C. = (2 + 28JC,-Î,C

D« = (2 4- 2w«)Dm-i— to«Dm 2 ;

Km— 1 = 2 + X*>*—1* ^m— 1

K„ = (2+2u)«)K«i— <o«K»j; Om

i° Réactions des appuis des poutres :

2 + wm,

T = ^ + j^ (a«AmP-MwPl+T«CmP,— SmD«P8 + ...q:a)mOmP«t±P^) (*),

[4 4- «i(to 4- Ao 4- t, + A,)] j + ^ - [1 4- «i^ 4- tJJT,

T, = -[»i^ + Ao4-Ti + A,) + a2(T, 4-A,4-T,4-Aa)] j

+ [3 4- P,(B, + B J] ^ 4- -^ + [«,(to + T,) + a,(T, + t,)]T,

Ta = [«a(^i + A, 4- ta 4- AJ 4- «,^2 4- A^ 4- 1, + A,)] j

+ [P2(Bi 4- B,) + p,(B, 4- Bs)] ^ 4- [3 + y,(C, 4-C,)] ^

T4 = -[«.(t2 + Aj4-T,4-A8)+«4(t.4-A, + T,4-AJ] j

+ [P.(B, + B,) 4- ?4(B. 4- B J] ^ - [tsCCj 4- C,) 4- T*(C5 4- CJ] \'

[««t-il-c^n-j 4- A«2 4- 1«-4 4- Am-i) + a«(T»j 4- A«i-i 4- tw 4- Am)] ^ [p«^,(Bm-, 4- B«.,) 4- Pm(B«-, 4- B„)] ^ * '

[Ym-i(Cm„, 4- C«. J + r«(Cm-i 4- Cm)] ^

[8««i(Dm j + D„»>,) 4- 5«(Dm-i + Dm)] ^ ... 4- [3 4- ««(Om-j + 0«)] ^* 4- ^

[«m-l(tm-a 4- -^m-i) 4* «m(T|«^ 4" T«)]T,

(*) On prendra le signe 4- pour P»

nombre m+l des travées sera impair*

quand m sera pair^ c'esHi-dlre' quand la

+ (t^ - L,!/j;.p^ - ... it (T, - t,)7;p, :f (t, - tJp;.p. ± «LP];

s* Efforts tranchant* mir le» appui* de* potttret .*

II = T, dont la valeur est donnée ci-dessus,

H, = a,(T, + A« + T, + A,) j + -^ — «,(xo + ^i)".

II. = - «,(t, + A, + T, + A,) J + P,(B, + Bi) ^ + ^ + a,(T. + T,)n, n, = «,{t,+A,+t,+A,) j-p,(B,+B,)^-|-T,(C,+C,)^» + ^-«,(i:.+ï,)H. H» = - «»(t, + A, + T» + A») J + P»{B, + BJ ^ - Ï4(C, + C J ^

e« = ± «,(^—1 + A—, + 1« + A,) ^ T MB«-i + B.) ^

± ... + w«(0,, + 0«) 5^ + T ^ ««(^-1 + ^IBi 3° Moment* Jléchistants sur les appuis des poutres .*

H = 0, ll. = i(2P-4T),

Mi = j [- «.K + A.)P + P. + 4«,T,T],

«4 = ^ [- «.(T. + A,)P + P,B.Pi - T.C,P, + P, + 4a,T,T,.

Mm = ^ [qp «w-i(Tm-i + A«i)P ± p«-jB«-iPj q= Y«iC«iP,

± S«4D«iP3 I^...— Xm-lKm-iP«-8 + P«-i±4a«,i^T], lfm+1 = 0.

Ces formules, qui sont applicables à un nombre quelconque de trayées, donnent la valeur de T ou H directement en fonction des poids et ouvertures des travées, et les autres valeurs des réactions, des efforts tranchants et des moments en fonction de T ou H.

1430. Formules applicables aux ponts à travées symétriques par rapport au milieu de la portée du pont. Dans ce cas, à cause de la symé-

trie des travées, on a : *

*m = 1 j ?m = Wm = — > Ifm = Vm = — » * * * >

et Ton peut poser, en affectant d'un indice prime les poids des travées de la partie droite :

T = H = ^ + 7^ f --T,»., P - ^"-^ 7 ^"-' P, + ^"-^ T ^"-^ Ps 2 4T,r. \ a; * a- -

-''"-»7''"*p8H-...±^^-^p; + ^^^i^±fV

oc a a /

P' prend le signe + quand le nombre m-f-1 des travées est impair.

