C : 2P j =r ab ou ^x*+y* : iy, d’où C = P ~ ^ ^ ;V
La force C, agissant suivant ab, peut être supposée appliquée au point 6, où elle se décompose en deux autres :
L’une verticale et égale à P - ;
L’autre horizontale et égale à P f — x -- = P -
Considérant alors le vonssoir 6c, on voit qu’il est sollicité par la force horizontale P appliquée au point 6, et par les forces verticales
Q, P — — et P - appliquées la première au point <j et les dermeres ,
au point 6; par conséquent, pour que ce voussoir ait de la stabilité, on doit avoir ,
ûs.+ (pî=£ + p?)x.p£y>>0i
ou en simplifiant,
Qz' + Px’ — P ~ > 0. (o]
Ajoutant Pz — Pz au premier membre de cette inégalité, on a
Qz' + Pfx' + z)- (pz + P 2Q> 0.
Qz' est le moment du voussoir 6c, pris par rapport au point c,
P (x' + zj est le moment du voussoir ab, pris par rapport au même point ; par conséquent la somme de ces deux expressions est égale au moment total MA de la demi-voûte, pris [par rapport au point c, [Int., 1407 et suivants.)
M— Q-f-P poids de la demi-voûle;
A dislance horizontale du centre de gravité de la demi-voûle au point c.
Le dernier terme du premier membre de l’inégalité précédente devient, en réduisant au môme dénominateur.
POHT8 EN PIERRE.
pr l±l! = P» ?..
\\=y+ÿ hauteur totale de la voûte.
L’inégalité précédente devient donc en définitive
MA —PII - ou
Ainsi il y aura rupture quand le tenue négatif sera plus grand que le terme positif, équilibre quand il lui sera égal, et on obtiendra une stabilité d’autant plus grande qu'il deviendra plus petit relativement à ce terme positif.
Le "terme étant constant, et celui — étant seul variable, il est
évident que si une voûte doit se rompre, ce sera au point pour lequel
est maximum; ainsi la première chose à faire pour s’assurer qu'une voûte projetée résistera, c’est de déterminer la position du-.
joint qui donne P * maximum.
H convient de remarquer que dans celte recherche on n’a k considérer que le voussoir supérieur, et que les joints pour lesquels on doit calculer les valeurs correspondantes de P, y etr doivent être choisis voisins du joint qu'a l’œil on suppose devoir être celui de rupture. Il convient aussi, pour abréger les calculs, d'observer que les valeurs de P étant proportionnelles aux surfaces correspondantes de la section de la \ oûte, et que les valeurs de z et de y données par ces surfaces étant les mêmes que celles des portions correspondantes de la voûte, on peut opérer sur ces surfaces pour déterminer les valeurs successives de y et de r, et que la position du joint de rupture sera déterminée
par la valeurmaximuin du prod ui t de ^ par la surface correspondante.
Si l’on arrivait h une valeur de P ^ trop grande, on augmenterait la
largeur des pieds-droits de manière a faire croître convenablement MA.
Le qui vient d’être dit s'applique aux voûtes surbaissées comme à celles en plein cintre.
Dans tout ce qui précède , nous avons supposé que la voûte n'avait k supporter que son propre poids; mais ordinairement elle est surmontée d'un massif de maçonnerie formant une surfacé horizontale au-dessus de la voûte et des pieds-droits; de plus encore, ce massif supporte ordinairement une surcharge accidentelle ou permanente.
Dans ces divers cas, les poids P, Q et M comprennent non-seulement ceux des parties Correspondantes de la voûte proprement dite, mais aussi ceux des massifs de maçonnerie et les portions de
surcharge qui reposent sur ccs parties de la voûte. On a également égard à ces poids additionnels en déterminant les positions des centres de gravité.
Il convient de faire l’épure qui sert à déterminer le joint de rupture à une grande échelle; cela aide à fixer la position des centres de gravité, et a calculer les surfaces et par suite les poids des diverses parties de voûte que l’on a a considérer.
