Chapitre V. — Cojiditions générales et particulières

Art^ 56. Réception des matériaux. Tous les matériaux seront reçus après la taille ou la préparation complète et avant l'emploi ; ceux rebutés seront marqués d'un signe indélébile et apparent, et devront rester sur les chantiers jusqu'à la fin des travaux.

L'ingénieur pourra se livrer h toutes les épreuves qu'il jugera nécessaires nour s'assurer de la qualité des matériaux.

Art. 57. Délai de garantie. Le délai de garantie est d'une année, k partir du jour où la réception provisoire aura été prononcée.

La réception provisoire ne sera prononcée qu'autant que tous les travaux seront complètement terminés et que l'entrepreneur aura enlevé ses bureaux et magasins, les maténaux qui lui appartiendraient, ainsi que tous les détritus et décombres, qui devront, dans tous les cas, être enlevés aux frais de l'entrepreneur au fur et à mesure de l'achèvement des travaux. Jusqu'à la réception définitive, l'entrepreneur devra entretenir en bon état et à ses frais les différents ouvrages qu'il aura exécutés. Il est fait toutefois exception pour l'empierrement de la chaussée du pont ; la retenue de garantie sera de 1/10 pour les travaux faits et de 1/5 pour les approvisionnements.

Art. 58. Clôtures, éclairage^ gardiennage et préservation des maçonneries contre la gelée. Tous les chantiers devront être clos sur les voies publiques, ports et banquettes, aux frais de l'entrepreneur, au moyen de barrières pleines et de 2 mètres de hauteur. L'entrepreneur devra éclairer convenablement et à ses frais, au moyen d'appliques, ses ateliers^ chantiers et dépôts de matériaux ; il restera exclusivement garant et responsable dudit éclairage, soit envers la police, dont il devra exécuter les ordonnances, soit à l'égard des tiers en cas d'accident. Il devra pourvoir à ses frais au gardiennage de tous les dépôts, chantiers et ateliers en dehors du pont ; le gardiennage du chantier du pont proprement dit sera fait en régie. Il devra, pendant les gelées, couvrir à ses frais les maçonneries nouvellement faites par des paillassons.

Art. 59. Entraves à la navigation. L'entrepreneur devra conduire ses travaux de manière à ne pas apporter d'entraves à la navigation ; il se conformera, à cet effet, aux ordonnances de police.

Art. 60. Travaux de nuit. L'entrepreneur ne pourra se refuser à des travaux de nuit; il n'aura droit, dans ce cas, à aucune plus-value; il lui sera tenu compte seulement des frais d'éclairage.

Art. 61. Travaux en dehors de r adjudication. Sont exceptés de l'adjudication : 1« la construction du garde-corps ; 2» les épuisements ; 3" les déblais et démolitions sous l'eau.

Pour les travaux à exécuter en régie, l'entrepreneur pourra être tenu de fournir aux prix de la série des ouvriers outillés conformément à leur profession ; les prix de journées seront frappés du rabais de l'adjudication.

Dans le cas où, pour des travaux exécutés par l'entrepreneur, on serait obligé d'avoir recours à des prix qui ne seraient pas prévus dans la série, il sera fait application des prix de la série d'entretien des ouvrages de la navigation dans Paris; ces prix seront frappés du rabais de la présente entreprise.

Art. 62. Fausse manosuvre pour dérangement de matériaux. Toute fausse manœuvc pour dérangement de matériaux à l'occasion d'une fête, du passage d'un cortège, ou pour cause de sûreté publique, demeure entièrement à la charge de l'entrepreneur. . Art. 63. Matériaux fournis par V administration. L'entrepreneur ne pourra réclamer aucune indemnité ou résiliation dans le cas où le tout ou une partie des matériaux neufs à livrer par lui seraient fournis par l'administration.

