PONTS SUSPENDUS

724. Ponts suspendus. Dans ce système de ponts, comme le fait voir la ligure 33, planche III, une chaîne en fer, ou Hn câble en fil de fer, dont les extrémités sont solidement amarrées dans le sol, passe sur deux piliers en maçonnerie, et supporte, à l’aide de tiges eu fer, lie tablier du pont. 4

Les tiges de suspension a, b, c, etc., étant toutes également éloignées horizontalement, et lé poids total, câbles, tiges, tablier, charge d’épreuve, etc., étant le niéme entre deux tiges consécutives quelconques, ce quialieu sensiblement dans un pont suspendu, les points d’attache a, 6, c, d, etc., des tiges sur le câble, sout sur une même parabole dont l’équilibre est

y = (x*— ar»1). (Int. 1113,

y et x coordonnées d'un quelconque des points «, h , c , d, etc.; xn ab'cisse du premier point a placé sur la partie horizontale a'a;

p charge par mètre de longueur do tablier; elle comprend ie poids du câble, des

tiges, du tablier, de la surcharge, etc.;

Q tension horizontale de la chaîne ; c’csl la seule force qui sollicite la partie hori- \ zontalc aa\

Si au lieu d'avoir un ctité horizontal aa', lejpoint d'attachea sc trouvait au sommet de la courbe, on aurait x„= 0, et l’équation précédente deviendrait

Si dans cette équation on fait :

y=/, flèche correspondant à la partie parabolique du câble, partie que l’on peut supposer s'étendre au delà des tiges extrêmes de suspension, d'une quantité dont la projection horizontale est égale à la demi-distance horizontale do deux liges consécutives;

x=d, abscisse du point oü finit la parabole. Il est A remarquer que si les extrémités du tablier ne portaient pas sur les culées, et si le tablier se prolongeait d’une demidistance horizontale de deux Mges consécutives au delà des liges exilâmes, d serait la demi ouverture du pont ou la distance horizontale du sommet de la courbe à l'extrémité du tablier que l'on considère, cl f correspondrait à celte extrémité ^au delà des points qui fournissent d et f , cl jusqu’aux points de suspension, l«-s câbles se prolongent très-sensiblement en ligne droite, suivant les tangentes aux extrémités de la courbe,

72<>. Tension des chaînes. Toutes les autres forces qui sollicitent les différents points do la chaîne étant verticales, il en résulte que

la tension horizontale Q est constante, et que si l'on considère une autre partie quelconque eg de la chaîne, sa tension sera la résultante de la force horizontale Q, et d’une force verticale égale à la somme des poids appliqués depuis la pointe e jusqu’au sommet de la courbe, poids qui est égal à p-r,, x, étant l’abscisse du point milieu de eg. Connue les deux" composantes (J clpx, sont perpendiculaires entre ellas, leur résultante, que nous désignerons par T,, est

* T, = v^+pV-

La tension de la chaîne est à son maximum au sommet du pilier, ou sensiblement au point correspondant ii/et d (724), car la partie droite du câble, dans la plupart des cas, peut être négligée, et pour ce point, si l’on représente par T la tension, on a

T = 4/ft *+p,d’.

Remplaçant Q par sa valeur, il vient

T- \Jjjr + P’d* =

formule à l’aide de laquelle on calculera la section des câbles, car l'augmentation de tension due à la portion droite du câble entre la partie courbe et le point de suspension est en général négligeable. 726. Longueur des tiges de suspension. On a (724)

Donnantsuccessivementàxlcs valeurs qui correspondent aux diverses positions des tiges, on en conclut les valeurs respectivos de y, et en ajoutant à chacune des valeurs de y une longueur égale a la distance à laquelle les diverses tiges descendent au-dessous du sommet de la courbe, on aura les longueurs des tiges.

Quand on aura besoin de connaître la longueur totale de toutes les tiges, s’il y a une tige placée au sommet de la courbe, la somme de toutes les parties comprises au-dessus du niveau de ce sommet, et pour chaque côté de ce sommet, sera égale a la somme de toutes les valeurs precedentes de y, c’cst-â-dire à

, = ^(1, + 2‘+3’+etc')’

Or, la somme des carrés des n premiers nombres entiers consécutifs étant - n(n + t) (2n + t), cette formule devient

PONTS Sl'SPENDOS. 1105

a somme totale des parti» de tlgea comprises au-dessus du sommet de la courbe, pour un côté de ce sommet;

l distance des liges ; l, 31, 31, etc., sont les direrses râleurs que l’on a substituées i x pour obtenir la formule précédente; f cl d ont les mêmes significations qu’au n* VH.

