IB

\ll

ao8

éo

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44ft

4lâ

SOO

îtO

43ft

•li

Toutes choses égales d'ailleurs, il est évident que les largeurs du tableau précédent doivent être modifiées quand la courroie n'enveloppe pas la moitié de la poulie, puisqu'alors le frottement Q restant le méme^ la tension de la courroie doit varier.

Ayant déterminé les rapports de Q & ^ pour diiTérents arcs embrassés, rapports consignés dans la deuxième colonne du tableau suivant, et que Ton calcule à Taide de la formule (71)

^^-^ , d'où H = e--1,

C0I(P|9 BT CQUBRQIBS.

fjÇjaofie 1^ lar^pr de 1^ courroie varie proportionnellement à T, ou à ^ qui lui est proportioqqe} , ellç vi^rie donc eu sens inverse de la valeur

du rapport y. Ainsi, connaissant la largeur l quMl convient de donner

à une courroie qui enveloppe, p$a* exemple, la moitié d'une poulie, pour avoir la largeur l' à donner à une courroie qui n'envelopperait pas la moitié d^une poulie de même nature, ayant même vitesse à la circonférence, et transmettant la même puissance, o^esl-àrdire donnant le même frottement Q, on posera

Formule qui donnera r, après avoir calculé séparément ^*^— 1 =:= iM

qui se rapport© à /, et «•"— \ qi]| se rapporte à fî.

Le tableau suivant donne, pour des poulies en fonte, les résultats de ces calculs pour les arcs embrassés consignés dans la première colonne.

IIPVMT

6ÉII1T4.

v^unj&M C?^-4

1'' Application. Quelle ^ la l^rgQi^r ^ donner fi pn^ eQ]7?T0ie qui doit tmr^ettr^ 1^9 imiss^ce de q.p de cheval, )a vitesse de 1^ ppuisoie *t^* # 30 ff j^tre^ pw? i»|pute, et )$ pouli© ét^t eqvelpppéfi »»r 1^ Q,p de sa çifrcQpféi>»pGe9

Le toble^ pf«^ ^ ^iui99f ^ =f P",PM loi^qua la pou}ip e^ «R^elop- ]^^^ moitié djg {§ clrcof^fépçpc^, pbercb^t d^s \^ trpfslèipe co- Iponê dft Ww pnê^^t te ngfpbre qiii corrpspqpd ^ }'afc p,6 , il en rtlrtl» Wfi ^ k^m i> #-W^ ^ !* cpijppoie jBff r = 0-,099 >< 0,75 = 0^,074.

pasaiteB PART».

2* Application. Pour une puissance de quatre chevaux, une vitesse de courroie de AOO met., et un arc embrassé sur la petite poulie de 0,&, le tableau page bk donne / = 0*,i32 , et par suite on a

Tout 06 qui précède suppose le cuir de bonne qualité, et d*une épaisseur ordinaire et uniforme ; mais il est évident que lorsqu*il s'agira de transmettre de faibles puissances avec de grandes vitesses, 11 conviendra de réduire Tépaisseur des courroies et d'augmenter leur largeur, afin d'obtenir la même résistance et plus de flexibilité ; alors on déterminera les dimensions de la section de la courroie d'après la règle donnée au commencement de ce numéro.

Des considérations semblables à celles qui viennent d'être exposées sur la largeur des courroies qui n'enveloppent pas la moitié de la circonférence, avaient déjà été données par M. Paul Heilmann {BuHetin n« 40, année 1835^ de la Société industrielle de Mulhouse).

MAGHIHES SIMPLES.

74. Leoier {InL^ ibsn et suiv.). La perpendiculaire Oa, abaissée d'un

point 0 sur la direction d*une ^** *• force P, est le bras de levier de

cette force par rapport à ce point

Le produit P x Oa de la force par son bras de levier est le moment de la force.

Le bras du levier d'une force par rapport & une droite est la perpendiculaire commune à la droite et à la direction de la force.

Le moment de la force par rapport à cette droite, appelée axe des moments^ eii le produit de la force par son bras de levier. Cette définition suppose la force située dans un plan normal à l'axe; s^il n'en était pas ainsi, son moment serait le produit de son bras de levier par la projection de la force sur un plan perpendiculaire à l'axe.

Lorsque toutes les forces qui sollicitent un corps solide, qui ne peut que tourner autour d'un de ses points , sont situées dans un même plan avec ce point, il ne peut y avoir mouvement autour du point que dans le plan des forces. Un tel ^stème constitue un levier^ qui n'est ordinairement, dans la pratique , qu'une tige rigide mobile autour d'un petit

axe , qui est perpendiculaire au plan du mouvement et que l'on sup- I>ose réduit au point où il rencontre ce plan.

Un letier est sollicité par des forces qui tendent les unes à produire Toscillation, et les autres & s'y opposer en agissant en sens contraire. Les premières de ces forces sont les puissances et les secondes les résistances»

Pour qu^un levier AB sollicité par une puissance P et une résistance Q soit en équilibre, on doit avoir, en négligeant le frottement de Taxe,

P:Q = 06:0a, d'où PxOa = Qx06;

c^est-àrdire que les forces doivent être entre elles en raison inverse de leurs bras de levier, ou encore le moment de la puissance doit être égal au moment de la résistance*

L'équation précédente permet de calculer une des quatre quantités P, 0» Oa et 06, les trois autres étant données. Pour P = 65*^, Oa = 2« etO6=i",10,on|i

On 9

La pression sur le point d'appui 0, abstraction faite du poids du levier, est égale à la résultante des deux forces P et Q.

