MA

on ajouterait un massif de maçonnerie au pied-droit, en dehors de l'arête c, ou bien on chargerait la clef. Dans ce troisième cas de rupture de voûte, ainsi que dans le deuxième, on a, comme au premier cas, égard à la maçonnerie et à la surcharge qui peuvent reposer sur la voûte.

1315. Épaisseur des voiites à la clef (1394). La marche exposée dans le numéro précédent est une méthode de tâtonnement, puisqu'on part d*une hypothèse sur l'épaisseur de la voûte. Afin de ne pas faire cette supposition au hasard, on a recours à la formule empirique suivante, que Perronnet a déduite de ses observations :

e épaisseur de la voûte à la clef, en mètres ; d distance des pieds-droits.

Pour les valeurs de d supérieures à 30 mètres, cette formule donne des épaisseurs trop fortes, il conviendra donc, dans ce cas, de se guider, sur les constructions existantes.

Partant de l'épaisseur ainsi fixée, on détermine le joint de rupture comme il a été dit au n« 1314 et par suite la valeur de la poussée

horizontale P - de chaque voussoir agissant sur le voussoir résistant. Si

cette poussée s'exerçait uniformément sur toute la hauteur e du joint à la clef, il serait facile de calculer la valeur de e pour y résister; mais remarquons que le voussoir agissant ab {fig. 28, PI. III), par sa tendance à tourner autour du point a, rend nulle la pression du point intérieur A, tandis qu'elle est maximum au point extérieur a. Il est évident que la voûte ne résistera qu'autant que cette pression maximum au point a ne dépassera pas la.limite R par unité de surface que comporte la résistance de la pierre de la voûte. La pression étant nulle en A, et R en a, supposant que ; chaque point du joint e résiste en raison inverse de sa distance au point a,

il en résulte que la résistance moyenne est -, et la résistance totale , — ,

Cette résistance totale peut être représentée par la surface d'un triangle I dont la base est R et la hauteur e; son point d'application est situé au

î centre" de gravité du triangle, c'est-à-dire à une distance ^ de la base

18i0 SIXIÈME PARTIE.

OU du point a (Int. 1595), et comme le moment de cette résistaDce^ pris par rapport au point de rotation b, doit être égal au moment da poids du voussoir agissant a6, pris par rapport à ce même point h, on doit avoir {Int. 1565) :

Ré»/ e\

Vz.

Dans cette formule, les longueurs étant représentées en mètre etP en kilog., R exprime le nombre de kilog. que peut porter avec sécurité chaque mètre carré de la pierre qui compose la voûte.

La formule ainsi établie donnera la valeur de e^ et si cette valeur était différente de celle qu'on a supposée pour déterminer le joint de rupture (1314), on déterminerait de nouveau ce joint en adoptant cette seconde valeur de e, et la nouvelle valeur de Pz fournirait pour c une valeur plus approchée (1318).

M. Léveillé, ingénieur en chef des ponts et chaussées, a reconnu qK la formule de Perronnet était applicable à une voûte de pont d'ouï forme quelconque, d désignant, dans tous les cas, Touverture ou li distance des pieds-droits; seulement, pour rendre les opérations pi» faciles, M. Léveillé adopte :

Ainsi cette formule, dans laquelle d désigne toujours l'ouverture, est applicable aux voûtes en plein cintre, en anse de panier et en arc de cercle; d'après les vérifications faites sur un grand nombre de pont5,iI résulte qu'elle est même applicable aux voûtes qui portent des convoi^ et aussi à celles chargées d'une grande épaisseur de terre.

1316. Épaisseur des pieds-droits (1365 et 1395). Lorsque les pieds-droiis font culée, c'est-à-dire doivent résister à la poussée horizontale de li voûte, il peut arriver qu'ils se renversent en tournant autour de leur arête extérieure. Ce cas ne peut avoir lieu qu'autant que Tinégalitéi du n* 1314 ne serait pas satisfaite, et alors on augmenterait Tépaisseiir du pied-droit et par suite z' de manière à y satisfaire. On opérerait d'une manière analogue pour le cas où le pied-droit pourrait tourner autour de son arête intérieure (3% 1314).

11 peut arriver aussi que, par suite d'une trop faible épaisseur, 1« pied-droit glisse sur sa base. Ce glissement ne peut avoir lieu dès qaf l'inégalité (b) du 2°, n" 1314, est satisfaite.

