SO0'« 3S
Pt =
52500 liiMO
( soom
premières valeurs de p, p,.,. indiquent les charges perma^eoie^ lètre de longueur de travée, et les secondes les charges totales ;es permanentes et surcharges) par mètre de longueur de travée, remières valeurs de P, P,... sont les charges permanentes pour
la travée, et les secondes les charges totales ; ainsi P= 25000" )0x25l(ilog.,et P = 75000'« = 3000x25 Itilog. ique rail est supposé porté par une seule poutre, et les poids jés ci-dessus sont ceux relatifs à une poutre, soit 'à la moitié
voie.
On a (1430), puisque m = 10,
Valeurs des rapports a, p, y, 8 et s (1429) :
Pa 1
5me T (1429) :
Tj = 2 -f 2a, =
T, = (2 -f 2p2)T, - P2T0 = T^s = (2 + 2r,)T2 — Ts^i = T, = (2 4- 2$,)t3 - 8,T, =
-^5 =•• (2 + 2hK — £«^8 =
Ces valeurs étant substituées dans la valeur précédente de T, il vient :
T = H = 0,438704P — 0,064624Pi-f0,017341P2— 0,004 740P8+ 0,001 587P4
- 0,0005P5 H- 0,000 109P\— 0,000 024P'3 + 0,000 OOÔP'g — 0,000 002P'i + 0,000 OOIP'.
Les efforts tranchants sur les piles sont, en tenant compte des séries A, B, C,... (2*» du n-» 1429) :
Hi = i,319444P4- 0,25Pt — 3,888889T,
Ha = — 5,902 778P + P, + 0,25P2 + 14.444 444T,
n, = 23,645833P - S.SOP^ + P, + 0,25P3— 52,888 889T,
lU = — 82,808 876P + 10,561 223Pi — 2,846 937P, + 0,836 53iP,
+ 0,25P4+ 154,530612T, Hj = 228,965 683P — 32,293 526Pi + 8,668 527P,— 2,380581 P3
Les moments fléchissants sur les pîles sont (3" du n» 1429) :
M3 = 150P — 22,50Pi + 7,50Pj— 341,666 667T,
M. = 2338,928646P— 287,i42813PiH-77,142853P2 — 21,428 575Ps
+ 8,75P4— 533i ,5285761 Me = — 6819,698656P + 1 004,598 218Pi — 269,598218P2
Les diverses hypothèses de surcharges à considérer sont au nombre de douze (1434), et sont représentées dans le tableau du n" 1433.
Hypothèse 1. Le tableau (1433) montre, par des traits pleins et foris, que dans cette hypothèse les travées 1, 3, 5, 7, 9 et 11 sont surchargées et portent les poids (tableau page 2008) P=3000 x /= 7oOOO'«, Pj=3200x /j= 96000^8, et il montre par des traits pointillés que les travées 2, 4, 6, 8 et 10 ne portent que les charges permanentes, soient Pi=1200x /i=:36000*^«,P3=/3X 36000^8, etc.
Les valeurs de P, P„ P2,..., P'i, P'> ainsi obtenues, substituées dans la valeur précédente de T, donnent :
T (maximum) = 52258^er (1),
et cette valeur de T, ainsi que celles des charges étant substituées dans les formules précédentes des efforts tranchants et des moments, on obtient :
Mi = 131550, M2 = 178290, M8 = 145380, M4 = 230370, M5=323225.
Pour la 'première travée, Téquation (3) du n* 1429) devient, en remarquant queMft=M = 0,Hk = H = T = 32238 et ^ = ^^ = 1500,
RI
le moment de résistance : — = — 32238x -f 1 500a;'. (a)
Pour les points d'inflexion le premier membre de cette équation étant nul, celte équation donne, en appelant i et i' les valeurs de x qui
(1) Les réactions, les efforts tranchants et les moments maxima et minima soit désignés par des chiffres plus apparents.
correspondent aces points. d'inflexion [Int. 537),
L'abscisse de Taxe de la parabole des moments est :
Substituant cette valeur de x dans Téquation (a), on obtient pour moment négatif maximum s
Le moment fléchissant sur la première pile est (page 2010)
Ml = 12,50P — 25T = 131 550 ; valeur que donne également la formule (a) en y faisant a; = / = 25".
Pour la troisième travée on a de môme, en remarquant que Mjfc = Mj. et Ht = Ha :
Équation de la troisième travée — = 178290 — 49097a; + 1600a?«;
Abscisses des points d'inflexion (Int. 538). î8 = 4'»,205, i'j = 26",480;
Abscisse de Taxe de la parabole des moments =15 ,340;
moment négratlf maximum = — 198 353 ^
Moment sur la troisième "pile, obtenu avec la formule de la page 2009,
ou bien tiré de la valeur précédente de — en y faisant a; = /^
= 30» Mj = 145380.
Équation de la cinquième travée — = 220370— 59597a; + 1750a;«;
Abscisses des points d*inflexion i4=:4'",550, i\ = 28'°,935 ;
Abscisse de Taxe de la parabole des moments =16 ,740 ;
Afoment nésatlf maximum = — 26037(K
Hypothèse 2. — Surcharge des travées 2, 4, 6, 8 et 10.
T (minimum) = 4939''S50 ;
Hi=49062''s, H8 = 48960''», H5= 80000'»; Mj= 189012, M8 = 157152, Ms = 172363, M4=143563 M5 = 399450 M6 = 399450.
R I Équation de la deuxième travée — = 189012— 48 062a? + 1600a;«;
Abscisses des points d'inflexion 2, = 4»,375, f'^ = 26'",285 ;
Abscisse de Taxe de la parabole des moments := 15 ^332 ;
Moment négatif maximum = — 187084.