Art. 64. Clauses et conditions générales. En outre des clauses mentionnées au présent devis, l'entrepreneur sera soumis aux clauses et conditions générales jointes à la circulaire de M. le directeur général, en date du 25 août 1833, sauf les dérogations

HW SIXIÈME «ARTIS.

miâ «ftfato&t -été ^potées an présent devis. Il se>c«nf6lrmera é^leitfient anx |ites)sription» fie la circulaire mini^rielle du 15 décembre I94S, relslite «ux ewriors blessés sur le» ohaoliei*», modi^ée par celle da SS octebre f851, et k ta circulaire da 10 nofembrelSH, qui prescrit Tinterdiction du travail les dimanches et les josrs fériés, k moins d*itt autorisation spéciale de l'administration supérieure.

Conformément au décret du 8 mars 1857, l'entrepreneur subira, au profit des asiles de Vincennes et du Vésmet, une retenue ée t)^. ïiSG sur le monSMft liquidé k son profit des travaux qu'il aura exécutés.

cEnfin l'entrepreneur devra réserver, au profit de l'État, tous les objets qui seraient trouvés dans les fouilles ou démolitions, et il sera personnellement responsable de tout détournement provenant de son fait ou de celui de ses ouvriers.

Le présent devis dressé par l'ingénieur soussigné.

Vaudket.

DE LA STABILITÉ DES VOUrES, d'j^'PRÉS M. ÔUniIT.

(BxtraH da Traité de l'équilibre des voûtée et de la eoHstrueiion des p(mts en mafomerk par J. Dupnit, inspectenr général des ponts et chaussées. )

MOViONS FnÉLIMIBIAIilBS.

WO. Propriétés mécaniques des diverses espèces de maçonneries, el considérations qvi peuvent guider Vingénieur dan£ le choix qu'il doU en faire pour' la construddon des vaines. Si les métaux et même les bois joui«seïit de la propriété de résister .to^-éïiergiflnaememt noti-seBftemflît à la compression, mais aussi h TeitteTision, il n'en est pas de même des maçonneries ; ainsi la ré^stance à Técrasement des boiuies maçoimeries s'éievoBit jusqu'à 4éO kil«§. parceB/tioa^tre carré, smi .adUiéMMe ft^est évaloée en général qa'k f Idlog. (m, -«SS). Cette gwmôe ««MflgMW» est due à ce qu'en général un massif de maçonnerie manque dliomogénéité, par suite de sa composiiioa de pierres plus ou moins grosses dont les intervalles sont reraf^Iis «de morlier eu âe ^meni.

On ne d&it pas compter mxT la lèible rést^tamoe ée la maçona^à reictension, et en efffét si les efforts auxquels elle est soumise ont pow résultat d'en distendre les parties, ces parties se séparent, des lézardes se prononoent, et 9I0T&, ou 41 «'étî^slét «me (BouveUe positifm d'éqat libre, ou le massif se renverse par suite de sa divimon complète.

Le béton (761), composé de pierres cassées de manière^ passer dans un anneau de 0'",06 et brassées ayec du mortier, se solidifie avec le temps, et devient suscaptibie d'uiie certaine pésiâtanoeàla eodsipreMion et a l'extension. Mais cette dernière Téei^ance est toujours ^ès-ftftte par rapport à la première, et le constructeur doit s'attacher à ne pas la mettre en jeu dans le béton, moins encore que dans la maçonnerie. Bès quela nature de la consitPiM^tiein exige que certaines pai^ties résistent à l'extension, il faut avoir recours à d'autres -espèces de maçonnerie. Le caractère distînctîf du 3)éton, c'est d'être homogène, par snîlet de répartir également la pression et de présenter la nxême résistance dans tous les «ens^ et surtout de pariBt^^e de faire la maçoonerie sous résilia nmconnerie de blooage (TC&) ne diffère du 'béton que pwpce epie ^ pierre qui entre dans sa composition est plus grosse et qu'elle e^ placée a la main. La pierre, débitée en moellons à la carrière, e&tniise en place de manière qu'il y ait le moins d'intervalle possible enti« (ta

