EI

Si, au contraire, p = 0, on a /

hpV Ebh*

(comme au n* 220).

5134. Aiguille verticale supportant une charge de liquide {Jlg. 60). Appelant :

Fig. 00.

a retendue boriionule de liqnida dont la prêt-

sioD n reporte cootre raiguille; L la disunoe AB des appuis de raiguille; H la profondeur de l'eau eu ainoBt, au-dessus

du point B ; H' la profondeor de l'eau en a?al ; 9 et 9' les pressions de l'aifuille sur les pointa A

et B; iù la densité du liquide ou le poids du cube de

liquide dont le côté a senri i exprimer les

longueurs a, L, H, H'.

La pression du liquide sur la face d*amont de TaiguiUe est représentée

par la surface du triangle rectangle isocèle BGD multipliée par a et par

la densité du liquide; ainsi elle est

H' to» X a X -5-

fttolSTANGK DIS MATtUAUX. 393

Sur la face dVal de Taiguille, la pression de Teau est

Les centres de pression sont situés à des hauteurs 3 et -x- au-dessus

du point B |/n^, 1573).

La somme des pressions de Taiguille contre ses appuis est la dillérence des expressions précédentes, c'est-à-dire

-^(ff — H'«),

Prenant par rapport au point fixe B les moments des forces qui sollicitent Taiguille » puisqu'il y a équilibre, on doit avoir

On a alors

Pour un point O situé au-dessus du niveau d'aval et à la profondeur x au-dessous du niveau d'amont , on a (220)

Le point de plus grande courbure de l'aiguille » au-dessus du niveau d*aval , correspond à

Remplaçant z par cette valeur et q par la sienne dans l'équation (a) , on a pour le point de plus grande fatigue de la partie considérée , en réduisant.

Pour un point O' situé au-dessous du niveau d'aval à la hauteur zf audessus du point B, on a , en remarquant que H -- H' est la hauteur coû*^ stante de pression sur tous les points situés au-dessous de ce niveau ,

y = ,'z'-(H-H-)ïf!. W

i^i • PREUrftRE l»ARTrt.

Le point de ^n gi^àdde fatî^e de raîguiUe, àu-déi^ui au ùivéau d'aval , correspond à

»a(H— HO 2 6L(H — HT

Remplaçant z' par cette valeur et q' par la sienne dans Pèqnation (6}, il Tient pour le point de plus grande fatigue, en réduisant,

RI coa /H + H- H»-H-^y

Le moment de résistance — ou —3— , si l'aiguille est un prisme à n

section rectangulaire (220) , devra donc ,ôtf« au moins égil à la plus grande des valeurs (c) et {d).

955. fJTort tendant à faire rompre par glissement toogitudinal une pièce soumise à un effort de flexion. (Extrait d'une noté insérée dans les Annales des ponts et chaussées, année 1856, sur un Traité des ponts ^ système How^ par M. Jouravski , ingénieur russe).

Pour une pièce S, section rectangulaire encastrée par une extrémité et sollicitée et l'autre par une force P, lorsqu'il y a équilibre, une section sitiiée à la distance l de l'encastrement donne pottr somme des moments, par rapport à la ligne fléirtre , des résistances à Textension et à la compression de toutes les fibres qui composent la section

r effort taquel résistent les fibres les plus éloignées de la ligne Aes fibres innriables, par nnité de section ; la valeur limite de r est R (9S0).

Les rési3tances à l'extension d^ fibres vont en augmentant depuis la ligne neutre, où on peut les supposer nulles, jusqu'aux points les plus éioin^é^ de cette Ugné; poiûts où les fibres subissent lé plus grand allongement. La résultante de toutes ôeâ i*ésî3tances est égale à lëd^ somme , et elle a pour expression

rhh

L^ fibres qui résistent à la compression fournissent une résultante égale à la précédente, et comme elle agit en sens contraire de la première, etil enrésulte qu^ ces deuxrésultantes tendent à rompre le solide par glissement suivant le plan longitudinal contenant la ligne des fibres invariables. Appelant Q là force qui tend> rolùpre l'adhésion latérale dei fibres située» près dé la ligne des fibres invariables, on a donc

RÉSISTANCE DES ftATÉRIAUX. 39S

ou ) en remplaçant r par sa valeur tirée de Téquation (i) ,

La valeur de Q est jproportibnnelle à L — Z, et elle est maximum quand / = 0, c'est-à-dire pour le point d'encastrement , qui donne

Suivant un plan longitudinal situé à la distance y dés fibres invariables , ia valeur de 0 est

0 = -irhr-|-]- («)

Q' .augmente à mesuré que y diminue; et il est maximum poiir y = 0, c'est-à-dire pour le plan longitudinal passai^t par la ligne des fibres invariables. Faisant y = 0 dans la valeur de Q', on obtient, comme cela devait être ,

Les équations (1) et (2J deviennent pour le poin^ d'écartement , en faisant r = R » résistance à laquelle on peut soumettre les fibres ,

La formulé (é) servira à vérifier si la pièce résistera convenablement suivant f'éyëastrement , et Ik foirnulô (U) , 'ii la pièce ne se divisera JjaS longitudinaleméni Rj étani là résistance dé sécurité dé là j)ièceau glià^ sèment parallèlement à la jongueur des fibres , Q ne devra pas dépasser

Ri X 6L.

