EV

272 PREMlfeEB PARTIE.

% E modole oa coefficient d'élaslicilé (2 1 6 et )4 8) ; El moment éTéUutitUé de la pièce;

f flèche produite ou quaoliié dontVabalsse le point d'application P dans la direction de celte (oroe.

Comme, pour une pièce prismatique à section rectangulaire, on a

et que le moment d'inertie est

les deux formules fondamentales (l) et (2) deviennent , en remplaçant n et I par leurs Taleurs,

PL = î^, (10

bh*

b largeur de la leclion transreriale de la pièce, ou dimenaion de cette aection perpendiculaire i la direction de la force P;

h hauteur de la pièce , ou dimension de la section transrersale parallèle à la direction de la force P.

HLLf

Le membre -^ de Téquation (!') étant connu pour une pièce de

section rectangulaire donnée, on en conclura la valeur de P ou celle de L , Tune ou l'autre de ces quantités étant connue. Si les valeurs de P et L étaient déterminées d'avance, de cette même équation on tirerait celles de 6 et A, en établissant entre 6 et A un rapport convenable à la

pratique. Pour le? pièces de fonte sans nervure on fait 6 == ;^ A au

minimum, 6 = r A au maximum et & = g A en moyenne. Pour le bois,

on fait varier b entre ô et - de A, et même, pour les pièces isolées,

il convient de faire 6 = - A.

P étant exprima en kilogrammes ^ et les quantités L^b^h etî en mètres , .on a pour E c/ R les valeurs du tableau suivant; les premières valeurs de R sont les moyennes des cas ordinaires de la pratique , et les secondes supposent des matériaux de choix et des constructions plus légères.

EÉSISTÀNCB DBS IIATËRIACX.

DtSIGNATIOM DES MATIÈRES.

VALEOA DE E.

qi'OD ne doit pM dép««w dans la praUqat.

Chône

Sapin jaune ou blanc . ;

Arcs en planches • . • •

Fer doux forgé

Fer laminé en barres et lubes en lôle. Acier d'Allemagne

Acier fondu

Fonte grise i grain fin

FoDie grise ordinaire, anglaise.. . .

Applicatioru Quelles doivent être les valeurs de A et 6, d'une pièce de sapin encastrée par une extrémité, pour P= 500 kllog. et L=i",50, en négligeant le poids delà pièce?

Faisant b= = h et remplaçant les lettres par leurs valeurs dan3 la

formule (10 , on a

600000x5xA'

d'Où h:

/500xl,5x7x6 600000x5

et par suite

on a

/tx500x(l,5)«

Valeur de I pour une pièce d^un profil quelconque. Chacune des deux parties séparées parla ligne des fibres invariables donne, pour une pièce rectangulaire,

Supposant la ligne des fibres invariables d'une résistance indéfinie, effet que produit chaque partie de la pièce par rapport à l'autre, on

pourra supprimer Tune des parties, et on aura A = ^, et par suite

bh*

Gela établi, pour un profil quelconque, on déterminera son centre de gravité, soit par les moyens connus, soit par la formule de Simpson

nUQIltel PAUTPC.

i/n^., iAM), on lèntra par oe eentre ée gnftlftlft Ugnefigiinat les ibres li|T»rW>lMi , on (divisera la longueur de cette ligne en un nombre ^alr m de p^rUùB égaies, et par les points de dirisltm on mènera des berpendiculaires à cette ligne; m ayant été pris assez grand pour que l'on puisse considérer les profils compris entre les perpendiculaires iBomm9 rectangulaires, chaque profil élémentaire, au-dessus ou aujlaisoiis de la ligne des fibres invariables, se trouvera dans les conditions dg la dernière formule, et pour l^nsembie des profils élémentaires compris d'un même côté de la ligne des fibres Invariables, la formule de Simpson donnera, Aq, A^i h^^,.,hm étant les plus grandes hauteurs des profils éléaieataires,

Pofir la Rartto dp profil si t^ée de V$xxUe oùti de la Ijgne des fibres invariables, on calculera I par la même fqrmulet Aw laquelle i^ n'7 aur»

que les valeurs de Ap, h^ de changées; ajoutant ces deux valeurs

trouvées, on atira celle de l pour tout le proAl.

Si la section transversale du solide est un carré donf le ç6t^ fi^i q» on a, dans le cas où il est fléchi dans le sens d*un côté,

les formules (i) et (2) deviennent alors

¥=!?/» d^OÛ / =

Si la coupe tMsmersale du solide pritmxUique encas^ tri par une de ses extrémités et sollicité à Vautre par la force P a la forme indiquée fig. /i8, on a

n = 2 «^ ^ = —12—' et les fonnales (i) et (2) deviennent

R(6ft»— t'A-») ^^ = 6Â •

PL» Kjbh*- b'h'*)/

d'où /=.

Gomme le fbnt voir ces formules, ce solide est considéré c(»Dme étant la difiéreoce de deux autres.

Pig. 49- Si le solide f au lieu d^être évidé au milieu, Péfait laté-

h , ralement, comme l'indique la>^. ZiO, on auradt encore

Ti*r

et par suite

d'où / =

E{6yi«— ft'A")'

Dans le cas où les nervures b sont renforcées par des confères , comme cela arrive pour les poutres en tôle employées à la construction des ponts (Jig. 50) » on a

^ — 7ç w 1 jg ;

d'où

E (6A» — b'N^ — fc"A"»— &^A*«) •

Quand la «ection de la pièce n*a pas d'axe de symétrie faorissontaU la ligne des fibres n'est pas au milieu de la hauteur de la pièce, c'est-

àr4ire qu'on n'a pas n = ^; alors on a recours à la marcbe indiquée

page 273 pour une section quelconque; seulement les formes rectangulaires des différentes parties du profil permettent d'abréger considérablement les calculs, soit pour obtenir ti, en faisant usage des moments {Int.^ l/id7) ; soit pour déterminer la valeur de I.