DE LA SrABfLITÉ OGS TOUTES. iW

pierres voîsmes. â cet effet, le ouiiçoii, après avoir cherché, parœi ceuK qui sont à sa disposition, le moellon qui lui parait le mi<eux s'adapter au vide qu'il veut remplir, en le dégros&issaat au l»esoin avec sa hachette, garnit la cavité avec du mortier, y place sa pi«rr<e et Tenfonce en la frappant avec sa hachette. La lioaçonaerie ainsi obtenue n'est qu'un b^on dont la pierre est plus grosse et plus inégale, ce qui lui donne une plus graade résistaiice à la cocBpres8io& et surtout à l'extension. A volume égal, elle contient en effet bien iiX)ios de mortieri et quel que «oit le plan de divisiea qu'on imagine, la séparation se fera toujours plus difficilement que dans du béton. £n effet, lorsque, par des ciroonslances quelconques, cette séparation s^opère, soit dans le béton, soit dans la maçonnerie, en examinaAt les surCaoes de cassure, on re^naaît qu'elles suivent le mortier; lés pierres, ea général, ne se brisent pas, elles restent ^icast^ées dans Time ou l'autre face, laissant dans celle qu'elles abandonnent l'alvéole dans laquelle elles étaient logées. ir«où il soit que là <eù les maiériaux sont plus gros et plus enchevêtrés, la séparatioa est plus difficile, car le développement sur lequel agit l'adhérence est plus considérable ; quelquefois même la séparation ne se produit qu'en brisant quelques moellons.

Mmçormerie exécutée pmr aad^es^ Une maçonnerie de blocage bien fuie devrait être à peu près homogène, et offrir sen^blemenit la même Fésistanoe à la division par un plan quelconque. Il n'en est pas ainsi dans la pratique, où presque toujoars cette ooaiçonnerie se trouve composée d'assises à peu près régulières, ce qui permet de diviser le massif par des plans qui ne rencontrent que du mortier. Gela tient aux habitudes prises par les maçons dans les constructions particulières, où cette division, qui facilite le travail, n'a pas d'inconvénient, parce que ces constructions ne résistent qu'à des efforts verticaux ; cela tient aussi à la maçonnerie de parement, laquelle étant le plus souvent itéglée par assises, amène ie règlement de ceile qui est placée derrière.

La maçimnerie de moeBoirs présentant presque toujours une division par assises, ce qui nuit à la solidité si elle est soumise à des efforts parallèles aux plans de division, c'est à l'ingénieur à veiller à ce que oes assises soient évitées.

Dans les travaux publics, ie parement des maçonneries se fait en général aviec des maitériaux de choix régulièrement taillés , de manière à donner à ces paa^emeints la s«r£ace plane ou courbe qu'on veut obtenir. Chaque pierre piésente deux lits et d^ix joints perpendiculaires au parement La queue de la pierre est en rapport avec sa hauteur d'assise, et variable d'u»e pierre à l'autre de manière à se relier avec la maçon <^ nerie de blocage placée derrière. On lui donne le nom de pierre de taille si sa iuMiteur d'assise est considérable et égale k celle des pierres qui forment les an^es de la consiraetion (77t), et de moellon piqué ou smillé si sa hauteur i»e fonne qpie la moitié ou le tiers de celle de ces pierres (775). Quoi qu'il en aoit, cette maçonnerie comporte évidemment des plans de joint paar£utement déterminés suivant lesquels la séparation n'est combattue que par radhépe&ee du mortier, et l'existence

i622 SIXIÈME PART».

de cette maçonnerie sur les parements détermine des joints dans la maçonnerie de remplissage, parce que les maçons procédant par assises pour la maçonnerie du parement, sont amenés à agir de même pour celle qui lui est juxtaposée.

Les angles des massifs de maçonnerie se font presque toujours en pierre de taille. Ce sont en effet les parties les plus exposées aux chocs et à récrasement. Dans cette maçonnerie, les joints sont plus déterminés encore que dans les précédentes ; mais si la séparation est facile suivant un plan de joint, suivant tout autre plan le massif présente la même résistance que s'il était formé d'un seul bloc de pierre.

871. Résistance dont les matériaux et les maçonneries sont susceptibleSsVn massif de maçonnerie, qu'on peut considérer comme un assemblage de matériaux faiblement liés' entre eux, doit être combiné de manière, d'abord à ne pas être renversé, ensuite à ne pas glisser, cdfin à ne pas être écrasé.

