PA = QA
Ce qui montre que le travail utile est alors égal au travail moteur, et que par conséquent le frottement contre les prisons est nuL Quand lepilon est soulevé par une came, comme celaa lieu ordinairement, le travail absorbé par le frottement de la came sous le mentonnet est analogue à celui absorbé par le frottement d’un pignon s’engrenant avec une crémaillère (84) ; seulement le pas a est remplacé par A. En tenant compte de ce frottement, et en supposant que son coefficient est le même que pour les prisons, la formule (a) devient
Tm = QA
d(ïr+fh) 2r(d— 2// +Jlî)‘
n étant le nombre dci coups de piton donnés pendant une révolution de l’arbre à cames, et Pla force motrice Ungentielle qui agit à l'extrémité du rayon r, on doit avoir, pour l’équilibro dynamique,
nTm = 2scrP,
d'où
P = ü^ = nQA
2*r ÏZ*(d -21/+ /h)
Les cames se font en développante de cercle (Int., 1144).
La durée totale d’un coup de pilon sc compose du temps t que met la came à élever le pilon à la hauteur A, de celui V = \Jlgh de la descente du pilon, et de 1/10 à 1/6 de i + V pour le temps employé par le pilon à agir sur la matière, qui peut être plus ou moins compressible.
97. Choc des corps solides. Quand deux corps solides , en vertu de vitesses acquises sous l'influence de causes quelconques , tendent à occuper au même instant une même partie de l’espace, dès qu’ils arrivent A être ce qu’on appelle en contact, il se déclare des actions mutuelles répulsives qui atteignent un degré suffisant d’intensité pour modifier en grandeur ou en direction, ou à la fois en grandeur et en direction, les vitesses primitivesdes deux corps, de manière que ceuxci ne viennent pas occuper la même portion de l’espace au même instant, et par là satisfont à la loi générale de Y impénétrabilité de la matière (Int., 1381 et suivants).
Lorsque deux corps se rapprochent ainsi de manière à donner naissance à ces actions mutuelles par leurs changements plus ou moins sensibles do forme, on dit qu'il y acAocouco/fiïiojxentrelesdeuxcorps.
Le choc de deux corps n influe en rten sur le mouvement du centre
MACHINES SIMPLES
de gravité du système , mouvement qui ne dépend en intensité et en direction que des forces extérieures (Int., H88).
08. Vitesse du centre de gravité de i ensemble de deux corps solides après leur choc (Int., 1525).
Supposons le cas le plus simple, celui où les centres de gravité des deux corps se meuvent suivant une même droite par rapport à laquelle les deux corps sont symétriques. C’est à ce cas que l'on ramène les applications pratiques sur le choc.
Le centrede gravité de l’ensemble se mouvra sur la droite suivie par les deux corps, comme si le choc n’avait pas lieu; de plus, il est évident que la vitesse de chacun des corps en particulier ne changera pas de direction, mais bien d’intensité, et même l’une pourra changer de signe.
Soient m et m' les niasses des deux corps, v et t/ leurs vitesses respectives avaot le choc, et u la vitesse du centre de gravité.
Dès que le choc commence, les actions mutuelles égales agissent en sens contraire sur chacun des deux mobiles, et produisent des changements de formes et des vibrations qui dépendent de la nature et de la forme des corps.
Si la vitesse relative des deux corps l’un par rapport à l’autre est faible, et que les corps aient une certaine consistance, on peut admettre que le changement de forme pendant lu choc s’étend h peu de distance du point de contact, et que les vibrations des molécules sont très-faibles; d’où il résulte que le mouvement de toutes les molécules de chacun des corps peut être considéré comme n’étant qu’un simple mouvement de translation, qui est le même pour toutes les molécules.
En se plaçant dans cette hypothèse, V étant la vitesse commune h tousles pointset au centre de gravité du solide de massem à un instant quelconque du choc, et V' celle de tous les points et du centre de gravité du solide de masse m' au même instant, on a, en négligeant pendant le choc les impulsions des forces extérieures, s’il y en a, ce que l'on peut faire, puisque la durée du choc est très-petite (Int., 1487),
mV + m'V' = mv + m'tf.
Il y a toujours, pendant le choc, un instant où les centres degravitè des deux corps ont la même vitesse, qui est aussi la vitesse u du centre de gravité du système; h cet instant, l’équation précédente devient
(m + m^u = mv + m'v'.
d'où
mv 4- m'v'
cil la vitesse du centre de gravité, et sensiblement aussi celle de tous les points ^ du système A l’instant considéré, dans le cas de très-faibles vibrations.