Supposant que dedx solides prismatiques dé mèiiié longueur L, largeur b et hauteur A, soient mis Tun sur Tautire et è&castrés à une extrémité, et que leur ensemble soit chargé à l'autre eittrémité d'un poids F, on aura

t9S PRUUtaU PARTIS.

Mais si les deux solides sont unis de manière à ne former qu*aae pièce, on aura

Ce qui montre qu'en empêchant les deux pièces de glisser l\me sur Tautre , on double la charge qu'elles peuvent supporter.

Dans le pratique , on s'oppose au glissement au moyen de clefs. Les formules (a) ou (a') serviront à déterminer le nombre et les dimensions de ces clefs, selon la position du joint par rapport au milieu de la hauteur de la pièce. Ces formules montrent de plus que Q' est proportionnel à r ; or comme r est proportionnel , pour un même poids P, à L — l (formule 1) , on voit que les clefs devront être également espacées entre elles sur toute la longueur de la pièce. 11 est évident que Ton devra calculer le nombre des clefs pour la plus grande valeur de Q', c'est-à-dire pour le point d'encastrement, ou en faisant r = R dans les équations (a) et (a'). Les clefs doivent avoir une largeur telle, qu'elles ne soient pas cisaillées transversalement par les deux parties de la poutre , et leur hauteur doit donner des entailles capables de résister ensemble à la compression Q sans altération.

Les clefs, sous l'action des deux parties de la poutre, tendent à tourner autour de leur axe; il en résulte qu'elles ne pressent pas uniformément contre les entailles , et que pour cette raison , on doit augmenter un peu la profondeur de ces entailles. De plus , cette tendance des clefs à tourner écarteraient les pièces qui forment la poutre, si on ne les reliait entre elles par des brides en fer.

Si la poutre reposait sur deux appuis placés à ses extrémités, et qu'elle fût ciiargée du poids F en son milieu, on la considérerait comme étant encastrée au milieu de sa longueur, et chargée à chaque extrémité du

poids -T.

Si , dans, ce dernier cas, le poids P était réparti uniformément sur toute la longueur de la poutre , p étant la charge par mètre de longueur, on aurait P^pL, et pour l'équilibre d'une longueur L—Z, comptée à partir d'une extrémité , la formule (1) deviendrait

T = f(j-')-U5-')' La force Q, qui tend et opérer la disjonction de la poutre suivant l'étendue L—/, est -.- , et on a , en remplaçant r par sa valeur tirée de réquation précédente,

RÉfilSTAHCE 0B8 IUTtlU€X. 297

La valeur de Q angnientant à mesure que le carré de l est plus petit, on voit que les clefs devront être plus rapprochées ou plus profondes vers les extrémités de la poutre qu*au milieu. De môme, pour une poutre encastrée à une extrémité» et chargée uniformément sur toute sa longueur, les clefs doivent être de plus en plus rapprochées ou plus profondes à partir de Pencastrement

Les considérations précédentes s'appliquent aux rivets des poutres en tôle , comme aux clefs des poutres en bois.

usa. Résistance à la torsion. Lorsqu'une pièce prismatique homogène est soumise à un effort de torsion , tant qu'on n'a pas dépassé la limite d'élasticité, le rapport de cet effort à l'angle de torsion est à peu près constant pour une même matière. Désignant par G ce rapport, par Q l'effort , et par 6 Fangle de torsion , pour une tige ayant l'unité de longueur et l'unité de section , on a y = G , que l'on peut appeler coefficient de torsion.

Pour un solide cylindrique ou prismatique, on a

Pp=|l. à'où t=?e^. (a)

P force tendant i tordre le oorps en agissant dans un pian normal à Fa»;

p bras de loTier de P, ou longueur de la perpendieuUire oommune i la direction de P et i l'axe du corps ;

pp moment de la force P ;

i angle de torsion , ou longueur de Tare décrit par un point situé i l'unité de distance de Paxe du eorps , ou encore longueur de l'arc décrit par un point quelconque du eorps, divisée par la distance de ce point à l'axe ;

L longueur de la pièce;

l==i»<dc0 snmme des produits de la surface Ao de la section de chacune des fibres^ élémentaires qui composent la pièce par le carré de la distance n de cette flbi'e ' i l'axe. I a été appelé mameni ^inerUi polaire par M. Persy .