Fig. Si.

Dans le cas où la section transversale a la forme cfun T, comme Tindlque l^^fig. 51, on obtient

1 bh'^—b'h'^ + b'h*

1 = 1 [6n»-(6-6')(«-A')* + «''(^-'»)*]5 puis

, R ^ bn^^{b^b')(n^hy + b'(h--n)^

^-Eiy, d'où /-E[e^s(5 5/)(^/ir)8 4.5'(^n)»"

Pig. 5t. 2xï jcc^ton du solide étant un parallélogramme dont

^ la diagonale b c*< perpendiculaire à la direction de la \ ^|\ force P, fig, 62, on a

n = A et I =

bW' "6"*

les formules (1) et (2) deviennent

Ç^Ç^^, d'Où / =

Si to section était un carré ayant q pour côté^ on aurait b = -i

et A == 4= > et ces valeurs substituées dans les formules précédentes

donneraient

Ra»

^^M d'où /-^

Eç*

La flèche est la même que si la pièce était fléchie dans lesens des côtés de la section (voir ce cas, page 27/i).

R£818TA«CK DBS «AT&IIUUX. 217

Si la section est un losange ABGD {Jig. 53), les formules sont les mêmes que pour le parallélo* gramme (Jig. 53).

Pour une section triangulaire ABD, moitié du lo- >^fi»e U^9* ^)* on aurait, b étant toujours égal à

AC, et A à ^,

PL»È6Ay ... . APL»

Ce qui fait voir que les valeurs de PL et /sont respectivement moitié et double de celles données par le losange entier.

Lorsque la section d^un solide est un triangle ABC (Jlg, 53), et que la ligne d^inertie ou des fibres invariables MN est parallèle à Tun des côtés, on a

« = |a et 1 = ^6*»; ■

d'où ou conclut, en subatitiuuit ces vAleor» dans les fonaoles (1) et (9),

Kbh*

f!i!-5^ d'où f-l??y

Fig. 54.

. j^ La section du solide étant un rectangle dis^

j*\ posé de manière que la ligne d'inertie MN fasse •^^ avec le côté h un angle a {fig. 54), on a (/n/., 995):

n = I (68ina + Acosa) et I = ^ (6«sin«a + A«C08«a);

d*oû on conclut, pour les formules (1) et (2) ,

R5A fe'sin'g + A'cos'g "'"■ 6 ^ 6sina + Acosa • et

278 PUSntU PAKTIS.

SI à=:09 on a sittarzO, cosa = i, et par suite

valenn déjà trouTées, page 372, pov la section reetangolalre, quand la pièce est fléchie dans le sens des cdtés de cette section. La, section du toliâe étant un cercle de rayon r, on a

n = r et t=?{

ce qui donne, pour les formules (1) et (2) ,

pi.=^.

PL» idEr»/ ^ . . 4W

tteêâQtf yfiflrté» il Moite qtie le ttottent dA iMstiiioe du carré

est à celui du cercle inscrit dans le rapport de 1 à j^.

Si le solide est un cylindre creux, r étant son rayon extérieur et y son rayon intérieur» on a

n^r et i = :(r*^r*).

d'où on conclut, peur les formules (1) et (2) ,

PL j- ,

Pour r* =. wir, il vient

PI. = Çr.(l-m»). et /^^.B^^fl^i).

En faisant r' = 0 ou m = 0 dans ces formules , on obtiendrait celles données poi3* le cylindre plein.

Pour un àoHde à section elliptique dont 2A est Taxe yerttèâl et 96 IHHCt feoHaéntal {Int., iêi^i) ^ on a

RÉSUTllfCt 1»M UTÈlllÀUX. 3T9

n = À ' et I = î 6À»,

et les fonnules (1) et (S) deviennent

PL--—, et

Pour hmh^ M rentrerait dans les formules relatiTei à la aeotio drenlaire.

Vùut «m Moliéit crêux à secHon elliptique^ Si^ et S6 étant les aies de réllipse extérieure, et 2A'6t 26' ceux de l'ellipse intérieure {fig. 55), on a

n==À et 1 = ^(ÔA»— 6'^"),

et les formules (i) et (^ deriennent ^^ lu(èA»-yA'»)

Si les eiU|MKi intérieure et extérievre aentawiblablea, c'eel-lHUra ai on a b'^mh et k'^mh^ lea ièraittlee préoédentea donnent

PL =^6A.(l -«.»). e» /^^i^'^ty

Pour 6' =A'= 0, c'est-à-dire pour m = O, les formules préeédentes deriennent celles posées pour la section elliptique pleine, et pour 6=yt et b'^h'i elles fournissent les formules relatives aux sections circulaires, ce qui devait évidemment arriver.

221. Si la pièce repose sur Un appui placé en undes points de sa Um^ ffueuTi et quelle soU sollicitée à ses extrémOés par deux/oraes qui se font équilibre autour de ce point d'appui, on •« pour unepièoe pris-' matique à section rectangulaire,

Pl+SL^^. (n- 220, page 272.)

1 brtt de lerier de ta force p qal lonidte une des eitréaiitéi de ta pièce ; V bnt de lerier de ta force q qui lollicite l'antre extrémité de ta piéee ;

2 + r=L lODguettr de ta pièce;

]) 4 g = P charge totale qde supporte la pièce.

980 PimftBB rAETlB.

Si le point d'appui est au milieu de la lon^eur de la pièce» on a /=/'=;:-, par suite , p = g = - , et la formule précédente