2* Le deuxième cas de rupture d'une voûte a lieu lorsque, par l'effet
delà force horizontale maximum P - du voussoir agissant, la culée ou
pied-droit glisse par sa base. 11 est évident que ce glissement ne pourra s’effectuer lorsqu'on aura <
MK > P - .
K coefficient du Frottement de U culée lur sa bâte ; on peut le ftire égal i 0,76 (62 et 711).
Lee autre! leltrct ont lei mêmes significations qu'au cas précodent.
3* Le troisième cas de rupture dune voûte se présente quand, par la forme de la voûte ou par le mode de répartition de la charge, les pieds-droits tendent a tomber en avant; alors, la voûte s’ouvre a l’intérieur aux reins et a l’extérieur à la clef, comme l’indique la figure 20, planche 111. Ce cas peut être considéré comme exceptionnel, et ou pourra généralement se dispenser de faire les calculs suivants.
. On établit les conditions d’équilibre cqniine dans le premier cas, en prenant potfr axe de rotation des voussoirs les points a, b, c, et pour qu’il y ait stabilité, on trouve que l’on doit avoir
H ^P ^ > 0, c’cst-à-dire P * >
II— ud hauteur de la voûte mesurée A l'intrados;
puida de la demi-voûte ;
distance horiaoniale du centre de gravité de la demi-voûte au point de ro- . talion c ;
P poids du voussoir agissant ai;
z distance horitoulalo du centre de gravité du voussoir agissant au point de rotation b ;
y distance verticale des points de rotation a et 6.
Si l’on n'arrivait pas à P > -jj-, on ajouterait un massif de maçonnerie au pied-droit, en dehors de l’arète c. Dans ce troisième cas de rupture de voûte, ainsi que dans le deuxième, on a, comme au premier cas, égard à la maçonnerie et à la^urcliarge qui peuvent reposer sur la voûte.
«96. Épaisseur des voûtes à la clef. La méthode exposée dans le
PONTS ES PIKRftK.
ioar.
numéro précédent est une méthode de tâtonnement, puisque l'on part d’une hypothèse sur l’épaisseur de la voûte. Afin de ne pas faire cette supposition au hasard, on a recours a la formule empirique suivante, que Perronnet a déduite de ses observations,
épaisseur de la voûte b la clef en mèlre» ;
d „ distance des pieds- droits, si la voûte est en plein cintre; dans les voûtes surbaissées, d exprime le double du rayon qui a servi i tracer la directrice de l’intrados dans les voûtes en arc de cercle, et l'arc supérieur de celte directrice dans les voûtes eu anse de panier.
Comme, pour des valeurs de d supérieures à 30 mètres, la formule donne des épaisseurs trop fortes, il conviendra dans ce cas de • sc guider, dans sa première hypothèse, sur les constructions existantes (Art. 274).
^Partant de l'épaisseur ainsi fixée, on détermine le joint de rupture comme il a été dit n* 695, et par suite la valeur de la poussée horizontale P ^de chaque voussoir agissant sur le voussoir résistant. Si
cette poussée s’exercait uniformément sur toute la hauteur e du joint à la clef, il serait facile de calculer quelle devrait être la valeur de r e pour y résister; mais remarquons que le voussoir agissant ai», figure 28, planche 111, par sa tendance à tourner autour du point a, rend nulle la pression au point intérieur A, tandis quelle csl maximum au point extérieur a. Il est évident que la voûte ne résistera qu'autant que cette pression maximum au point a ne dépassera pas la limite H que comporte la pierre delà voûte. La pression étant nulle en A, et R en a, supposant que chaque point de e résiste en raison inverse de sa distance au point a, il en résulte que la résistance
moyenne est ~ , et la résistance totale, Celte résistance totale peut
être représentée par la surface d’un triangle dont la base est k et la hauteur e; son point d’application est situé au centre de gravité du
triangle, c’est-à-dire a une distance - de la base ou du point a ( Int
1444), et comme le moment de cette résistance, pris par rapport au point de rotation 6, doit être égal au moment du poids du voussoir agissant ab, pris par rapport à ce même point b , on doit donc avoir (Int. 1411)
Dans cette formule, les longueurs étant représentées en mètres cl P en kilogrammes, R exprime le nombre de kilogrammes que peut
supporter avec sécurité chaque mètre çarré de la pierre qui compose la voûte (234).
