Pendule conique (fig

Fig. iT.

17) (Int. 1517). La durée d'une oscillation du pendule conique, c’est-à-dire le temps que met la boule à taire une révolution autour de l'axe, est

T=*Vli-

I durée de l’oicilUlion ; U formule fait voir > qu’elle e»l double de celle du pendule almple de même longueur (1 2S) s

l longueur du pendule conique j ce n'est pas la longueur de la lige du pendule , mais seulement la projection de cette ligo sur la verticale ; nous rappellerons hauteur du pcndulo.

Lisoelironisme des oscillations a lieu dans les mêmes circonstances que pour le pendule simple, et les proportions posées n° 122 se reproduisent également pour le pendule conique.

Ce qui vient d'ètre dit s’applique au cas où le pendule a plusieurs boules, comme à celui où il n en a qu une.

Suivant que T augmente ou diminue, la hauteur l augmente ou diminue, et on conçoit que l’on peut utiliser l’oscillation qu’en subit le manchon inférieur, pour faire mouvoir l’organe qui introduit la vapeur dans le cylindre d’une machine à vapeur, ou l’eau sur uue roue hydraulique, et, par suite, régler l’arrivée de ces matières motrices de manière à obtenir une vitesse que l’on peut considérer comme constante dans la pratique. .

Le poids de chacune des boules d'un pendule conique est donne

par la formule :

» pa[bh + al)(n — 1)*

{in — 1}26*A

poids d'une boule;

force qu’il faut appliquer au manchon inférieur, au rcpoa et aranl que les boules soient en place, pour le soulever ainsi que les liges quand il en dans la posi-

tion qui correspond i la vitesse de régime, pour laquelle on iT=5i

On détermine p au moyen d’une balance, ou d'un fil trés-(t«ible passant sur , une petite poulie très-mobile ; p comprend aussi l’effort à produire sur le manchon pour manœuvrer la soupape régulatrice; distance du point d'oscillation supérieur au point où les tiges supérieures s'articulent avec les liges inférieures, mesurée sur les tiges mêmes ;

longueur totale de chacune des tiges supérieures ; ordinairement - = - environ ;

projection de chacune des tiges inférieures sur la verticale; hauteur du pendule ou projection de b sur la verticale; coefficient de latitude de durée d’oscillation , avant que le pendule modère la vitesse de la machine.

La durée d’oscillation correspondant à la vitesse de régime de la machine étant

d'où

la formule précédente donne le poids de chaque boule pour que le pendule agisse sur la soupape régulatrice dès que la durée d'oscillation est

ce qui donne

ffT*

La valeur de n dépend de la nature du travail à produire;' elle est ordinairement comprise entre 10 et 20.

A laide d’une épure, on détermine la quantité dont s'élève le manchon pour la différence l — i des hauteurs du pendule.

On obtient la vitesse correspondant à T au moyen d’une poulie fixée au pendule, a laquelle on transmet le mouvement a l’aide d’une corde ou d'une courroie sans fin qui communique avec l'arbre de la machine.

Quand les tiges du pendule forment entre elles un parallélogramme, disposition qu'il convient d'adopter quand rien ne s’y oppose, on a bh=al , et la formule qui donne le poids d'une boule devient

pa[n — 1 )*

~ b[in — 1) ’

MACHINES SIMPLES

Pour p=2kil., | = ^ et n = 20, cette dernière formule donne

Dans l’établissement de ces formules qui donnent la valeur de P , on a négligé l'effet de la force centrifuge sur les tiges; les résultats obtenus sont donc un peu faibles.

Dans la pratique, on peut faire les boules creuses, et y introduire peu k peu de la grenaille de plomb que l’on fait fondre quand le poids de la boule est tel , que la soupape régulatrice fonctionne dès qu’on a

Fig. «#.

Ordinairement, le poids des boules est compris entre 10 et 33 kilog. Suivant qu’une machine est de 6, 10, 15 ou 25 chevaux, le diamètre dej> boules est de 0",115, 0”,135, 0“,15 et 0”,16 environ. 11 n’y a en général pas d’inconvénient k faire les boules un peu fortes.

124. Treuil régulateur. Le rayon a donner au treuil (fig. 18), au point correspondant à la position d’une spire quelconque de la corde qui s’enroule, pour que l’effort a produire pour manœuvrer le treuil reste constant, malgré la plus ou moins grande longueur de corde déroulée, est donnée par la formule

r + e=zôï7c

r rajon cherché ; e rajon de la corde ;

P force motrice;

B bras de levier de U force motrice ; ...

