CENTRES
Montée.
1"^ rayon.
Montée.
1" rayon.
2" rayon.
3" rayon.
Soient (fig. 25, PI. 111) ad l'ouverture et cd la montée. Quand aa! est moindre que 3ccZ, on euiploie Tanse de panier à trois centres. Pour la tracer sur aa! comme diamètre on décrit une demi-circonférence, que l'on divise en trois parties égales par les rayons ce et cé\ on mène les cordes ae, e/, fe' et e!al\ par le point à on conduit dh parallèle à fe et dh! pt^rallèle à/e'; et les lignes M et A'z, menées respectivement parallèles à ce et ce\ déterminent les trois centres A;, i et A/, et par suite les rayons dk=o!k et Tii de Tanse de panier ahdh'a'. D'abord les centres de deux arcs consécutifs sont bien placés sur le même rayon aboutissant au point de raccordement des arcs. De plus, deux rayons consécutifs font entre eux un angle de —-=60"; car on a :
akh = ace, hik^^ece! et h'kd ^=e^ca'.
Pour tracer une anse de panier à cinq centres, on suit la même marche. Ainsi, après avoir (fig. 26, PI. III) mené les rayons cd, ce^ ce' et ci', tîivisant la demi-circonférence aba' en cinq parties égales, et les cordes ady de, eô, etc., on prend le premier rayon a/ égal à la valeur consignée nu tableau précédent, et Ton mène gh parallèle à cd\ conduisant ensuite hi parallèle à de et li parallèle à 6e, puis ik parallèle à ce, on obtient le deuxième centre g et le troisième k. Le tracé est le même de l'autre côté de cl\ mais on peut pour ce côté commencer par le rayon ki'^ le point k étant connu.
Pour une anse de panier à sept centres, on opérerait d'une manière semblable. Ainsi Ton prendrait af égal au premier rayon du tableau, on mènerait hg parallèle au premier rayon diviseur cd; on prendrait ensuite hg égal au deuxième rayon consigné au tableau, on mènerait par g une parallèle au deuxième rayon diviseur, et les troisième et quatrième centres se détermineraient de la même manière que les deuxième et troisième ^^ et A; dans le cas précédent. On opérerait d'une manière tout à fait semblable pour une anse de panier à neuf centres, et en général pour un nombre impair quelconque de centres.
M. Lerouge, ingénieur en chef des ponts et chaussées, a, pour tracer les anses de panier, toujours supposé que les divers rayons passant par les points de raccordement feraient des angles égaux entre eux, mais que les rayons croîtraient suivant une progression arithmétique. C'est d'après cette hypothèse qu'il a calculé les résultats du tableau suivant, en prenant l'ouverture pour unité. Ce tableau contient en outre, Touverture étant également prise pour unité, le développement de l'arc d'intrados, et la hauteur moyenne ou hauteur réduite du débouché : ce développement multiplié par l'ouverture exprinaée en mètres donne le développement de l'arc d'intrados en mètres, et cette hauteur réduite multipliée par le carré de l'ouverture exprimée en mètres donne le débouché en mètres carrés.
1310. Tableau donnant les éléments constitntifs des anses de panier.
Premier rayon.
UUréreoee
des
rayons
successiflB.
Développement de Tintrados.
Hauteur
réduite
du
débouché.
Premier rayon.
Différence
des
rayons
SQCcessifis
Développement de Tintrados.
Hnrtor
lédÉt di déixNKli
O,330ffl
0,333tiS
0,354ms
Premier
rayon.
Différence
des
rayons
successifs.
Développement de rintrados.
Hauteur
réduite
du
débouché.
Premier rayon.
Différence
des . rayons snccessifs.
Dévelop-
pemeot
de.
rintrados.
HâoW rédiil du déboDclÂ
0,321 ir
O,3770tf
0,39îfi»
Ajoutant la différence des rayons successifs au premier rayon, on a le deuxième, cette différence ajoutée au deuxième rayon donne le troisième, et ainsi de suite. A Faide de ces divers rayons, que Ton peut transformer en mètres en les multipliant par Touverture exprimée efl mètres, on fera le tracé comme il a été indiqué ci-avant.
