Squilibre dynaamqus de la presse à coin {Int., i54Q
Pour l'équilibre dynamique, OB doit
avoir
^an^a — 2i—f tondra ^ '
P Ibrm motrice agissant normalement à la lète du cofn ;
Q résistanee utile qu'oppose la matière i comprimer;
angle que fait )a tête da coin ayec chacune des faces trayaillantes ;
coefiBcient de frottement (60)^ que l'on suppose être le même pour les deux faces
trayaillanlts du oohi et poar le bloc inierposé entre le coin et la matière sur son
support.
Pour Q=iOOOkil.<» «=87* !•% d'où {InL^ iOii) ^an^ a =20,305 558, ou sensiblement 20^2, et/r=0,16, qui convient au chêne frotté de sar von sec glissant sur chênç, les fibres étant parallèles (61), Téquation précédante dpnne
Telle est la relation qui doit exista entre la puissance P et la rési^ tance utile Q pour qu'il y ait équilibre dynamique, c'est-à-dire pour que le moindre effort mette la presse en mouvement, et que ce mouvement se conserve uniforme quand cet effort additionnel cesse son action. Il est évident qu'an tel mouvement ne peut se réaliser qu'autant que la résistance Q reste constante, ce qui n'a pas lieu quand on comprime des matières; mais, dans toutes lies positions, les taleun de P et Q sont liées par la relation précédente.
L'application qui vient d'être faite montre que oette presse est peu avantageuse pour obtenir de grandes compressions, et qu'il ne convient guère de l'employer quand la force motrice n'est qu'une simple pression , et non le résultat d'un cboc*
77. Relation entre le. travail moteur et le travail utile résistant.
Pour un abaissement ^du coin , I9 bloc comprimant avançant de 2e', les travaux moteur et utile sont
PX€ et 0x2e'.
Ona(/wf., 1000)
e=e'^a«^fc (h)
Multipliant membre à membre les équations (a) et (6) , on obtient
^ t(maa^2t^Piang(i^
ùmg
PfiBHIfiRB PàRTIB.
Formule donnant le travail moteur Pe en fonction du travail utile Q X 2e'.
78. Équilibre dynamique de la presse à vis à filets carrés (InU^ 1554).
Appelant :
P la puissance agissant dans un plan perpendiculaire i
Taxe. La force P est supposée répartie uniformément
autour de l'axe de la yis /afin qu'elle ne fasse nattre
aucune* pression contre la surface latérale des filets;
ainsi elle est composée^ par exemple , de deux forces
- P formant un couple dont le bras de lerier est di-
▼Isé en deux parties égales par l'axe ; r le bras de leyier de la puissance P; r' le rayon moyen de la surface hélicoïdale en contact; le rayon de la surface par laquelle le bout de la vis fjrotte sur AB ; l'angle que fait rhélice moyenne, ou mieux la tangente i cette hélice» avec le plan perpendiculaire i l'axe; h le pas de Thélioe {Int,^ 4468); c'est l'espace parcouru suiyant l'axe de la ris pour une réyolution de cette vis , ou encore la distance d'axe en axe de deux filets consécutifs; f le coefficient de frottement , que l'on suppose être le même pour les filets et le
bout de la Tis ; Q la résistance utile que la matière oppose au mouvement de translation de la vis ; elle agit suiyant l'axe de la yis,
on a, pour Téquilibre dynamique,
ou, en remplaçant tanga par son égal
Jl
Dans le cas dU on néglige le frottement du bout de la vis sur la sur^ face AB» ces formules deviennent respectivement
et
^^r ^i—ftanga'
Application. Pour Q = 9000 kil., r =1%00, 7^= 0»,03û, r" = 0»,025, h = O^jOie et /= 0,08, la formule (a) donne
034 0,016+2x3,lùx0,03/iX0,08 . 2x0,025x0,08
lUGHlIISS SniPLBg. 61
au lieu de
P = 9000 X 0,005299 =rA7S60,
quand on ne tient pas compte du frottement du bout de la Tis; ce frottement n^est donc pas négligeable.
79. H-euil. Çtnt, n*' UiS et suivants). En négligeant les frottements
des tourillons du treuil (fig.S)^ on a« pour réquilibre dynamique,
Px27up = Qx2jcg, d'où Vp = Qq.
p puitMiiee ou tùttt notriM aglnut dm « R Tr ^^ T P Pz pitn normal â l'axo du treoii ;
p bras de lerier de P, par rapport i Taxa da treuil ; Q résistance yaincue agissant dans un plan normal i Taxe du treaU; 9 bras de levier de Q, par rapport à l'axe da treuil.
Les forces P et Q peuvent ne pas être parallèles entre elles.
80. En tenant compte du frottement des tourillons du treuil, la formule précédente détient
I^ = Q^ +f^r -h/RV.
f ooeiBeient de frottement des tourillons sur leurs coussinets ;
retr' rayons des tourillons;
Ret R' résultantes des composantes des trois forces : le poids du treuil , la puissante P et la résistance Q, décomposées chacune en deux autres agissant dans des plans normaux i Faxe, an milieu de la longueur des tourillons r et r' {Int., 4365, 4390);
fRret/KV moments des frottements des tourillons.
Gomme R et R' dépendent de Q, on résoudra Téquation précédente par tâtonnement : on déterminera d'abord Q en n^lîgeant le frottement des tourillons (79) ; ayant Q , on déterminera les valeurs correspondantes de R et R', par les décompositions indiquées plus haut et figure 8; ces valeurs, substituées dans Téquation précédente, donneront une deuxième valeur de Q plus exacte que la première. Opérant sur cette seconde valeur de Q comme pour la première, on obtiendra une troisième valeur s'approchant encore plus de la vérité, et en continuant ainsi de suite , on obtiendra pour Q une valeur aussi exacte qu^on voudra. Dans la pratique, on pourra généralement considérer la deuxième valeur de Q commesuffisamment approchée de la valeur réelle.
8i. Cabestan. Si, outre les forces P et Q qui sollicitent le treuil en agissant dans des plans normaux à son axe, ime force F agit parallèlement à cet axe, comme cela arrive dans les cabestans, qui ne sont autre chose que des treuils à axe vertical, dont le poids, au lieu de se reporter sur le contour des tourillons, agit sur la face horizontale du pivot inférieur, la formule posée pour le treuil (80j devient
62 l^ftKMlMlB PAftTtt.
f 'F » r'' moment du froiteifient de U face horizontale da ptvoi (64) ;
f' coefficient de frottement qui peut être différent de celui du pourtour du pivot;
r" rtjon de la Mirraoe fh>IU&tê horltotiUI* du pit et.
82. FrottemeTii dê$ engrenaget. Loivqu'un corps se meut en roulant et glissant à la fois sur un autre corps, on admet que le travail total absorbé par les deux frottements est le même que si un simple frottement de glissement avait lieu sur la difTérence des chemins parcourus réciproquement par une surface sur Tautre, et un simple frottement de roulement sur le plus petit des chemins parcourus (/n^., 1550). Dans les engrenages, les deux mouvements de roulement et de glissement sont réunis, et on trouve, en négligeant le frottement de roulement, qui est toujours très-faible (InL^ 1551),
Vtn travail moteur dépensé par la roue qui conduit ;
JFu travail utile dont on peut disposer sur l'arbre de la roue conduite ;
Vu X — ( ~ + "; 1 » lr*v*il absorbé par le frottement ; ^ 3 \r r )
f coefficient de frottement, variable taif tnt la native 4#a éenlt et It amière dont
elles sont baissées (61 ) ; il pas de l'engrenage ; c'est la distance d'aie en aie de deux dents cenaècntives , prise
sur la circonférence primitive '^ r et r' rayons des circonférences primitivet des deux roiMs.