Lorsque les deux corps ne sont pas élastiques, c’est-k-dire quand ils conservent les formes que des forces quelconques peuvent leur donner, les actions mutuelles cessent leur effet dès que la vitesse it est devenue commune aux deux corps; alors les deux corps se meuvent en restant en contact, tant que des forces extérieures ne viennent pas modifier leur vitesse commune u.
Les formules précédentes s’appliquent au cas où les corps marchent en sens contraires, comme à celui où ils vont dans le même sens; seulement il faut avoir égard aux signes qu’il convient de donner aux valeurs de v et v1, et par suite k celles de mu et m'v'. Le signe de u est toujours celui de la plus grande quantité de mouvement.
Si les deux quantités de mouvement sont égales et de signes contraires, la formule précédente donne u = 0; ce qui montre que les corps arrivent au repos, et y restent s’ils sont dénués d’élasticité.
Dans le cas où l'un des corps est au repos, c'est-à-dire où ton a v' = 0 , l’équation précédente devient
(m + m7u = mv, d’où u = — T/U— (a)
99. Perte de force vive due au choc de deux corps non élastiques.
Si les corps restent unis après s’ètre comprimés, et qu’on néglige les vibrations auxquelles peuvent être soumises les molécules des deux corps, il y a perte de force vive dans le système, puisque, pendant la compression des deux corps, et jusqu’au moment où la même vitesse est devenue commune aux deux corps, les molécules voisines du contact sc sont rapprochées, et par suite les actions mutuelles répulsives de ces molécules ont produit un travail négatif, d’où il est résulté une perte de force vive [Int., 1489).
Le travail dû aux forces moléculaires , et par suite la perte de force vive du système, ne dépendant que du mouvement relatif des deux corps, il en résulte que pour calculer cette perte, on peut supposer que l’un des corps est en repos et que l’autre vient le choqucé avec une vitesse absolue égale k la vitesse relative du système.
Soit donc u la vitesse de la masse choquante m, et v‘ = 0 la vitesse de la masse choquée m’.
La force vive du système avant le choc est 3 mv'. Après le choc,
toutes les molécules des deux corps ayant la même vitesse u, k cet instant la force vive du système est (29)
La perte de force vive duc au choc est alors
? = mu* — î (m + ro>*.
MACHINES SIMPLES
Remplaçant dans cette expression u par sa valeur (a) (98), on obtient
1 nirn'i:1 9 — 2 7« + »r
Établissant un certain rapport entre mctm', c’est-à-dirc faisan m‘ =■ Nm, on conclut
Formule qui fait voir que la perte de force vive est d’autant plus petite que la valeur de N est plus petite, c’est-à-dire que la masse choquante est plus grande par rapport à la masse choquée.
100. Corps exécutant un mouvement de rotation autour d'un axe fixe. On appelle vitesse angulaire d’un corps tournant autour d’un axe, la longueur de l’arc décrit, ou qui serait décrit si le mouvement, en restant uniforme, était suffisamment prolongé, pendant l’unité de temps, par un point situé à l’unité de distance de l’axe et lié invariablement au corps.
«o étant la vitesse angulaire d’un corps, et v la vitesse d’un quelconque de ses points situé à une distance r de l’axe, on a, en remarquant que les vitesses des divers points sont en raison inverse de leurs distances à l’axe,
t:u = r: 1 , d'où v = ur, et «■> = - .
101. Force vivedun corps tournant autour d'un axe fixe. Lorsqu'un élément matériel m tourne autour d’un axe, sa vitesse étant <»r, sa force vive est (29)
| rniuV1.
Lorsqu’un corps solide tourne, chacun de ses points matériels possède une force vive d'une expression analogue à la précédente, et en faisant la somme de toutes ces forces vives élémentaires, on a la force vive du corps, qui peut alors être représentée par
JP = 2 ^ moiV,
2 signifiant somme.
Comme ^ u>* est commun à toutes les parties de cette somme, on
peut le mettre en facteur commun, et poser
JP = ^ »
mr *, produit d'un élément matériel par le carré desadistanccà l’axe de rotation, est ce qu’on appelle le moment d'inertie de l'élément m par rapport à l'axe.
2mr*, somme des moments d’inertie de tous les éléments matériels d’un corps par rapport à un axe, est le moment (Tinertie du corps par rapport <\cet axe.
La l'<Jrnili!n»#s®ejte fait voir que la force vive d’un solide tournant atmnft d'un fne fixe est, à un instant quelconque , égale à la moitié du produit du carré de la vitesse angulaire du corps à cet instant par le moment <T inertie du corps par rapport à Vaxe de rotation.
tOî. Rayon de gyration. 11 existe une valeur R de r telle, que ai toute la matière du corps se trouvait à la distance R de l’axe, la force vive et par suite le moment d’inertie, pour une même vitesse angulaire par rapport au même axe, n’auraient pas changé.
