f- U.ul 4Ï
Le travail absorbé par le frottement en une seconde est égal a Tm — rm = 300 — 293.71 = 4".29.
83. Pour les engrenages coniques, a, r et r' étant le pas et les rayons moyens, c’est-à-dire au milieu de la^lon- Fig. ». gueur de la dent sur la génératrice de contact,
appelant a l’angle que font entre eux les axes [des engrenages , les formules (1) et (2) du n* précédent deviennent respectivement
2cosx
5rm=*.+ 3p„xf y /^ + pi + ar.= ar.+ avx/r.y^7J
2cos«
un
Ces formules font voir que le travail absorbé par le frottement augmente depuis a= 180*, ce qui correspond aux engrenages plans intérieurs, pour lesquels il est le plus petit, jusqu’à a = 0, ce qui correspond aux engrenages droits extérieurs, pour lesquels il est le plus grand. Pour a= 0, ces formules reviennent à celles du n* précèdent, comme cela devait être.
84. Pour une crémaillère commandée par une roue d’engrenage ou commandant une roue d’engrenage, ou a {Jnl., 1532),
Tm = t, + ar- % x l - z r
a pu de J’engrenage et de le crémaillère; r rayon de la circonférence primitive dé l'ni grenage.
88. Suivant que les engrenages métalliques sont exécutés avec plus ou moins de soin, l’intervalle entre doux dents consécutives est égal à l’épaisseur de la dent, augmentée de t/20 à 1/10 de cette épaisseur, c’est-k-dire qu’il y a de 1/20 à t/10 de jeu entre les dents engrenées; ce jeu varie de 1/10 kl/6 pour les engrenages à dents de bois.
Pour rendre le frottement des engrenages le plus petit possible, on fait les surfaces de contact en épicycloïde ou en développante de cercle 1144, 1160); mais, à cause des difficultés d’exécution, pour les engrenages ordinaires, on se contente d’arcs de cercle décrits avec le pas de l'engrenage pour rayon, et d’un centre pris sur la circonférence primitive, ou un peu plus rapproché de l'axe de la roue; des constructeurs prennent les 3/4 du pas pour rayon. Le reste des joues de chaque deut est un plan tangent à ces arcs et passant par le centre de la roue. C'est surtout pour les engrenages à grosses dents qu’il convient de recourir aux tracés en épicycloïde ou en développante; mais la développante de cercle donne des dénis qui diminuent trop rapidement d’épaisseur, lorsque le nombre des dents est inférieur à 30.
Pour tes engrenages coniques, il faudrait prendre des développantes ou des épicycloïdes sphériques; mais on se contente également d’arcs de cercle. (Voir la résistance des matériaux pour les dimensions des différentes parties des roues d’engrenage.)
86. Travail observé par le frottement du bouton d'une manivelle. Pour obtenir ce travail , on développe la circonférence du bouton de la manivelle, et on élève aux différents points de ce développement, que l’on considère comme axe des abscisses, des perpendiculaires ou ordonnées représentant l’intensité du frottement correspondant à ces différents points; l’aire de la courbe ainsi obtenue, que l’on peut calculer à l’aide de la formule de Thomas Simpson ou de celle de M. Poncelet, représente le travail absorbé par le frottement pour une révolution {/ni., 1178 et 1179).
L’intensité du frottement correspondant à un point quelconque de l’axe des abscisses est représentée par le coefficient de frottement multiplié par la pression qu’exerce la bielle sur le bouton de la manivelle, au moment où son axe rencontre ce bouton au point considéré.
Si la bielle exerce un effort constant sur le bouton de la manivelle, le travail absorbé par le frottement est le même que pour un tourillon ordinaire {64), et, pour une révolution de la manivelle, on a
Tn travail absorbé; r rayon tin bouton do la manivelle ;
MACHINES SIMPLES
f coefficient de frottement;
P pression constante de la bielle aur le bouton de la oanlrelle.
Cette formule fait voir que le travail absorbé est proportionnel au rayon r, qu’il faudra par conséquent prendre le plus petit possible. Aussi doit-on éviter l’emploi des excentriques pour la transmission des grands efforts, l’expression du travail absorbé par le frottement étant la même que pour le bouton d’une manivelle, etr étant trèsgrand, puisque c’est le rayon de figure de l’excentrique.
87. Une manivelle peut être à double effet ou à simple effet. Dans le premier cas, qui est celui supposé formule n" 86, la force qui agit sur la bielle est dirigée dans un sens pendant la première moitié de la révolution de la manivelle, et dans l’autre sens pendant la seconde moitié. Dans le deuxième cas, la force n’agit que dans un sens et ne sollicite la manivelle que pendant la moitié de sa révolution ; de telle sorte que le travail absorbé par le frottement, pour une révolution complète de la manivelle, n’est que
nrf P.