0 poids élevé;

p poids du mètre de longueur de corde ;

1 longueur de corde déroulée.

La corde venant toujours se placer a côté d’elle-mème k mesure, qu’elle s’enroule, dès qu’on a son diamètre, on connaît k très-peu près les positions des différentes spires suivant la longueur de Taxe, du treuil , en portant successivement le diamètre de la corde sur cet axe.

La longueur de corde déroulée après un nombre quelconque » de révolutions du treuil est

/„ = L — 3~[ne + (r, + + rt + + r »)]•

/„ longueur de corde déroulée ;

I. longueur totale de la corde; n nombre des spires qui se trouvent sur lo treuil ;

r, , rt, r,,... r„ rajona du Ireuil correspondant i la 1M, V, 3'... »* *Pire-

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Comme, théoriquement, Le treuil régulateur différerait très-peu d'un tronc de cône, dans la pratique on se contente de cette forme, dont le petit et le grand rayon se tirent des formules :

r petit rayon du treuil ;

R grand rayon du treuil.

-Q+pL’ R+e“ Q

Pour l’exploitation des mines, on fait usage du treuil' régulateur, et, afin de ne pas perdre de temps pendant sa manœuvre, on cm*ploie deux cordes, dont une s’enroule et monte la charge, pendant que l’autre se déroule et descend a vide. Cette dispositiou pxige l’emploi de deux treuils semblables à celui (fig. 18), montés sur le même axe, accolés par leurs grandes bases, et dont les rayons sont calculés d’après les considérations suivantes :

1" Quand un fardeau est en bas, sa corde est complètement déroulée, tandis que l’autre est complètement enroulée et non chargée ; on a donc

PB={Q + pL)(r + e), d'où r + e = ^

2* Pour le fardeau qui arrive en haut, la corde est complètement enroulée, tandis que l'autre est entièrement déroulée; on a donc

PB = Q(R + e) — pL(r + e) ;

d’où l'on tire , en remplaçant r + e par sa valeur (1 ,

pl.PB

U(Q + pL)

r petit rayon de chaque treuil ;

Il grand rayon de chaque treuil.

On fait encore usage d'uu autre genre de treuil appelé bobine , dans lequel la corde, qui est plate, ou la courroie s’enroule sur ellemême, de manière qu 'après chaque tour son épaisseur s ajoute au rayon de la bohine, c’esUè-dire au bras de levier de la résistance. Comme il est impossible de bien régulariser cette machine, nous nous contenterons de la citer.

128. Sonnette à tiraudex. Ce tableau du u° 37 fait voir que l'effet maximum fourni par l'homme employé dans les circonstances de cette machine correspond h un effort de 18», à une vitesse moyenne de 0”,20 par seconde, cl à une durée de travail journalière de 0 heures. Dans les chantiers de construction , la durée du travail est de 9 à 10 heures par jour; mais comme le i/3 à peu près de ce

MACHINES SIMPLES

temps est employé à disposer les appareils, on peut considérer G heures comme étant la durée du travail effectif journalier.

La manœuvre de la sonnette à tiraudes étant très-fatigante, on ne bat de suite que 20 à 25 coups de mouton ; comme il faut t 20" pour cela, qu’ensuite on se repose pendant le même temps, et que le temps perdu est de 20" environ, chaque volée exige 3 minutes.

A la construction du pont d'Ièna , on travaillait 10 heures par jour, la levée du mouton était de i”,45, on donnait moyennement 12 volées de chacune 30 coups ii l’heure, le mouton pesait 587‘, et il était manoeuvré par 38 hommes. De ces données, il résulte que l’effort produit par chaque homme était seulement de 15‘, 45, avec une vitesse moyenne de 0“,145 par seconde; mais cela, en négligeant les frottements de l’axe de la poulie, la roideur de la corde et l’effet de l'obliquité des divers cordons tirés par un aussi grand nombre d'hommes; de plus, la levée !“,45 étant un peu forte, l’effet produit par les hommes devait être diminué; il convient que la levée du mouton soit comprise entre t*,30 et t“,40.

Un mouton à enfoncer lespilotis doit peserau moins 3001, et sa levée ne. doit pas être inférieure à t",10 on 1"*,30 ; il est manœuvré par 18 à 20 hommes. Les moutons du poids de 600* sont manreuvrès par 35 à 40 hommes.

