J : 9,8088 , d'où • J = ^^ x
Gomme là vitesse, après un temps quelconque f, est J^ (13), ayant Taccélération J, on peut donc déterminer quelle vitesse une force connue aura communiquée à un mobile d*un poids déterminé après un temps donné. Pour t = 8", on aura
La proportion (a) donne aussi là force F qu'il faut appliquer à un mobile du poids P pour lui communiquer une vitesse donnée v après un certain temps t.
Pour les données précédentes, on a d'abord
puis la proportion devient
F: 25 = 3,9235: 9,8088, d'où V = ^^^^^iîS\
a^. Vimpulsion d'une force est le produit de son intensité par la durée de son action.
Ainsi , une force de 12"^ agissant sur un corps pendant 8'' produit une impulsion représentée par 12 x 8 = 96.
26. Le produit mv de la masse m d'un corps par la vitesse v qu'il possède prend le nom de quantité de mouvement.
Le poids d'un corps étant 50^ , d'où il résulte que sa masse est (23)
- ^ ?« 0,102 X 60 = 5,10, et la vitesse qu'il possède étant de 30",
if
sa quantité de mouvement est représentée par
mv = 6,10 X 30 = 153.
S7. Égalité entre rimpulsion et la quantité de mouvement. Lorsque le mouvement est unifornnément accéléré, on a (13), en re^
marquant que raccélérationi= — (22).
d*où Ton tire
F^ =î tntJ — mvo. (a)
F^ est rimpulsion ; elle a le si^e de F.
mv est la quantité de mouvement après le teitips t, et mr>o est la quantité de mouvement au commencement du temps t ; ces quantités ont respectivement les signes de i? et v,.
La formule (a) fait voir que Vimpulsion et la différence des quantités de mouvement sont toujours égales et de même signet Ce que Ton peut énoncer en disant que Vimpulsion est to^ours égale au gain ou à la perte de quantité dé mxmvement*
Considérant toujours la vitesse initiale v, comme positive , il y aura gain de quantité de mouvement lorsque la force F sera positive, c*estàr-dire lorsqu'elle agira dans le sens de v., et perte lorsqu'elle sera négative {Int,^ 1341).
Lorsque t;» ^ 0 « c'est-i-dire quand le corps part du repos , la formule (a) devient
Ce qui fait voir encore plus simplement que Vimpulsion d'une force est égale à la quantité de mxmvement que cette force communique au corps qv^elle sollicite pendant la durée de son impulsion.
Trois quelconques des quatre quantités F, f, m, v étant connues, l'équation F^ = mv donne la quatrième.
W exemple. Trcwder la force F capable de réduire au repos en 5" un corps dont le poids est 60"^, ce corps étant animé d'wne vitesse de 16" par seconde.
Substituant ces nombres dans la formule, elle Revient
« i. ^ -.^« e-^. -r Jt V ,:, 0,102X60X15 --WOA
F X 5« 0»i02x 60 k 16 , d où F = = « 16^,30.
3* ereinple. Trowoer le temps que mettra une force de ld^,dO pour
DtiFmittOUS et P1tl!VClPE&. If
réduire au repô» un corp9 du poids de W animé d^une vii$s$e de iS^ par seconde.
Ces nombres , substitués dans la formule , donnent
15,30 X^ = 0,J02x50X 15, d'Où ^ ^ M02 x 50 Xl5 ^y,^
28. Le travail ^une force se représente par le produit de Vinten^ site de la force par la projection^ sur la direction de la force ^ de Vespmm parcouru par le pon^ d'^a^hoation. Ainsi , Pespace parcouru étant rectiligne , on a , en représentant par 2r ce travail ,
T=VxEcosa; (a)
V trivail pndoUi
F intensité de la force ;
E espaee pareouru par le point 4'ipplietlfQB ;
a aQgle quf fait la dirfcUpR 4e la forée «▼aà oello 4e reipaee parwoni (Ini, MO).
Quand a = 0 , o'est^^dire quand le point d'application se meut dans
la direction de 1^ force, on $
cosa = 1, et , par suite , jT = F x E.
Ainsi , dans ce cas , le travail est représenté par le produit de la force par Fespaee parcouru.
Intervertissant Tordre des facteurs dans le second membre de Té* quation (â), oa a
3r=ExFoo*a.
Ce qui fait voir que le travail est aussi représenté par Pespace parcouru E multiplié par la projection Fcosa ée la force sur la direction
de cet espace [Int,^ 13A2 et suivants).
29. La moitié ô ^v* da produit de là masse m d'un corps par le carré
v'^ de la vitesse qu'il possède prend le nom de force vive. Des auteurs rappellent puissance vive^ et d'autres nomment force vive le produit mu*.
30. Dans le mouvement uniformément accéléré, on a (13 et 1&), on
faisante = ^ (22),
v=:v^+^t, et E = Eo + t?o<-f- 5--ft m 2 m
ÉKininant t entre c^ <^W(. éQiiAtioQS, il Tient {rnt,^ iStti).
d*où Ton tire, en multipliant les deux membres par -^,
F(E— EJ r=-mv*-^^mVo\ (a)
E— Eo étant le chemin parcouru pendant Taction de la force F,
F(E— Eo) est le travail T produit par F pendant cette même durée
d'action (28).
-mvo' étant la force vive au commencement de Taction de la force
F» et ^mv^ la force vive à la fin de cette action, comme de plus les
quantités ^mt?,* et ^mv* sont toujours positives, Téquation (a) fait voir
que la quantité de travail est toujours algébriquement égale à la différence obtenue en retranchant la force vive avant Faction de la force de la force vive après Taction; ainsi , considérant comme gain de force vive une différence positive, et comme perte une différence négative, on peut énoncer le principe général des forces vives ;
Le travail produit par une force agissant sur un corps est toujours égal au gain ou à la perte de force vive qu'éprouve ce corps pendant faction de la force.
L'expression du travail d'une force en fonction des forças vives est d'un usage très-fréquent en mécanique (/nf ., 1347).
51. Dans le cas où ro=:0 et Eo = 0, c'est-à-dire quand le corps part du repos et que les espaces sont comptés à partir du point de départ , la formule précédente (a) devient
T=FE = 5 7nr'.
P Remplaçant m par - (23), on a
Pf* ar=FE=:^,
nouvelle expression du travail, dont on fait usage dans les applications.
52. Gomme ô~ =^' ^ ^^^^ ^^ hauteur correspondant à la vitesse V (19), on a