La première condition se calcule au moyen des principes de la mécanique, dans lesquels on peut faire abstraction de la résistance propre des matériaux ou la supposer indéfinie. Cette première recherche est toute rationnelle, elle n'emprunte rien à Texpérience.

La seconde condition est en partie rationnelle et en partie expérimentale. Lorsqu'on a calculé les efforts qui tendent à faire glisser soit le massif entier sur sa base, soit les diverses parties de ce massif les unes sur les autres, il faut déterminer par expérience les valeurs du frottement, de l'adhérence, de la cohésion qui s'opposent à ces mouvements.

La troisième recherche participe également de la théorie et de Teipérience. Une fois qu'on s'est assuré que le massif composé de matériaux d'une résistance indéfinie est en équilibre, il faut encore chercher si ceux dont on dispose seront capables de résister aux efforts auxquels ils seront exposés. De là une nouvelle recherche toute théorique pour calculer ces efforts, puis une comparaison des résultats obtenus avec des données entièrement expérimentales concernant la plus grande résistance à l'écrasement dont les matériaux sont susceptibles.

La connaissance de ces données expérimentales est donc indispensable aux constructeurs. Malheureusement ce qu'on possède à cet égard est bien vague, bien incomplet, et il serait difficile d'en tirer un parti pratique si l'on voulait utiliser complètement dans les constructions It résistance des matériaux; mais comme on n'en utilise environ que la dixième partie, il en résulte que les erreurs qu'on peut commettre sur la résistance absolue n'ont pas de conséquences bien fâcheuses.

Les résultats du tableau page 405 expriment la résistance à l'écrasement par centimètre carré, pour des cubes de 3, 4 ou 5 centimètres de côté. Les cubes ont été chargés jusqu'à ce qu'on ait produit l'écrasement, et il est constant que des charges bien inférieures auraient produit le mêihe résultat si on les avait laissées séjourner sur les prismes soumis aux expériences. De plus, la pierre étant un produit naturel qu'on trouve avec les circonstances les plus diverses, elle présente des

DE LA STABILITÉ DES VOUTES. 16i3

résistances très-variables et qui ne peuvent être déterminées que par des expériences spéciales. Le constructeur ne peut donc consulter ce tableau avec grand profit, puisqu'il ne lui indique pas la résistance réelle des matériaux qu'il a à sa disposition, mais seulement certaines limites dans lesquelles elle est contenue.

Tableau des charges^ en kilogrammes par centimètre carré, que supporte la pierre dans quelques-unes des constructions les plus hardies.

Piliers des Invalides 14* ,76

— de Saint-Pierre de Rome 16 ,00

— de Saint-Paul de Londres 19 ,00

Colonnes de Saint-Paul-Hors-des-Hurs, à Rome 19 ,76

Piliers du dôme de Sainte-GeneTiève 29 ,11

— de la Tour-Saint-Méry 29 ,17

Colonnes de Féglise Toussaint, k Angers 44 ,00

Les auteurs qui citent ces exemples les auraient rendus plus instructifs sMls avalent fait connaître la nature et la résistance des pierres de ces piliers. Mais ces exemples ne montrent pas moins que passé 30 kilog*. par centimètre carré, on expose les matériaux à des résistances qui ne sont pas usitées dans la pratique.

On a reconnu qu'à égalité de surface, la résistance d'un prisme croît k mesure que sa section se rapproche du cercle, et qu'elle décroît avec la hauteur, surtout si le solide est divisé en plusieurs assises (253). On conçoit en effet que quand plusieurs prismes portent les uns sur les autres, il est difficile que la pression se transmette d'une manière uniforme dans toute l'étendue de la surface, et il se trouve que dans les parties les plus pressées, la compression dopasse la résistance du solide avant qu'elle n'ait atteint la limite de la pression qu'elle pourrait supporter si elle était également répartie.