RI ÉquaUonde \sl quatrième travée — =172363 — 48 960a? +1600a?«;
Abscisse de Taxe de la parabole des moments {fig. 350) = 15'» ,300 ;
Moment nésatlf maximum (/î^. 350) =— 202181^
2012 SIXièAIE PARTIE.
Équation de la sixième travée — =399450 — 80 OOOar +2000i»;
Abscisse de Taxe de la parabole des Ihoments =r2O*,000;
Moment nésatlf maximum = — 400oaO>
Hypothèse 3. — Surcharge des travées 1, 2, 4, 6, 8 et 10.
D'après le tableau du n" 1433, T (maxlmam) est égal à T (mlnlnaam) donné par rBYPOTHÈsE 2, plus 0,438704 (P— 1000 X /) valeur de T de la page 2009 et Ublean de la page 2008. Ainsi
T (3) =T (minimum) -f 0.438704 x 50000 = 4939,50 + 21 935,20 = 2e874*K,7a
Hi = 32 298''« ; M t = 26o 62o Mj = 136 685.
Équation de la première tmvée — = — 26874,70x+ 1500x«;
Abscisse de Taxe de la parabole des moments fléchissants = 8'',958.
Équation de la deuxième travée — = 265625 — 52298x4-1600^5;
Abscisse de Taxe de la parabole des moments = 16",343.
Hypothèse 3 bis, — Surcharge des travées 3, 5, 7, 9 eM 1.
T (3 ôis)=T (maximum^— 0,438705 x TiOOOO = 32238—21 935,20= 10 3O2^k,80. Hi=i3204''»,90; Mi= 34932,^, M, = 198785,50.
RI
Équation de la deuxième travée — =54932,50 — 13 204,90x + 600x»;
Abscisse de Taxe de la parabole des moments = ll^tOGO*
Hypothèse 4. — Surcharge des travées 2, 3, 5, 7, 9 et 11.
T (4) = T (3 bis) — 0,064624 X 60 000 = 10302,80 — 3877,40 = 6425^8,45. Hi = 43,283''B H2 = 539So''S Mi = 151868, Mj = 293378, Ms= 114728.
Équation de la deuxième travée — = 151868 — 43 283x-|- 1600x«;
Abscisse de Taxe de la parabole des moments fléchissants =:13"*,526;
Équation de la troisième travée — = 293378— 53 9553;+ 1600a:*:
Abscisse de Taxe de la parabole des moments ^=16*^,861.
Hypothèse 4 bis. — Surcharge des travées 1, 4, 6, 8 e^ 10.
T (4 bis) = T"(3) + 0,064624 x 60000 = 26874,70+ 3877,40 = 30 752'' b, 10. H^ = 22220k8, .Hj = 12637''8; Mi = 168692, M2=42101, Ms = l02994.
RI
Équation de la deuxième travée — = 168692 — 22 220x + 600a;';
Abscisse de l'axe de la parabole des moments = 18",520.
Équation de X^l troisième travée — = 42101— 12637a; -f 600a:';
Abscisse de l'axe de la parabole des moments = 10",530.
. Hypothèse 5.^— Surcharge des travées 1, 3, 4, 6, 8 et 10 (fig. 350).
T(5) = T(4 bis) + 0,017 341 x 60000 = 30752,10 + 1040,50 = 31792^«,60. Hj=:4266I''6, Hs = 54io9^S M2= 137466, Ma = 2974S6, ■M4 = 112686.
RI
Équation de W troisième travée: — = 137466 — 42 667ic -f 1600a;2;
Abscisse de l'axe de la parabole des moments £=*: 13™,333.
Équation de la quatrième travée — = 297456 — 541o9a? + i600x^;
Abscisse de Taxe de la parabole des moments {fig, 350) = 16",925.
Hypothèse 5 bis, — Surcharge des travées 2, 5, 7, 9 et 11.
T (5 bis) = T (4) — 0,017341 X 60000 = 6425,40 — 1 040,50 = 5384''8,90. Hg = 23 926'^8, Hg = 9 963^» ; M, = 197 977, M, = 20 i 8S, M4 = 261 232
Équation de la troisième travée — = 197977 — 23926a; + 600a?*;
Abscisse de l'axe de la parabole des moments = 19'»,940.
RI Équation de la quatrième travée — = 20185 — 9965a? + 600a;*;
Abscisse de l'axe de la parabole des moments [fig. 350). ..... = 8'°,304.
Hypothèse 6. •— Surcharge des travées 2, 4, 5, 7, 9 et 11 {fig, 350).
(1(6) = T(5 bis) — 0.004740 X 60000 = 5384,90 — 284,40 = 5100^«,50. Hg = 40297S H4 = 62726^8; M, = 117346, M^ = 348436, Mj = 296776.
RI
Équation de la quatrième travée — = 117346 — 40297a? -f 1600ar2; '
Abscisse de Taxe de la parabole des moments {fi^, 350) .......= 12»,593.
Ri
Équation de la cinquième travée -— = 348436 — 62726a? -f 1750a?» ;
Abscisse de Taxe de la parabole des moments = 17'°,922.
Hypothèse 6 bis, — Surcharge des travées 1, 3, 6, 8 et 10.
T(6 bis) = T(5) + 0,004740 X 60000 = 31792,60 + 284,40 = 32077''8. Hs = 13827*8, H4 = i4842''8; Mg = 200059, M4 = 23240, M5 == 424510.
R I Équation de la quatrième travée — = 200059 — 23827a? + 6O0a?»;
Abscisse de Taxe de la parabole des moments {fig, 350) ±z 19'",856.
RI
Équation de la cingMÎéme fmvëe — = 25240 — 14842a? + 750a;'.
Abscisse de l'axe de la parabole des moments = 9-,895.
Hypothèse 7. — Surcharge des travées 1, 3, 5, 6, 8 et 10.