Lorsqu’il n’y a pas de tige att sommet, si l’on fait /, = 5, on rc-

, marque que les abscisses des points successifs d'attache sont 3/,, 5 /„ etc., et on a

*=-Jr (1* -l- 3* -t- 5* 4- etc.).

La somme des carrés des n premiers nombres impairs étant ^n{4n* — I),

il vient donc

Pour avoir la longueur totale des tiges, à la somme s des parties supérieures au point bas de la courbe, il faut ajouter la somme des parties inférieures à ce point. Si le plancher était horizontal, cette seconde somme serait égale au produit de la quantité dont chaque fige descend au-dessous du point bas par le nombre des tiges. Si le tablier a une forme parabolique, on peut calculer cette seconde somme en procédantde la même manière que pour la première. Mais, dans cette évaluation de longueur totale, on peut supposer que toutes les tiges descendent à une même distance au-dessous du point bas de la courbe.

M. Mary rapporte avoir ouï dire à un constructeur de ponts suspendus que pour ne pas s'inquiéter du bombement du tablier, il calculait la longueur de ses tiges dans l’hypothèse d’un tablier horizontal, et qu’il donnait a la chaîne une longueur diminuée de manière à relever le sommet de la parabole du bombement qu’il voulait donner au plancher. D'après le ntèine constructeur, une travée de 100 mètres s'abaisserait de 0”, 10 [au [sommet après la pose du tablier; il faut donc avoir égard à cette circonstance en réglant la longueur des tiges.

727. Longueur de la chaîne. Cette longueur est égale à la somme des parties droites comprises entre les différents points de suspension. En remarquant que l'une quelconque u„ de ces parties est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont l’un des côtés est la distance l des tiges, et dont l'autre est est la différence des deux ordonnées y, et y„, des deux extrémités de la partie droite considérée (726), il en résulte qu'on a

SIXliMt: PARTlt.

Calculant de même la longueur des divers éléments de la chaîne, rj» en faisant la somme on aura la longueur totale.

On conçoit que res calculs sont assez longs ; dans le plus grand nombre de cas on n a pas besoin d’avoir la longueur rigoureuse de la chaîne, et on peut la supposer égale à la longueur de la parabole circonscrite, longueur qui est, pourvut côté, à partir du sommet et jusqu'au point correspondant à /et d 724).

La chaîne étant symétrique par rapport au point bas, on aura la longueur totale de la partie parabolique en doublant cette valeur de L. Si la chaîne ne s'élevait pas à la même hauteur à ses deux extrémités. on calculerait la longueur L’ de la seconde partie comme on a calculé L, en modifiant convenablement d el/ (724 . Ajoutant les longueurs des parties droites du ràbie h celles des portions paraboliques, on obtiendrait la longueur totale.

"StK. Piliers inégalement élevés. Toutes' les formules précédentes s’appliquent encore à ce cas, mais en considérant séparément chaque partie do la courhe, à droite et h gauche du point bas, et eu faisant, pour chaque partie,/ égal k la flèche extrême de la partie courbe qui y correspond, et d égal k la distance horizontale du point ha> au point le plus élevé de la partie courbe considérée ,724).

11 faut donc pouvoir déterminer la distance du sommet de la courhe à chaque point de plus grande flèche de chacune des parties courbes. /, et /, étant ces plus grandes flèches, qui sont des données du projet. 2 d la distance totale horizontale des points de flèches /, et /,, <i, la distance horizontale du sommet de la courbe au point de flèche/,, et dt sa distance au point de flèche/,, on a

2 d JT

— — — et par suite d. = 2d — d,.

vfi + v/.

On a aussi

729. Augmentai ions de la longueur de la chaîne et de la flèche par suite de la dilatalion el de la tension de la chaîne. L étant la longueur de la partie courbe de la chaîne (727), le fer s'allongeant de0“,000 012 2 par degré eentigrade(278),pour une augmentation de température d<- P, la longueur L s'allongera de

.. ô = Lx 0,0000122X1, et la longueur de la chaîne deviendra L 4- 3.

PONTS StSrtxni'S.