88. Équilibre dynamique d'une manivelle à double effet. Cet équilibre ne peut être que périodique (49) , et on doit avoir, pour une période ou un tour de manivelle, en négligeant les frottements,
QX2t:R=Fx4R, d’où Q= * F.
résistance agissant sur l'arbre de la manivelle 4 l'extrémité d'un bras de levier constant que l’on suppose égal au rayon de la manivelle; rayon de la manivelle;
chemin parcouru par la résistance Q pour un tour de manivelle; travail absorbé par la résistance Q, aussi pour un tour de manivelle; force agissant sur l'axe de la bielle, que l'on suppose assci long pour qu'on puisse le considérer comme restant toujours parallèle à lui-mémo , et négliger sa variation de direction;
espace parcouru par la puissance F pour un tour de manivelle , c'esl-A-dire pour une allée et une venue de la bielle; travail développé par la puissance F, aussi pour un tour de mauivclle ou une allée et une venue de la bielle.
Pendant chaque demi-révolution de la manivelle, le moment de la puissance F, par rapport à l’axe de la manivelle, varie pour toutes les positions de la bielle, et les valeurs minimum, moyenne et maximum de ce moment, valeurs qui sont les mêmes pour un tour entier de manivelle, sont respectivement :
quantités qui sont dans le rapport des nombres:
ou 0, t, 1.57. ’ *
SrR
QXÎlcR
FXiR
La grande différence de ces nombres proportionnels fait voir combien la marche d'une manivelle est irrégulière.
89. Équilibre dynamique de deux manivelles à double effet montées à angle droit sur le même arbre. Chaque manivelle agit en particulier comme dans le cas précédent, et leur ensemble ne peut encore donner qu’un équilibre dynamique périodique, pour lequel on doitavoir, pour un tour des manivelles et en négligeant les frottements,
Qx2nR=2Fx4R, d’où Q=|x2F.
Q et R odI lea mfraea aigolflcallons que daua le cas précèdent;
F force qui agit suivant l’aie de chacune des bielles.
Les sommes de moments minimum, moyenne et maximum des forces F, pour une révolution des manivelles, sont successivement:
FxR, 2FX-R, 2Fx^=;
valeurs qui sont dans le rapport des nombres :
ou 0.785, 1, 1.11.
90. Équilibre dynamique de trois manivelles à double effet montées sur le meme arbre cl faisant entre elles des angles égaux. Cet équilibre ne peut encore être que périodique, et on doit avoir, pour une période, en négligeant les frottements,
Qx2.tR = 3F x 4R, d’où Q= | x3F.
Les lettres ont les mêmes significations que dans le cas précédent, et les sommes de moments minimum, moyenne et maximum des forces F, pour une révolution des manivelles, sont successivement :
FR'^ 3F l R, 2FR;
valeurs qui sont dans le rapport des nombres :
ou 0.905, 1, 1.046.
En employant 5, 7, 11 manivelles convenablement disposées, on
augmenterait encore la régularité du mouvement; mais les grandes difficultés d’ajustage et les complications du mécanisme font renoncer h l'emploi de plus de trois manivelles montées sur le même arbre.
94. Equilibre dynamique dune manivelle à simple effet (87). Cet équilibre est encore périodique, et on doit avoir, pour une révolution complète de la manivelle, en négligeant les frottements,
MACHINES SIMPLES
,Qx2.tR = Fx2R, d’où Q = -.
Cela suppose que la résistance Q agit, comme pour une manivelle à double effet, pendant la révolution complète.
Les moments, minimum, moyen et maximum de la force, pour uÆe révolution complète de la manivelle, sont successivement :
FxO, Fx-, FxR;
valeurs qui sont dans le rapport des nombres :
ou 0, 1, 3. li.
92. Bielle. Pour qu’une bielle transmette le plus convenablement possible, à une manivelle , l’effort qui la sollicite, il faut que sa longueur soit la plus grande possible ; mais , afin de ne pas être obligé de lui donner une section trop considérable , on se contente de faire sa longueur égale h 5 ou 6 fois le rayon de la manivelle.
95. Volant pour une manivelle à simple effet et à double effet. Afin de rendre possible la marche d’uno manivelle, et de régulariser plus ou moins son mouvement, on fait usage d’un volant qui accumule l’excès du travail moteur sur le travail résistant quand ce premier est supérieur au second, pour le restituer quand le travail résistant devient supérieur au travail moteur (/«£., 1489).
Pour une manivelle a simple effet, le poids du volant est donné par la formule
PV* = 0.5511 xF2Rx^K, »
de laquelle on conclut
Pour une manivelle à double effet, on a
d’où
P\T,= 0.2105 xF2Rxpü,
>nV*
P poids du volant on plutôt de u jante, c»r on néglig# te régularité due aui bras et au moyeu dîna l'établissement de tes formules;
V altesse moyenne de U jante du yolant;
P force agissant suivant l’aie de la bielle;
R rayon de la manivelle;
■ puissance de 1a force F en cbevaui ; ns nombre de tours du vêlant par minute;
K coefficient do régularité du mouvement; sa valeur dépend du genre de travail 4 produire.
Pour une manivelle h simple effet, on conclut (91)
et pour une manivelle i» double effet (88) ,
.k„ Fx4R nx75* = gÿ m.