T(7) = T(6 bis) + 0,001587 X 70000 = 32077 -f 111,10 = 3âl88»8,10. H4 = 50492''8, H6 = 84789^; M4 = 167164, M5 = 543694, Mg = 353334.
Ri
Équation de la cinquième travée — = 167164 — 50492a; + 1 750a?»;
Abscisse de Taxe de la parabole des moments = 14"',425.
RI Équation de la sixième travée — = 543694 — 84759j? + 2000a?»;
Abscisse de l'axe de la parabole des moments = 21'",190.
HvpoTHËsB 7 bii. ^ Surcharge des travées i, t,T,9et t
1 de heinguiéme travée. — = 206911 —270Ï&C + ISOc';
> de l'axe de la parabole des momenls = 18- ,051.
n de lu sixième trai-ge — = mSW — 351t5z + lOOOc»;
I de l'aie de la parabole dei momeDts = I7~,53T.
lide des calculs qui précèdent, on peut établir l'épure complèu it de onze travées symétriques choisi comme exemple, uation (i) du n* 1429, qui est l'équalion d'une ligne droite si ptest nC dans toute l'étendue de la travée, représente reETort tranchaol point quelconque de la travée. Ainsi, pour la quatrième travée, isidérant les hypothèses 5, 5 bis, 6 et 6 bis, qui concourent au du polygone-enveloppe des efforts tranchants, cette équation dans \ hypothèse 5, pour 1 = 0,
H. = H3 = ti4l89^
r Hi = 0, cette mftme équation devient :
»=".-"■'• "«^ •= s = if = •«■■«'■
lant alors (fig. 3î>l) en dessous de Oz, afin de distinguer les efforts lants des moments fléchissants figurés en dessus de Ox, Oa repréit, à une échelle convenable, l'effort tranchant n' = B41o9',
Ox la longueur 06 = 16°, 92a, les ordonnées de la droite ab, qu'on prolonger jusqu'à la perpendiculaire O'H^, représentent l'effort mnt aux divers points de ta quatrième travée, iscisse 16-, 925, ainsi trouvée, n'est autre que l'abscisse de l'au parabole figurative des moments fléchissants dans la même htpo-
5, et il en est de même pour une hypothèse quelconque, comme ntre la figure 33t.
s I'hïpotkèse 5 bis, on prend :
OV = H\ = II, — p,/, = 9965 — 36000 = — 26035^,
is I'hypothèse 6, on prend :
= H\ = H,— Pj/, = 40297 — p,i, = 40297—96000 = — 55703',
PONTS METALLIQUES.
Enfin, dans Thypothèse 6 bis, on prend :
et
Oa''' = H3 = 23827S
ob'^' = M 3 = ^3m ^ ^9^ ggg
' 1436. Disposition des tôles dans la quatrième travée du pont précédent de onze travées symétriques. Reproduisons, figure 352, la courbeenveloppe obtenue figure 351, en tenant compte seulement des arcs fournis par les hypothèses 2, 5, 6, 5 bis et 6 bis.
Supposant que l'âme verticale de la poutre résiste au cisaillement de TefTort tranchant, effort qui est très faible au milieu de la travée, lequel est H3 = 54159 kilog. à droite de la troisième pile, et H'4 = 55703 kilog. à gauche de la quatrième pile (1429, 1435), on voit que sa section peut être variable dans toute l'étendue de la travée; mais on lui dpnne une section constante dans toute cette étendue, et telle qu'elle soit capable de résister à Tefifort H\ = 55703 kilog. et même à l'effort tranchant H5 = 84759 kilog. à droite de la cinquième pile (hypothèse 7 du numéro précédent).
Fig. 352.
La résistance pratique du fer à l'effort tranchant pouvant être de 6 kilog* au plus par millimètre carré, la section de l'âme, supposée pleine dans toute sa hauteur, étant égale au produit de son épaisseur, supposée de 0",006, par sa hauteur, supposée de 3"*,50, c'est-k-dire à 21 000 raillimè* très carrés, sa résistance est 6 x 21000 = 126000 kilog. Cette résistance est de beaucoup supérieure à l'effort tranchant maximum 84759 kilog., et elle montre que l'âme de 6 millimètres peut être évidée, au milieu de
2016 SIXIÉUR PARTIE.
sa hauteur, sur un tiers de cette hauteur dans toute retendue de la sixième travée, qui forme le milieu du pont, et sur plus de la moitié dans toute l'étendue de la quatrième travée et des suivantes, puisque
Hj maximum =52 298 kilog. (hypothèse 3 du numéro précédeof.
En chaque point de la longueur de la travée, la poutre doit donner
RI
un moment — qui ne doit pas être inférieur à Fordonnée de la courbe-
Rl
enveloppe. -~ se compose du moment de résistance de Tâme, de celui
des cornières et de celui des tables. L*âme étant supposée résister à Teffort tranchant, nous négligerons son moment. Il est toujours facile de déterminer le moment de résistance des cornières, et supposons qu'il soit de 110000. Prenons Oa proportionnel à ce moment, et menons ab parallèle à 00'; les ordonnées de ab représentent le momeol de résistance des cornières en un point quelconque de la quatrième travée, et même en un point quelconque de la longueur du pont, les cornières ne variant pas dans toute cette longueur.
Le moment des tables ne doit pas alors être inférieur à Texcès des ordonnées de la courbe-enveloppe sur celles de ab. Ainsi, sur la quatrième pile, ce moment ne devra pas être inférieur à 238436.