La formule précédente fait voir que pour des roues de rayons donnés le travail absorbé par le frottement est proportionnel au pas a, qu^fl faut par conséquent prendre le plus petit possible. La même formule montre encore que pour les mêmes valeurs de a, r et r', le rapport entre le travail moteur et le travail utile est le même, quelle que soit la roue qui commande Tautre.
Pour les engrenages cylindriques, on peut mettre la fonnule prôeédente sous la forme plus commode
M et n' ' nombres de dents contenus dans les engrenages.
Application. On a flr«=^.60.0*» par seconde, la roue motriee a lO0 dents et le pfgnofi 21 , le graissage des dents est bien fait et dooiie /= 0,08 ; il s^agit de déterminer le travail utile Vu ^ue pouira transmettre Tarbre du pignon 4ans une seconde.
MAGHIIfES SIMPLES.
RwiplaçAot Jios litres p^ leurs valeurs dans la dernière expression de Tint on a
xO.Wx3.14(jL + ^^),
tf OÙ Ton tire
^•^^rrô:^!?^^^^^'"''^-
Le tmTail al)6orbé par le ûx)ttementen une iecoode est égal à
a^^ - afV = 300 — 295.71 = il*«,29.
88. Pour les engrenages coniques, on fait otage de la premiers Ibr-
mule (82); seulement, au lieu de prendre pour t et r' les rayons des engrenages, on prend les perpendiculaires à la génératrioe de eoiitaot, prolon^ gées jusqu^aux axes des engrenages; ainsi p et p' étant ces perpendieulairai {Jig, 9), on a
84. Pour une crémaillère commandée par une roue d^engreni^ ou conunandant une roue d'engrenage, on a {Int,^ 1552],
« ^M ëe l*Msreii«s« el de U «rénaillire;
r ra^oa 4e la clrconféreDce primiiive de Vengrensge.
83. Suivant que les engrenages métalliques sont exécutés avec plus ou moins de soin, rintervalle outre deux dents consèculftes est égal à répaisseur de la dent, augmentée de 1/20 à 1/10 de cette épaisseur, c'est-à-dire qu'il y a de 1/20 à 1/10 de jeu entre les dents engrenées; ce jeu varie de 1/10 à 1/6 pour les engreni^es à dents de bois.
Pour rendre le frottement des engrenages le plus petit possible, en fait les surfaces de contact en épîcyclgîde ou en développante de eerde {Inty llZi/ii, 1160); mais, îl cause des difficultés d'exécution, pour les engrenages ordinaires , on se contente dVcs de eer de décrits avec le pas de l'engrenage pour rayon , et d'nn centre pris sur la circonférence primitive ou de contact ; des constructeurs prennent les 3jà du pas pour rayon. Le reste des joues de chaque dent est un plan tangent à ces arcs et passant par le centre de la roue. C'est surtout pour les petits pignons à grosses dents s'engrenant avec de grandes roues, qu'il faut avoir recours aux tracés en développantes ou en épicyeloïdes.
Pour les engrenages coniques, il faudrait prendre des développantes
64 PREMiftfiB PARTIS.
on des épicycloïdes sphériques ; mais on se contente également (Tares de cercle. (Voir la résistance des matériaux pour les dimensions des différentes parties des roues d'engrenage.)
89* Travail absorbé par le frottement du bouton d^une manivelle. Pour obtenir ce travail, on développe la circonférence du bouton de la manivelle, et on élève aux diiTérents points de ce développement, que l'on considère comme axe des abscisses, des perpendiculaires ou ordonnées représentant Fintensité du flottement correspondant à ces difiérents points; Taire de la courbe ainsi obtenue, que Ton peut calculer à Taide de la formule de Thomas Simpson ou de celle de M. Poncelet, représente le travail absorbé par le frottement pour une révolution (/n^., 1178 et 117»).
L'intensité du frottement correspondant % un point quelconque de Taxe des abscisses est représentée par le ooefficient de frottement multiplié par la pression qu'exerce la bielle sur le bouton de la manivelle, au moment où son axe rencontre ce bouton au point considéré.
Si la bielle exerce un effort constant sur le bouton de la manivelle, le travail absorbé par le frottement est' le même que pour un tourillon ordinaire (6h)9 et, pour uue révolution de la manivelle, on a i
yn = 23cf/P. \
3n travail absorbé ;
r rafon du bouton de la maDivellc ; *
f eoefficient de frottement ;
P pression constante de la bielle sur le bouton de la manivelle.
Cette formule fait voir que le travail absorbé est proportionnel au rayon r, qu'il faudra par conséquent prendre le plus petit possible. Aussi doit-on éviter l'emploi des excentriques pour la transmission des grands efforts, l'expression du travail absorbé par le flottement étant la môme que pour le bouton d'une manivelle, et r étant très-grand, puisque c'est le rayon de figure de l'excentrique.
87. Une mxmwelle peut être à double effet ou à simple effet. Dans le premier cas, qui est celui supposé formule n** 86, la force qui agit sur la bielle est dirigée dans un sens pendant la première moitié de la révolution de la manivelle, et dans l'autre sens pendant la seconde moitié. Dans le deuxième cas , la force n'agit que dans un sens et ne sollicite la manivelle que pendant la moîtil de sa révolution; de telle sorte que le travail absorbïpar le frottement, pour une révolution complète de la manivelle, n'est que
88. Equilibre dynamique d^une manivelle à double effet. Cet équi* libre ne peut être que périodique (ù9), et On doit avoir, pour une période ou un tour de manivelle, en négligeant les frottements,
MACHINES SDII*LfiS. 6j
0x2j:R = FxAR, d'Où Q = ?F.
Q résisUnoe agissant sur l'arbre d« la raaniydle à Pertréoité &m bras de levier qM Ton suppose égal au rayon de la UMnivelle ;
R rayon de la maniTelie ;
2icR chemin parcoara par la résistance Q pour un tour de manivelle ;
Q X SicR travail absorbé par la résistance Q, aussi pour un tour de maoivelle ;
F force agiwant sur l'axe de la bielle , «pie l'on suppose asseï long pour qu'on puisse le eonsidérer comme resUnt UHyonrs parallèle i Ini-fiénie, et négliger sa variation de direction ;
4R espaceparcouru par la puissance F pour un tour de manivelle , c'est-i-dire pour une allée et une venue de le bielle; « " » '
F X 4r travail développé par la puissance F, aussi pour un tour de manl»elie on nne allée et une venue de la bielle.
Pendant chaque demi-révolution de la manivelle, le momeat de la puissance F, par rapport à Taxe de la manivelle, varie pour toute» les positions de la bielle , et les valeurs minimum , moyenne et maximum de ce moment, valeurs qui senties mêmes pour un tour entier de manivelle, sont respectivement :
FXO, Fx-R, FxR;
quantités qui sont dans le rapport des nombres : , .
ou
La grande différence de ces nombres proportionnels fait voir combien la marche d'une maoivelle est irré^lière.