Appelant x l’augmentation de la flèche, cette flèche deviendra/ + x. Substituantr.es nouvelles valeurs des longueurs de chaîne et de flèche dans la formule (a), n“ 727, on a

Retranchant L du premier membre, et sa valcurdusecond ,727(,ou a , 2 2 fx + x*

d'où l'on tire, en négligeant x*, qui est très-petit près de fx ,

Cette formule, qui donne directement x en fonction de 3, n'est rigoureusement applicable que quand la courbe est symétrique par rapport à son point bas, c'est-à-dire quand les deux piliers s'élèvent à la même hauteur, et que, par suite, 3 est l'ullougcment de chacune des deux parties courbes de la chaîne.

On peut encore établir des formules semblables aux précédentes pour déterminer l'augmentation de flèche due à la tension des chaînes. Ainsi on a

L x 0,000054 x T LxT

tu 1851 8<o'

3' allongement de la longueur de la demi-parabole ;

L longueur de la demi-parabole (7î7);

0 , 000054 allongement d’une lige de fer de 1 mètre de longueur et de 4 millimètre carré de section, sous une tension de t kilogramme (232);

T tension du râble en kilogrammes; celte dernière formule la suppose uniforme sur toute la longueur de la chaîne; u section de la chaîne «n millimètres carrés.

Représentant par x' l’augmentation de flèche due à 3', on a encore

I.a détermination de l’allongement des parties droites des câbles au delà des portions courbes n’offre aucune difficulté, et on déterminera facilement son influence sur l’abaissement du sommet de la courbe.

750. Sections des chaînes et des tir/es. La tension des chaînes variant en tous les points de la longueur, il en résulte que la section pourrait être variable en tous ces points. Cepeudant on fait cette section constante, -et suffisante pour résister avec toute sécurité à la valeur maximum de T (723 . Quoique le fer de l’échantillon employé pour les chaînes ne se rompe que sous un offert moyen de 40 W ilo-

grammes par millimètre carré de section, les autorités prescrivent de ne pas le soumettre à une charge de plus de 12 kilogrammes. Pour le fil de fer, la charge maximum prescrite est de 18 kilogrammes, quoiqu’il ne se rompe que sous une tension moyenne de 60 kilogrammes (232). Ainsi, selon que l’on fera usage du fer forgé ou du fil de fer, u étant, en millimètres, la section des chaînes ou des câbles, on aura au minimum

eu — - - . OU tu =: ■ — 12’ 18

tu est la section de tous les câbles quand, dans la valeur de T, p comprend le poids de tout le tablier, de toutes les tiges et chaînes, et la surcharge de 200 kilogrammes par mètres carré que l'on répartit sur tout le pont lors de l’essai (page 1100). Connaissant tu, en divisant par le nombre total de chaînes, on aura la section de chacune d’elles, que l’on place en même nombre de chaque côté du pont.

Nous disons que p contient le poids de la chaîne; mais comme ce poids n’est pas connu, 'puisqu’il dépend de la section, il convient de lui attribuer une valeur que l’on préjuge convenable, de déterminer la valeur correspondante de T, et par suite celle de tu; de cette valeur de tu on conclut une seconde valeur de p qui permet de calculer T et «u aussi exactement qu’il est nécessaire.

La section des chaînes, multipliée par leur longueur (727), puis par la densité du fer, donnera leur poids total.

De la charge d’une tige, de suspension, on conclura la section comme pour les chaînes. La charge d’une tige est égale k la moitié du poids d’une longueur de tablier égale à la distance de deux tiges successives, plus la moitié du poids de la plus lourde voiture qui peut passer sur le pont, il conviendrait encore de faire entrer le poids de la tige dans la charge qu’elle supporte, mais ce poids est négligeable.

M. Endrès, ingénieur des ponts et ehaussées, dans un travail qu’il a bien voulu nous communiquer, et que depuis il a publié dans les annales du corps auquel il appartient, a posé une formule qui évite le tâtonnement dont il vient d’être question pour calculer la section des câbles.

Dans son travail, M. Endrès remarque que la tension du câble, posée n- 725, peut se mettre sous les deux formes

irX

ylGa’ + t

sin a‘

P rapport de U (lèche f au double de d (714);

a angle que forme la tangente 1 la couibe, au point le plue élevé, arec l’horiion. Celte tangente Tenant rencontrer l’aie de la courbe 1 une diltancu au-