La hauteur de la poutre étant de 3'^,^0, supposant que les tables ont 0",60 de largeur et que le fer doit y travailler à 6 kilog., soit à TexteDsion, soit à la compression, un millimètre d'épaisseur pris dans ane table a pour section 1 x 600 = 600 millimètres carrés, peut supporter , un efiFort de 6 x 600 = 3600 kilog., et son moment est 3 600 x l,7o=630«. Ainsi une longueur proportionnelle à 6300 prise au-dessus de 6 représente un millimètre d'épaisseur, pris dans une table, et une longueur proportionnelle à 6300x2 = 12600 représente 1 millimètre d'épaisseur, pris dans chaque table, ou 2 millimètres pris dans les deux tables. Il est alors facile de tracer, à partir de 6, une échelle dont chaqae division représente une épaisseur de 2 millimètres pour les deoi tables, soit 1 millimètre pour chaque table. En effet, 40000 correspondant à la division de 1"",25 dans l'échelle de la figure 351, la division
1 2 600 qui présentera 12600 sera de 1,25 = 1»",575 dans la figure 352,
et Ton obtient facilement cette division en partageant IS^'j^SeD 10 parties égales.
L'excèb 238436 se trouvant un peu au-dessous de la 19* divisioD? puisque 12600 x 19 = 239400, il en résulte que 19 est le nombre rooii de millimètres qu'on peut donner à chaque table sur la quatrième pile- Adoptons 21 divisions, soit 21 millimètres pour l'épaisseur de cbaqne table, que nous composerons de trois feuilles de tôle de 7 millimètres d'épaisseur chacune.
Les tôles devant enserrer aussi bien que possible la courbe-env^ loppe, on voit {fig. 352) que la tôle extérieure de chaque table dem s'étendre environ sur une étendue c(2s=l»,30 de chaque côtédeli
quatrième pile, et sur l'étendue dû! = 0",75 de chaque côté de la troisième pile. La tôle du milieu devra s'étendre sur l'étendue 6/= 3™,00 de chaque côté de la quatrième pile, sur éf = 2",00 de chaque côté de la troisième pile, et sur l'étendue d'f* = 5"*,50 vers le milieu de la travée. La tôle intérieure pourrait à la rigueur être supprimée sur rétendue gh\ mais on la fait régner dans toute la longueur de la travée afin que chaque table ne soit entièrement supprimée en aucun point de son étendue.
. Après avoir fait Tépure de la figure 350 pour toutes les travées successives jusqu'au milieu du pont, supposé symétrique, on commence à disposer les tôles pour la travée d'axe du pont, et l'on continue de proche en proche jusqu'à la travée de rive. L'épaisseur de chaque table varie par épaisseur de tôle, qui peut au besoin être différente pour les diverses tôles.
1437. Observations sur les poutres continues (Théorie des 'poutres droites, par M. Ed. Gollignon).
i". Les formules fondamentales des n°« 960 à 963, sur lesquelles repose le calcul des poutres continues, sont établis dans la supposition que la poutre a une section uniforme dans toute sa longueur. Or lorsqu'on a construit l'épure des moments fléchissants et des efi'orts tranchants (Jlg, 350), on se sert de cette donnée pour faire varier la section transversale de la poutre (Jig» 351), de manière à serrer de près les contours du polygone-limite. La poutre construite n'est plus alors dans les conditions de la poutre idéale soumise au calcul ; la flexion qu'elle prend ne suit pas les mêmes lois, et par suite les efforts se distribuent dans la poutre réelle d'une manière autre que celle qui a été prévue.
Quoi qu'il en soit, on ne cherche pas à rectifier cette erreur, parce que les calculs qu'il faudrait faire quand la section est variable d'un point à l'autre de la longueur de la poutre sont beaucoup trop compliqués. L'expérience prouve d'ailleurs qu'il n'y a pas lieu de se préoccuper des conséquences pratiques des inexactitudes dues à cette méthode de fausse position.
2". En général, on donne la même longueur aux travées centrales
d'une poutre continue (1431), et la longueur de chaque travée de rive est
à celle de chaque travée centrale dans le rapport 4 : 5 ; ce rapport donne
4es ponts très convenables quant à l'aspect. €e rapport est du reste
voisin du nombre - H = = 0,7887..., qui donne l'abscisse de l'un
des points d'inflexion d'une poutre encastrée à ses deux extrémités
(416). Étant donnée une suite de travées égales, toutes encastrées sur teurs appuis, et toutes également chargées, on en ferait en effet ùriè poutre continue à extrémités libres en coupant la première et la dernière travée en leurs points d'inflexion extrêmes, oii les moments fléchissants sont nuls, et où la réaction de la culée sur la poutre exercera de bas en haut un eff'ort égal à l'effort tranchant (1439). ^ . 3*. Si Ton compare deux poutres, l'une continue, l'autre coupée sur ces appuis, franchissant les mêmes portées avec les mêmes surchai^es,
on reconnaît, en général, que la poutre continue, à égalité d^efforts dans le métal, a un poids moindre que la poutre à travées indépendantes, mais que les pressions exercées sur les appuis intermédiaires sont moindres pour les poutres à travées indépendantes que pour la poutre continue.
4*. Une poutre peut être continue par rapport aux surcharges et non continue par rapport à son poids propre. Cela a lieu pour un pont métallique de plusieurs ouvertures, dont les travées, posées séparément sur les culées et les piles, ont été réunies ensuite par des panneaux rapportés qui ne subissent d'efforts que sous l'action des surcharges.
5*. Les efforts développés dans certaine région des travées des poutres continues s'exercent tantôt dans un sens, tantôt en sens contraire, et cette inversion d'efforts n'est pas favorable à la résistance du métal. Gela n'a pas lieu dans les poutres coupées sur les appuis.
6*. Par ces divers motifs, il y a des constructeurs qui préfèrent les travées discontinues aux poutres continues sur plusieurs appuis. Ils partagent alors en parties égales l'ouverture totale à franchir. Ils ont un peu plus de fer dans les fermes, des efforts un peu moindres sur les piles, et ils sont sûrs qu'il n'y a pas de renversement dans le travaO des différentes parties de la construction.