89- Équilibre dynamique de deux manivelles à double effet maniées à angle droit sur le même arbre. Chaque manivelle agit en particulier comme dans le cas précédent, et leur ensemble ne peut eucore donner qu'un équilibre dynamique périodique, pour lequel on doit avoir, pour un tour des manivelles et en négligeant les frottements,
0 X 2)tR = 2F X ÛR, d'Où Q=-x2F.
Q et R ont les mêmes significations que dans le cas précéden t ; F force qui agit suivant l'axe de chacune des bielles.
lies sommes de moments minimum, moyenne et maximum des forces F, pour une révolution des manivelles , sont successivement :
PxR, 2FX ~ R, 2Fx j^i
66 PR£Bll£]l£ PÀETIS.
valeurs qui sont daas le rapport des nombres :
ou
Q0« Équilibre dynamique de trois manivelles à double effet montées sur le même arbre et faisant entre elles des angles égaux. Cet équilibre ne peut encore être que p^iodique, et on doit avoir» pour une période , co» négligeant les frottements,
Qx2xR = 3PxAR, d'où 0=-xaF.
Les lettres ont les mêmes significations que dans le cas précédent , et les sommes de moments minimum, moyenne et maximum des forces F, pour une révolution des manivelles, sont successivement :
FRv^, 3F ?R, 2FR;
valeurs qui sont dans le rapport des nombres r
ou
En employant 5, 7, 11 manivelles convenablement disposées, on
augmenterait encore la régularité du mouvement ; mais les grandes difficultés d'ajustage et les complications du mécanisme font renoncer à remploi de plus de trois manivelles montées sur le même arbre.
91. Équilibre dynamique d^une rAanivelle à simple effet (87). Cet * équilibre est encore périodique , et on doit avoir, pour une révolution
complète de la manivelle, en négligeant les frottements,
F Ox2tcR = Fx2R, d'où 0=-.
Cela suppose que la résistance Q agit, eomme pour une manivelle à double effË!t , pendant la révolution complète.
Les moments, miolmum, moyen et maximum de la fbrce, pour une révolution complète de la manivelle sont successivement :
FxP, Fx-, FxR;
valeurs qui sont dans le rapport des nombres :
0, 0.3ia, i,
ou .
92. Bielle, Pour qu'une bielle transomtte le plus convenablement
MàCHUOES SIMPLIS. 6T
possible 4 à une manivelle, Teffort qtii laioUlcite^ il feutquena longueur soit la plus grande possible; mais , afin de tie pas ètfe obligé de lui donner une section trop considérable, on se contente de faire sa longueur égale à 5 ou 6 fois le rayon de manivelle.
93. Volant pour une manivelle à simple effkt et à double effet, Afin de rendre possible la marche d*une manivelle , et de régulariser plus ou moins son mouvement, on fait usage d^un volant qui accumule Texcès du travail moteur sur le travail résistant quand ce premier est supérieur au second , pour le restituer quand le travarl résistant devient supérieur au travail moteur [InL, 1689).
Pour une manivelle à simple effet , le poids du volant est donné par la formule ^
PV« =î 0.5611 X m X g1L , (a)
de laquelle on conclut
Pour une manivelle à double effet, on a
|>V»=: 0.2105 X F2R X 5rK , (c)
d'où
P Potds du Yôlant ou plutôt d6 sa jante , car on néglige la régularité due aux braa et au
moyeu dans rétablissement de ces formules; V vitesse moyenne de la Jante du Volant ^ F force agissant suivant l'axe de la bielle ; H rayon de la manivelle*; n puissante dé la force F en chevaux ; M nombre de tours du volant par minute ;
K coefficient dç régularité du mouvêt&ent ; sa valeur dépend du genre de travail à produire»
Pour une manivelle à simple effet, on coûClut (91)
n X 75''" = --SÎ — w, et pour une manivelle à double efe|i(88), ' '-
n X 75''" = — ^T— tM
ou
C'est à raide de ces relations que Ton passe des formules (d) et {c) k celles (6) et (d).
Pour deux manivelles à double effet montées i angle droit sur le même arbre , la formule.((2) devient
mn
Poar les machines i yapenr à basse pression , Watt fait , dans les cas ordinaires de la pratique , K = 32 ; ce coefficient varie de 35 i 40 quand les machines commandent des fllatures où Ton fabrique les numéros 40 i 60^ et de 50 i 60 pour des filatures à mtméros très-fins (voir la 3" partie).
Le numéro d'un fil de coton est le nombre d'échevaux de 4000 mètres pesant ensemble un demi-kilogramme. Ainsi le demi-kilogramme du numéro 50 contient 50 écheveaux.
K atteint parfois la valeur 25 pc^ur des machines ou des usines qui n'ont pas besoin d'une grande régularité de mouvement , comme des scieries , des moulins i blé , des pompes, etc , et il atteint même 20 pour des marteaux de forge (449).
L'examen des formules précédentes fait voir que le poids du volant est d'autant plus petit que la vitesse de la jante est plus grande. L'expérience prouve que cette vitesse peut atteindre 25 à 30 mètres par seconde , mais qu'il est dangereux de dépasser cette limite.
Le rayon du volant est ordinairement égal à 5 ou 6 fois celui de la manivelle.
Application, En appliquant la formule {d) à une machine à basse pression , de la force de 40 chevaux , faisant marcher la filature de Logelbach , près Golmar, on trouve , pour le poids de la jante du volant, 9320 kilog., au lieu de 9/i50 kilog., comme l'avaient adopté les codstructeurs MM. Watt et Boulton.
Le diamètre moyen de la jante est de 6"',10 , et le nombre de tours du Volant, 19 par minute, ce qui donne une vitesse de6'",06 par seconde. Les numéros des fils de coton varient de 40 à 60, ce qui a fait adopter 35 pour la valeur de K.
94. Volant pour une manivelle à simple effet et à contre-poids. Si , sur le prolongement d'une manivelle , au delà de son centre de rotation, on place un contre-poids tel, que le travail qu'il absorbera en s'élevant et restituera en descendant soit moitié de celui que produit la force motrice pour la 1/2 révolution pendant laquelle elle agit, cette manivelle agira comme une manivelle à double efiet , et le poids du volant sera donné par la formule
PV« + Q». = ^«^ K.
P, V,n,m, K, ont les mêiàes significations qu'au numéro précédent;
Q . poids du contre-poids ;
V vitesse moyenne du centre de gravité du contre-poids*
Remarque. Les formules des n"* 93 et 94 s'appliquent encore au cas où le volant n'est pas placé sur l'arbre même de la manivelle, pourvu que m exprime toujours le nombre de tours de la manivelle par minute, tandis que V et t? expriment les vitesses de la jante du volant et du contre-poids ; mais, dans la pratique , il faut toujours placer le volant sur l'arbre des organes qui rendent irrégulière la transmission ou rabsorption du travail moteur, et le plus près possible de ces organes.
95. Equilibre dynamique de Vexcentrique. Dans une transmission de mouvement au moyen d'un excentrique , l'équilibre est périodique, et on doit avoir
P X 2iiR =4Fd +/F X 2w.
puissance qui agit sur l'arbre de l'excentrique ;
bras de levier de la puissance ;
résistance appliquée à la bielle que met en mouvement l'excentrique ;
distance du centre de rotation au centre de flgure de l'excentrique, ou 4 /S espace parcouru par la résistance pour une detni-révolution de l'excentrique;
coefBcient do frottement au pourtour de l'excentrique ;
rayon de figure de l'excentrique ; P X 3icR travail dépensé par la puissance pour une révolution de l'excentrique ; 4Fd travail utile produit «f.