Un levier est dit du premier genre quand le point d'appui 0 est entre les points d'application de la puissance et de la résistance (Jig. A) , et il est dit du deuxième ou du troisième genre^ selon que le point d'application de la résistance est entre celui de la puissance et le point d^appui, ou que le point d'application de la puissance est entre celui de la résistance et le point d'appui.

7tf. Plan incliné {Int., 15A6).

Kg- 5. Le corps glissant par son propre poids^

H pour qu'il y ait équilibre dynamique» on doit

Br' /ft ^ avoir

P«n a = fP co* a, d'où f = = tang «.

• cosa ^

p poids da mobile;

a angle que UAt le plan incliné avec Phoriion ;

f ooeffldent de frottement (60).

Ainsi, 11 y aura équilibre dynamique lorsque la tangente de Tangle d'inclinaison du plan à l'horizon sera égale au coefficient de flrottementy.

De là résulte un moyen de déterminer le coefficient de frottement de deux corps. Formant le plan incliné avec l'un des corps, et le mobile avec l'autre; puis inclinant doucement le plan incliné jusqu'à ce que le mobile soit prêt à se mettre en mouvement, c'est-à-dire jusqu'^au

point OÙ le mobile conseire le léger mouvemeat qu'on lui imprime, à ce point, le mobile est qj\ équilibre dynan^ique, et la tangente de Tangle a que fait le plan avec Tborizon est é^e s^u coeQcient de frottement/.

Ayant trouvé a = i2'25', on a (fn<., 1011), ^an^ a =/= 0,22, valeur donnée par le bronze glissant sur la fonte sans enduit (61). pour/;^o,()8, Qn^^(»?î^(x = p,p8, etpar^uite, <?=A'Î|5'- Si le mobile e^t iolUciU^ t^or^-^ei^ement p^ fon poié^f, mais aussi par une ou plusieurs autres forces dont la résultante Q agit dans le plan vertical PAE passant par le centre de gravité du corps et la ligne d^ plus grande peniç du plq^ incljxii^ pqi^i; qu'il y atl équilibra (Ifoapique, on doit avoir

P iDgIe que fait la force Q arec la partie AE de la ligne d| p)«B fran^ P^lll^ U faut donner à cos p un ifgoe négatif quand l'angle p est plus grand qu'un droit (/«<., 9j|f].

Si le nmlfife jnontait le pfqn j^icliné au lieu de le ^scer\dre , op aurait, pour réquilibrp dynamique,

Si fa force Q, i^ii lij^u d'agir dQ iq^aière ^ tepdfd ^ ^ulev^f \f^ {09bile dfi) 4e8fus I0 fi)%n iooiiné, Gûinm« npus )>Yoq9 9pppo^ ^^ )e^ deux formules précédentes et dans ^ fi(pr^, agissait ep> ^^SQUS dç p]S de manière à presser le mobile sur le plan , il suffirait simplement de remplacer le signe — de Q sin p par le signe + dans les deux formules précédentes.

Dans le cas oU PangU a est nul , c^esi-èrdire quand le plan est horizontal, on a ^n a = 0 et co^ a = 1, Q cof ^ est seul puissance, çt Péquation d'équilibre dynamique est

Qca,p = /(P±Q^P), d'où Q=.P X.

Si Vangle p était nul , c'est-àrdire si Q agissait parallèlement au plan inclij^, on ^grait ir»ng = }|, cp<p==i;t, ej j'écjjMiJion ^) devienflraij

Psina = ±Q-\-f?cosa.

Enfin, si à la fois les qn^les a et p étaient nuls, on aurait, pour réquilil^re dynamique,

Kg- «• Pour l'équilibre dynamique , on doit

aVQif

F flbree nocrice agisunt normalement à la tête

da coia; Q résiilance utile qu'oppose la matière i comprimer;

a mfle (|ne r^lt U t^te ^a ooin ^rec chacune des faces traralllantes ; f coefQcient de frottement (60) ^ que Ton suppose être le même pour les deux Aices traTaillavlM da «oIb el ponr le h\» inlarposé entre le coin et la matière sur son support.

Pour O=i»00kil., a:==87«ie\ d'oû {Jni., i01i)^5ra=: 20,20^558, ou seogiblement 20^2, 0l/=a,l0, qui convient au chêne frotté de savon sec glissant sur chêne, les fibres é^t parallèles (61), Téquation précért^ntp doi^Q

X tOOO ±= 0,437 X iOOO = 437^

Telle est la relation qui doit exister entre la puisnaoe P et la résistance utile Q pour qu'il y ait équilibre dynaijfiique, c'est-à-dire pour que le moindre effort mette la presse en mouvement, et que ce mouvement se conserve unifbrme quand cet effort additionnel cesse son action. 11 est évident qu'un tel mouvement ne peut se réaliser qu'autant que la résistance Q reste constante, ce qui n'a pas lieu quand on comprime des matières; mais, dans toutes les positions, les mJeurs de P et Q sont liées par la relation précédente.

L'application qui vie^t d'êire faite montre que cette presse est peu avantageuse pour obtenir de grandes compressions, et qu'il ne convient guère jde Teipployar q^#p4 U force nfu)trice if'est qu'une aiqtple pression , et non le résulta 4'ua clioc^

77. Relation entre le travail moteur et le travail ulile résistant.

Pour un abaissement e du coin , 1q bloo copiprimant avançant de 2e', les travaux moteur et utHe sont

Pxe el Ox2e'.

On a (/n^., 1000}

e^e'tar^oi. {b)

Multipliant membre à membre les équations (a) et (6) , on obtient

P&BMlftaB PÀRTIB.

Formule donnant le tra?all moteor Pe en fonction du travail utile 0 X 2e'.