Dans cette formule, il ne reste que la série t, les séries A, B, C... ont disparu et ne se trouvent plus que dans les expressions des autres réactions, et dans celles des efforts tranchants et celles des moments. De plus, pour rétablissement de la série x et de celles A, B, C..., il suffit de calculer les rapports «, p, y,..., jusqu'au milieu du pont seulement, puisqu'on a (page 2000)

L'application que nous faisons au n" 1435 à un pont symétrique de onze travées rentre dans ce cas.

1431. Dans le cas oii toutes les travées centrales du pont symétrique deviennent égales, la valeur de T ou H se simplifie encore. On a d'abord a4 = a2 = a8= ... =a, et si Ton désigne par / l'ouverture d'une travée centrale, par p^ p^, pa— les poids par mètre courant des travées de la partie gauche et par p', p',,Pa... ceux des travées de la partie droite, on peut poser :

— (t,„8— T^-Jp, + ... zh (tj— t,)p;:+:(tj — To)p', ±aV]. On prend le signe + pour p' quand le nombre m-^-X des travées est impair.

Cette formule est applicable à partir de 2 et 3 travées, et elle ne comporte qu'une seule série t, dont le développement est :

To = 1»

Tt = 2 + 2a,

"^X '^in—\ "Cm— 2

Pour m = 1, cas duTpont de deux travées, on a « = 1 et Tj =4 (1440). 1432. Lorsque toutes les travées sont égales, on peut poser

i T==H = Ç + — (>«P--X,„^lP4 + X«.2P,-...q:llP,„%qr3Pm-t±Pw),

SIMËUE PAItTIE.

nie dont les coefficients sont donnés par les deux séries ;

X, =il.

«- = iO„-,

À„ = ii.,.

I autres fornaules du n° 1429 devtennenl : (13P + P,) — 6T, (— i2P + 7P, + Pa) + 2iT, (laôP — IBP, 4 7P, + P,) — 90T, (— 582P + 66P, — 18 P, + 7 Pj +■ P.) + 336 T.

(— 459P + 52P, — UP, + P, + Pt) + a56H,

[±(9„, +),, + e.+i»)PT{i«-. + x™-,iP,±(i,»„, + x^)p, =P ... + 4P„-, + p„] qi 9.,^, + e.)H;

{— 97P+HP,— 3Pï + Pj + 4x56T),

[±(l„^, + e„,)P?:)H^jP,±l„,P,±. . — 3P.,-+ P^;T:ie^T;.

:3. Des formules générales du n° 1429, H. Piarron de Hondésir^con-

cl ut les cinq principes généraux suivants {La pesanteur e3t prise positivé) :

1". Le maximum de 1* correspond à la surcharge de toutes les travées impaires et son minimum à la surcharge de toutes les travées paires. Celte réaction est prise négative.

2% L'hypothèse qui donne le maximum de la réaction T* sur une pile quelconque k consiste à charger les deux travées adjacentes, puis toutes les autres de deux en deux à droite et à gauche de cette pile (fig. 351). Le minimum correspond à l'hypothèse inverse. (Ces valeurs T sont prises négatives.)

3*. Le maximum et le minimum du moment fléchissant M^ sur une pile quelconque k sont donnés par les mêmes hypothèses que le maximum et le minimum de la réaction Tt. (Ces valeurs sont prises négatives.)

4«. Le maximum du moment fléchissant au milieu d'une travée quelconque, lequel moment est négatif, correspond au maximum de T^ si le numéro A; + 1 de la travée est impair, et au minimum de T* si ce numéro est pair.

Le minimum correspond aux hypothèses inverses.

5s Les maxima et le,s minima des efforts tranchants H*, H'* sur une pile quelconque k correspondent aux mêmes hypothèses que les maxima et les minima des réactions T» et moment Mt sur cette pile.

Les diverses hypothèses qui donnent les maxima et les minima des réactions T4, efforts tranchants Ht, H'fc et moments fléchissants M^ sont figurées sur le tableau suivant pour un pont symétrique de m 4- 1 = 4 1 travées. ,

T T, Tj Ts T^ T5 T's T\ T'j T'j T», T'

.- * mm m ■