R est ce qu’on appelle le rayon de gyration.
Posant (101)
d'où
on a
J» = \ u'Zmr' = | to’R’Zm = i <o‘MR>, 2mr* = R*2m = MR»,
Swir* Zmr*
Yorsquc les corps sont homogènes, on peut substituer aux masses élémentaires m, les volumes élémentaires u, qui leur sont proportionnels, dans l’équation (a), qui devient
Zur* = R’Iu = UR1, d’où R* =
alors le rayon de gyration peut être défini et déterminé indépendamment de toute notion de mécanique.
La détermination des rayons de gyration des corps homogènes et de figures géométriques est du domaine du calcul intèral. Nous allons énoncer leurs valeurs pour les corps qui ont des formes employées dans la pratique.
Ayant le rayon de gyration, MR* donnera le momenLd’inertie , et
* to*MR* la force vive. P étant le p
M = — , et par suite
MR* =5 R*, et
poids du corps tournant, on
MACHINES SIMPLES
103. Pour une tige homogène AD d'une très-petite section tournant rig ,, autour de l'axe Ay passant par son extrémité , on a
(Int,, 1465)
Le moment d’inertie est alors, P étant le poids de la tige (102),
-r*=4-bc\
force vive
W, jK , •
1 P ,pp*
Pour la tige BD', qui est rencontrée par l'axe en un point quelconque de sa longueur , r étant le rayon de gyration de la partie AB, et P celui de la partie AB', on a
r1 = ^ BC* et
P et P' étant les poids des parties AB et AB’ de la tige, les moments d’inertie de ces parties sont respectivement
- r* = ^ - BC1 9 3 9
et -/» = 5-B'C'*.
Le moment d’inertie de la tige totale étant égal à la somme des moments d’inertie des deux parties, on a donc, R étant le rayon de gyration de la tige totale,
R’ = i — BC* + 5 — B'C ’, 9 3 g 3 g
d’où R* =
PxBC’+FxiFfr
3 (P 4- Fj
Dans le cas où le point A est le milieu, c’est-h-dire le centre de gravité de la tige, on a B’C' = BC, P' = P ou P + P' = 2P, et la formule précédente donne
R^iïC1.
Ce qui fait voir que le rayon de gyration de la tige totale est le môme que. celui de chacune de ses parties considérées séparément.
Si l’axe rencontrait le prolongement de la tige BB' , on remarquerait que le moment d’inertie de BB" est la différence des moments d inertie des tiges BA et B" A, et on l’obtiendrait en suivant la même marche que pour déterminer le moment d’inertie de BB'. Du reste, nous verrons (115) comment, étant connu le moment d’inertie d’un corps par rapport à un axe passant par son centre de gravité, on peut déterminer son moment d’inertie par rapport à un axe quelconque parallèle au premier.
104. Pour une tige en arc de cercle AB, dune très-petite section, tournant autour de son rayon OA passant par une de ses extrémités,
on a
Fig. 12.
p — OA rayon de courbure de la lige; l = arc AB longueur de la tige;
3 angle au centre correspondant i l’arc AB.
rourun quart do cercle, on un demi-cercle, ou trois quarts de cercle..., c’esl-J-dirc pour a=9Û“, a = 480',J a= 270"...oo a «in 23 = 0, et, par suite,
Ayant R!, on aura le moment d’inertie en multipliant par la masse
P aie
— de la tige, et ce moment d’inertie multiplié par 5 w’ , moitié du
carré de la vitesse angulaire à un certain instant, donnera la force
vive à cet instant.
A l’aide de la formule (a), et en suivant la môme marche qu’au numéro précédent, on déterminerait le rayon de gyration , le moment d’inertie et la force vive, soit que l’axe OA rencontre l’arc AB en un point quelconque compris entre A et B, soit qu’il rencontre le prolongement de cet arc.
On verrait encore que quand l’axe rencontre l’arc au milieu, c’est-àdire quand il passe par son centre de gravité, le rayon de gyration de l’arc entier est le même que pour chacune des deux moitiés prises séparément.
108. Pour un disque en quart de cercle d'une très-faible et uniforme épaisseur, tournant autour d’un des rayons qui le limitent, ou pour un demi-cercle qui tourne autour du diamètre qui le limite, ou encore pour trois quarts de cercle et pour un cercle entier, on a
P étant le rayon du disque.