I2*î. Sonnette à déclic. Pour la sonnette à dédie, la puissance est donnée par la formule

P puissance agissant sur la manuelle ; r rayon do la manivelle ;

r' rayon du pignon monté sur l’arbre de la manivelle;

r" rayon de la roue d’engrenage montés sur l’arbre du treuil , et avec laquelle s’engréne le pignon de rayon r'; r" rayon du treuil ;

0 poids du mouton ;

q résistance due 1 la roideur de la corde sur la poulie (66) ;

q' résrstance due i la roideur de la cordo sur le treuil.

On a dans cotte formule négligé le frottement des axes et des engrenages, dont on tiendrait facilement compte (Ç4 et 82).

Ce genre-dc sonnette est surtout avantageux quand il s’agit de manœuvrer de lourds moutons, ceux de 400 à 600 kilog. Toutes choses égales d’ailleurs, le prix de revient du battage des pieux n’est que les 0,65 a 0,70 de celui du battage avec la sonnette a tiraudes.

127. Battage des pieux. L’expérience prouve que l’enfoncement des pieux est proportionnel au produit de la masse du mouton , plus la masse du pieu, par le carré de la vitesse commune de ces deux masses après le choc , c’est-a-dire h

(m + m’Ju’ ~ (m + m')

thV ni + m’’

Ayant e1 = 2jfA (19), renfoncement est donc proportionnel à

2gmth 2 gmh

m + ta’ ~ ^ m' m

h vitesse commune su mouton et au pieu apris le choc; v vitesse du mouton avant le choc;

m masse du mouton ;

m' masse du pieu;

A levée du mouton.

L’expression fait voir que, pour une mémo masse de mouton,

renfoncemenld’un mente pieu est proportionnel à lalcvéc du mouton, et l’expression montre que, pour un même produit mh, l'effet

est d’autant plus grand que la masse m est plus grande, et que par conséquent, pour l’économie du travail, qui est représenté par mh, il faudra prendre de gros moutons, cju'on élèvera à une hauteur modérée de 2", 50 à 3 ou 4 mètres. Pour les derniers coups frappés sur un pieu, on peut porter la hauteur A h 5 ou 6 mètres.

On’considère un pieu comme battu au refus absolu quand il ne s’enfonce plus que de 0“,004 à 0",003 par volée de 30 coups, ou par coup d'un mouton de sonnette à déclic tombant d’une hauteur de 4 ii5 mètres. Au pont de Ncuilly, où les pieux avaient a supporter jusqu’à 52000 kilog. pour un diamètre de 0“,32o, on cessait le battage quand l’enfoncement n 'était plus que de 0“,0045 par volée de 23 coups d’un mouton tombant de t",40.

Lorsque le poids à supporter parles pieux n’est pas considérable, on n’a pas besoin d’arriver à un refus aussi absolu; on peut, quand un pieu ne porte que 7 à 8000 kilog., arrêter le battage quand l’enfoncement n’est plus que de 0“,03 à 0“,04 ou 0“,03 par volée, si toutefois on est sûr que les pieux ont pénétré dans un sol résistant.

128. Manège. En supposant que dans un manège une résistance agisse tangentiellement à un tambour horizontal, comme cela a lien ' généralement, et que sur l'arbre de ce tambour soit monté un pignon conique qui engrène avec une roue conique montée sur l’arbre vertical du manège, le travail dépensé, par la puissance appliquée^ l’extrémité des flèches est égal au travail absorbé par la résistance tangentielle au tambour, par le frottement des tourillons de ce tambour, par celui des engrenages et par celui des tourillons de l'arbre vertical , et , pour une révolution du manège, l’équilibre dynamique donne

MACHINES SIMPLES

I* x 2*R = Q'f x 2w + Q."/ x JW +

^ [U/X 2 lier' + F x 2^H'" + {Qf x 2sr* + F x MT]/* Q + ^ J J •

P puissance agissant à^l’exlrémilé des flèches ;

H bras de levier de la puissance, ou longueur des flèches ;

Q' somme moyenne des pressions sur les tourillons de i’arbre vertical ; on calculera la pression sur chaque tourillon en opérant comme pour le treuil (80); mais comme cette pression varie pour chaque position de la puissance, on prendra une moyenne entre sa plus grande et sa plus petite valeur;

r rayon des tourillons de l'arbre vertical ;

f coefficient de. frottement , que l'on suppose commun à tous les tourillons ainsi qu’l la face horizontale du pivot, inférieur de l'arbre vertical ;