Il peut arriver également que la voûte glisse sur ses naissances; on vérifiera encore si cet efifet est possible à l'aide de l'inégalité (6) du* îî" 1314, dans laquelle M ne comprendra plus le poids du pied-droUt mais seulement celui de la moitié de voûte qui le surmonte. Ce cas est évidemment celui qui exige la plus grande épaisseur de pied-droit. Cependant, comme l'épaisseur statique calculée pour le renversement est ordinairement plus que suffisante pour résister au glissement,, on ne peut s'en tenir à celle calculée d'après le glissement.

Pour qu'un pied-droit offre une résistance au renversement et q^'i^

inspire toute sécurité dans la pratique, il faut que le premier membre des inégalités du n"1314 soit supérieur au second dans certains points.

La valeur numérique de ce rapport ou coefficient de stabilité a été prise égale à 2,00 ou à 4,90 par un grand nombre d'ingénieurs, d'après la stabilité qu'offrent des constructions établies par Vauban, et qui doivent être regardées comme des modèles. Dejardin {Routine de rétablissement des voûtes), en s'appuyant sur la stabilité des édifices du style sarrasin, et encore sur celui des ponts suspendus, propose 4,50 pour la valeur du coefficient de stabilité; cela revient à multiplier par 4, 23 l'épaisseur statique du mur ou pied-droit. Des constructeurs multiplient l'épaisseur statique, les uns par 4,38, les autres par 4,40, et d'autres par 4,90; mais cette dernière valeur paraît exagérée. La courbe de pression étant tracée, elle divise le joint de fondation en deux parties dont chacune doit pouvoir supporter sans tassement ni écrasement les 2/3 de la charge totale de la fondation (1349).

Dans les anciens ponts, on faisait les arches très petites, en plein cintre ou en anse de panier, et les piles faisaient culée; mais dans les arches actuelles, que l'on fait grandes et en arc de cercle afin de faciliter la navigation, le joint de rupture étant aux naissances pour un arc dont la montée est le 1/6 ou le 1/8 de l'ouverture, il en résulte que la poussée est trop considérable pour que l'on puisse établir des piles faisant culée; on se contente de leur donner des dimensions suffisantes pour que les pierres résistent avec sécurité à la charge qu'elles ont à porter, en ayant égard à l'efi'ort des glaces et à toutes les autres causes de dégradation.

M. Léveillé a donné les formules empiriques suivantes pour calculer l'épaisseur des pieds-droits ou culées :

I h ri

A.rc de cercle, E = (0,33 + 0,212d) V/jj x

Plein cintre, E = (0,60 +0,462 d) y/^Jl^ x g-g^:

Anse de panier, E = (0,43 + 0,4 54 (i) W-

+ 0,546 0,84cZ

£ épaisseur des culées (en mètres) ;

d ouverture de la voûte ;

h hauteur des culées, ou distance verticale entre les naissances et le dessus des fondations ;

e épaisseur de la voûte k la clef (1315) ;

f flèche;

b demi-petit axe pour les voûtes en anse de panier; la formule a été établie dans l'hypothèse que l'intrados est une ellipse ayant rf = 2a pour grand axe, et b—f pour demi-petit axe ;

H distance verticale entre le dessus de la chaussée et le dessus des fondations. On a habituellement 11 = ^ + /"+^ + 0"»,60, le terme O-, 60 représentant la surcharge et le pavage qui, d'ordinaire, recouvrent la voûte, et dont le poids, après tassement, peut être considéré comme sensiblement égal à celui de la maçonnerie. Le numérateur des fractions ayant H pour dénominateur représente la hauteur du

poim où le joint de rupture rencontre l'intrados au-dessus des fondations. Dans les

Toutes en arc de cercle, le joint de rupture étant en général au*dessous des D&issanon, on Ta supposé aux naissances. Dans les voûtes en plein cintre extradossées horiiontalement, le joint de rupture faisant un angle de 60** avec la verticale, on doit prendre h -f- 0,25 d pour le numérateur de H ; en ce point, le rapport de la flèche a la corde est de 0,388, valeur que le rapport de la flèche à la corde atteint rarement dans les Toutes en arc de cercle.

Pour les voûtes en anse de panier, le joint de rupture, normal à Tintrados, faitaTee la verticale un angle de 45*; et si Ton suppose que Tintrados soit une ellipse, il est rencontré par le joint de rupture k une hauteur 0,54 6 au-dessus des naissances; de sorte que le numérateur de H est A -|- 0,54 b,

1317. Tablean des ponts en pierre calcnlés par H. Léveillé.