70. Équilibre dynamique de lapresse à vis à filets carrés {JnL^ 1554}. ^; 7. Appelant :

P la poitMiiM agitCADt d«DS on plan perpendIcoUire â l'axe. La força P est rapposée répartie UDirormémeDt autour de l'axe de la tIi , afin qu'elle oe fasaa nattre aucune preition contre la surface latérale des flieu ; ainsi elleeat composée^ par exemple, de deux foroei

-- P formant un oouple dont le bru de lerier est di-

Tiaé en deux parties égales par l'axe; r le bras de lerier de la puiesaoee P; r' le rayon moyen do la aurfltce héUooTdaleeo contact; r" le rayon de la surbce par laquelle le bout de la tIs frotte sur AB; a l'angle que fait l'hélice moyenne, ou mieux la tangente i cetle béttoe, trec If

plan perpendiculaire à l'axe; h le pas de l'hélloe (/ni., 4 468); c'est l'eepace parcouru eulTant l'axe de la tIs pour une réTolution de cette tIs , ou encore la distance d*axe en axe de deux filets consécutifk; f le coefficient de firottement, que l'on suppose être le même pour lea filets et le

bout de la tIs ; Q la résistance utile que la matière oppose au mourement de translation de la tIs ; elle agit sotrant l'axe de la tIs,

•fT'

on a, pour Téqullibre dynamique,

ou, en remplaçant tangoL par son égal ^^^^

Dans le cas <A on néglige le frottement du bortt de lavis *w te stirface AB, ces formules devieiment rospectirement

'^~^r ^i—ftanga*

Application. Pour 0= 9000 kll., r =1",00, r'p 0",084, 7'' = 0",025, h =■ 0",018 et /= 0,08, la formule (a) donne

03/i 0,0i6+î2x34/iX0,03/ix0,08 2x0,025x0,08 ^ 2x3,1/1x0,034—0,08x0,016 ^ 3

an lieu de

quand on ne tient pas compte du frottement du bout de la vis; ce Alitement n'est donc pas négligeable.

79. Treuil. {InL^ n** 1418 et suivants). En négligeant les frottements

ng. 8. des tourillons du treuil (fig, 8}, on a,

pour réquilibre dynamique ,

Px2zp = Qx2«g, d'où Pp = Qg.

p puiMiDoe ou foroe notriee agisMnt dus un

plan normal à l'axe du treuil ; p bras de letier de P, par rapport à l'axe du treuil ;

Q risistanee Taincue agissant dans un plan normal a Taxe du treuil; q bras de lerler de Q, par rapport à f axe du treuil.

Les forces P et Q peuvent ne pas être parallèles entre elles.

80. £n tenant compte du frottement des tourillons du treuil , la for^ mule précédente devient

f coefficient de fh>ttement des tourillons sur leurs coussinets ;

retr' rayons des tourillons;

Ret W résultantes des composantes des trois forces : le poids du treuil , la puissance P et la résistance Q, décomposées chacune en deux autres agissant dans des plans normaux à l'axe, au milieu de la longueur des tourillons r et r' {IrU,, 4365, 4390];

fRret/RV moments des fk-oltements des tourillons.

Gomme R et R' dépendent de Q, on résoudra l'équation précédente par tâtonnement : on déterminera d'abord Q en négligeant le frottement des tourillons (79) ; ayant Q , on déterminera les valeurs correspondantes de R et R', par les décompositions indiquées plus haut et figure 8; ces valeurs, substituées dans l'équation précédente, donneront une deuxième valeur de Q plus exacte que la première. Opérant sur cette seconde valeur de Q comme pour la première, on obtiendra une troisième valeur s'approchant encore plus de la vérité, et en continuant ainsi de suite , on obtiendra pour Q une valeur aussi exacte qu'on voudra. Dans la pratique, on pourra généralement considérer la deuxième valeur de Q commesuifisamment approchée de la valeur réelle.

81. Cabestan. Si, outre les forces P et Q qui sollicitent le treuil en agissant dans àes plans normaux à son axe, une force F agit parallèlement à cet axe, comme cela arrive dans les cabestans, qui ne sont autre chose que des treuils à axe vertical, dont le poids, au lieu de se reporter sur le contour des tourillons, agit sur la face horizontale du pivot inférieur, la formule poséç pour le treuil (80) devient

63 #llE«llÉ< Hitte.

PSP = OC +/Br +/RV +/T I r".

^'F ô **'' inométtt du frottement de la tkoe koriionUte du pivoi (Isl) ;

f' coefBdeiit de frottement qui peut être différent de celai du pourtour du pWoi;

f^ Hyon dfe b hiïi^ KbtUnte borttofatale du pfv«t.

89. Frott^enient éeà efijf^^nag^. &of>iiqu*un corps se meut en roulant et glissant à la fois sur un autre corps, on admet que le travail total absorbé jpar les deux frottements est le même que si un simple frottement de glissement avait lieu sur la différence des chemins parcourus réciproquement par une l^urface sur l'autre , et un simple frottement de roulement suir le plus petit des chemins parcourus {Int.^ 1550). Dans les engrenages, les deux mouvements de roulement et de glissement sont réunis, et on trouve, en négligeant le frottement de roulement, qui est toujours très-faible (/rt^., 1551),

Vm traTtil moteur dépensé par la roue qui conduit ;

Vu trafail utile dont on peut disposer sur l'arbre de la roue conduite ;

fa f i 1 \ ^^ )^ i- /. + -.] , trarail absorbé par le frottement ;

/ ooeffideht de ft^ottenient, yariable SbiVttnt là natitt^ déti ilentt et ta ihMttre dont

elles sont gtaissées (61 ); a pas de Teugrenage ; VeiX la distance d'iie en iî« ttb deux ^fehis oeMMeWites , prise

sur la circonférence primitiTC ; r et r' rayons des circonférences pritnitiTeîi dtes deiii hlnbft.