La formule ainsi établie donnera la valeur de e , et si cette valeur était différente de celle que l’on a supposée pour déterminer le joint de rupture (695), on déterminerait de nouveau ce joint en adoptant cette seconde valeur de e.'etla nouvelle valeur de Pz fournirait pour e une valeur plus approchée (698).
Dans un travail récent (brochure publiée au Mans), M. Léveillé, ingénieur en chef des ponts et chaussées, a reconnu que la formule de Perronnet était applicable à une voûte de pont d’une forme quelconque, d désignant, dans tous les cas, l’ouverture ou la distance des pieds-droits; seulement, pour rendre les opérations plus faciles, M. Léveillé adopte
Ainsi cette formule, dans laquelle d désigne toujours l’ouverture, est applicable aux voûtes en pleiu cintre, en anse de panier et en arc de" cercle; d'après des comparaisons faites à un grand nombre de ponts, il résulte qu’elle est même applicable aux voûtes qui portent des convois, et aussi à celles chargées d’une grande épaisseurdeterre.
007. Épaisseur des pieds-droits. Lorsque les pieds-droits font culée, c’est-à-dire doivent résister à la poussée horizontale de la voûte, il peut arriver qu’ils se renversent en tournant autour de leur arête extérieure. Ce cas ne peut avoir lieu qu’autant que l’inégalité (a) du n” 695 ne serait pas satisfaite, et alors on augmenterait l’épaisseur du pied-droit et par suite z' de manière à y satisfaire. On opérerait d’une manière analogue pour le cas où le pied-droit pourrait tourner autour de son arête intérieure (3*695).
Il peut arriver aussi que, par suite d'une trop faible épaisseur, le pied-droit glisse sur sa base. Ce glissement ne peut avoir lieu dès que l’inégalité du 2*, n* 695, est satisfaite.
11 peut arriver également que la voûte glisse, sur ses naissances ; on vérifiera encore si cet effet est possible à l’aide de l’inégalité du 2", n" 695, dans laquelle M ne comprendra plus le poids du pieddroit, mais seulement celui de la moitié de voûte qui le surmonte. Ce cas est évidemment celui qui exige la plus grande épaisseur de pied-droit. Cependant, comme l’épaisseur statique calculée pour le renversement est ordinairement plus que suffisante pour résister au glissement, on ne peuts’en tenir à celle calculée d’après le glissement.
Ordinairement on augmente l’épaisseur statique trouvée d'une quantité telle, qu’en y supposant appliquée une pression égale aux 2/3 de la charge totale de la fondation, on n’ait à craindre ni le tassement du sol ni l'écrasement de la pierre. Dans le Mémorial du génie militaire, au lieu d’opérer ainsi pour obtenir de la stabilité, on mul-
PONTS EN PIERRE
tiplie l'épaisseur statique trouvée par un cocflirient égal à 1,38 ou 1,40; on l'a même porté à 1,90, mais cette dernière valeur paraît ,, exagérée. Dejardin ( Routine de l'établissement des voûtes) adopte t,î>0 four la valeur de ce coefficient de stabilité, ce qui revient à multiplier par 1,23 l’épaisseur statique du mur.