Pour une section circulaire. ' ^ V*

Pour une section en couronne circulaire. . 1 = -^ — ^ — '.

Pour une section rectangulaire. I = oTmXmx-

a* Pour une section carrée, g = 6 = A et 1= ^.

r rayon du cylindre plein ; r et r' rayons eilérieur et intérieur du cylindre creux; 6 et À côtés de la section de la pièce prismatique ; q côté de la pièce i section carrée.

Des expériences de M. Duleau, de M. Favardet de la société indu^-

29d l>tiirfÈRB fA«^.

trlelle do Mulhouse, et de |)[iisiéiirâ ôbservstidiis, M. ttôrid ëonélat le tableau suivant deô valeurs de G:

Fer doux S 000 000 0^

Fer en barret. » 6 666 000 000

Acier d'Allemagne 6 000 600 OÔO

Acier fonda, trèi-fln 40000000000

Fonte S 000 OOÔ 000

CuiTre 4 36<i 000 000.

Bronie 4 066 000 000

Chêne 400 000 000

Sapin. tatàoooood

Dans la pratique, il convient dé limiter asies Tangle de torsion pour qu*il ne nuise ^as à la transmission de mouvement et que rélastidté de la fibre la plus éloignée de Taxe ne soit pas altérée. Or cette fibre formant une hélice dont la tangente fait avec ta position primitive de là

fibre un angle dont la tangente trigonométrique est -=-, c*est cette tângente qu'il suffit de limiter.

n' distance de l'axe à la fibre qui en est là plvt &lolgn6e.

Des expériences et obs^vations citées ci-dessus, il résulte que Ton peut fahre pour les atrbres d^^gés

Tangente qui correspond à un angle de 2' 18'^ formé par tes deux positions de la fibre.

Pour les arbres forts ou preînlers moteurs, on hiti

On a donc en moyenne

^ = 0,0006, d'où i = 0,6od 5 -, .

Comme t>6ur \éà arbres cylindriques pleins, cylindriques creux,' à section rectangulaire et à section carrée, on a respectivement

On a donc pour ces sections respectives:

t = 0,0005 i t = 0,0006 ^ t == 0,0006 , JJL, t = 0,0005 ^^.

femptàçàni dans là première dés formules (a) t et' I par leurs valeurs; on a pour les sections précédentes les formules pratiques

Pp= 0,000 6G^ Pp = 0,000 5g''^^^^'^ Pp = 0,000 5g5^H^=^ Pp = 0,000 5G-Cî.

Ces dernières formules servent à calculer quelles doivent èlrë les dlinënsfûns dé la ^tton traïisvei*âale de Parbre pour insister à un moment donné Pp^ et elles font voir que ce icnoment est indépendant de la longueur L de la pièce , fce (Jtli eôt ôvldenlmènf vrai jusqu'au moment de rupture. Les exijféssious dé t fdiit voir au contraire que Tangle de toi*slon est proportionnel à L et àû itibilieiit Pp.'

bës ëxi)ériencès de iM; Carilloii shr âëâ foàf^ flè Paf Is et dé diffé^

rerttes locaUtës françaises, il rëstiltè que là valeur d;o6ô 667 de ^ n'est

qtfè lé 1/ffl enviro'ti de celle ijuf corfes^oûd i la rupture ; te <jui iiidîcjue qtlë la formulé prati(|ue conddit à dés diUéù^iiàr t[ue l'on peut consi* d#er comme dùt)érieùres § celleiSr nêëëâsâfféS:

Formule pratique. On peut encore se servir, pouf dlêtérnimér le àidmèl^re à dpimer aux pièces cylindriques soumises à un effort de torsion, de la formule

k ooefllcient dont la raleiir dépend de U nttnre de It pièce;

à diamètre de la pièce en cenU^fij^;

A ifaanUtè d'actlo^ traiiBmiie par la pièce en une minute, exprimée en kilo-

framittétref; « ,

% nombre de toura que tait la pièce en nné iM^të.

' Pour îin arbre creux, la quantité d^ac^ioa £ qu'il jpëut &ansmettré est égale à celle que pourrait transmettre l'arbre s'il était plein, moins celle que pourrait trànstnetb'e un arbre plein d*!!!^ diamètre é^l au diamètre intérieur de l'arbre creux ; d'où il résulte qu'en appelant d le diamètre extérieur de l'arbre creux, et d' son diamètre intérieur, on a

D*aprèjï Bdchanan, Ar=.2.3 pour les arbred où tourillons en fonte, ^ ...... , .

et A; = j7 X 2.3= l./i8 pour les arbres ou tourillons en fer. Mais , àme-

sure que les moyens de fabrication se sont perfectionnés, les dimensions des différentes pièces de machines ont dû diminuer, et, diaprés léâ observations de M. Walter, àl^ 2! iBâchlriès plus récentes, et dont lèS

502 PREHifeRE PARTIE.

La içQ^ur |L $st pr4ipjj(|;;^£n( é^ie à trois fois La course du j^ston.