La formule précédente fait voih que pov^ des roUôs de irayoïls doniiés le travail absorbé par le ÎTrottement est proportionnel àU pà3 a, qùll faut par conséquent prendre le plus petit possible. Là même formule montre encore que pour les mêmes valeurs de a, r et f*, le rapport entt^ le travail moteur et le travail utile est lé même, quelle qUe soit fa roue qui commailde Tautre.

Pour les engrenages cylindriques, on peut îhettre la iTôhhule préibêdente sous la forme plus commode

n et n' nombres àe dents contenus dans tes engrenages.

Appticaiioru On a 3r«=:80d*>» pèle «ecetodfii la r^utî iliotrice a ioid dents et le plgnoh 21 , le gràlssagià des ûeats est bien fait H donne /= 0,08; il s*aglt dô dét^Tintier le travail utile *„ ^«é p«utt-a transmettre Tarbre du pignon dans une seconde.

Rçtt{>iaçafit les lettres. par leurs valeurs dans la dernière expression de Vmt on a

à'éù l'on tiré

iee trttail aitearbé pir le frottement en une êeeende M égal à

85'. t>ëWr Vé^ ^greMcges conique», ek f&lt nlM^ de là preidfèlis (brlÉnle (SS); séttVsMëtit, titi liiBti lâtt J^reUdM ^ur ^ et 9^ les rayOftis deè «âgrenag^ bn prenH feâ {)ël<^ pencficirïaires à Ift j^fiérttHee de «oiitabt{ ^loagéeb jhsqu'ant ajt^ ô)^ «àgrèiiai^éS; kiilsi f) étp' éUAi ces perpendilsnlaiM C/^^. 9), on a

84. Pour une crémaillère commandée par une roué d'éngrieila^ eu commandant une roue d'engrenage, oh a {Int^ 1552),

• fa 1

û pÊÈtie t*eBSr«Qage et 'd« It erémaiUèra ;

r nyoi 4« U efrconfèreoce primliive de reogrenage.

8IS. Suivant que ïes engrenages ihëtalll()ttës ^iit elécui^â Mè ]pltts où moins de soin, TîntëWalIe ^ntre deux dettts cbnsèt^ullVite ^ %^ à répalsseur de la deût, j^uj^entée de 1/20 à 1/itt de cette é^ykiâsiéttr, c*esl-à-dire qu'il y à dé 1/2Ô à i/10 de Jeu enti^ les deAts efagiriéfaéés ; ce jeu varie de 1/iO à ifb pour itô éngirehages à dents dé bofs.

Pour rendre le frottement deâ engnetiàgeb le jplôs petit po^ibté, 4n Tait les surfaces de contact en épicytHoîde ou en déVélopjpahtbdé beh;le {ItiL, iiM, 1160); mais, i cause des diJâOicultés d'exécution, pour Ibs engrenages ordinaires, on se contente d'àrcs de tt&fe\e décrits avec le pas de Teugrenage pour rayon, et d'un cehtre pris sUk* Ta cihsbnféreilte primitive ou de contact ; des constructeurs prennent les SjU du pas pour rayon. Le reste des joues de chaque dent est un plan tangent à ces arcs et passant par le centre de'la roue. C'est surtout pour les petits pignons à grosses dents s'engrenant avec de grandes roues, qu'il faut avoir recours aux tracés en développantes ou en épicycloïdes.

Pour les engrenages coniques, il faudrait prendre des développantes

64 p&nntmB paatib.

ou des épicycloïdes sphériques ; mais on se contente également d^arcs de cercle. (Voir la résistance des matériaux pour les dimensions des diflTérentes parties des roues d'engrenage.)

M. Travail absorbé par le frottement du bouton d^une manivelle. Pour obtenir ce travail, on développe la circonférence du bouton de la manivelle 9 et on élève aux différents points de ce développement, que Ton considère comme axe des abscisses, des perpendiculaires ou ordonnées représentant Tintensité du frottement correspondant i ces différents points; Taire de la courbe ainsi obtenue, que Ton peut calculer & Taide de la formule de Thomas Simpson ou de celle de M. Poncelet, représente le travail absorbé par le frottement pour une révolution (/n^., 1178 et 1179).

L'intensité du frottement correspondant à un point quelconque de Taxe des abscisses est représentée par le coefficient de frottement mul* tiplié par la pression qu'exerce la bielle sur le bouton de la manivelle, au moment où son axe rencontre ce bouton au point considéré.

Si la bielle exerce un effort constant sur le bouton de la manivelle, le travail absorbé par le frottement est le même que pour un tourillon ordinaire l6/i), et, pour une révolution de la manivelle, on a

Vn trATiil abiorbé ;

r rayon du bouton de la manivelle ;

f ooefficient de frottement ;

P pression conitante de la bielle sur le bouton de la manlTelle.

Cette formule fait voir que le travail absorbé est proportionnel au rayon r, qu'il faudra par conséquent prendre le plus petit possible. Aussi doit-on éviter l'emploi des excentriques pour la transmis^on des grands efforts, l'expression du travail absorbé par le fh)ttement étant la même que pour le bouton d'une manivelle, et r étant très-grand , puisque c'est le rayon de figure de l'excentrique.