Ayant R*, on obtiendra facilement le moment d’inertie, puisque, connaissant les dimensions du disque, on peut calculer son volume, lequel, multiplié par la densité delà matière, donne le poids du disque. Ayant le moment d’inertie, on obtient la force vive en le multipliant par la moitié du carré de la vitesse angulaire (102).
100. Un cylindre droit à base circulaire tournant autour de sonaxe, ou un secteur quelconque de ce cylindre tournant autour de cet axe , donne, R étant le rayon de gyration et p le rayon du cylindre,
MACHINES SIMPLES
Ayant R’, on détermine le moment d'inertie , puis la force vive, comme au numéro précédent.
107. Pour une jante à section rectangulaire , ou pour une portion de cette jante tournant autour de taxe , on a
ou, en remplaçant les rayons intérieur et extérieur p ctp' de la jante
en fonction du rayon moyen p, =
-, et de la dimension de la
jante mesurée suivant le rayon, b = p — p',
408. Un cône droit à base circulaire, tournant autour de son are donne, p étant le rayon de ce(tc base,
109. Pour un tronc de cône tournant autour de son are, on remarquerait que le moment d’inertie du tronc est égal au moment d’inertie du cône total, moins le moment d’inertie du cône retranché pour obtenir le tronc. Ayant le moment d inertie du tronc, en le divisant par
la masse — du tronc, on aurait R*.
110. Un segment sphérique ARC, à une base, tournant autour du diamètre BR’ perpendiculaire au plan de sa base, c'est-à-dire passant par son centre de gravité, on a
F**- 13. n, h 20p*— 15pA + 3A:
p rayon de la sphère ;
A = BP hauteur du segment.
Pour une demi-sphère , h = p, et la formule précédente devient
Pour la sphère entière, R’ a aussi cette dernière valeur.
111. Pour une zone sphérique ABC, à une base (fig. 13). tournant autour du diamètre RB' perpendiculaire à sa base, l'épaisseur de la calotte étant très^mince, on a, p et A ayant les mêmes significations qu’au numéro précédent,
'DiftflRxl by
Si la calotte était une demi-sphère, on aurait h— p, Pt, parsuite,
Pour une sphère creuse entière et très-mince on aurait aussi cette dernière valeur pour R*.
112. Un parallélipipède rectangle ayant a, b, c pour arêtes, et tournant autour de V arête c, donne {Int., 1474}
Fig. U.
Si le parallélipipède, au lieu de tourner autour de c, tournait autour d'un axe parallèle à c, et mené par le milieu de b, on aurait
»•=!(«■+ te)
ce qui revient à remplacer b par b dans la formule (a).
S* l’axe était mené parallèlement à c par le centre de figure, qui est aussi le centre de gravité, il faudrait, dans la formule («), remplacer
b par ^ 6 et a par - a; d'où il résulterait a 2
n*= ïâ («* + **)-
115. Pour un ellipsoïde quelconque , c'est-à-dire pour un ellipsoïde dont le plan perpendiculaire au grand axe 2a détermine, non pas un cercle de diamètre 26, comme pour l'ellipsoïde de révolution {Int., 1081), mais une ellipse ayant 26 et 2c pour axes, on a respectivement, suivant que l’ellipsoïde tourne autour de l'axe 2c, ou 26, ou 2a ;
R*= * (a1 + 6S), R’=j (a» + c1), R* = ^(6*+cs).
Lorsque P ellipsoïde est de révolution, on ac= 6, et les trois formules précédentes sc réduisent aux deux suivantes :
applicables respectivement aux cas où l'ellipsoïde tourne autour de son petit ou grand axe.
Le volume, de l’ellipsoïde quelconque étant - nabc, el celui de l’ellipsoïde de révolution, ^ r.a,h, ou ’j r.b'a, suivant que l'ellipse géné-
MACHINES SIMPLES
ratrice tourne autour du petit ou grand axe [Int., 1083;, multipliant ce volume par la densité de la matière, ou aura le poids P; on en P P
conclura ensuite la masse - , pui£ le moment d'inortie - R*.
Faisant a = b = p, les formules relatives a l'ellipsoïde de révolution donnent
*' = l /li
Co qui devait être, puisqu'alors l'ellipsoïde est une sphère (H0)>
114. Pour un cylindre droit à base demi-parabolique AUC tournant autour de l'arête qui se projette en A , on a
rf
a = AU, b = AC.
Pour un cylindre droit à base parabolique CBC', on a la même valeur pour R*.
