RI R6A« 1^ ^ T
« A fi «Oft P ♦
RI
Cette valeur de —, comparée à la précédente» fait voir qu^une
pièce prismatique fatigue plus au point d'encastrement qu'au point même de plus grande flèclie.
Cette plus grande flèche est donnée par la formule
EV=0,00«7pLS d'Où f^S:^^.
ftS9. Pièce prUmatiqiie encastrée par ses deux extrémités. Soit, fig. 66 :
Fig. M. P un poids plaoè en un point quelconque G
de la pièce ; p une charge par mètre répartie unifomèment sur tonte la longueur de la pièce ; L=Z+{' la longueur de la pièce entre les encastrements ; I et V les distances respectives du point G aux points d'encastrement A et B ; 9 et 9^ les forces terticales capables de produire le même effet que l'encastrement ;
c'est-à-dire de maintenir horizontal l'élément B de la pièce; d la distance de l'encastrement A à rextrémitè opposée de la pièce; X la distance horizontale d'un point quelconque de la partie AC au point A ; X' la distance horizontale d'un point quelconque de CB au point A.
On a , pour un point pris sur AC ,
^ = P(/ - X) + I (L-.a;)«-g(L- a:) + q\d^x). Si le point est pris sur GB, on a
286 PtBHIÈftB PAtTiy.
Pour une plèee reclangttlaife en x, on a ^ = —^^ (2»).
Lorsque îE = ar' =: I, iefl deux ¥ftleun pMeéâeDtêB du rnmêiû^ divertie deviennent égales; ce qui devait fttrpp puisqu^alprs xetsp'ie rapportent au même pointe de la pièce.
On a
Ces deux équations senrifont à déterminer qetq'; ainsi , de la première , on tirera la valeur de ç en fonction de q'; on substituera cette valeur dans la deuxième , qui donnera la valeur numérique de q\ et cette valeur numérique étant substituée dans la première équation, qui ne renfermera plus que l'inoonnue q, on pourra tirer la valeur de cette inconnue (/n^, /iô6).
Dans le cas où p est nul » la formule {fi) devient
Cette équation du premier degré en x fait voir que le point de plus grande fatigue de la pièce est celui pour lequel x a la plus grande valeur / ou la plus petite 0; c'est donc G ou A, points pour lesquels les
Bl valeurs respectives S et S' de — deviennent
8 = g'<«— gL + fe— çO^ et S'=PZ — gL + g'cî.
Faisant p = 0 dans les équations (b) et (c), on en conclut
PPdSLd -- aL« -h IL — 2ld) ,P/«(L-~0
^- LV-L) ®^ ^- L\d^Ly
Les moments S et S' deviennent , en remplaçant q et g' par ces valeurs,
2P2»(L->y Pf(L->Q« S — Lj et S- — p ^.
Faisant les calculs , on verra quelle sera la plus grande de ces valeurs, et ce sera pour elle qu'il faudra prendre les dimensions de la pièce. Pour avoir les moments de la partie GB » il suflSit de remplacer / par U dans les équations précédentes.
iSiz le poids P est placé au milieu de la longueur de la pièce ^ c'est-àdire si /= ^» on a
KtSlSTARCB DBS lUTttUUX. 287
06 qui fait voir que 1« clianse que peut supporter la pièce est double de celle qu'elle supporte qodpd elle reposa siiuplemeot sur 4eux «appuis (224).
La flèche est donnée par la formule
EU=g^. <l'OÙ/=j^, (220)
Ce qui fait voir que la flèche est quatre fois plus petite que quand la pièce repose simplement sur deux appuis (23/i).
Pour le point d'inflexion M, on a « = y.
Si P= 0 , et que la pièce soit uniformément chargée d'un poids p par mètre de longueur^ des deux équations (6) et (c) on conclut
Ces Fuleurs» substituées dau^ I4 formule (a)^ où on suppose également P=:0» donnent
H = âp»'-«-*-' = l[G-')"-S]-
Go «ni fatt voir que la valeur maximi^ du momeut de résistaf^ce correspond 4 9 = 0t e'^Mrdire au point 4f pour lequal on a p»r conséquent
RI pL*
On voit aussi que ce moment diminue à mesure que x augmente, et qu'il est égal à 0 quand
^1 — xy= ~, c'est-à-dire quand « = 0.ttiaL.
A partir de x=:0,212L, le moment de résistanoe devient négatif et sa valeur absolue croit Jusqu'au milieu de la pièce, pour lequel
s= ^, et par suite
Tout étant symétrique par rapport au milieu de la pièce, au del^ de ce point, le moment de rupture repasse par les mômes valeurs. La flèche est donnée par la formule
288 PREMlttHE PARTfB.
Ainsi , la flèche n'est que le 1/5 de celle qui a lieu , pour le même poids /quand la pièce repose librement sur deux appuis (225).