Cette solution est employée principalement dans les ponts qu'un intérêt militaire peut amener à couper un jour. Il importe en effet alors que les travées soient indépendantes pour que la rupture de l'une n'entraîne pas la chute des travées voisines.
7*. On trouve des exemples de ponts métalliques de plusieurs travées coupées sur certains appuis sans l'être sur tous. Cette solution mixte parait vicieuse en ce qu'elle réunit les inconvénients des travées con* tinues et des travées discontinues sans avantage spécial; elle conduit à une grande inégalité dans les efforts sur les piles, elle n'économise pas beaucoup de métal dans la construction des travées, et elle donne lieu à des renversements d'efforts dans certaines régions des poutres quand la surcharge se déplace.
1438. Ponts encastrés snr les cnlées. Soit un pont de m + i travées, encastré sur les deux culées, où par conséquent la tangente à l'axe de chaque poutre est horizontale. Dans ces conditions, M. Piarron de Mondésir établit les formules suivantes, en conservant les notations da n» 1429) :
+ {%Cn, - C«jYmP2 - - =P (20« — l)P„»j dtz SIP^J, (i)
Mi = jP — 2M,
(1) On prendra le signe -^ pour P^ quand le nombre m -fl des travées seïa impair.
Mj = ^ ( «,AiP + Pi) + (t, + A.)M ,
Ms = J («jAjP - pjBaPi + P.) - (t, + A,)M,
M* = ï (- «»-^3P + p3B,P,-r,C,Pj + P,) +{t, + A,)M,
M|»= , (it «|»^Ain-iP ^ Pm-iDm— jFi ^ Ym-idjn-iPa ^ ••• "i" Ptn-i) H^
(t«.i 4- Am-i) M , M' = ip (q= a«»A«P ± p«B«P4 IF YmCmPa ± ... — a)«0«P„», + P«) ±
(Tm + Am)M.
Les moments fléchissants sur les appuis étant connus, on en déduit les efforts trancliants au moyen de la formule :
__ Mt-Mt+, Pt
^'- — ïr~ + ^'
et le moment fléchissant en un point quelconque de la travée d*ordre k + i par la formule (1429) :
Quand toutes les travées sont égales, la valeur de M prend la forme suivante (1435) :
+ (2X«,.a — X«.s) P, — ... ip (2 X 3 -* 1) P^, ± P^],
et si toutes les travées sont égales et également chargées y cette formule se réduit à :
±3XidbS|].
Si dans cette formule on fait successivement m=l = 2 = 3 = ..., on a toujours :
et cette valeur, substituée dans les expressions précédentes de M^ , VL^y Ms) ..-, donne également {fig. 352) :
M| S= M2 = M3 ^ *.• SS M SS r^»
SIIIÈUE PARTIE.
iression précédente de Hi se réduit dans ce cas ti :
aoments fléchi ssanis au centre des travées où 3: = ^> sont donnés formule :
dt de ià qu'il suffit d'encaslrer les deux extrémités d'un ponl à égales sur les culées, pour obtenir V encastrement général de
les travées quand elles seront également chargées.
ivantagesde l'encastrement sur les culées sont donc incontesta-
nais jusqu'à présent les constructeurs pHraissent avoir reculé ce sysiènie.qui présente de grandes difficultés, eu égard surtout
igences de la dilatation.
réfèrent généralement faire varier les ouvertures des travées, de
e à égaliser autant que possible le travail du métal.
. PonU équilibrés. Considérons un pont encastré de m + 1 tra-
;ale3 également chargées |li38).
jation d'équilibre de la première travée est
d»y p^£/ dr'
frant deux fois, on obtient pour l'équation de la courbe affectée xe de la poutre :
charge par mblre unirons émenl répartie sur toute la iDSgucur de la poutre, nt le premier point d'inflexion de la première travée [fig. 353),
Tient fléchissant est nul en ce point, et l'abscisse x = Oa de ce !St donnée en égalant à 0 I6 second membre de l'équation (m); g« nne :
iplaçant x par cette valeur de On dans l'équaiion (/), on en coo-
dut, toute réduction faite :
Cela posé, si nous coupons la poutre au point i, où Faction des forces intérieures est nulle, il suffira, pour rétablir l'équilibre, d'appliquer au point i une force verticale T dirigée de bas en haut (1437) et égale à l'effort tranchant :
pi j /i pi \ pi
2sf3
Cette force T n'est autre chose que la réaction de la culée supposée établie en f, et comme la (m + !)*«»« travée donne le même résultat, il en résulte qu'une poutre métallique de m H- 1 travées chargée uniformément, dont toutes les travées centrales ont la même portée / et
chacune des travées extrêmes la portée f - -| = j / = 0,7887.../, et dont
les extrémités reposent librement sur les culées abaissées de la quan-
tite très petite ai = t—ttï au-dessous du niveau des piles, résiste
comme une poutre de (m H- 1) travées de chacune / de longueur, encastrée stir les culées à chaque extrémité, et dorït tous les appuis sont au même niveau.
Un pont établi dans ces conditions est appelé par M. Piarron de Mondésir pont équilibré. Les moments, qui sont nuls sur lès culées,
sont égaux chacun à ^ sur les piles et les moments négatifs au centre
pi* des travées sont également égaux entre eux et égaux chacun à ~ (1438).
La réaction des culées, établies l'une en i et celle de droite en un point
analogue, est -2—.
1440. Valeurs générales, en fonction directe des poids des travées, pour un pont équilibré de (m + 1) travées : i^ de la réaction sur les culées ; 2^ des moments fléchissants sur les piles ; 3^ des efforts tranchants à droite et à gauche des appuis; A^ des réactions sur les piles.