^F X 3icr travail absorbé par le flottement id.
L'excentrique présente les mômes irrégularités de mouvement que la manivelle (88, 89, 90, 91).
96. Equilibre dynamique du piloji (Int.^ 1653). Supposant que la Fig. 10. puissance agit verticalement sous le mentonnet,
pendant toute la course d'un pilon guidé par deux prisons, pour qu'il y ait équilibre dynamique, on doit avoir, pour chaque levée ,
y» ou PA = QA ^-^ (a)
P force motrice agissant verticalement à Pexlrémité du mentonnet ;
h levée du pilon ;
Ph travail moteur dépensé par levée du pilon ;
Q poids du pilon et de sa tige ;
Qh travail utile produit ; d distance d'axe en axe des deux prisons ou guides ; l longueur du mentonnet ou distance du point d'application de la puissance à l'axe
de la tige ; i épaisseur de la tige dans le sens de { ; f coefficient de frottement de la tige sur ses guides.
La formule précédente fait voir que le travail utile Qh est d'autant plus petit pour un même travail moteur Vh, que l est plus grand , et que si l'on suppose / = 0 , c'est-à-dire que la force P est appliquée à l'axe de la tige et agit suivant cet axe, on a
Vh=^Qh.
Ce qui montre que le travail utile est alors égal au travail moteur, et que par conséquent le frottement contre les prisons est nul.
Quand le pilon est soulevé par une came, comme cela a Jieu ordinairement , le travail absorbé par le frottement de la came sous le mentonnet est analogue à celui absorbé par le frottement d'uu pignon
70 PRSVltSRB PARTIB.
s'engrenant avec une crémaillère (84) s seulement le pa9a est remplacé par h. En tôuaQt compte de ce frottement, et m supposant que son coefficient est le même que pour les prisons , la formule (a) devient
T^ = Qh
2r{d'^2lf+f'iy
n étant le nombre des coups de pilon donnés pendant une révolution de l'arbre à cames , •! P la force motrice tangentlelle qui agit à rextrémité du rayon r, on doit areir, pour l'équilibre dynamique ,
d'où
Les oamea se font en développante du cercle {Ini.^ ll&û).
La durée totale d'un coup de pilon se compose du temps t que met
la came à élever le pilon à la hauteur A, de celui f = y2gh de la descente du pilon , et de 1/10 à 1/6 de t -^ f pour le temps employé par le pilon à agir sur la matière, qui peut être plus ou moins compressible.
97. €hoe des corps solides. Quand deux corps solides , en vertu de vitesses acquises sous l'influence de causes quelconques , tendent à occuper au mênie instant une même partie de l'espace , dès qu'ils arrivent à être ce qu'on appelle en contact , il se déclare des actions mutuelles répulsives qui atteignent un degré suffisant d'intensité pour modifier en grandeur ou en direction , ou à la fois en grandeur et en direction , les vitesses primitives des deux corps , de manière que ceuxci ne viennent pas occuper la même portion de l'espace au même instant , et par là satisfont à la loi générale de Y impénétrabilité de la matière (Int,^ 1381 et suivants).
Lorsque deux corps se rapprochent ainsi de manière à donner nais* sance à ces actions mutuelles par leurs changements plus ou moins sensibles de forme, on dit qu'il y a choc ou collision entre les deux corps.
Le choc de deux corps n'influe en rien sur le mouvement du centre de gravité du système ^ mouvement qui ne dépend en intensité et en direction que dea forces extérieures {Int.^ i/(88).
98, Vitesse du centre de gravité de Pensemble de deux corps solides après leur choc (Int., 1525).
Supposons le cas le plu^s simple , celui où les centres de gravité des deux corps se meuvent suivant une même droite par rapport à laquelle les deux corps sont symétriques. C'est à ce cas que l'on ramène les applications pratiques sur le choc.
Le centre de gravité de l'ensemble se mouvra sur }a droite suivie par les deux corps, comme si le choc n'avait pas lieuç- de plus, il est évident que la vitesse de chacun des corps en particulier ne changera
nà£mmê ravu». 71
pas de directioa, nuûfi bi«a d'intematé, et môme Tiine pouit» changer de signe*
Soient m et m* le« inatses des detti corpê , v et v' leurs titesiei respectitel atitit le ctioc , et « U Titesse dii eentre éegrtTitè.
Dès que le choc commence, les actions mutuelles égales agissent en sens contraire sur chacun des deux mobiles « et produisent des changements de formes et des vibrations qui dépendent de la nature et de la forme des corps.
Si la vitesse relative des deux corps Tun par rapport k Tautre est faible, et que les corps aient une certaine consistance» on peut admettre que le changement de forme pendant le choc s'étend à peu de distance du point de contact , et que les vibrations des molécules sont très-faibles ; d'où il résulte que le mouvement de toutes les molécules de chacun des corps peut être considéré comme n'étant qu'un simple mouvement de translation, qui est le môme pour toutes les molécules.
En se plaçant dans cette hypothèse , Y étant la vitesse commune à tous les points et au centrede gravité du solide de masse ma un instant quelconque du choc, et Y' celle de tous les points et du centre degnir vite du solide de masse m' au même instant, on a, en négligeant pendant le choc les impulsions des forces extérieures , s'il y en a , ce que Ton peut faire, puisque la durée du choc est très-petite (Int.^ i487)«
mV -f m'y' = mr + m'v',
U y a toujours , pendant le choc, un instant où les centres de gravité des deux corps ont la même vitesse, qui est aussi la vitesse u du centre de gravité du système; & cet iâstant, Féquation pré<^ente devient
(m -f m')u = mv -{■ m^v' ,
d'où
mv -h m*v'
u est la vitesse du centre de gravité , et sensiblement aussi celle de tous les points du système à Tinstant considéré , dans le cas de très-faibles vibrations.
Lorsque les deux corps ne sont pas élastiques , c'est-à-dire quand ils cffliserveiit les formes que des forces quelconques peuvent lent donner, les actions mutuelles cessent leur effet dès que la vitesse u est devenue commune aux deux corps; alors les deux corps se meuvent en cfsstant en contact, tant que des forces extérieures ne viennent pas modifier leur vitesse commune tu
Les formules précédentes s'appliquent au cas où les corps marchent en sens contraires , comme à celui où ils vont dans le même sens; seulement il faut avoir égard aux signes qu'il convient de donner aux valeurs de V et v\ et par suite à celles de mv et m'v'. Le signe de u est loueurs c^^ de la i^us §^aiMle ^pantitô de meuvemenl.
Si les deux quantités de mouvement sont égales et de signes contraires, la formule précédente donne u= 0; ce qui montre que les corps arrivent au repos , et y restent s'ils sont dénués d'élasticité.