U" pression de la face horizontale du pivot inférieur de l’arbre vertical sur la crapaudine ;

R’ rayon de la roue conique montée sur l’arbre du manège;

R" rayon du pignon conique monté sur l'aie du tambour ;

R”' rayon du tambour plus celui de la corde ;

Q somme des pressions des deux tourillons de l’arbre du tambour sur leurs coussinets (80) ;

r1 rayon des tourillons de l’arbre du tambour;

F résistance agissant langcnliellemenl au tambour ; elle so compote du poids élevé, du poids de la corde et de la roideur de celle corde;

f' coefficient de frottement des engrenages;

n nombre de dents du piguon ;

n' nombre do dents de la roue;

travail dépensé par la puissance;

QYX 2“r travail absorbé par le frottement latéral des pivots de l’arbre du manège;

q'YX- vt travail absorbé par le frottement de la face horizontale du pivot inférieur

de l’arbre du manège;

Qf'X.iTr' travail absorbé par le frottement des tourillons de l’arbre du tambour;

— FX2-R"’ travail absorbé par la résistance F agissant langenliellemcni an tambour ;

(QfX2irr'-)-FX2*lV nages (82 et 83).

travail absorbé par le frottement des engre-

En négligeant tous’les frottements, ainsi que le poids et la roideur de la corde, l’équilibre dynamique donnerait, pour une révolution du manège,

P x 2nR = ^7, F' x 2itR'", d~ù P = F'^,

F' poids élevé par la corde qui s'enroule sur le tambour.

Le rayon d'un manège ne doit pas être inférieur à 2“.o0, et il convient de lui donner de 3 à 4 mètres.

129. Chevaux de manège, soins à leur donner. Les chevaux courts et trapus conviennent pour le manège. Leur taille, mesurée sur le garrot, peut varier de t",V5 a 1",55.

lin cheval moyen peut produire une traction de 360 kilog. quand il ne prend aucune vitesse; mais quand il marche, la traction qu'il peut produire n’est que le t/ienviron de cette quantité; on compte sur 80 k 90 kilng.au maximum pourune vitesse moyenne de t met. parseconde, et pour un temps qui n’est pas trop prolongé. Le plus souvent, les chevaux employés au manège étant fatigués et presque usés, ils ne. produisent qu'une.traction de 40 h 50 kilog. avec une vitesse de O-, 90 a t“,00 par seconde (36 à 39).

Le travail ne doit pas avoir une durée de plus de 3 heures, et il doit être suiv i d'un repos d'une durée au moins égale. Dans un travail continu, le repos doit être de 4 heures pour ’t heures de travail, ce qui fait 8 heures de travail effectif par jour.

Les heures de, repos et de pansage des chev aux doivent être régulières. Leur nourriture doit être peu échauffante ; aussi ne leurdonnel-on que peu d’avoine. Ils mangent ordinairement, en 24 heures, 10 kilog. de foin et i à 5 kilog. de son ; mais il serait plus convenable de leur donner 5 kilog. de foin , 5 kilog. de paille et 8 litres d'avoine. Le foin doit être vert, d’une odeur agréable, légèrement aromatique et d'une saveur douce et sucrée , fin , sec et assez, flexible ; on doit préférer le foin de plaine ou de. terrains légèrement inclinés k celui de marais, qui est malsain; il doit, autant que possible, être consommé de 2 mois a 2 ans après la récolte. La paille de froment non barbu est la meilleure comme nourriture ; elle doit être nouvelle et de couleur jaune doré. L'avoine doit être pesante, lisse, sans mauvaise odeur, bien nettoyée; sa couleur est indifférente; elle doit peser au moins 42‘itilog. l'hectolitre si clic est nouvelle, et 40 kilog. si elle est déjà vieille; elle ne doit être donnée aux chevaux qu’apres 4 k 5 mois de récolte.

L'eau doit être donnée auxchevauxk la température del’atmosphère; celle de pluie ou de rivière est la meilleure ; on doit rejeter celle qui est croupie et celle qui ne dissout pas le savon.

ir»0. Frein dynamomi(rique[Jig.W. Cet appareil sert a déterminer

la puissance d'une machine, on le travail absorbé par les différents appareils que commande l’arbre moteur de cette machine, en le remplaçant par le travail, facile k évaluer, absorbé par tin simple frottement produit sur cet arbre.