AU poot de Neuilly, Perronaet a employé une anse de panier à onze centres, qu'il a tracée comme l'indique la figure 27, PI. III.
On prend un point k, que l'on croit devoir être le premier centre, et
l'on divisées de manière que kj =^— = — =:-^ =^ . Cela fait, on
prend Ja = 3/fe; on divise /a en 5 parties égales aux points e, d, c, 6; on joint ek, dj, ci, bh et a^, et si le point k a été bien clioi^i, la courbe ayant pour centres successifs les points k, r, o, m, n, a passera par le sommet q de la montée. On conçoit que ce n'est que par tâtonnement que l'on arrivera à la position convenable du point k. Supposons qu'on ait fait une première hypothèse, et que le point k choisi ne convienne pas; on aura la valeur convenable x, defk, à i'ûde de la formule :
t^fq montée;
tn valeur qu'on s prise pour fk dans la première hjTiothtse ;
f développe tnenl de la ligne brisée anmork qu'a donné la première bjpolhèse.
1311. Tracé géométrique de Perronnet pour décrire des courbes à plusieurs centres. Dans un mémoire présenté à l'Institul, H. Revellat a donné la solution analytique des courbes à pluneurs centres, décriiez d'après le 'procédé géométrique de Perronnet (Comptes rendus de l'Académie des Sciences, année (873, 2* semestre, t. LXXVII, n' 6). De cette solution découle le tracé géométrique suivant : Soit à décrire, par exemple, une courbe à 11 centres sur les demip. j,j axes// = tO-,00 et fq = 5-,00 (/j. 278|. Achevant
le rectangle flpq, menant la diagonale gl, et abaîs- ° sant du sommet p une perpendiculaire à g/, cette perpendiculaire rencontre les axes aux points k et a, et détermine sans tâtonnement les deux rayons extrêmes kl et aq.
Ayant k et a, on termine l'épure comme l'a fait Perronnet(/ff. 27, PI. lll),c'esl-à-dire en divisant/fe
en 5 parties satisfaisant à la loi *J=2=^ ="r'"' en divîsant/a en S parties égales, et en menant ek, dj... Si l'opération graphique est bien faite, la courbe décrite des centres k, r, o, m, n, a, passera "' par le sommet q.
S'il s'agit d'une courbe à 9 ou à 7 centres, on opère comme pour U centres; seulement on divise, suivant la loi posée par Perronnet, fk et fa en 4 parties dans le I" cas et en 3 dans le second.
Lorsque, en opérant comme ci-dessus, le tracé de la courbe ne réussit pas, c'est qu'alors la condition d'ellipticité ne peut être remplie par les données de la question. La série des courbes possibles peut commencer jk 5, & 7 DU à 9 centres et finit à 11 centres.
Dans plusieurs ponts nouvellement construits, on a adopté Tellipse pour directrice de Tintrados et de l'extrados (1326 et suivants).
1312. Formes des piles. Fondations. Ce qui a été exposé au n" 1199 comprend comme cas particulier la fondation des ponts.
La coupe horizontale des piles proprement dites est un rectangle; mais on les termine en amont et en aval par un massif de maçoaDerii faisant saillie sur les tètes du pont; le massif d'amont s^appelle avaé bec, et celui d'aval, arrière-bec. Ces becs s'élèvent jusqu'au-dessus de plus hautes eaux, aQn qu'ils préservent complètement le massif de li pile du choc des corps flottants; ainsi dans les ponts en plein cintn et en anse de panier, ils peuvent s'élever au-dessus des naissances ; daoi les ponts en arcs de cercle, on les termine aux naissances, les eauxiu s'élevant pas plus haut. On les surmonte de demi-cônes qui les raccordent avec les tympans du pont.
Le fruit des piles ne doit pas être supérieur à 1/20 ou 1/15.