Dans le cas où, Vun des corps est au repos^ c'esUàrdire où Von a v' = 0, réquation précédente devient
(m -f mOtt = mv, d'où m= — ; — :. (a)
99. Perte de force vive due au choc de deux corps non élastiques.
Si les corps restent unis après s'être comprimés, et qu'on néglige les vibrations auxquelles peuvent être soumises les molécules des deux corps, il y a perte de force vive dans le système, puisque, pendant la compression des deux corps , et jusqu'au moment où la même vitesse est devenue commune aux deux corps , les molécules voisines du contact se sont rapprochées, et par suite les actions mutuelles répulsives de ces molécules ont produit un travail négatif, d'où il est résulté une perte de force vive (Int., l/i89).
Le travail dû aux forces moléculaires , et par suite la perte de force vive du système , ne dépendant que du mouvement relatif des deux corps , il en résulte que pour calculer cette perte , on peut supposer que l'un des corps est en repps et que l'autre vient le choquer avec une vitesse absolue égale à la vitesse relative du système.
Soit donc V la vitesse de la masse choquante m , et i;' = 0 la vitesse
de la masse choquée m',
La force vive du système avant le choc est ^ mv*. Après le choc,
toutes les molécules des deux corps ayant la même vitesse z^ à cet instant la force vive du système est (29)
La perte de force vive due au choc est alors
9 = ^ mv* — ô (^ H" wi')m*.
Remplaçant dans cette expression u par sa valeur (a) (98), on obtient
l niin'v^
2 m + wi'*
Établissant un certain rapport entre m' et m, c*est-à-dire faisant
m = Nm, on conclut
Formule qui fait voir que la perte de force vive est d'autant plus petite
MACIinfBS SnPLM.
que la valeur de N est plus petite , c'est-à-dire que la masse choquante est plus grande par rapport à la masse choquée.
100. Corps exécutant un mouvetnent de rotation autour éTun aae fixe. On appelle vitesse angulaire d^un corps tournant autour d'un axe , la longueur de Tare décrit, ou qui serait décrit si le mouvement, en res* tant uniforme, était suffisamment prolongé, pendant Tunité de temps, par un point situé à Tunité de distance de Taxe et lié invariablement au corps.
ct> étant la vitesse angulaire d'un corps, et v la vitesse d'un quelconque de ses points situé à une distance r de Taxe, on a , en remarquant que les vitesses des divers points sont en raison inverse de leurs distances à Taxe,
1? : (o = r : 1, d'où V = wr, et w = -,
101. Force vive d*un corps tournant autour d^un aie fixe* Lorsqu'un élément matériel m tourne autour d'un axe, sa vitesse étant «u?-, sa force vive est (29)
Lorsqu'un corps solide tourne, chacun de ses points matériels possède une force vive d'une expression analogue & la précédente; en faisant la somme de toutes ces forces vives élémentaires , on a la force vive du corps, qui peut alors être représentée par
2 signifiant somme.
Gomme ^ o' est commun à toutes les parties de cette somme, on
peut le mettre en facteur commun, et poser
mr', produit d^un élément matériel par le carré de sa distance à Taxe de rotation , est ce qu'on appelle lé mormeid d'inertie de Vêlement m par rapport à Vaxe.
2mr\ somme des moments d'inertie de tous les éléments matériels d'un corps par rapport à un axe, est le moment dinertie du corps par rapport à cet axe,
La formule précédente fait voir que la force vive d^un solide tour^ nant autour d^un axe fixe est , à un instant quelconque , égale à la moitié du produit du carré de la vitesse angulaire du corps à cet instant par le moment d'inertie du corps par rapport à Vaxe de rotatiœi,
102. Rayon de gyration. Il existe une valeur R de r telle, que si toute la matière du corps se trouvait à la distance R de l'axe, la force
FBnntai PABTii.
vive et iwr gaite le momeiit d*inertte« pour une même vlteiie an^aire par rapport au même axe, n*auraient pas changé.
R eat ce qu'on appelle le rayon de gyration.
Posant (iOi)
d'où
on a
Jp= i co«Swr*=: H w*IV'2m = K w»Mï\',
2mr«=R«2m = MR*, 2mr* 2wir*
Lorsque les corps sont homogènes, on peut substituer aux masses élémentaires m, les volumes élémentaires u, qui leur sont proportionnels, dans l'équation (a), qui devient
lur^ =K^lu = VK\ d'où R*=-
2wr*
alors le rayon de gyration peut être défini et déterminé indépendamment de toute notion de mécanique.
La détermination des rayons de gyration des corps homogènes et de figures géométriques est dii domaine du calcul intégral* Nous allons énoncer lei4^ valeurs pour les corps qgi ont 4^ (ormes employées dans la pratique.
Ayant le rayon de gyration, MR* donnera le moment d'inertie, et ^(o'MR* la force vive. P étant le poids du corps tournant, on a
M= — , et par suite
MR*=-R« et
105. Pour une tige homogène AB d^une très-petite section, towr- Fig, 41. ^^'^^ autour de Paxe Ay passant par son extrémité ,
on a (Int,, l/ii65)
R* = je BG •
Le moment d'inertie est alofs , P étant le poids de la tige (i02) ,
et la fpvee vive
9 ôff '
«AGHUIBt iWLlS. 75
Fouir la iig^W% qui eiiT^nemitrée p» è''0iM en tm peint ^pmkonqite de sa longueur, r étant le r»yoQ de gyration de U partie AB, et r' oelui de la partie AB', on a
r«=|BC' et r'*=^WC'\
P et F étant les poids des parties AB et AB' d9 la tige» les oomeots d'inertie de ces parties sont respectivement
Le moment dMnertic da la tige totale étant égal ft la somioe des m^ ments d'inertie des ^mx parties, on a donc, R étant le rayon de gyration de la tige totale,
p+p'r.=|?bc« + |?:b^. d'Où R.^Ï'XSC'+P'XB^
Dans le cas oO le point A est le milieu* c'est^HUre le centre de gravi té de la tige, on a B'C=BC, P' = P ou P + P'=2P, et la formule précédente donne
r«=|bc'.
Ge qui fait voir que le rayon de gyration de la tige totale est le même que celui de chacuae de ses parties considérées séparément
Si Taxe rencontrait le prolongement de la tige BB"', on remarquerait que le moment d'inertie de BB'^ est la différence des moments d'inertie des tiges BA et B''A, et on l'obtiendrait en suivant la mêipe marche que pour déterminer le moment d'inertie de BB'. Du reste , nous verrons (115) comment, étant connu le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe passant par son centre de gravité, on peut déterminer son moment d'inertie par rapport à un axe quelconque parallèle au premier.
104, Pour une tige en arc de cercle AB, é^tme trh-petUe Hction, tournant autour de son rayon OA passant par une de neii êgUrémitée , ona
p=OA rayon de courbure de la tige;
l = arcAB longueur de la tige;
a angle au centre oorreapondant à l^^re AS.
Pour un quart de oerele, ou un demi-cercle, ou tfois quarts de cercle..., c'est-i-dire pour a=90% a=480», a=J70*... on a nfiSa=0. et, par suite,
76 PBBlIltRI PARTIE.
Ayant K\ on aura le moment d'inertie en multipliant par la masse
- de la tige, et ce moment d'inertie multiplié par - to\ moitié du
if
carré de la vitesse angulaire à un certain instant, donnera la force vive à cet instant
A Taide de la formule (a), et en suivant la môme marche qu'au numéro précédent, on déterminerait le rayon de gyration, le moment dMnertie et la force vive, soit que Taxe OA rencontre Tare A6 en un point quelconque compris entre A et B, soit qu'il rencontre le prolongement de cet arc.