Kg. »9.

MACHINES SIMPI.ES.

AB bagne en fonte, que Ton centre sur l'arbre moteur C au moyen des vis d, il..,h, h,... cales fixant la bague AB sur l’arbre C;

E, E écrous servant à serrer la bague AB entre le coussinet F fixé an levier ou , et le lien en fer II ;

K plateau de balance fixé A l'extrémité du levier Cil.

Supposons qu'apres avoir assujetti le levier GU dans une position horizontale, on serre la bague AB entre le coussinet K et le lien II ; la vitesse de rotation de l’arbre G ira en diniintiantiuncsurequclcserrage augmentera, et finira par atteindre la vitesse de régime; alors, le travail absorbé par le frottement de la bague Alt sera égal au travail absorbé par les différents appareils que commandait l'arbre G. Si maintenant on rend libre le levier CH, il sera entraîné par le frottement de la bague AB, et tournera avec l'arbre C; mais si Ion place dans le plateau K un poids P. tel que le levier GH ne soit plus ent raîné et ne lasse qu'osciller légèrement de dessus en dessous de la position horizontale, le travail absorbé par le frottement de la bague AB sera encore égal au travail absorbé par la force P + p agissant h l'extrémité du levier Z, etl’on aura, pour une révolution de l'arbre G,

Tu == F X trr = (P + p) 2 -Z.

Vu travail transmis par l’arbre molenrC, ou travail absorbé par les difK-rctns appareils que commande cet arbre;

I frottement de la bague AB contre le coussinet F et le lien 11 ;

I' poids placé dans le plateau K ;

p force verticale qu’il faut appliquer au point II pour maintenir le levier en dans une position horixontale quand il reposo en C sur un cuutcau ordinaire de balancier ; on détermine p au moyen d'une balance ou d’un fil flexible passant sur une poulie très-mobile.

Tout est connu dans l'expression (P + p) 2 r.l, ou connaît donc T„. jtjiplicalion. Soit p = 30 kil., P = 100 kil. et Z = 2“,50 ; il s'agit do déterminer le travail transmis par T arbre moteur un chevaux-vapeur, sachant que cet arbre fait 40 révolutions par minute.

On a, pour une révolution, en remplaçant les lettres par leurs valeurs,

Vu = (100 + 30) x 2 X 3,14 X 2,50 = 2041 kilogrammAres, et pour une seconde,

Tu = 2041 ^ = I3G0‘“,6G.

Ca force de la machine est donc de

1360,66 ,OJ, .

— y. — = 18,14 chcvaux-vapenr.

Quand on n'a pasde bagne a sa disposition, et que l'arbre moteuresl cylindrique, on peut produire le frottement directement »ur l’arbre si

Googl

son diamètre est suffisant. On remplace quelquefois le lien en fer II par un morceau de bois, que l’on creuse un peu afin qu’il frotte par une plus grande surface. —

Les surfaces frottantes doivent avoir une certaine étendue, afin que la pression n'atteigne pas la limite qui pourrait les altérer. Pour une force de 6 à 8 chevaux, il convient que l’arbre ou la bague, faisant 20 à 30 tours par minute, ait 0“,16 de diamètre; pour une force de 15 à 25 chevaux, il convient que, pour 15 h 30 tours, ce diamètre varie de 0*,30 h 0*, -40, cl pour une force de 40 à 70 chevaux, ce diamètre doit varier de 0",6Sà 0*,80 pour une vitesse de 15 il 30 tours par minute.

L’arbre ou la bague doit être parfaitement cylindrique, et l'on doit avoirsoin de roder pendant quelques temps les surfaces frottanlesfune >ur l'autre; sanscelale frein n’avanccraitsur l’arbre quepar secousses, et il ne donnerait que des résultats incertains.

Nous avons eu occasion de faire usagedu frein de Prony dans uu cas où l’arbre faisait 120 tours par minute. Le frein a fonctionné avec une très-grande régularité; ses oscillations étaient presque insensibles; mais, au moindre arrêt do l'arbre, l’adhésion du frein sur la bagup devenait telle, que l’on était obligé de desserrer le frein pour permettre le mouvement. L’n filet abondant d’eau de savon noir rafraîchissait et lubrifiait les parties frottantes. La puissance mesurée par le frein était de 2 chevaux et demi.

M. Morin avait déjà constaté, par des expériences faites au Bouchet, que le frein de Prony fonctionne d’une manière favorable a de grandes vitesses.