87. Une manivelle peut être à double effet ou à simple effet. Dans le premier cas, qui est celui supposé formule n** 86, la force qui agit sur la bielle est dirigée dans un sens pendant la première moitié de la révolution de la manivelle, et dans l'autre sens pendant la seconde moitié. Dans le deuxième cas , la force n'agit que dans un sens et ne sollicite la manivelle que pendant la moitié de sa révolution; de telle sorte que le travail absorbé par le frottement, pour une révolution complète de la manivelle, n'est que

88. Équilibre dynamique d'une manivelle à double effet. Cet équilibre ne peut être que périodique (49), çt on doit avoir, pour une période ou un tour dQ manivelle, en négligeant les frottements,

Qx2rR = Fx4R, d'où Q = ?F.

Q réiisUnee agiuaot mr l'arbre de la maniTèlle à l'eitrémité d'un bras de lerierqat l'on Buppoie igal au rayon de la manlTelle ;

R rayon de la manivelle ;

Sidl cbemln parcouru par la résiaUnoe Q pour un tour de nanirelle ;

Q X iitR traTail abiorbé par la résistance Q, auaai pour un tour de maoîTelle;

F force agissant aur Taxe de la bielle', que Ton suppose assez loog pour qu'on puisse le considérer oomme restant toi^ours parallèle à lui-même , et négliger sa variation de direction ;

4R espace parcouru par la puisunce F pour on tour de manivelle , c'est-à-dire pour une allée et une renne de 1 a bielle ;

F X 4R traTail développé par la puissance F, aussi pour un tour de manlTelle ou une allée et une Tenue de la bielle.

Pendant chaque deinl-révolution de la manivelle, le moment de la puissance F, par rapport à Taxe de la manivelle, varie pour toutes les positions de la bielle , et les valeurs minimum , moyenne et maximum de ce moment, valeurs qui sont les mêmes pour un tour entier de manivelle, sont respectivement :

FxO, Fx - R, FxR;

quantité^ qui sont dans le rapport des nombres :

La gr^de dilTérence de ces nombres proportionnels fait voir combien la marche d'une manivelle est Irrégulière.

89. Équilibre dynamique de deux manivelles à double effet montées à angle droit sur le même arbre. Chaque manivelle agit en particulier comme dans le cas précédent, et leur ensemble ne peut eucore donner qu'un équilibre dynamique périodique, pour lequel on doit avoir, pour un tour des manivelles et en négligeant les frottements ,

Qx2içR = 2Fxi5ai, d'où Q=?x2F.

Q et R ont les mêmes signiflcaUons que dans le cas précédent ; F force qui agit suivant l'axe de chacune des bielles.

Les sommes de moments minimum, moyenne et maximum des forces F, pour une révolution des manivelles, sont successivement :

FxR, aPx^R, 2Fx-^;

66 PAmitU PAATII.

fateors qui sont dans le npport des nombres :

1, i.274, iMk,

90. Éq^xilibre dynamique de trois manivelles à double effet montées sur le même arbre et faisant entre elles des angles égaux. Cet équilibre ne peut encore être que périodique, et on doit «voir, pour une période, en négligeant les frottements,

OxaicR = dFxAR» d'où Q«^x8F.

Les lettres ont les mêmes significations que dans le cas précédent, et les sommes de moments minimum, moyenne et maximum des forces F, pour une révolution des manivelles, sont successivement :

FRV5, 3F ?n, 2FR;

valeurs qui sont dsns le rapport des nombres :

En employant 5, 7, il manivelles convenablement disposées , on

augmenterait encore la régularité du mouvement ; mais les grandes dibcultés d'ajustage et les complications du mécanisme font renoncer à remploi de plus de trois manivelles montées sur le même arbre.

91. Equilibre dynamique d'une manivelle à simple effet (87). Cet équilibre est encore périodique, et on doit avoir, pour une révolution complète de la manivelle, en négligeant les frottements,

0xÎkR = Fx2R, d'où Q=-.

Gela suppose que la résistance Q agit, comme pour une manivelle à double effet, pendant la révolution complète.

Les moments, minimum, moyen et maximum de la fbrce, pour une révolution complète de la manivelle, sont successivement :

FxO, Fx5, FxR;

valeurs qui sont dans le rapport des nombres :

99. Bielle, Pour qu^une bielle transmette le plus convenablement

MACHIMBS SfliPLBS. 61

poesiblô» à une manlvellei Teffort qtif la fiolliolte» 11 fetit que sa lotigaesr soit la plus grande possible; mais, afin de iie pas ^tfe obligé de lui donner une section trop considérable, on se contente de faire s» longueur égale à 5 ou 6 fois le rayon de manivelle.

93. Volant pour une manivelle à simple effbt ni à double effet Afin de rendre possible la marche d'une manivelle , et de régulariser plus ou moins son mouvement, on fait usage d'un volant qui accumule Texcès du travail moteur sur le travail résistant quand ce premier est supérieur au second , pour le restituer quand le travail résistant devient supérieur au travail moteur [Ini.j l/i89).

Pour une manivelle à simple effet , le poids du volant est dôniié par la formule

PV» = O.B5il X F2R X gt , (a)

de laquelle on conclut

■>=^°'- Cl

Pour une manivelle à double effet, on a

PT* = 0.2105 xf^KxgH, (c)

d'où

P l>oids Au Totânt ou plutôt de sa jante , car on néglige la régularité due aux bras et au

moyeu dans rétablissement de ces formules; v Titeate moyenne de U jante du TOlant ; F force agiasant suivan t l'axe de la bielle ; Il rayon de la maniyelle ; n f i^I^sance de la force F en cheyaux ; M iioitibre de tours du -valant par minute ;

K oocfflejeot de régularité da nouveoieal ; sa Taleur dépebd du genre de travail à produire.