1» Réactions sur les culées :
T = ^ + J^^ I — a«T„i-.,p — (Tm-i~ T,n-2) Pi + (^m-f— T^^-s) Pj
— (t«-8- Tm-4) P3+ ... ± (t,--Ti)i)',=p (Ti— To)p'j± aV— ^""^^^ ^^ '^J •
Les -lettres ayant les mêmes significations qu'au n* 1431 pour un pont symétrique dont les travées centrales sont égales, cette valeur de T ne diffère de celle du n<* 1431 que par Taddition d'un terme constant fonction de ic.
ic est égal au poids permanent p ou au poids total p + 5, suivant qu'on aura ëqui-
libre le pont soas Tinflaence de son propre poids ou sous rinflaence d'une surcharge générale.
On prend le signe supérieur quand le nombre des travées est impair.
2' Moments sur les piles :
M2 = Jj;:^ [— a'Tm-2P+fm-,(Ti— To)i>,+ Ti(Tm-i— Cm-3)^2
^8 = 4^;:;^ I a^Tw,p — Tm-s^i— To)Pi4-Tm-8(t2— Ti)p24-T2(Tm-8— T,„-*)P»
li r M4 =|J|:p [— *''Cm-4P + Tm-4('^l— '^o)Pl'— f«-*(^2--M)P2+'fm-4(T3— T2)^3
+ T:3(^m-fc— Tm-8)P4— —=P^3('fl— 'fo)P'l=^*'^3P' '^^Sa ^T
±. . . + Tm-i (Tt i + Tk 2)pk i + Tfc i (Tm-fc—Tm-fc-i) P*
-...±Tt,(r.-To)p'.zF.»T»y± '"~3^^*'' 4
Le signe supérieur du coefficient de n s'applique au cas d'un nombre impair de travées.
La valeur générale de M^ s'applique & toutes les piles indistinctement.
En annulant dans ces formules le terme fonction de it, on obtient les formules ap* plicables aux ponts symétriques & travées centrales égales (1431).
3" Efforts tranchants :
A droite des points d'appui. A gauche des points d'appuL
^^^M^^^^;^ H', = apZ-T,
u M2 — M, . pg/ o; M2 — Mt . p^l H2-— ^— +"2-. H2^ /— + T'
H M, — M4 . p^l Mg — Mg , p,/
4" La réaction sur chaque pile étant égale à la somme des efforts tran-
chants à droite et à gauche de la pile, on a :
T, = H, + H\, Tj = H, 4- H'2,
Tjk = Ht -1- H'fc.
1441. Calcnl d*un pont équilibré. Les réactions sur les appuis sont nécessaires à Tingénieur pour se rendre compte de la résistance que doivent oiBFrir ces appuis et les fondations de l'ouvrage. Les moments «ur les piles sont indispensables pour le tracé de la courbe-enveloppe des moments maxima et minima de chaque travée (1434 à 1436). Enfin les efforts tranchants à droite et k gauche des points d'appui servent à tracer un polygone-enveloppe qui détermine la section qu'il convient de donner à la paroi verticale de la poutre ou la section des barres de treillis (1436).
Au premier abord, le calcul d'un pont équilibré paraît plus complexe que celui d'un pont symétrique à travées centrales égales, en raison de la présence du terme additionnel fonction de n (1440); mais c'est le contraire qui a lieu, comme nous allons le voir.
M. Piarron de Mondésir pense que c'est sous l'influence du poids propre qu'il convient d'équilibrer un pont, par la raison que les travées sont plus souvent vides que chargées, même sur les chemins de fer où la circulation est extrêmement active. Ainsi, il convient de faire n =p, ce qui, du reste, donne un minimum pour l'abaissement du niveau des -culées (1439).
Rappelons que dans le cas d'une surcharge nulle, on a (1438 et 1439) :
lli = H2 =...= Hi = — ; H\ = H'î = ... = H'i=-3-; Mi=M, = ... = Mk = H|.
' Les coefficients numériques de p, pi,p„ ..., p'j, y^,!)' étant calculés pour les valeurs de T,Mi,M„ ..., Mk, les premières formules générales du numéro précédent peuvent s'écrire :
T = p -f l{ap -f 5pj -f cp, -f- dps -f ...). Ml = {Xj + l^)aip + 61P1 — c,p^ + d^Pz —...)» M, = fi.j -f /*(— OjP -t- 6jPi + C2P2 — cfgpj + ...),
Dans ces formules numériques, les termes fonction dé se sont désignés par p, [I4, i^a, [ij» — > ©t îl eslt inutile de les développer numérique ment, comme nous allons le montrer.
2024 SIXIÈME PAUTIE.
S'il s*agit de calculer la valeur numérique de T (t) dans Thypothèset, il suffit d'ajouter à -^, valeur de T dans l'hypothèse d*une surcharge
nulle sur toutes les travées, le produit Ixexs, dans lequel e représente la somme algébrique des coefficients des travées chargées dans rhypothèse i, et s la surcharge par mètre courant. Ainsi Ton a :
Pour calculer la valeur numérique du moment Mik(t) sur la pile n'i
dans rhypothèse t, il suffit également d'ajouter à ^, valeur de H» dans
rhypothèse d'une surcharge nulle sur toutes les travées, le produit l^x/xSf S étant la somme algébrique des coefficients des travées chargées dans rhypothèse t; ce qui donne :
Les mêmes raisonnements conduisent à :
Tk(i) = /(p+5rx5), H*{0 =|(P + ^X5),
H'k(t)=^(p + Vx*),
en désignant par g^ h et h' une somme de coefficients de travées chargées dans rhypothèse t, et dont le calcul est indiqué d'avance par les formules du numéro précédent.
On voit par ce qui précède toute la simplicité du mécanisme da calcul d'un pont équilibré. Appliquons-le à un pont équilibré de cinq travées, dont la portée de chacune des trois travées centrales est î, et celle de chaque travée extrême «/.