On a [Int., H30) surface ABC=: .^ab, connaissant la hauteur du cylindre, on déterminera son volume, puis son poids, et ensuite le moment d inertie.
lit». R étant le rayon de gyration d'un corps par rapport a un axe quelconque , et R’ celui par rapport a l'axe passant par le centre de gravité du corps, on a, en appelant k la distance des deux axes,
MR* — MR'* + MA’, d'où R* = R* + ** ( Tnt ., 1477;.
Ce qui fait voir que le carré du rayon de gyration (T un système par rapport à un axe quelconque, est égal au carré du rayon de gyration du même système par rapport à laie mené parallèlement au premier par le centre de gravité, plus le carré de la distance des deux axes.
Cette formule est employée dans la pratique, où il arrive souvent que l’on a à déterminer le rayon de gyration par rapport à uu axe. pour un corps dont on connaît le rayon de gyration par rapport à un axe parallèle passant par le centre de gravite.
. no. Marteaux. Perte de force vive due au rhoc des cames. Considérant une bague a cames comme étant un cylindre plein, le carré de son ravon de gyration est (102 et 1 06;
et son moment d’inertie, en appelant M la masse de la bague,
lu -«
Appelant M' la masse du corps qui a, ou le supposant concentré au
'•DifflWby «flTOS
point d'impact, c’est-à-dire au point de la came qui frappe le marteau, le meme moment d’inertie que la bague tournant autour de son axe, et R la distance de ce point d’impact à l’axe de rotation, on a
M’R* = i Mp\ d’où
H fautcalculer de même la masse M"du corps, lequel, étant appliqué au point d'impact, a le même moment d’inertie que l’arbre de la bague, et posant ni = M' + M", m représente la masse choquante à faire intervenir dans la formule du n” 99.
Kn opérant d’une manière analogue, et en ayant égard à la forme et à la nature des différentes parties du marteau et de son manche, ou détermine la masse choquée m', laquellectant appliquée au pointd’impact, a, par rapport à l’axe de la hurasse, le même moment d’inertie que le marteau avec son manche.
Ayant m et m', la formule du n* 99 donne la perte de force vive pour chaque soulèvement du marteau, en remarquantquela vitessedu corps choqué est nulle, et que la vitesse moyenne du corps choquant est, n étant le nombre de tours de la bague par minute,
ïitRn
117. Équilibre dynamique des marteaux. Soit un marteau frontal
(fig. 16). On remplace le poids du marteau et de son manche par un poids, lequel, étant appliqué au point d’impact, a, par rapport à l’axe de la hurasse, le même moment que le poids du marteau et de son manche; on en fait autant pour le frottement des tourillons de la hurasse, pour celui des tourillons de l’arbre à cames et pour celui qui s’exerce entre les cames et le marteau; et le travail absorbé pour élever tous ces poids fictifs, augmenté de la perte de force vive due au choc, étant égal au travail que doit produire la puissance, l’équilibre dynamique donne, pour une minute,
n x 2cRP = nn'A^+^p+ +
n nombre de tour» de la bague en une mina le; h' nombre des cames montées sur U bague,
r puissance agissant sur l’arbre à cames à l'extrémité d’un bras de lester égal 1 la distance du point d’impact à l’axe de l’arbre i cames;
R bras de levier de la paissance P ;
A levée du marteau an point d’impact;
Q poids dn marteau et de son manche-.
/A R ff' y 2 X IU
mmxr
Fig. 16
MACHINES SIMPLES
l distance du centre de gravité du marteau et de son manche 4 l'axe de rotation de la hurasse ;
I' distance du point d'impact i l’axe de rotation de la hurasse;
/*= 0,15 coefficient de frottement des tourillons de la hurasse, et de ceux de l’arbre 1 cames ; l'—l
p—Q —p— poids reposant sur les tourillons de la hurasse; c’est la partie du poids du
marteau et de son manche supportée par ces tourillons [Int. (390) ; r rayon des tourillons de la hurasse;
q pression des tourillons de l'arbre i cames sur leurs coussinets ;
/ rayon des tourillons de l'arbre à cames ;
/ = O.S!> coefficient de frottement des cames sous la tête du marteau ;
Ql
Q' ■= — pression qui s’exerce entre les cames et la tête du marteau , en ne tenant
compte que de la pression due au poids du marteau et en négligeant celle qui provient du frottement des tourillons de la hurasse; m masse choquante transportée au point d'impact, calculée comme il est indiqué
ni' masse choquée transportée au point d’impact, calculée commela masse choquante; i- — vitesse moyenne des cames au point d’impact (1(6) ; n X 2nl*P travail moteur dépensé par minute;
O - poids du marteau et de son manche, transporté au poiol d’impact;
fp — poids qui, étant appliqué au point d’impact, produit le môme effet que le frottement des tourillons de la hurasse ;
O’ — v ^ ^ frottement des cames sous la tète du marteau ; il est analogue ê celui
S Ilf’
des engrenages (8Î) ;
x — — - -, perte de force vive duo aux chocs des cames sous le marteau [11#), î m*f- tu'
De la formule précédente on tire n'h /Ql fpr fqr> h R + l'\
p = mAt + — + -t+/q 2 X ~Kïr~ )
ir.R
mm' v* m + m''
Pour un autre genre quelconque de marteau, on déterminerait la valeur de P en opérant d’une manière analogue.