Pour une manivelle à simple effet, on conclut (91) nX75k«= gQ m, et pour une maniyelle à double effet (88),

n X 75^™ = — ^r— nu

C'est à l'aide de ces relations que l'on pasae des formules (a) et (c) à celles 0>) et (d)«

Poui* deux manivelles à double effet montées à angla droit sur le même arbre, la formule (cl) devient

•8 POmftAB PABTIB.

pour lei mtebinet à npeor à batte preuiOB , Wttt toit , éaa» les eu ordinaires de la pratique , K = 39 ; oe coefficieot Tarie de 35 à 40 qnand les meliittes comaMsdeiit des filatures od i'oo fabrique les numéros 4C i 60, et de 50 i 60 pour des fllatnree à fwtmérot très-fios (Toir la 3* partie).

Le numéro d'uo fil de ootoo est le nombre d'écheraoi de 4000 mètres pesant ensemble uo demi-iiilogramme. Aiosi le demi-kilogramme du numéro 50 contient 50 èdie- ▼eaux.

K atteint parfois la ? aleor 35 pour des macblaes ou des usiaes qui a'oat pat beaoin d'une grande régularité de moufement , comme des scieries , des moulins i blé , des pompes , ete , et il atteint même SO pour des marteaux de forge (419).

L'examen des formules précédentes fait voir que le poids du volant est d'autant plus petit que la vitesse de la jante est plus grande. L'expérience prouve que cette vitesse peut atteindre 25 à 30 mètres par seconde, mais qu'il est dangereux de dépasser cette limite.

Le rayon du volant est ordinairement égal à 5 ou 6 fois celui de la manivelle.

Application. En appliquant la formule ((2) à une machine à basse pression , de la force de 40 chevaux , faisant marcher la filature de Logelbach , près Golmar, on trouve « pour le poids de la jante du volant, 9320 kilog., au lieu de 0450 kilog., comme l'avaient adopté les coi^ structeurs MM. Watt et Boulton.

Le diamètre moyen de la jante est de 6",i0 » et le nombre de tours du volant, 19 par minute, ce qui donne une vitesse de 6",06 par seconde. Les numéros des fils de coton varient de 40 à 60, ce qui a fait adopter 35 pour la valeur de K.

94. Volant pour une manivelle à simple effet et à amtre^poids. Si , sur le prolongement d'une manivella, au delà de son centre de rotation, on place un contre-poids tel, que le travail qu'il absorbera en s'élevaiit et restituera en descendant soit moitié de celui que produit la force motrice pour la i/2 révolution pendant laquelle elle agit, cette manivelle agira comme une manivelle à double effet , et le poids du volant sera donné par la formule

P,V,f»,m,K, ont les mêmes significations qu'au numéro précédent;

Q poids du contre-poids ;

V Titesse moyenne du centre de gravité du contre-poids.

Remarque. Les formulés des n** 93 et 94 s'appliquent encore au cas où le volant n'est pas placé sur l'arbre même de la manivelle, pourvu que m exprime toujours le nombre de tours de la manivelle par minute, tandis que V et t? expriment les vitesses de la jante du volant et du contre-poids ; mais, dans la pratique , il faut toujours placer le volant sur l'arbre des orgues qui rendent irrégulière la transmission ou l'absorption du travail moteur, et le plus près possible de ces organes.

■ACHOnS SIMPLES. 69

95. Équilibre dynamique de Vexcentrique, Dans une transmission de mouvement au moyen d^un excentrique , Téquilibre est périodique, et on doit avoir

P X 3nR =4Fd +/F X 2itr,

p puissance qui agit sur l'arbre de rexoentrlque ; R bras de lener de ia puissance ;

F résistance appliquée à la bielle que net en mouTement l'exeentrique ; d distance du centre de rotation au centre de figure de l'excentrique, ou 1/9 espace parcouru par la résistance pour une demi-ré? olution de l'excentrique ; / coefficient du frottement au pourtour de l'excentrique ; r rayon de figure de l'excentrique ;

P X SicK trarail dépensé par la puissance pour une réTolution de l'excentrique ; 4Fd travail utile produit td.

ff X lier travail absorbé par le ftottement td.

L'excentrique présente les mêmes irrégularités de mouvement que la manivelle (88, 89, 90, 91).

9Ô. Equilibre dynamique du pihn (Int., 1663). Supposant que la puissance agît verticalement sous le mentonnet, pendant toute la course d'un pilon guidé par deux prisons, pour qu'il y ait équilibre dynamique, on doit avoir, pour chaque levée,

T^ouVh = Qhj^j, (a)

p force motrice agissant verticalement à rextrémité du mentonnet ;

h levée du pilon ;

PA travail moteur dépensé par levée du pilon ;

Q poids du pilon et de sa tige ;

Qh travail uUle produit ; d distance d'axe en aie des deux prisons ou guides ; I longueur du mentonnet ou distance du point d'application de la puissance à l'aie

de la tige ; t 'épaisseur de la tige dans le sens de l ; / eoelScient de frottement de la tige sur ses guides.

La formule précédente fait voir que le travail utile Qh est d'autant plus petit pour un môme travail moteur PA, que / est plus grand, et que si l'on suppose 2 = 0, c'est-àrdire que la force P est appliquée à l'axe de la tige et agit suivant cet axe, on a

Vh = Qh.