La valeur algébrique de T du n"" 1440 devient, en attribuant à p la signification ci-dessus,
Soit, en remplaçant dans chaque coefficient les lettres par leurs valeurs numériques (1431) :
T=p -f /(0,347349p~0,0701i4p^+ 0,018 TTlpj— 0,004 97ip^. -f 0,OO0946pl.
Dans les hypothèses 1, 2 et 3 on a alors, d'après la formule précédente (a) et le tableau du n** 1433 qui montre quelles sont les travées surchargées :
TO)=/r-^ + (0,347349+0,018771+0,000946>'|=z/^-^+0,367066j|»
L'effort tranchant maximum sur la culée est
Ce qui précède est relatif à la première travée. Pour la deuxième travée,, les mêmes raisonnements conduisent à :
4aT4
ou
Mi=îJLi+/»(0,037059p+0,055297pi— 0,014805i>2+0,003921p;— 0,0009461)')^
et dans les diverses hypothèses (1433), en rangeant les moments par ordre de grandeur,
Mj(2) = /« ^^ + 0,059218*
Ml (4 bù) = 1^ (S^ + 0,040980*
Ml (4) = /» ^^ + 0,039747*
Ml (!) = /« ^^ + 0,021508*
Ml (3 bis) = Z« r^ + 0,015551*
L'effort tranchant maximum k gauche de la première pile est (1440). en remarquant que dans Thypothèse (3) la première travée est surchargée :
soit
L'effort tranchant maximum à droite de la première pile est (1440),
Hi(3) =
Ml (3) -M, (3) . Pi(3)Z
2026 SIXIÈSIB PARTIE.
OU, en remarquant que P|(3) = p + '» il vient :
Hi(3) = ^ (^ + 0,096277#) - ^ (^ + 0,028224) + ^ (f + 0,5^)
La réaction maximum sur la première pile est (1440) : T,(3) = Hi(3) + H\(3) = /(p + 1,084465^). VofUT la troisième travée on a de même :
on
Ma = (i2 + /^C— 0,009 932p + 0,052 ISapi + 0,052 961pj— 0,01 4 026p\
+ 0,002 GTOpO
Mj(4) = /«te + 0,1078135) M,(3^") = l*(£^'h 0,055630^) M2(ok») = ^' (^ + 0,054852*)
Ms(l)= Z> (^ + 0,045698*)
Ms(5) = /« (i + 0,029003*)
Pour la quatrième travée on a :
ou
M, = [JL, + /«(0,002670p— 0,014026pi + 0,062961p8 + 0,052 182p'4
Mg(4) = P f^ + 0,029 003^^ M,(5^") = ;« /^^ — 0,023 958s^
On trouve dans ce qui précède, pour un pont équilibré de cinq travées, tous les éléments nécessaires pour tracer la courbe-enveloppe des moments fléchissants et le polygone-enveloppe des efforts tranchants, en fonction du poids permanent p, de la surcharge s et de l'ouverture l des travées centrales (1434, 1435).
M. Piarron de Mondésir a réuni dans un même tableau les formules précédentes calculées pour des ponts équilibrés de deux à onze travées.
Pour chaque nombre de travées, le tableau se divise en cinq colonnes horizontales, et en un nombre de colonnes verticales qui varie avec le nombre des travées.
Composition de ce tableau pour cinq travées .*
La première colonne horizontale contient les valeurs algébriques de T, et celles de Mj, Mg, Mj,... jusqu'au centre du pont si le nombre des travées est pair, et jusqu'à la pile située à droite de ce centre si le nombre des travées est impair.
La deuxième colonne horizontale contient les mêmes valeurs calculées numériquement.
Dans la colonne horizontale w» 3, on trouve :
!•* Les valeurs numériques de T calculées dans les hypothèses 1, 2 et 3.
La première valeur T (1) est celle de Tefifort tranchant H (4), qui concourt au tracé du polygone-enveloppe des efforts tranchants. Gomme, de plus, elle représente le maximum de T, elle est utile pour le calcul de résistance de îa culée et de sa fondation.
La deuxième T(2) donne le minimum de la réaction sur la culée; elle figure dans le tableau à titre de simple renseignement.
La troisième T(3) entre dans le calcul de H\(3), c'est-à-dire du maximum de l'effort tranchant à gauche de la première pile.
2" La valeur numérique de M^ calculée dans les six hypothèses 3, 2, 4 bis, 4, 1 et 3 bis. Ces six valeurs concourent toutes au tracé de la courbe-enveloppe de la deuxième travée; mais quatre d'entre elles, celles des hypothèses 3, 2, 1 et 3 bis, concourent au tracé de la courbeenveloppe de la première travée.
d** Huit valeurs numériques de M,, calculées dans les huit hypothèses 4, 3 bis^ 5 bis, i, 2, 5, 3 et 4 bis. Les hypothèses 5 et 5 6» n'entrent pas dans le tracé de la courbe-enveloppe de la deuxième travée, tandis que les hypothèses 3 et 3 bis sont exclues du tracé de la troisième travée. On sait, en effet, que six hypothèses suffisent pour le tracé d'une travée centrale d'un pont métallique quelconque (1434).
La troisième colonne horizontale donne également huit valeurs dhmériques pour les moments M,, M^, ..., suivant le nombre des travées.