On verrait encore que quand Taxe rencontre Tare au milieu, c'est-àdire quand il passe par son centre de gravité, le rayon de gyration de Tare entier est le môme que pour chacune des deux moitiés prises séparément.
lOiJ. Pour un disque en quart de cercle d'une très-faible et uni/orme épaisseur^ tournant autour d'un des rayons qui le limitent, ou pour un demi-cercle qui tourne autour du diamètre qui le limite, ou encore pour trois quarts de cercle et pour un cercle entier, on a
p étant le rayon du disque.
Ayant R*, on obtiendra facilement le moment d'inertie, puisque, connaissant les dimensions du disque, on peut calculer son volume, lequel , multiplié par la densité de la matière, donne le poids du disque. Ayant le moment d'inertie, on obtient la force vive en le multipliant par la moitié du carré de la vitesse angulaire (102).
106. Un cylindre droit à base circulaire tournant autour de son axe, ou un secteur quelconque de ce cylindre tournant autour de cet axe^ donne, R étant le rayon de gyration et p le rayon du cylindre.
Ayant R*, on détermine le moment d'inertie, puis la force vive, comme au numéro précédent
107. Pour une jante à section rectangulaire y ou pour une portion de cette jante tournant autour de Paxe^ on a
OU , en remplaçant les rayons intérieur et ex^rieur p et p' de la Jante en
p + p' fonction du rayon moyen p| = ^ ^^ , et de la dimension de la jante
mesurée suivant le rayon , 6 = p — p',
XACHINSS SmPLfeS. 77
108. Un cône droit à base circulaire toumani autour de son axe donne 9 p étant le rayon de cette base^
109. Pour un tronc* de cône tournant autour de son axe, on remarqneraitque le moment d'inertie du tronc est égal au moment d'inertie du cône total, moins le moment d'inertie du cône retranché pour obtenir le tronc. Ayant le moment d'inertie du tronc, en le divisant par la masse
- du tronc, on aurait R».
ilO. Un serment sphérique ABC, à une base^ tournant autour du diamètre BB' perpendiculaire au plan de sa base^ c'^est-'àrdire passant par son centre de gravité , on a
^,^^ 20p«--i5pM:3A\ ''""10^ 3p-A
p rayon de la sphère; Â=BP hauteur du segment.
Pour une demirsphère^ h = p, et la formule précédente devient
Pour la sphère entière ^ R* a aussi cette dernière valeur.
III. Pour une zone sphérique ABC, à une base (fig. 13), tournant autour du diamètre BB' perpendiculaire à sa base, répaisseur de la calotte étant très-mince ^ on a, p et A ayant les mêmes significations qu'au numéro précédent,
Si la calotte était une demi-sphère y on aurait A= p, et, par suite,
Pour une sphère creuse entière et très-mtnce on aurait aussi cette dernière valeur pour R*.
IIS. Un parallélipipède rectanglf ayant a, b, c pour arêtes^ et tournant autour de Varête c , donne (InU^ iblk)
PUBMlklLB PARTU.
Flg. i4.
f— TTi
Il '
R«:=^|(ftt4.6l).
Si le paralléiipipède, au lieu de tourner autour dec, tournait autôut d'un axe parallèle à c^ et mené par le milieu de b, on aurait
Ja^
ce qui revient à remplacer b par ^ 6 dans la formule (a).
Si Vaxe était mené parallèlement à c par le centre de figure , qui est au^si le centre de gravité » il faudrait, dans la formule (a) , remplacer
6 par 5 6 et a pat* ^a; d'où 11 résulterait
115. Pour un ellipsoïde quelconque ^ c'est-à-dire pour un ellipsoïde dont le plan perpendiculaire au grand axe 2a détermine , non pas un cercle de diamètre 26, comme pour Tellipsoïde de révolution (Int. ^iOSi), mais une ellipae ayant 26 et 2c pour axes, suivant que Tellipsoïde tourne autour de Taxe 2c, ou 26, ou 2a, on a respectivement
Lorsque Vellipêoèide est de révolution^ on 3> c=:zbf et les trois formules précédentes se réduisent aux deux suivantes :
applicables respectivement aux cas où Tellipsoîde tourne autour de son petit ou grand axe.
Le volume de Tellipsoïde quelconque étant » ^abc^ et celui de Tellip-
soïde de révolution, ■= na*b, ou « 7c6'a, suivant que l'ellipse généra-
trice tourne autour du petit ou grand axe (/ti^, 1083) , multipliant ce volume par la densité de la matière, on aura 16 poids P, on en conclura
la masse - , et par suite le moment d'Inertie - R*. 9 9
Faiflaiit a=s6s=:p, les lormoles jTelAtives à reUipftOfda de révoltttlon
donnent
IIAGIIII18 tniPUi. 70
Ce qui devait être , puisqu'alors rellipsoïde est une sphère (1 10).
114. Pour un cylindre droit à base demi-^rabolique ABC tour-' ' nant autour de V arête qui se projette en K^ on a
a=AB, 6 = AC.
Pour un cyjindre droit à hase parabolique CBC\ ou a la même valeur pour R*.
On a (Int., 1130) surface ABC = « a6; connaissant la hauteur du cylindre, on déterminera son volume , puis son poids, et ensuite le moment dMnertie.
115. R étant le rayon de gy ration d'un corps par rapport à un axe quelconque, et R' celui par rapport à Taxe passant par le centre de gravité du corps, on a , en appelant k la distance des deux axes,
MR* = MR'« + MK\ d'où R« = R" H- A;' {Int. , 1477).
Ce qui fkit voir que le carré eu rayon de gy ration d'un système par rapport à un axe quelconque , est égal au carré du rayon de gyration du même système par rapport à Taxe mené parallèlement au premier par le centre de gra;vité , plus le carré de la distance des deux axes.
Cette formule est employée dans la pratique, où il arrive souvent que Ton a à déterminer le rayon de gyration par rapport à un axe, pour un corps dont on connaft le rayon de gyration par rapport à un axe parallèle passant par le centre de gravité.
116. Marteaux. Perte de force vive due au choc des cames. Considérant une bague à cames comme étant un cylindre plein , le carré de son rayon de gyration est (102 et 106}
et son moment d'inertie , en appelant M la masse de la bague ,
Appelant M' la masse du corps qui a» en k supposant concentré au point d'impact, c'est-à-dire au point de 1» oaiz^ qui frappe le narteau,
80 PREMIÈBE PARTlfi.
le même moment d^inertie que la bague tournant autour de son axe» et R la distance de ce point d'impact à Taxe de rotation , on a
M1V* = |mpS d'où M^=^M^.
Il faut calculer de même la masse M'^ du corps , lequel , étant appliqué au point d'impact, a le même moment d'inertie que l'arbre de la bague, et posant m= M' H- M", m représente la masse choquante à faire intervenir dans la formule du n"* 99.