Les marteaux à bascule, dits martinets, employés à l’étirage et au platinage des petits fers, au raffinage des aciers et à la fabrication de divers outils, frappent de 200 à 400 coups par minute, et leur poids, qui diminues mesure que le nombre descoups frappésauginente, varie, non compris le poids du manche qui est en bois, de 80 à 40 kilog. La longueur totale du manche, comptée depuis l’axe de la tête du marteau, varie de 2", 50 k 3 mètres; le point de rotation est ordinairement aux 2/3 de cette longueur h partir de l’axe de la tète du marteau ; cependant il est aux 3/4 et quelquefois plus, quand le marteau doit frapper un grand nombre de coups. Lenombredes cames montées sur la bague varie ordinairement de 14 k 16. Pour une grande vitesse, la levée du
marteau varie de 0”,25 h 0“,27 ; pour une petite vitesse, elle varie de 0“,50 ii 0",55, et pour une vitesse moyenne, elle est comprise entre 4>*,30 et 0*,40.
Les marteaux à soulèvement, employés particulièrement à l'affinage .du fer par la méthode allemande, frappent de 70 à 200 coups à la minute, et leur poids, non compris le manche, qui est en bois, varie de 300 à 400 kilog. La longueur du manche, comptée depuis l'axe de la tète du marteau jusqu'au point de rotation de la bogue, varie de 2“,tO à 2", G0, et la distance de cet axe au point frappé par les cames, de 0*,40 à 0“,35. 11 y a ordinairement cinq cames montées sur la bague. ],a levée du marteau est de 0",55 environ.
Enfin, les marteaux frontaux, mis en usage dans les forges où l'on fabrique le fer par la méthode anglaise, frappent de 60 à 100 coups par minute, et pèsent, y compris le manche, qui est tout en fonte, de 2500 à <4000 kilog., et même quelquefois plus. La longueur du manche, depuis le point d'impact jusqu'à l’axe de rotation, varie de 2”, 30 à 2*, 80. Le nombre des cames est ordinairement égal à 5. La levée du marteau varie de 0”,35 à 0"'.i0.
Dans la pratique, d’après M. Poncelet, le rapport de la masse fictive choquante ma la masse ficlivechoquée m’ est rarement inférieure à 10 (116). Pour les martinets et marteaux à soulèvement employés à la fabrication du fer, ce rapport n’est pas inférieur k 12, et pour les marteaux frontaux, il est au moins 30.
118. Marteau-pilon. Depuis quelques années, dans plusieurs usines à fer, etsurtout dans les grands ateliers de construction, on fait usage du marteau-pilon mû directement parla vapeur. Ces marteaux ont été établis dans des proportions très-diverses : ainsi, il y en a qui pèsent 100 kilogrammes seulement, ,et d’autres 4000 kilog.; ceux de 100 à 1000 kilog. donnent de 80 à 100 coups par minute, et ceux de 2000 à 4000 kilog. en donnent de 60 à 70.
On a établi des marteaux-pilons du poids de 3500 à 4000 kilog., dont les chutes atteignent 2 mètres k 2“,50.
Un avantage capital de ces marteaux, c'est qu’on peut faire varier leur chute et leur vitesse avec la plusgrande facilité, selon les dimensions et T état de dureté de la pièce que l'on forge.
fiimensionsd’un marteau-pilon établi par B. Nillus.du Havre, d’après k système Nasmyth,pour les ateliers de la marine k Brest:
Poids total des deux Ml». ....... 14000 Ml
«et. de U plaque de Condtliou. .... 8 009
id. du cjlmdrc. ........... 3 500
id. du marteau 3 500
id. des accessoires en ter . 1 Ï0O
id. id, eo fonte de cuivre. 400
Total 30600
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L'cnclume ayant été fabriquée à Breil, son poids n’csl pas compris dans ce loUl.
Pression babilucllc de la sapeur 8 atmosphères.