C'est à l’aide de ces relations que l’on passe des formules (a) et (c) à celles (6) et (d).
Pour deux manivelles à double effet montées h angle droit sur Le même arbre, la formule (d) devient
Pour lea machines à vapeur i basse pression, Wall (fait, dans les cas ordinaires de U pratique, K = 32 ; ce eoetücienl varie de 36 1 40 quand les machines commandent des filatures où l’on fabrique les numéros 40 à 60, el de 50 t 60 pour des filatures à numéros très-fins (voir la 3' partie).
Le numéro d’un fil de coton est le nombre d’échevaui de 4000 mètres pesaut ensemble un demi-kilogramme. Ainsi le demi-kilogramme du numéro 60 contient 60 écheveaus.
K atteint parfois la valeur 25 pour des machines ou des usines qui n’ont pas besoin d’une grande régularité de mouvement, comme des scieries, des moulins à blé, des pompes, etc., el II atteint mémo 20 pour des marteaus de forgo (4 49).
L’examen des formules précédentes fait voir que le poids du volant est d’autant pluç petit que la vitesse de la jante est plus grande. L’expérience prouve que cette vitesse peut atteindre 25 à 30 mètres par seconde , mais qu’il est dangereux de dépasser cette limite.
Le rayon du volant est ordinairement égal à 5 ou 6 fois celui de la manivelle.
Application. En appliquant la formule (d) à une machine à basse pression , de la force de 40 chevaux , faisant marcher la filature de Logelbach,près Colmar, on trouve, pour le poids de la jante du volant, 9320 kilog., au lieu de 9450 kilog., comme l’avaient adopté les constructeurs MM. Watt et Boulton.
Le diamètre moyen de la jante est de 6“,10, et le nombre de tours du volant, 19 par minute, ce qui donne une vitesse de 6“,06 par seconde. Les numéros des fils de coton varient de 40 à 60, ce qui a fait adopter 35 pour la valeur de K.
94. Volant pour une manivelle d simple effet et à contre-poids. Si , sur le prolongement d’une manivelle, au-delà do son centre de rotation , on place un contre-poids tel , que le travail qu’il absorbera en s’élevant et restituera en descendant soit moitié de celui que produit la force motrice pour la 1/2 révolution pendant laquelle elle agit, cette manivelle agira comme une manivelle à double effet, et le poids du volant sera donné par la formule
MACHINES SIMPLES
PVS+ Qv’=
P, V, n, CT, R, ont loi mémo» significations qu'au numéro précédent; Q poids du contre-poids;
v vitesse moyenne du centre de gravité du contre-poids.
Remarque. Les formules des n" 93 et 94 s’appliquent encore au cas où le volant n'est pas placé sur l’arbre même de la manivelle, pourvu que m exprime toujours le nombre de tours de la manivelle par minute, tandis que Veto expriment les vitesses de la jante du volant et du contre-poids; mais, dans la pratique, il faut toujours placer le volant sur l’arbre des organes qui rendent irrégulière la transmission ou l’absorption du travail moteur, et le plus près possible de ces organes.
9iî. Équilibre dynamique de l'excentrique. Dans une transmission de mouvement au moyen d’un excentrique, l’équilibre est périodique, et on doit avoir
P X 2cR = 4Fd +/F X 2w.
P pufiunce qui agit «ur l'arbre do l’excentrique;
R brai de lerier de la puissance;
F résistance appliquée à la bielle que met en mouvement l’excentrique ; d distance du centre de rotation au centre de flgure do l'excentrique, on i/i espace parcouru par la résistance pour une demi-révolution de l’excentrique ;
{ coefficient du frottement au pourtour de l’excentrique; r rayon défigure de l'excentrique;
PXÎtfK travail dépensé par la puissance pouruno révolution de l’excentrique;
4Fd travail utile produit id.
ft"X.iT.r travail absorbé par le frottement id.
L’excentrique présente les mêmes irrégularités de mouvement que la manivelle (88, 89, 90, 91).
OC. Équilibre dynamique du pilon (Int., 1553). Supposant que la puissance agit verticalement sous le mentonnet, pendant toute la course d'un pilon guidé par deux prisons, pour qu’il y ait équilibre dynamique, on doit avoir, pour chaque levée,
Fig. 10.
T„ ou PA — QA
force motrice agiotant verticalement i l’extrémité du mcnlonnet; levée du pilon ;
travail moteur dépensé par levée du pilon; poids du pilon et de ta lige ; travail utile produit; disianco d'axe eu axe des deux prisons ou guides;
longueur du mcnlonnet ou distance du point d’application do la puissance 4 l’axe de la tige;
épaisseur de la tige dans le sent de ( ; coefficient de frottement de la tige sur set guides.
PA
QA
La formule précédente fait voir que le travail utile Qh est d'autant plus petit, pour un même travail moteur PA, que l est plus grand , et que si l’on suppose 1 = 0, c’est-à-dire que la force P est appliquée à l'axe de la tige et agit suivant cet axe, on a