En opérant d'une manière analogue, et en ayant égard à la forme et 4 la nature des différentes parties du marteau et de son manche , on détermine la masse choquée m\ laquelle, étant appliquée au point d'im* pact, a, par rapport à l'axe de Id^^hurasse^ le ]pême montent d'inertie que le marteau avec son manche. ,
Ayant m et m', la formule du n» 99 donne la perte de force vive pour chaque soulèvement du marteau , en remarqi^ant que \^ vil^se du corps choqué est nulle , et que la vitesse moyenne du corps choquant est, n étant le nombre de tours de la bagué par minute,
2icRn
117. Equilibre dynamique des marteaux. Soit un marteau frontal
(Jtg, 16) . On remplace le poids du
p^ ^ marteau et de son manche par
, u^__ ■ « v»y^^'sft \ un poids, lequel , étant ^pliqué
^:rz. f.... 9 • ^ ^;^.„.j au point d'impact, a, par rap-
port à l'axe de la hurasse, le L -J ^"^^^--^ même moment que le poids du
marteau et de son manche ; on en fait autant pour le frottement des tourillons de la hurasse, pour celui des tourillons de l'arbre à cames et pour celui qui s'exerce entre les cames et le marteau ; et le travail absorbé pour élever tous ces poids fictifs , augmenté de la perte de force yive due au choc, étant égal au travail que doit produire la puissance, l'équilibre dynamique donne, pour une minute ,
Il nombre de tours de la bague en une minute ;
n' nombre des cames montées sur la bague ;
P puissance agissant sur Tarbre à cames à l'extrémité d'un bras de levier égal à la
distance du point dMmpact i l'axe de Tarbre é cames ;
R bras de levier de la puissance P ;
h levée du marteau au point d'impact ;
Q poidf du marteau et de ion mancht ;
3UCI111XKS SIMPLES. SI
/ dûUDce do centre de gravité du marteaa ei de son manche à Faze de roUtton de la
harasse ; V disUnce du point d'impact à Faxe de roUtion de la horasse ; ^' = 0,]5 coefficient de flottement des toorillons de la hurasse , et de eeni de l'arbre
à cames;
P = 0 —JT" ^^^^ reposant sur les tourillons de la hurasse; c'est la partie du poids du
marteau et de son manche supportée par ces tourillons (Int»y 1390) ; r rayon des tourillons de la hurasse ;
9 pression des tourillons de Tarbre à cames sur leurs coussinets ; r' rayon des tourillons de l'arbre à cames ; /*= 0.95 coefficient de frottement des cames sous la tète du marteau ;
, Qï -.
Q = -p pression qui s'exerce entre les cames et la tête du marteau , en ne teoaiy^
compte qne de la pression due au poids du marteau el en négligeant oelle qui , pro|rient du flottement des tourillons de la hurasse ; m masse choquante transportée au point' d'impact, calculée oomme il est indiqué no 446;
m\ maifse choquée transportée an point d'impact, calculée comme la masse choquante ;
tilesse moyenne des cames au point d'impact (4 4 6) ; n X SicRP trafail moteur dépensé par minute ; Q p poids du marteau et de son manche , transporté an point d'impact ;
f Pjt poids qui , étant appliqué au point d'impact , produit le même eflèt que le Krot-
tement des tourillons de la hurasse ; Q' ~ X — TT frottement des cames sous la tête du marteau ; il est analogue à celui
2 ni
des engrenages (82) ; -T- X — : — ; perte de force Tire due aux chocs des cames sons le marteau (445}.
De la formule précédente on tire
27cR \V "^ r "^ R "'■'^^ 2 ^ R/' y ^ AîcR m-\-m''
. n' mm'f^
Pour un autre genre quelconque de marteau, on déterminerait la. valeur de P en opérant d^une manière analogue.
Les marteaux à bascule y dits martinets, employés à retirage et au platinage des petits fers, au raffinage des aciers et à la fabrication de divers outils , frappent de 200 à AOO coups par minute , et leur poids , qui diminue à mesure que le nombre des coups frappés augmente, varie, non compris le poids du manche qui est en bois, de 80 à kO kilog. La longueur totale du manche, comptée depuis Taxe de la tête du marteau , varie de 2",50 à 3 mètres; le point de rotation est ordinairement aux 2/3 de cette longueur à partir de Taxe de la tête du marteau ; cependant il est aux 3/4 et quelquefois plus, quand le marteau doit frapper un grand nombre de coups. Le nombre des cames montées sur la bague varie ordinairement de i/ii à 16, Pour une grande vit€^3se, la levée du
marteau varie de 0",25 à 0",27 ; pour une vitesse petite , elle vâHe de 0",50 à 0",55, et p6ti!t tiiiè vitesse mëyëiiiié, ëîlé est comprise entre
0",3d et o»;lib.
Les marteaux à soulèvement , employés particulièrement à Taftinage dd fèr t)àr la iiiéthbde allemande, frappent de 70 à 200 coups â la minute , et lettr poids , non compris le manche, qui est eh bois . varie de 300 à /(OO kilog. La longueur du manche , comptée depuis Taxe de la tête du marteau jusqu'au point de rotation de la bague, varié de 2'^,i0 à 2'",60, et la distance de cet axe au point frappé par les bàmës; de Cf/iO à 0'°^55. Il y a ordinairement cinq cames montées sur la bagué, fti ieyéë du marteau est de 0",55 environ.
Ërifîh ^ les marièditx frontaux , ][nis en usage dans les forges où Ton fabrique le fer par la méthode anglaise, frappent de 60 à 100 coupa par minute, et pèsent, y compris le manche, qui est tout en foiitè, de 2500 à ÛOOO kllog., et liîèiiié quelquefois plus, ti longueur dii manche.» depuis le point d'impact jusqu'à l'axe de rotation, varié dé 2";30 à 2",8Ô. Le nombre des cames est ordinairement égal à 5. La levée du marteau varie de 0»,35 à 0",40.
Dans la pratique , d'après M. Poncélët , le rapport de la masse fictive choquante 772, à la masse fictive choquée m' est rarement inférieure ^ 10 (116). Pour les martinets et marteaux à soulèvgnfient employés à la fabrication du fer, ceVapport n'est pas inférieur à 12, et pour les marteaux frontaux; il est àiî ifiioihs 30:
118. Marteau-pilon, Depuis quelques années , dânâ plusieurs usines à fer, et surtout dans Içs grands ateliers de construction , on fait usage du marteau-pilon mû directement par la vapeur. Ces marteaux ont été établis dans des proportions très-diverses: ainsi,, il y en a qui pèsent 100 kilogrammes seulement, et d'autres ûboci kilog.; ceux de 100 à 1000 kilog. donhent de Hb â 100 coups pài* Ininutë , et cëilx cîë 2000 à AOGTO kiiog. en dobneiît de 60 à 70.
On a établi des marteaux-pilons du poids de 3500 à /iiOOO kilog., dont \éà ciiiiës atteignent 2 mètres à 2", 50.
Un avantage capital de ces marteaux^ c'est qu'on neut faire jarier leur chiite et leur vitesse avec là plus grande facilité, selon les dimensions et l'état de dureté de la pièce que l'on ferge^
èimënsibns (l'un iriarteau-piloii établi par M. Nillus, du Havre, d'après le système Nasmyth, pour les ateliers de ia marine à Brest :
Poids» ioWi des deiit f)âtis. ....... UOÔOkil.
id. 4« la plaque de fondation 8 000
id, du cylindre 3 500
id^ ;4u marteau. 3^500
id, des accessoires en fer. . . ...... 4200.
tdé- «a. en fonte de cuivre. , . 400
Total. • 30600
L'enclame ayant été fabriquée à Brest , son poids n'est pas compris dans ce total.