Diamètre du cylindre 0m.6l)
Coursé du pistou ou leréc du marteau. • . . 2m.Ü')
Diamètre de la tige 0”.I0
i 19. Volants pour marteaux. Le travail produit par la force P (l 17 , pendant la durée totale d’un coup de marteau, étant absorbé pendant l’instant que met la came à soulever le marteau , il faut que le volant, ou l'attirail (roue et arbre a cames) qui le remplace le plus souvent, accumule, depuis l’instant où une came quitte le marteau jusqu’à l’instant où la came suis ante le reprend, une quantité de force vive égale h l’excès du travail T produit par la force P pendant la durée totale d’un coup, sur le travail 3T que produit celte force pendant le temps d'action de la came.
Le travail produit par P étant régulier, on aura Te t T' quand on connaîtra les temps pendant lesquels ces quantités de travail sont produites. On connaît T , puisqu’on a le nombre des coups de marteau frappés dans un temps donné, et par suite la durée d’un coup. Comme la vitesse de rotation de la bague est k peu près régulière, k l’aide d’une épure représentant là position des cames sous le manche du marteau . on aura l’arc décrit par la bague pendant 1 action de la came, et, p.u suite, la durée de cette action, ce qui permettra de déterminer T. Cette épure servira aussi k trouver l'écartement k donner aux cames, écartement qui doit être tel, que, pendant l’instant d’inaction de deux cames successives, le marteau ait le temps de réagir sui le rabat et de redescendre sur l’enclume; sans quoi, le marteau camerail , c'est-à-dire retomberait sur la came qui arrive pour le soulever, avant d’avoir produit son effet sur le fer. U après M. laure, il résul terait de quelques observations faites par M. Walter de Saint-Ange sur des marteaux et martinets établis, que, pour les marteaux k soulèvement, le temps nécessaire k la réaction sous le rabat et a la descente varie de 1,04/ k 1,15/, et que, pour les martinets, il varie île 0,45/ k 0,88/, suivant que le nombre des coups frappés est respectivement plus grand ou plus petit.
< = \/!- m t Jurée de la descente libre du centre de graYilé de l,cnseniBle du marteau et du
manche; . .
A levée de ce centre de gravité ; h correspond au point oïl la came quitte le manche du marteau, point auquel doit commencer l’acfon du rabat.
Les marteaux frontaux marchant lentement, ils ne s'élèvent pas au delà du point où les cames les quittent; de sorte que., sauf le retard causé k la descente par la réaction du fer sous le marteau et par les
Dig
frottements des tourillons de la hurasse, la durée d'inaction des cames
peut être égale il t =
mais, d’après les observations de
M. Walter de Saint-Ange, dans la pratique, on fait varier cette durée, comme pour les marteaux ii soulèvement, de 1,04 à l,15f.
Q étant le poids du volant, V sa vitesse à l’instant où la came, quittu le marteau , et V' sa vitesse au moment où la came suivante commence son action , on doit avoir (30)
JL (V'-V»)
Comme on ne connaît pas les valeurs de V’ et V, on établit entre elles
et la valeur de la vitesse moyenne v = (i 16) une relation dont
il ne convient pas de s’écarter dans la pratique; ainsi on pose
et comme on peut supposer que l’on a
multipliant ces deux équations membre à membre, il vient
et par suite
Q ^ Se*
Qc1 ~^x ^ = T— T .
2 g K pk
K coefficient de régularité de vlteste, que, dam ce car, l’ou fait dgal i SO , la grande régularité n'étant pas de rigueur (93).
C'est par des considérations analogues qu'on a établi les formules îles n°‘ 93 et 94, et que l’on déterminerait le poids d’un volant dans un cas quelconque; quand, toutefois, on connaît les durées des actions et de leurs intervalles, et que l’on peut apprécier le travail absorbé pour chaque action : ainsi, pour les laminoirs, par exemple, ces données ne pouvant être posées d'une manière analytique, on ne peut donner qu'une formule empirique pour calculer le poids de leurs volants (120).
M. Morin donne la formule suivante pour calculer le poids des volants pour marteaux :
P poids de U jante du Tolant en kilogrammes ;
R rajon inojren de la jante du volant;
K coefficient. Pour Ica marteaux frontaux, K=î0000 ou 30 000 , «clon que le poids des marteaux varie de 3000 é 3300 kilogrammes, ou de 4000 à 4900 kilogrammes. Pour les marteaux à l'allemande conduit» par un engrenage, dont le poida total ,
Ügilizfid bÿXJoogl
MACHINES SIMPLES
j compris le manche, la hurasse et les ferrures, Tarie ordinairement de 600 4 800 kilogrammes, et qui battent de 100 4 410 coups en une minute, le volant étant monlO sur l’arbre 4 cames, K = 1 5000. Pour les martinets 4 engrenages, qui butent ordinairement de 150 4 800 coups 4 la minute , K = 6000 ou 9000 , selon que le poids du martinet, y compris le manche et les ferrures, est 360 ou 500 kilogrammes.