On donne au balancier là forme parabolique (^Z2 ^ffntl iî^ afin de pouvoir fixer les petits afbV^ au,'n çorte à ses ejtr^^t4S;,'on le termine par des manchons dont le ra^^on extérieur est é^^l au' rayon intérieur multiplié par 5/2 ; ces manchons sont raccordés avec les aires de parabole par de/s tangentes communes droites ou couf bes. Au lieu de faire passer les arcs de parabole par les centres dés manchons , comme l'indique la théorie, on les ^ait quelquefois passer par les points extérieurs de ces manchons, p'est-à-dire par les points e^ctrêmes du balancier. Souvent même on se contente ciè tracer des arcs de cercle tangents aux circonférences extérieures des deux manchons, et passant par les points extrêmes de la hauteur yi.

La saillie des nervures yariê des 2/3 de Tépaisseur b du balancier à une fois cette épaisseur.

La longueur totale des moyeu^ recevant les différents axes fixés au balancier varie de 1.5 à 2 fois le diamètre de ces axes. Ce diamètre est égal à 1,2 fols celui des tourîllonç, et celui-ci se calcule par la formule du n" 222. La longueur du grand moyeu variç ordinairement entre les 2/5 et la 1/2 de A. . "' '

259. Dimensions des manivelles (86 et suivants). On peut considérer une manivelle comme étant un solide encastré par une de ses extrémités et sollicité à l'autre par une certaine force. On obtiendra donc ses dimensions^ en négligeant les nervures, au moyen de la formule

P foroe agisffant à rextrémité de la manivelle;

L longueur de la maDifelle ;

^=7000000 (SSO, SdO), mais pi convienl, ponmae dans le o^méfç précëdegf, de

faire R = 4670000 pour les maDivelles en fonte ; h épaisseur de la manivelle, en mètres; % haaleur de la manivelle au point d'eiicaatremeiit , en mètres.

On donne à répçiisseur (>, çui est uniforme sur toutç |a Jpijgueur de la manivelle, de 1/6 à 1/5 de h\ seulement on renforce h par une nervure qui joint les extrémités des manchons que porte la manivelle.

On donne à la manivelle la forme parabolique (232 et IrU.^ 112/1), et on raccorde les deux manchons aux arcs de parabole par de^ arcs de cercle tangents aux manchons et aux arcs de parabole. Le manchon qui reçoit Tarbre moteur a un rayon extérieur égal à 1,8 et jusqu'à 2,2 fois le rayon intérieur; le manchon qui reçoit le maneton a un rayon extérieur égal à 2 et jusqu'à 2,6 fois le rayon intérieur,

La longueur de ces manchons est ordinairement égiale à 1,2 fois leur diamètre intérieur.

Le diamètre du maneton se calcule par la formule du n*» 222, et celui de l'arbre moteur par celles du n" 236.

MO. Jisnts df roufi d'fngr^Mig^ (93 e^ suiraote}. Oo peut considérer une deQ^ ^"epgren^ge comme étant un solide encastré par une de ses iextr^mités et sollicité ji l'autre par un certain effort ; ses dimensions seroat donc dojmie& par la formule

P pression que supporte la dent en kilogrammes ; on suppose P égal i la pression

totale d'une roue d'eingrënage sur l'autre, et appliqué à'Pexlrémité de la dent,

comme étant le cas le plus fororable i la rupture ; |« longueur de la dent , c'est «a saillie sur la jan^ ; j largeur de la dent;

À hauteur ou épaisseur de la dent , suifant l;i circonférence de la rouç ; tl = 7dr<K>000 (iiO^ 230 ] ; mais les dents d'engredage étant soumises à^des chocs, il

rèiulie des observations de Tredgold qu'il convient de fatic K=: 4500000

ppur les den^ en fonte.

Remplaçant R par sa valeur dans la formule précédent^ , pn a

pt=:25PP0p^A».

Cependant, pour des roues faites avec soin et transmettant un effort régulier, on peut' poter

PL = 300 oeo6A«.

p^pç 1^ SfîQque (^ IJut L = 1.2A po^r les engpejsg^ qjff tran^nietl^f d^ jgrauds piTprtfy 0 L = i,^h pojir ce.u^ qui »p .tr^^pttef)t que de faibles charges.

La valeur de b est comprise entre 6h et 3A, suivant que P est plus ou miolxis grand; c'est ce que fait voir le tableau suivant :

nt^ dp f 9|k lUloi;.

y9l0ur»|^t»r«9de«a(^

*=3,Bfc