Dans les anciens ponts, on faisait ies arches très-petites et en plein cintre ou en anse de panier, et les piles faisaient culée ; mais dans les arches actuelles, que l’on fait grandes et en are de cercle afin de faciliter la navigation, le joint de rupture étant aux naissances pour un arc dont la montée est le 1/6 ou le 1/8 de l'ouverture, il en résulte que la poussée est trop considérable pour pouvoir établir des piles faisant culée; on se contente de leur donner des dimensions suffisantes pour que les pierres résistent avec sécurité il la charge quelles ont à porter (234), en ayant égard aux effets des glaces et à toutes les autres causes de dégradation.
Dans son travail, M. l.eveillé a donné les formules suivantes pour calculer l'épaisseur des pieds-droits ou culées :
Arc de cercle Plein cintre Anse de panier
R épaisseur de» culée»;
d ouverture de la voûte ;
h hauteur des culéca , ou distance verticale entre le» naissances et le dessus de» fondations ;
e épaisseur de la voûte à la cfef;
f flèche;
b pour les voûtes en anse de panier, la formulo a été établie dans l'hypothèse que l'intrados eai une ellipse ayant d—îa pour grand axe, cl fc=y pour demi-petit axe (/nI.,,4 049);
H distance verticale entre le dessus de la chaussée et le dessus des fondations. On a habituellement (+ e-f0",60, le terme 0“,60 représentant la charge et le
pavage qui, d'ordinaire, recouvrent U voûte, et dont le poids, après tassement, peut être considère comme sensiblement égal à celui de la maçonnerie.
I.e numérateur des fractions ayant II pour dénominateur représente la hauteur du point où le joint de rupture rencontre l’intrados au-dessus des fondations. Dans les voûtes en arc de cercle, le joint de rupture étant eu général au-dessous des naissances, on l’a suppose aux naissances. Dans les voûtes en pl*in cmtre extradossec» horizontalement, le joint de(ruplure Taisant un angle de 60° avec la verticale, on doit prendre A-f 0,25<f pour le numérateur de II; en ce point, le rapport do la flèche è la corde est de 0.288, valeur que lo rapport de la flèche à la corde atteint rarement dans les voûtes en arc de cercle.
Pour les voûtes en anse de panier, le joint de rupture, normal h l’intrados, fait avec la verticale un angle de V5° ; et si Ton suppose que l'intrados est une ellipse, il est rencontré par le joint de rupture à une hauteur 0,olè au-dessus des naissances , de eortc que le numérateur de II est A-f 0,!>-V&.
SlXlèftlK PARTIE.
TABLEAU de* ponte auxquels h. Lèveillé a appliqué ses formules. Dans ton» les calculs, l'épaisseur calculée de la clef a été substituée à l’épaisseur réelle, et l'on a pris 0«».60 pour la hauteur de surcharge.
DÉSIGNATION
ÉPAISSEUR sla ciel
ce s
ëI
ÉPAISSEUR
de» talées |
fi
réelle
cal-
culée.
réelle.
cal- j eu le*.
!• Ponts en are de cercle.
Pont sur le chemin des Fruitiers ( chemin
Dl
ta
de fer du Nord)
— de Paisia
b. ou
— de Mért (chemin du Nord
— de M élise;
— de Coutnrette, à Arbois
— sur le Sala t
— de la rua des Abattoirs, à Taris (chemin de fer île Strasbourg )
— sur la Forth, à Stirling
— Saint-Maienre, sur 1 Oise
in
— du chemin de fer du Nord , sur l’Oise.
O.tll
— de Dorlaston
2“ Ponte en plein cintre.
Aqueduc prfï d'Enghicu (chemin de fer
dn Nord-
Pont de Paty
— sur le Tliou
— des Mévoisins, do Paris à Chat très. . .
— du Chruchti (chemin de fer de Paris à Chartres)
— de I.ong-Snnls, id
— d'Enghien (chemin de fet dn Nord). .
— de Pantin (canal Saiut-Martin)
— de la Bastille, id
— des Bas*e»-G ranges (Orléans à Tours).