120. Le poids des volants de laminoirs pour les grandes tôles et pour retirage des fers en barres peut se calculer, d'après M. Morin, par la formule
130000NK mv 4
P poids de la jante du volint en kilogrammes;
> force en chevaui transmise par le moteur 4 l’arbre du volant; .
v vitesse moyenne de la jante du volant; m nombre de tours des cjlindres en I';
h coefficient numérique qui est égal : I* 4 80 pour les machines de 80 4 100 chevaux faisant marcher 4 la fois 6 4 8 équipages de cylindres 4 tôle ou 4 fer en barres; 8° 4 85 pour les machines du 60 chevaux faisant marcher 4 4 6 équipages pour l’étirage des fers; 3" 4 80 pour les machines de 30 4 40 chevaux ne faisant marcher 4 la fois qu’un seul équipage de cylindres 4 grosses tOles , ou deux équipages de cylindres ébauebeurs et finisseurs pour les petits fers.
Les valeurs données pour K s'appliquent aux laminoirs conduits par des machines à vapeur, des roues il augets et des roues de côté; mais pour les roues à aubes courbes ou à aubes planes recevant l’eau en dessous, la vitesse étant très-grande, on diminue un peu les valeurs précédentes de* K.
121. Forces centripète et centrifuge (Int., 1509). Lorsqu'un mobile suit une circonférence ou seulement un arc de cercle, c'est qu’il est sollicité en chaque point de son mouvement par deux forces, l'une Umgentiellc à l'arc suivi, et l’autre dirigée vers le centre de cet arc.
La force tangentielle modifie seule la vitesse du mobile le long de l’arc suivi; si elle est nulle, le mouvement est uniforme, et il a été communiqué au mobile par une force qui a cessé d’agir. La direction de la seconde force lui a fait donner le nom de force centripète; on l’appelle aussi force infléchissante , parce qu’il chaque instant elle infléchit la direction du mouvement, de manière à rendre ce mouvement circulaire, de rectiligne qu’il eût été sans son action.
Supposant, comme cela a souvent lieu dans la pratique, que la force centripète agit sur le mobile par l’intermédiaire d’un fil dont une extrémité est retenue au centre de la circonférence décrite, en vertu du principe de la réaction égale et contraire à l’action, le mobile exerce sur le point fixe une réaction égale et directement opposée à la force centripète, et que l’on nomme force centrifuge.
En supprimant la force centripète, ce qui peut se faire en coupant le fil ou en le rendant libre, la force centrifuge est supprimée
aussi, et )e mobile n’ètant plus soumis qu’à la vitesse initiale, et à la force tangentiellc, si elle n’est pas nulle, il s'éloigne en suivant la tangente à la circonférence. Cet effet est mis parfaitement en évidence par la fronde.
Les forces centripète et centrifuge ont pour expression commune, abstraction faite du signe ,
me* Pu*
' — r ~ gr'
U force» centripète et centrifuges
tu masse du corps en mouvement;
r vitesse du centre de gravité du corps;
r rayon de la circonférence décrite par le neutre de gravité du corps;
P=s mg poids du mobile (23).
422. Pendule simple ( InL , 15(9). La durée d'une oscillation du pendule simple est, lorsque l'amplitude est très-petite,
T durée de l'oscillation , c’est-à-dire du parcours simple de l’arc entier décrit;
/ longueur du pendule ;
g accélération de vitesse duc à la pesanteur {<8) dans le lieu où oscille le pendule.
Cette expression de la durée d’une très-petite oscillation du pendule simple fait voir que, pour un même pendule ou pour des pendules de même longueur, les oscillations sont isochrones, c’est-àdire de même durée, partout où la valeur de g est la même.
Pour un pendule d’une longueur V, oscillant dans un lieu où g = g', on aurait
donc T:r-VÇ:VÆ
Lorsque g — g', cette proportion devient
etpmiri = i',
proportions faciles à traduire verbalement.
Application. Quelle est la langueur du pendule simple qui bal les scoondes à Paris ?
MACHINES SIMPLES
I)i* la formule Remplaçant - ,
T = r. ^ on tire l =
<j et T par leurs valeurs, on a
On trouverait de même la longueur du pendule dont la très-petite oscillation doit avoir une durée quelconque (Int., 1522).
Déterminan par une expérience la durée T de l’oscillation d un pendule de longueur /, la formule (a) donne pour la valeur de g dans le lieu où l’on opère ,