Les becs ne sont pas seulement destinés à préserver les massifs da piles du choc des corps flottants, mais aussi à faciliter, par leur forme le passage de l'eau, de manière à diminuer la contraction et les tourbillonnements de l'eau et par suite des affouillements(1306). Il estévidenl que les formes qui doivent le mieux satisfaire à ces conditions sont celles qu'il convient de donner aux proues et poupes verticales pour faciliter le mouvement des bateaux (891). Par des expériences directes sur des piles de 0"*,15 d'épaisseur et de diverses formes, le canal ayant O™,50(le largeur, l'eau y circulant, sur une épaisseur de 0'»,04 avec une vitesse de 3"*,90 par seconde, Gauthey a reconnu que la forme rectangulaire était la plus défavorable, que la forme d'un triangle rectangle favorisait peut-être encore plus les afl'ouiUements, que celle en demi-cercle était préférable, que le triangle équilatéral l'était davantage, et qu'une forme plus convenable encore que cette dernière était celle composée de deux arcs de cercle tangents aux faces de la pile et ayant leurs centres respectivement sur ces faces.
Dans des expériences sur l'avant-bec formé de deux arcs de cercle, on a fait descendre les naissances au-dessous du niveau de l'eau; alors le remous a été considérable, et les courants ont divergé à peu près autant que dans les expériences faites avec des avant-becs rectsingalaires.
Ces expériences conduisent à adopter la forme triangulaire éqoi"
latérale, ou mieux la forme en arcs de cercle; mais les angles aigus
Pj^ ,^g qu'elles présentent au choc des glaces et
des autres corps flottants sont prompte* ment endommagés; aussi donne-t-on eu [> général la préférence aux avant-becs denu*
\ circulaires.
\ Une forme elliptique concilierait en p^
\ tie les avantages de la forme circulaire et ; \ de celle en arcs de cercle.
Pour un pont biais, on emploie <i6ux
arcs de cercle, AC et BC, tangents aux faces de la pile et, en un môme point C, à une droite ab parallèle à la tété AB du pont. Menant ab parallèle à AB à une distance égale à la moitié de Tépaisseur BD de la pile, et élevant au point C, milieu de a6, une perpendiculaire, elle détermine, sur les perpendiculaires AO et BO' aux faces de la pile, les centres O et 0' des arcs AC et BC.
1313. Appareils des voûtes. Les voussoirs sont en nombre impair, et
celui qui forme clef doit se trouver au milieu; leurs plans de joints sont
normaux à la surface cylindrique de la voûte, et on ne les raccordait
avec la maçonnerie qui les surmonte que par des faces horizontales et
verticales; mais dans les ponts que Ton construit aujourd'hui, la courbe
d'extrados est le plus généralement continue comme celle d'intrados.
Les dimensions des voussoirs dépendent de celles des pierres qu'on a
à sa disposition; cependant il ne faut pas que leur longueur soit trop
grande par rapport à leur épaisseur, parce qu'ils se rompraient; il
faudrait, dans ce cas, les composer de plusieurs morceaux. Au pont de
Neuilly, les voussoirs, qui sont les plus longs qu'on ait employés, ont
1~,80 de longueur sur 0"*,46 d'épaisseur à la douelle (1198 et 132S).
1314. Dimension des voûtes. Joints de rupture. Lorsque les dimensions d'une voûte et de ses culées sont réduites au point de ne pouvoir se soutenir, on remarque, au moment où l'équilibre va se rompre, qu'en général la voûte s'ouvre, comme l'indique la figure 28, PL III, à l'intrados à la clef, à l'extrados en des points placés dans les reins de la voûte, et que les pieds-droits tournent autour de l'arête extérieure de leur base.
Quelquefois, à la rupture, on remarque que la voûte se fend à la clef et dans les reins, mais sans s'ouvrir, et que les pieds-droits glissent sur leur base.
Il est encore un troisième cas possible : c'est celui où le voussoir inférieur, c'est-à-dire l'ensemble du pied-droit et de la partie de voûte inférieure au rein, exerce, pour tomber en avant, un effort plus grand que celui produit par le voussoir supérieur pour le faire tourner en sens contraire. Alors la voûte s'ouvre comme dans le premier cas, mais à l'extrados à la clef, à l'intrados aux reins, et les pieds-droits tournent autour de l'arête intérieure de leur base {fig. 29, PI. III).