Dans les constructions , les poutres n'étant en général prises dans les murs que de 0«,30 à 0"»50 au plus , cela ne suffit pas pour produire un encastrement complet, et il est prudent de supposer que les pièces reposent sur deux appuis (226 )•
250. Remarques. V*. Dans les limites de charge où Télasticité n*est pas altérée , et qui sont celles que supposent les formules précédentes, qu'il convient d'adopter dans la pratique , la fonte et le fer résistant également à l'extension et à la compression (216 et 218)» il en résulte que pour les poutires à simple T, il est indifférent de placer la nervure horizontale en dessus ou en dessous. Pour la rupture, la nervure se place eo dessus ou en dessous , suivant que la résistance de la matière à la rupture est plus grande ou plus petite pour l'extension que pour la compression (page 276}.
Par les mêmes raisons, dans les poutres à double T, les nervures doivent être les mêmes dans les limites de la pratiqile. Cependant, eu égard à ce que la fonte résiste bien mieux à la rupture par compression que par traction, les ingénieurs anglais, dans les poutres de pont, donnent à la nervure inférieure une étendue beaucoup plus grande qu'à la nervure supérieure.
2*. Il est prudent de ne faire travailler les poutres en fonte soumises à des vibrations, comme celles des ponts de chemin Ae fer, qu'au 1/5 et même au 1/6 de la charge de rupture. Pour les ponts ordinaires, on va jusqu'au HU» La résistance moyenne de la fonte à la rupture par flexion étant 32û/il 000 kil., on fera dans les formules précédentesR égal au 1/5, ou au 1/6, ou au l/A de ce nombre, selon les cas. Des ingénieurs font souvent R=: 7500000 pour les pièces ordinaires de machines, R = 3000000 pour les arbres de roues hydrauliques et les poutres de ponts ordinaires , et R » 2000000 et quelquefois moins pour les ponts de chemin de fer (220).
Des expériences faites par M. Baumgarten sur des poutres en fonte d'une certaine dimension, et non sur de petits échantillons, ont conduit à des valeurs moindres pour la charge de rupture R et pour le coefficient d'élasticité E; on a obtenu en moyenne R = 27^00 000 et £ = 9595000 000. Ces nombres vérifient ceux obtenus avant sur le viaduc de Tarascon et consignés dans un rapport de MM. Gollet-Meygret et Desplaces.
3*. On admet que la flexion des poutres en fonte ne doit pas dépasser 1^600 de la portée, et quUl conviendrait de la limitera 1/2000.
&*. Les ingénieurs anglais pensent que la charge d'un pont varie de
HÉSISTANCE DC9 MATÉRIAUX. 289
5000 à 6655 kilog. par mètre de longueur de paire de rai]s. La charge d^épreuTe excède rarement le 1/3 de celle de rupture, et on préfère souvent n*aller qu^à la charge réelle maximum, en observant les flexions.
5*. Des expi^rlences de M. Fairbaîrn, 11 résulte que les flexions sont encore proportionnelles aux charges pour les poutres en fer à double T, et que le coefficient d'élasticité est E = il 502 000 000.
Des expériences récentes faites au Conservatoire des arts et métiers sur des poutres en chêne, en sapin , en fer à doubler et à semelles égales , en fonte à double T et à semelles égales , et en fonte à double T et à semelles inégales , ont également donné des flexions sensiblement proportionnelles aux charges.
6*. Des expériences de M. Fairbaim sur des tubes en t61e ont donné E = 16 600 000 000 jusqu'à une flexion de 1/378 de la portée. Le premier grand tube en tôle du pont de Gonway a donné E = 13185000000. Les ingénieurs anglais admettent que la résistance de la tôle à la rupture est, par mètre carré, 28680000^ pour la traction, et 23290000'^ pour là compression , nombres qui sont sensiblement dans le rapport de 5 à k. Dans la pratique, on peut supposer ces deux résistances égales et faire R = 6000 000 klL
951« Formules praiiqites relatives aux tourillons. Des expériences de Buchanan, il résulte que le diamètre d'un tourillon en fonte est, pour résister à la flexion , donné par la formule
d=AVPf et celui des tourillons en fer par celle
d = A:y^P = 0,863Aî}1^.
d diamètre da toorillon , en ceDtimètreg ;
k GoeflIcieDt rariable de 0.87 à 0,96 d'après les obienratioDS de BucbaDan , et de 0.74 à 0.85 d'après celles de Tredgold. On pourra considérer la faleor maxima de Bucbanan comme convenable aux toorillens soumis à des réactions brusques, comme ceux des arbres A cames; on pourra la réduire à 0.85 pour les roues hydrauliques. Dans les machines i Tapeur, on peut faire , d'après Robertson, ft=:0.69, en augmentant de 4/8 pour l'usé, et encore cette règle donne des diamètres trop forts pour les machines d'une puiSMUoe supérieure à 90 cberattx.
P charge du tourillon ou pression qu'il exerce sur son coussinet, exprimée en kilogrammes.