Ce qui montre que le travail utile est alors égal au travail moteur, et que par conséquent le frottement contre les prisons est nuk

Quafid le pilon est soulevé par une came, comme cela a lieu ordinairement , le travail absorbé par le frottement de la came sous le mentonnet est analogue à celui absorbé par le frottement d'uu pignon

70 PRmftM Pimm.

s^engronant aT«o one crémaillère W) ; aeolQiiMDt la pas a «t rtmt>lacé par h. En tenant compte de ce frottement, et en supposant que son

coefficient est le même que pour les prisons, la formule (a) devient

2r(<i'-2l/-\-J^iy

n èunt le nombre des coups de pilon donnés pendant une réfoluiion de Farbre i cimes , et P la force motrice tangentielle qui agit à Peitrémité du rayon r, on doit atoir, pour l'équilibre dynamique ,

n»'« = 2îsrP, d'où

Les cames se fbnt en déreloppante du cercle (ïnt.^ ii&â).

La durée totale d*un coup de pilon se compose du temps t que met la came à élever le pilon à b hauteur h, de celui t' = v^^^ de la descente du pilon , et de i/10 à i/6 de f ■{- f pour le temps employé par le pilon à agir sur la matière, qui peut être plus ou moins compressible.

97. Choc des corps solides. Quand deux corps solides, en verta de vitesses acquises sous Tinfluence de causes quelconques , tendent à occuper au même instant une même partie de l'espace , dès qu'ils arrivent à être oe qu'on appelle en contact , il se déclare des actions mutuelles répulsives qui atteignent un degré suffisant d'intensité pour modifier en grandeur ou en direction , ou à la fois en grandeur et en direction , les vitesses primitives des deux corps , de manière que ceuxci ne viennent pas occuper la même portion de l'espace au même instant , et par là satisfont à la loi générale de X impénétrabilité de la matière (Ini.^ 1381 et suivants).

Lorsque deux oorps se rapprochent ainsi de manière à donner nais* sauce à ces actions mutuelles par leurs changements plus ou moins sensibles de forme, on dit qu'il y a choc ou collision entre les deux corps.

Le choc de deux corps n'influe en rien sur le mouvement du centre de gramté du système^ mouvement qui ne dépend en intensité et en direction que des forces extérieures (Int.^ iii9S).

9a« Vitesse du centre de gravité de Vensemhle de deux corps solides après leur choc (Tni. , 1525).

Supposons le cas le plies simple, celui okles centres de gravité des deux corps se meuvent suivant une même droite par rapport à laquelle les deux corps sont symétriques. C'est à ce cas que l'on ramène les applications pratiques sur le choc.

Le centre de gravité de l'ensemble se mouvra sur la droite suivie par les deux corps, comme si le choc n'avait pas lieu; de plus, il est évident que la vitesse de chaoun des corps en partiouUer ne changera

DVIiW. 71

PM d» difictloii» miia bien d'Intauiité^ «t atêOMi IHUM paiura changer de signe.

Soient ffi et m' 1m mtfSAV des deux corps , vett/ leurs titessed respeciifef avant le cIk>c , et « li Tilesse un œntre de gratlté«

Dès que le choc commence» les actions mutuelles égales agissent en sens contraire sur chacun des deux mobiles , et produisent des c&angements de formes et des vibrations qui dépendent de la nature et de la forme dee corps.

Si la vitesse relative des deux oorpa Tun par rapport k l'autre est faible, et que les corps aient une oertaiBe oonsistanee* ou peut $àf mettre que le changement de forme pendaat le ohoc s^étend ft peu de distance du point de contaot , et que les vibrations des moléoulee sont très-faibles; d'où il résulte que le mouvement de toutes les molécules de chacuD des corps peut être considéré comme n'étant qu'un simple mouToment de translation t qui est le môme pour toutes les moléoules.

En se plaçant dans cette hypothèse , Y étant la vitesse commune à tous les points et an oentrede gravité du solide de masse m à un instant quelconque du choc, et Y' celle de tous les points et du centre de gravité du solide de masse m' au même instant, on a, en négligeant pendant le choc les impulsions des foroes extérieures, s'il y en a, ce que Ton peut faire ^ puisque la durée du ohoc est très-petite (Intét 1^87),

Il y a toujours , pendant le choc » un instant où les centres de gravité des deux corps ont la tidème vitesse, qui est aussi la vitesse u du centre de gravité du systèihe ; à cet Instant, Téquatlûn précédente devient

{m + m^u = mt? + mV , d'où

mv + m'v'

u est U Titesse du centre de grarité, et sensiblement aussi celle de tous les points du système à Tinstant eon sidéré » dans le cas de très-faibles vibrations.

Lorsque les deux corps ne sont pas élastiques , c'est-à*dire quand ils eduserrent les formes que dee forces queleon(]ue6 peuvent lèut donner, les actions mutuelles cessent leur effet dès que la vitesse u est devenue commune aux deux corps; alors les deux corps se meuvent Oin restant en contact, tant que des forces extérieures ne viennent pas modifier leur vitesse commune u.

Les formules précédentes s'appliquent au cas où les corps marchent en sens contraires , comme à celui où tls vont dans le môme sens; seulement il faut avoir égard aux signes qu'il convient de donner aux va*leurs de t? et t?', et par suite & celles de ttw et mfv'. Le signe de u est «oiyoant celui de la plus grande quantité de mouvement.

72 PRBMftRB PART».

Si les deux quantités de mouvemeot sont égales et de rignes contraires, la formule précédente donne u = 0; ce qui montre que les corps arrivent au repos , et y restent s'ils sont dénués d'élasticité.

Dans le cas où tun des corps est au repos^ c'est-^i-dire ou Von a v' =r 0, réquation précédente devient

(m + mOttrrrww, d'où u= — ; — :. (a)

99. Perte de force vive due au choc de deux torps non élastiques.

Si les corps restent unis après s'être comprimés, et qu'on néglige les vibrations auxquelles peuvent être soumises les molécules des deux corps, il y a perte de force vive dans le système, puisque, pendant la compression des deux corps, et jusqu'au moment où la même vitesse est devenue commune aux deux corps , les molécules voisines du contact se sont rapprocliées, et par suite les actions mutuelles répulsives de ces molécules ont produit un travail négatif, d'où il est résulté une perte de force vive (Int,, 1489).