Pression habituelle de la Tapeur 5 aiiitôsphèrefl*
Diamètre ââ ctliii^re. . \ 0".60
Course du piston ou levée du marteau. . . 3".Q0
Bîamétre de là Uje. : : .* 0*J0
it9. VotWkU ]p<Mr ^rleàéc. te travàii produit paf la force P (il*^), •pfeiiaaiit la dilirëS tBtalè &\jÀ côiip de fflaheâii, Staiit absorbé péhdânt rinstant que met la came à soulever le marteau; il Hîtit que le volant; ou Tattiraîl (roue et arbre à cames) qui le remplace le plus souvent ^ accumule , depuis l'instant où ilne cânie quitte iô marteau jusqu'à Tinstaot où la came suivante le reprend, une quantité de force vive égale à l'ëxcèâ dti trkvàl T p^ôduit pat* là force P pèiidânt Vk diirôè totale
2'jin poup^^ sur le travail V ^he produit cette force pendant le temps 'action de la came.
Le travail ^tmm pi* P ëtànt régttliét*; oil àtiMC T et T' qûaiid dii connaîtra les temps pendant lesquels ces quantités de travail sont produites. On connaît T, puisqu'on a le ddmbre des coups de marteau frappés dans un temps donné, et par suite la durée d'un coup. Gomme la vitesse de rotation de la bague est à peu près régulière, à l'aide d'une épure représentant la position des cames sous le manche du marteau » on aura l'arc décrit par la bagiie pendant i'action de la came , et , par suite, la durée de cette^^ action ^ ce qi4 permettra de déterminer T. Cette épùfè servira aiissi à trouver l'écartement à donner aux cames, écartement qui doit être tel , que, jpendant l'instant d'inaction de deux cames successives, lé marteau ait le temps de réagir sur le rabat et de redescendre sur l'enclume ; sans quoi, le marteau cameraitf c est-à-dire retomberait sur la came, qui arrive pour le soulever, avant d'avoir produit son effet sur îè fer. D'après M. Faure , il résulterait de quelques observations faites par M. Walter de Saiiît-Ange sur des marteaux et liïàrfânetS établis , que, t)our les marteaux à soulèvenïènt, le temps nécessaire à la réaction soufe' lé râbàt et à là descéfité f àrie de iMt à 1,15^, et que , pour les martinets, il varie de 0,Zt6< à 0,88^ sulvâiit qriè le nonibi'è' d& ëSiips ff âi)pés est Respectivement {{lue gtaâîl ou ifWs pè^t'
= Vf (19)
t âafêe de U téiceKïe li^ U ^^fttré té |rayité de t'eûBémBJe Su bârteàii et au
h leyé^e djp,ç^ççj[itr^e,g|^ftTiléi ^.,coi;resfi9.|>d au point où, lapaipe quitte le manche du marteau , point auquel doit commencer Faction du rabat.
Les marteaux frontaux marchant lentement , ils ne s'élèvent pas au delà du point où les cames les quittent ; de sorte que , sauf le retard
causé à la descente par la réaction du fer sous le marteau et par les frottements des tourillons de la hurasse, la durée dUnaction des cames peut
être égale à < = W — ; mais , d'après les observations de M. Walter de
Saint Ange, dans la pratique, on fait varier cette 4ttife, comme pour les marteaux à soulèvement , de i,0/ii à 1,15^.
Q étant le poids du volant, Y sa vitesse à Tinstant oè la came quitte le marteau , et Y' sa vitesse au moment où la came suivante commence son action, on doit avoir (30)
Comme on ne connaît pas les valeurs de V et V, on établit entre elles et la valeur de la vitesse moyenne v = -^ (116) ime relation dont il ne convient pas de s'écarter dans la pratique ; ainsi on pose
et comme on peut supposer que Ton a
multipliant ces deux équations membre à membre , il vient
et par suite
K coefficient de régularité de Tîtense , que , dans ce cas, Pon fait égal à SO ; la grande régularité n'étant pas de rigueor (93).
C'est par des considérations analogues qu'on a établi les formules des n*' 93 et 9û, et que l'on déterminerait le poids d'un volant dans un cas quelconque; quand, toutefois, on connaît les durées des actions et de leurs intervalles , et que l'on peut apprécier le travail absorbépour chaque action : ainsi, pour les laminoirs, par exemple, ces données ne pouvant être posées d'une manière analytique , on ne peut donner qu'une formule empirique pour calculer le poids de leurs volants (120).
M. Morin donne la formule suivante pour calculer le poids des volants pour marteaux:
P Poids de la Jante du folant en kilogrammet ;
Pt rayon moyen de la Jante dn f olant ;
K coeiBcient. Pour les marteaux tronUux, K = 20000 oa 30000, selon que le poids des marteaux varie de 3000 i 3500 kilogrammes, on de 4000 à 4900 kilogrammes. Pour les marteaux i Tallemande conduits par nn engrenage , dont le poids total , y compris le manche , la hurasse et les ferroret , varie ordinairement de 600 à 800 kilogrammes , et qui battent de 400 i 440 coups en une minute , le volant éunt monté %ht Farbre i came.4 , K = 45000. Pour les martlneu i engrenages , qui battent ordinairement de 450 i SOO coups i la minute , K = 6000 on 9000» selon que le p«ids du martinet, y compris le manche et les ferrures , «si 360 ou 500 kilpgrammes.
IfiO. Lespoidsdes volants de laminoirs pour les grandes tôles et pour rétirage des fers en barres peut se calculer, diaprés M. Moiin , par la formule
^ IdOOOONK
nwr ^
P poids de la jante du volant en kilogrammes ;
X force en chevaux transmise par le moteur i l'arbre du volant ;
V vitesse moyenne de la jante du volant ;
m nombre de tours des cylindres en 4' ;
K coefficient numérique qui est égal : 4* i 20 pour les machines de 80 à 400 chevaux faisant marcher i la fois 6 i 8 équipages de cylindres i tôle ou i fer en barres ; 2" i 25 pour les machines de 60 chevaux faisant marcher 4 i 6 équipages pour rétirage des fers ; 3" à 80 pour les machines de 30 à 40 chevaux ne faisant marcher à la fois qu'un seul équipage de cylindres i grosses tôles , ou deux équipages de cylindres ébaucheurs et finisseurs pour les petits fers.
Les valeurs données pour K s*appliqnent aux laminoirs conduits par des machines à vapeur» des roues à augets et des roues de côté ; mais pour les roues à aubes courbes ou à aubes planes recevant Teau en dessous, la vitesse étant trè^^grande, on diminue un peu les valeurs précédentes de K.
121. Forces centripète et centrifuge (Int.^ 1509). Lorsqu*un mobile suit une circonférence ou seulement un arc de cercle, c*est qu*il est sollicité en chaque point de son mouvement par deux forces , Tune tangentielle à Tare suivi , et Fautre dirigée vers le centre de cet arc.
La direction de cette dernière force lui a fait donner le nom de force centripète,
La réaction égale et contraire à la force centripète , et qui fait que le mobile s'écarte suivant le rayon quand tout à coup la force centripète est supprimée , prend le nom de force centrifuge* La fronde rend bien compte de cet effet.
Les forces centripète et centrifuge ont pour expression commune abstraction faite du s)gne ,