Une voûte peut être considérée comme composée de quatre voussoirs séparés par les joints où la rupture est possible, et qui doivent mutuellement se maintenir en équilibre.
1* Examinons d'abord le premier casy celui où il y a affaissement de la voûte et renversement des pieds-droits (Jig. 28, PL III). Au moment où l'équilibre se rompt, on peut supposer théoriquement que les voussoirs ne reposent plus entre eux et sur le sol que par des arêtes a, 6, 6', c e^t d; alors aô, 6c, ab' et 6'c' sont entre eux dans le même état d'équilibre que des droites rigides a6, 6c, ab' et 6'c', dont les poids sont ceux des voussoirs, et dont les centres de gravité sont placés aux points G', ^, etc., situés sur les verticales passant par les centres de gravité G, g y etc., des voussoirs. (Int. 1586 et suivants.)
Il convient, pour abréger les calculs relatifs à la poussée des Toût de ne considérer qu'une tranche de voûte de 1 mètre de longueur le sens de Taxe longitudinal; s'il y a équilibre sur i mètre, il est dent que l'équilibre subsistera sur toute l'étendue de la voûte.
Représentons : ad par a:, de par a?', e/'par y, fc par y', bh par z et ci par z'. Soient P le poids du Toussoir ab et Q celui du Toussoir bc.
Le poids P, que l'on peut supposer appliqué en G' ou même en KA décompose en deux forces verticales, l'une P - appliquée en a, etl'i
tre P appliquée en 6. Le poids Q, que l'on peut supposer applifl
en g' ou même en i, se décompose également en deux forces vertiGaU
/ Qlf 2,' \
l'une Q -^ appliquée en 6, et l'autre Q — 3 — appliquée en c. LesYOi
soirs ah' et h'd fournissent les mêmes composantes, appliquées n^ pectivement aux points ci, b' et c'.
Ainsi au point o agit une force verticale 2P -, laquelle se décompei|
en deux forces égales, dirigées l'une suivant ah et l'autre suivant w Représentant par G chacune de ces composantes, on a :
G : 2P - = a6 ou Vx* + y« : 2y, d'où G = P £v£l+J(!. X *^ *" xy
La force G, agissant suivant aô, peut être supposée appliquée « point 6, où elle se décompose en deux autres : '
L'une verticale et égale à P -;
L'aulre horizontale et égale à P -^ ^ x / ^ . , = P —
Gonsidérant alors le voussoir 6c, on voit qu'il est sollicité pari» force horizontale P - appliquée au point 6, et par les forces vertical*
Q, P et P - appliquées la première au point y et les dernièitf
au point 6; par conséquent, pour que ce voussoir ait de la stabilit^i on doit avoir :
ou, en simplifiant :
Q2' + Px' — P ^ > 0. (fl;
Ajoutant P2: — Pz au premier membre de cette inégalité, on a :
+ p(x' -i- 2) — ^pz + P 5^!^ > 0. M
Q^' est le moment du voussoir 6c, pris par rapport au point c, P(ac' + z) est le moment du voussoir ab, pris par rapport au même point; par conséquent la somme de ces deux expressions est égale au moment total MA de la demi-voûte, pris par rapport au point c (Int, 1561 et suivants).
M = Q + P poids de la demi-Toûte ;
A distance horizontale du centre de gravite de la demi-voûte au point c.
Le dernier terme du premier membre de l'inégalité (a') devient, en réduisant tous les termes au même dénominateur et en posant H = y + y', hauteur totale de la voûte :
L'inégalité {a!) devient donc :
MA-PHÎ ou Hf^-P-^>0.
Ainsi il y aura rupture quand le terme négatif sera plus grand que le terme positif, équilibre quand il lui sera égal, et Ton obtiendra une stabilité d'autant plus grande qu'il deviendra plus petit relativement à ce terme positif.
