) deviennent Rn(6A« — 6'A’»)

PI 5 nV.f 4PL3

î^=^(i4.wl, 1-.Ù

Si les ellipses intérieure et extérieure sont semblables, c’est-à-dire si l’on a 6' = mb et A' =«iA, les formules précédentes donnent

PL = 6A*(i-

• nr

et f =

3sE6A*(l — »n‘)‘

Pour 6'=A' = 0, c’est-à-dire pour m = 0, les formules précédentes deviennent celles posées pour la section elliptique pleine, et pour 6= A et 6'= A', elles fournissent les formules relatives aux sections circulaires, ce qui devait évidemment arriver.

257. Si la pièce encastrée par une de ses extrémités était sollicitée par plusieurs forces p, p', p"... ayant 1, 1’, 1 "...'pour bras de levier , il suffirait de remplacer PL par pl + pT + p"l" + ■... dans les formules

PL= — du numéro précédent.

Si les forces agissaient les unes dans un sens et les autres en sens contraire, il suffirait de donner au moment de chaque force le signe qui lui convient dans la somme algébrique pl + pT + j/’l" -f ...

258. Si la pièce repose sur un appui placé en un des points de sa longueur , et qu’elle soit sollicitée à ses extrémités par deux forces qui se font équilibre autour de ce point d'appui , on a, pour une pièce prismatique à section rectangulaire, en remarquant que chaque force, produit par rapport à l’autre le même effet qu’un encastrement au point d’appui,

pl = ql' = r. . tn“23b, page 294.)

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

I bras de I crier de la force p qui sollicite une des eitremités de la pièce;

i bras de lerier de la force q qui sollicite l'autre eitrémité de la pièce ;

/-'•i — I, longueur de la pièce; p 4- q= P charge totale que supporte la pièce.

Si le point d'appui est au milieu de la longueur de la pièce, on a L P

1 = 1' = -r, par suite, p = q = ~, et la formule précédente devient

PL ItftA* 4 ~ 6 •

Pour les autres sections de pièce, il suffirait de remplacer PL par pl ou ql' ou — dans les formules du n" 236, ou encore par PL

— si le point d’appui est au milieu de la longueur de la pièce.

259. La charge sollicitant une pièce prismatique encastrée par une de ses extrémités , au lieu d'être appliquée à. l'extrémité de la pièce, peut être répartie uniformément sur toute sa longueur. Dans ce cas, les deux formules fondamentales (1) et (2) du n" 236 deviennent

pL*

et - pL x Ls = Kl/ ou = F.l/. (2)

Les lettres L, R, I, n, E et f ont les mêmes significations qu’au n° 236; p cbarge par mètre de longueur de la pièce; c’est, par exemple , le poids de chaque * mètre de longueur de la pièce; pl. charge totale;

— bras de levier de la résultante du poids total pL.

En comparant la formule précédente ( I ) avec la formule analogue (!) du n" 236, on voit qu’une même pièce peut supporter une charge totale pL, répartie uniformément sur toute, sa longueur, double de la charge P qu'elle supporte quand P est appliquée à l’extrémité de sa longueur, et en comparant la formule précédente (2) avec la formule analogue (2) du n" 236, on voit qu'une même pièce donne, pour une charge égale, une flèche/ qui n’est, pour le cas où la charge est uniformément répartie, que les 3/8 de celle produite par la même charge appliquée à l’extrémité de la pièce; ce qui relient h dire que pour produire une même flèche, la charge uniformément répartie doit être au poids unique appliqué à l'extrémité de la pièce dans le rapport de 8 a 3.

En remplaçant, dans les formules (1) et (2), net I par les différente*

valeurs qui conviennent aux formes des sections transversales des pièces, on obtiendra des formules semblables à celles du n” 236; ainsi, pour une pièce prismatique à section rectangulaire, on aura

pIP E bh'f 8 12 ’