Le travail dû aux forces moléculaires , et par suite la perte de force vive du système, ne dépendant que du mouvement relatif des deux corps, il en résulte que pour calculer cette perte, on peut supposer que l'un des corps est en repos et que l'autre vient le choquer avec une vitesse absolue égale à la vitesse relative du système.

Soit donc V la vitesse de la masse choquante m , et v' = 0 la vitesse

de la masse choquée m'.

La force vive du système avant le choc est ^ mv*. Après le choc,

toutes les molécules des deux corps ayant la même vitesse u, à cet

instant la force vive du système est (29)

La perte de force vive due au choc est alors i i

Remplaçant dans cette expression u par sa valeur (a) (98), on obtient

1 jnm'r^ ^■"2 m -{-m''

Établissant un certain rapport entre m' et m, c*est-à>dire faisant m' = Nm, on conclut

^=2^*rfl'

N Formule qui fait voir que la perte de force vive est d'autant plus petite

■▲CHINES SnPLBS. ^Ti

que la Talenr de N est plus petite « c'est-à-dire que la masse choquante est plus grande par rapport à la masse choquée.

100. Corps exécutant vn mouvement de rotation autour d^un axe fixe. On appelle vitesse angulaire d*un corps tournant autour d*un axe, la longueur de Parc décrit, ou qui serait décrit si le mouvement, en restant uniforme, était suffisamment prolongé, pendant Funité de temps, par un point situé à Funité de distance de Faxe et lié invariablement au corps.

<o étant la vitesse angulaire d'un corps, et v la vitesse d'un quelconque de ses points situé à une distance r de Faxe, on a , en remarquant que les vitesses des divers points sont en raison inverse de leurs distances à Faxe,

Tî:a> = r:i, d'où 13= wr, et <!> = -.

101. Force vive d'un corps tournant autour d^un axe fixe. Lorsqu'un élément matériel m tourne autour d'un axe, sa vitesse étant ^\ sa force viv«e est (29)

- mcoV.

Lorsqu'un corps solide tourne, chacun de ses points matériels posK sède une force vive d'une expression analogue à la précédente ; en faisant la somme de toutes ces forces vives élémentaires, on a la force vive du corps, qui peut alors ôtre représentée par

JP= 2 1 mu)V,

2 signifiant somme.

Gomme ^ v? est commun & toutes les parties de cette somme, on peut le mettre en facteur commun , et poser

TM^, produit d'un élément matériel par le carré de sa distance à Faxe de rotation , est ce qu'on appelle le moment d^inertie de Pélément m par rapport à Paxe»

2mr*, somme des moments d'inertie de tous les éléments matériels d'un corps par rapport à un axe, est le moment d'inertie du corps par rapport à cet axe.

La formule précédente fait voir que la force vvoe d'un solide tour^ nant autour d^un axe fixe est, à un instant quelconque , égale à la moitié du produit du carré de la vitesse angulaire du corps à cet instant par le moment d^inertie du corps par rapport à l'axe de rotatioiu

109. Bayon de gyration. Il existe une valeur R de r telle, que si toute la matière du corps se trouvait à la distance R de l'axe, la force

FAATig.

Vive et |Mr maàts le nomeot «fiiiertte, pour une même vlleiM angulefre par rapport au même aie, n^auraleot pas chaagé.

ft est oe qQ*on appelle le rayon de ffyratûm.

Posant (iOl)

d*oû

Lorsque les corps sont homogènes « on peut substituer aux masses élémentaires m, les volumes élémentaires u, qui leur sont proportionnels, dans réquatioû (â), qui devient

lur* =K^lu = VK\ d'où R«=— -;

alors le rayon de gyration peut être défini et déterminé indépendamment de toute notion de mécanique.

La détermination des rayons de gyration des corps homogènes et de figures géométriques est du domaine du calcul intégral. Nous allons énoncer leurs valeurs pour les oorps qui ont des formes employées dans la pratique.

Ayant le rayon de gyration, MR* donnera le moment d'inertie» et

^b><MR' la force vive. P étant le poids du corps tournant , oïl a

M = -, et par suite

i03. Pour une tige homogène AB d^une très^Tpetite section^ tour-- Fis. il. nxint autour de taxe Ay passant par son extrémité ^

on a [Int^ l/i65)

Le moment d'Inertie est alors , P étant le pe4â8 de latige(iOS),

et la forcé vtve

■ACnUM Sfm«8. 7S

Ftnat laii§9W^ qui eêirtno&nifée pur Pikeê en un point quelconque de sa longueur, r étant le rayon de gyratlon da la partie A^ et t' oelui de la partie ÂB', on a

r«=|BC' et r'«=|fC''.

P et P étant les poids dea parties AB et AB' de la tige^ les momeDtB d'inertie de ces parties sont respectivement

?..= |Çbc' et ''-r^^>^m\ 9 ^9 9 ^9

Le moment d'inertie de la tige totale étant égal ^ la somine des mo» ments d'inertie des deux parties» en a donq^ IV étant le rsjon de gyratlon de la tige totale,

-r^-ï9^ -^3^^^' ^^^ ^ WTT) — •

Dans le cas où le point A est le milieu # o'est^à-dire le centre de gravité de la tige, on a B'C'=BC, F = P ou P + P'=2P, et la formule précédente donne