Ces deux formules font voir que la résistance à la flexion d'un tou-^ rillon en fonte est à celle d'un tourillon en fer de môme diamètre dans le rapport de 9 à 1/^ ; ainsi, faisant k = 0,80 pour la fonte, le diamètre d'un tourillon en fer placé dans les mômes conditions sera donné par la formule
>MlllftlB P^TO.
d = 0,80 X 0,M8 t/P - 0,69 Vi^-
^ loofi^opr convâiiable des }x)unllqp^ eçt, 4'&px^ Tp9<)^149 égale à 1,2 fois le diamètre; ce sont en effet les proportions généralement ^ptées <]jfn3 la pratique, à Texception d^ ^ufilloim çp fer dont le jîi^^ltre es^ fnférjçur à 0*^07, poiir |esquel§ |a ^pp^^^i^jr s^ prend ^e plus souvent égal^ f ,^ fpis le diamètre.
fISg. Solides (Régale rémtance. Qum^ j^ pQ pièc^ e^f encastrée par ^6 axtn|ip|tô^f chargée à Tautrp c^'i^n fc^^ P, )(e p^omçpt dç cette forcç j?9 pour fompfe la pièpe .en un ^oint que|cpji(]u^, ^f ci^utai^j; plus p^^ que pe point ^t plu^ éloigné 4e )*Qncastj*empi^^î 4^ là jl résulte que pour ne pas employer de matière ipu^le, \^ sgctiops (r^nsveri^ dd |a pi^)9 dpiyept ^ef en diminuant depuis Tepca^^ement jusqu'au pof nt d'app)ipatioi» 4u poids , poinf 9Ù 1^ seç);ion 4?y|^f nulle.
La formule PL = -g~ , donnée pour une pièce rectangulaire (SSO) ,
0ai appljlcable i^ uq point ^^elçop(^i^e de la lj)pguei}f 4^ j^ pièc$ : al<^, puppoaan^ if pe )a ^a^te^ h reste çoastante', et résolyant }^é(}uatipii par c^ppoft ^ ^f 9^ ^^ pp.^r ypQ valeur quelconque l de>,
ï^g. 57. Q^ qui f^t voir <^ue la larçpur du solide sera
proportionnelle à /; ainsi , le solide étant représenté en é|éyi(tipi^par le rectangle ABGD (Jfg. 57), dont la dimension AB = A, il le sera en plan par le triangle EFG.
Supposant au ppntraire que la largeur b restp constante , et résolvant T^uation par fa^rt à A, on aura, pour une valeur quelconque l de L,
ïlg. S8.
TBT
c*e8t-à-dire que le earré de la hauteur A sera proportionnel à //et la pièce qui est représentée en plan par le rectangle AÇcp (;^^. ^§), dont la dimension AB=: 6, le sera en élévation par Tune quelconque des trois formes paraboliques X, Y, Z, dont le sommet est au point d'application de la force P (I?d., ilio).
On peut, en opérant d'une ipfinière analogue, détiBnuiner la forme des soldes d'égale résistance , pour toutes les manières dont peuvent reposer les solides et quelle que soit la manière dont ils sont chargés.
RtSlSTAinCE OPS «ATéRIAUX. S9i
au. Pièce sounme q unejgrcf ¥ <Wi^^^ ^^ un point quelconque /^ de lq> pièce^ et Jm9arU avec la direction 4^ cette pi^ce ufi angle a. La force P se décompose en deux, Tun Psina^p normale à la direction de la pièce, et Tautre Pcosa = g dirigée suivant la direction de la P}èc§.
La direction de la force a ne passant pas au centre de gravité G de la section *de rupture, la ligne des fibres invariables se trouvera au point H différent de G, et en appelant :
n la dlstaBoe du point le plus éloigné de la seclioQ de luptufe dp la pièce ^ Ja ligne de^ ftbreti inTariablea , quand la pièce est seulement soltit^ltee par la force p; celte ligne passe alors par le point G (330)/ ' ^ ' '^'
n' la disunce HG ;
S la section de la pièce;
R le plus grand effort auquel peql è|re soufoife la nuMfire^ui compose la pièce (ttO);
I le moment d'ipe^ie de t^ section transversale déTapi^*^^);
L la longueur de la pièce ou le ibrâs de lerier de la force p;
l le bras de le?ier de la force g;
E le ooeffleient d'élasticité (390) ;
on a
On a aussi
(pL + ^flS*
',l=ph-\-ql;
n + n' d*où on conclnt , en remplaçant n' par sa valeur précédente ,
- = pL + gi+^.
S 1» aection de la pièce eatrectangiilaice, oo » (220)
^=2 ^' ^=12^' et, par suite, en remarquant que S = 6A,
Formule à l'aide de laqueUe on déterminera la charge que pourra sup-
mntas PAiTii.
porter une pièce de dimensions déterminées , on ces^imensions pour supporter une charge donnée.
Dans le cas où g = 0 , la formule précédente devient
ce que Ton devait trouver, puisqu'alors la pièce n*est plus soumise qn'k un effort p normal à sa longueur (220). Si an contraire on a p = 0 , et que la pièce soit seulement chargée d'un poids q^ on a
Dans les formultts précédentes, on a négligé la flèche produite ; ce que Ton peut fan^ dans la pratique, quoiqu^il fallût, pour plus d'exactitude, Tsjouter à L
On a , en négligeant/ par rapport à l ,
•^""ElVa ^ 2/ "*E6A»V3 ^Ty Si g =: 0 , on a