Cette colonne se termine par l'indication de six moments sur la
dernière pile qu'il est utile de considérer, soit sur la pile — - — si le
nombre m -h 1 des travées est pair, et sur la pile — - — si le nombre
des travées est impair. Dans le premier cas, les six hypothèses portent
les n" — ^; — I — r — bis, 1, 2, — : — et — - — bis. Elles concourent toutes 2 2 ' ' 2 2
au tracé de la courbe-enveloppe de la travée n* — Dans le second
cas, les SIX hypothèses portent les n'* — - — » — r — ow, 1, 2, — ^> — - — bis; elles sont nécessaires pour le tracé de la courbe-enveloppe
de la travée centrale n» — - —
Ija quatrième colonne horizontale donne la valeur numérique des efforts tranchants maxima H (1), H^ (3) et H', (3), H, (4) et H; (4), H, {5} et H^ (5),... à droite et à gauche des appuis. Ces valeurs maxima, où l'hypothèse 2 manque, suffisent pratiquement pour tracer le polygoneenveloppe des efforts tranchants, comme le montre la figure 351 pour la quatrième travée.
Enfin, la cinquième travée horizontale donne les valeurs numériques des réactions maxima T (1), T^ (3), T, (4), T, (5),..., parmi lesquelles l'hypothèse 2 manque également. Ces valeurs maxima sont utiles pour le calcul de résistance des appuis.
Pour tracer l'épure complète d'un pont métallique, il suffit :
1"* De calculer les valeurs numériques des colonnes horizontales 3, i et 5, en remplaçant les lettres l, p, s par leurs valeurs;
2* De porter sur la ligne de terre, à une échelle suffisamment grande, les ouvertures des travées, en ayant soin de placer le niveau des culées au-dessous, du niveau des piles d'une petite hauteur correspondant à
3* De reporter sur les verticales, représentant les axes des piles, les diverses valeurs des moments fléchissants, en ayant soin de prendre pour les hauteurs l'échelle la plus grande possible;
4* De construire, aux deux échelles adoptées pour les longueurs et pour les hauteurs, deux patrons de parabole d'après les deux équa-
tîoQS (1434] :
x^ = - y et x' = y .
Ces deux patrons serviront à tracer les six paraboles qui entrent dans
la construction de la courbe-enveloppe d'une travée centrale. Les trois
paraboles correspondant aux hypothèses his et à Thypothèse 1 ou 2,
suivant les cas, seront tracées avec le patron dont le paramètre est - >
€t les trois autres avec le patron dont le paramètre est ^— —
Ce tracé se fera facilement, en opérant comme il a été indiqué au n« 1434.
Les quatre paraboles de la travée de rive devront toutes passer par le niveau abaissé de la culée.
5* De porter sur les axes des piles, en contre-bas de la ligne de terre, et à une échelle aussi grande que possible, les valeurs numériques des efforts tranchants à droite et à gauche (1435). On joindra ensuite, par une ligne droite, chaque point repéré avec le point où Taxe de la parabole, correspondant à la même hypothèse, vient rencontrer la ligne de terre. On obtiendra ainsi le polygone-enveloppe des efforts tranchants maxima, tracé au-dessous de la ligne de terre.
L'épure du pont équilibré étant ainsi obtenue, on calcule la distribution des tôles sur les tables horizontales et sur les parois verticales, de manière à ne pas dépasser la limite du travail par millimètre carré qu'on s'est donné à l'avance (1436).
- 1442. Ponts à plusieurs travées. Formule générale de Clapejrron. Nous rappelons le théorème de Clapeyron connu sous le nom de théorème des trois moments. •
Si l'on considère deux travées consécutives d'une poutre reposant librement sur trois appuis dont les portées sont respectivement /^ et /j, les charges par mètre courant étant pj etp, et les moments fléchissants sur les trois appuis é.tant M©-, M^ et Mj, ces diverses quantités sont reliées par la relation suivante {Jig. 354) :
En augmentant successivement les indices d'une, de deux, de trois, etc. unités, on appliquera la même relation aux deuxième et troisième trjavées, puis aux troisième et qfuatrième travées, et ainsi de suite. S'il y a /ii;ravées, on obtiendra.(7i — 1) équations que l'on pourra résoudre par rapport aux moments fléchissants, attendu -que Ton a en outre :
Mo = 0 et Mn = 0.
Fig; 354.
M, Ml M,
- rig."355.
Ti
Tm
Ml
■.. .Mm '
ÂB
= /, Am
Les valeurs des moments fléchissants sur les appuis étant calculées par la formule de Clapeyron, on déterminera le moment fléchissant pour une section quelconque faite en m, au moyen de la relation suivante :
m» M , Mj — Ml px* ^ pi
Mm = Mj + -^-^ — i ^ "■ 2 "^ 2 *• ^'"^
L'effort tranchant dans la même section m à gauche et tout près de l'appui (qui est toujours la dérivée du moment fléchissant) est exprimé par la dérivée de (m) ; c'est-à-dire qu'on a :
T-=i^^-px + ^. [i]
En ajoutant une ou plusieurs unités aux indices, les formules (m) et (Q seront applicables k chacune des travées d'une poutre à plusieurs travées.
1443. Calcul des efforts tranchants et des réactions sur les appuis. Soient les données de la figure 355; si l'on veut calculer l'effort tranchant T„ on fera usage de la formule (t ) qui donne pour ac = AB =/, en remarquant qu'en même temps T»» devient T^; donc la formule donne :
Ta-—? 1- (T)
Cette formule sera applicable à une travée quelconque en ajontant une ou plusieurs unités aux indices.
Application :
Soit une poutre de trois travées [fig, 356). L'effort tranchant à gauche de l'appui B, calculé au moyen de la formule (T) a pour valeur ;
Pour obtenir l'effort tranchant à droite de B, il suffit de tenir compte que de ce côté la poutre subit de bas en haut la réaction q^ ±= -rpi; par suite, la résultante des deux efforts est donc:
T.' = T. + g. = -^p/ + JlpZ= + ^pZ.
Les mêmes calculs appliqués au point G donnent :
A gauche de C : Tj = — tkP^i A droite de C ; T/ = + Â pL
Enfin, pour le dernier appui D, on trouve :
A gauche de D : T3 = — — - p?, A droite de D : T,' = 0.
Fig. 356.