A ce sujet, nous ferons observer qu'on n*a encore expérimenté que des pressions uniformes agissant sur toute la surface des prismes, et cependant, dans les constructions, il arrive fréquemment qu'une partie seulement de la surface se trouve pressée; c'est, par exemple, une colonne en fonte qui repose sur un dé en pierre. Si la section du dé était égale à la base de la colonne, le dé serait pressé uniformément sur sa base supérieure et sa résistance serait déterminée; mais dès qu'elle est plus grande, l'excédant de pierre augmente évidemment la résistance du noyau intérieur, et cela dans une proportion d'autant plus grande que les points pressés sont plus éloignés du pourtour du dé. Quoiqu'on ne sache rien sur la manière dont se comporte la résistance dans ces circonstances, nous avons cru devoir insister sur cette observation, parce que dans les voûtes cette inégalité de pression se rencontre fréquemment, et qu'elle est une des difficultés de leur construction ou plutôt du calcul de leur solidité (933).

872. Répartition de la pression entre les divers points de la surface d^un joint (860). Il peut arriver que la pression, au lieu d'agir unifor^ mément sur toute la surface des matériaux ou sur une petite étendue

SIXIÈME PAftnE.

Fig. 195.

de cette surfece (871), agisse sur toute ou à peu près siir lontc la surface, mais avec une intensité différente en chaque point. AB étant un joint plan quelconqu* ifig. IdS), et R la résultante des

pressions normales que rassise sapéneore exerce sur l'assise inférieure, proposonsnous de déterminer l'intensité de cette pression normale en un podnt quelconque du joint. On admet, comme dans la résistance des solides, que par Teffet de la compression, la surface du joint s'>est légèrement dépliMDée en restant plaide, et qu'en chaque point se manifeste une réaction proportionnelle au déplacement Ainsi AB étant descendu en A'B', les droites telles que mm' mesurent la pression en m, le solide compris entre AB et A'B' est proportionnel à R, et cette résultante passe par le centre de gravité de ce solide, puisqu'on chaque point ia réaction est égale et directement opposée à la pression. Si R passe par le centre de gravité du plan, A'B' est parallèle à AB, et si ^le est appliquée en tout autre point, A^' fait avec A6 un angie tel que R passe par le centre de gravité de ABB'A'.

Si, comme cela arrive ordinairement, le |oint AB est un rectangle, appelant :

e lalOQgofiur du j»iiit ÂB;

c ia distai^ïe AG de la nésuUante R aa poiit A, pris pour origine des coordoimées^

p^ P les pressions par mètre carré aux extrémités A et B ;

p la pression courante au point dont ral)scisse est Xf '

on a

ii)

On détermine po et P par la considération que ia somme des forces, représentée pair le trapèze ABB'A' eu' par le rectangle AB^A' pl«s le triangle A'nB', est égale à E, et q^e leur monneoit pris par rapport an point C est nul, oequi don»e les deux équations i

l>oe+^^-2^e = R,

ei

P~Po

Po ^ T^ ^)(^ — ^)*^ = <^i

ou

Pale — 3c) -h Pple — 3c) = 0.

De l'équation (2), on tire

IttS

Substituant cette valeur de P dans Féquation (3), on conclut

2^ — 3e % Po = ^R — -5 — .

Remplaçant p^ par cette valeur dans Véquation (4), on en tire

Enia, «ubstituutt c«s valeurs de p, et P dans Féquation (1), il vient

Si c = -, c'est-k-dire si la résultante passe par le milieu du joint.

ies équations (C), (B), {A.} donnent respectivesiient :

Ainsi, dans ce cas, on a

P = P = Po = 7,

c'est-à-dire que la pression est uniforme dans toute l'étendue du joint ^ ég«le à la pression moyenne,

Les formules (B) et {▲) montrent qu'à mesure que c augmente, P augmente et p^ dimiièiië, et qu'on a toujours

Tk . ^R

Quand c atteint Ja valeur - «, les équations (B) et (A) donnent res-

^ectivement :

P=Ç et j>, = 0;

•c'est le cas 4de ^la Jig. 196, où le trapèze formé par les lignes des p. jgg résistances se réduit à un triangle ABB'.

Ainsi, pour une même valeur de R, la pression P est deux fois plus grande que dans le cas de la formule (a); et pour ^ une même valeur de P, celle qu'on ne doit pas dépasser dans la pratique, par exemple, la résultante <R e^t seulement f^' moitié de <:eUe relative à*ee même fias de la formule (a).

SIXIÈME PARTIB.

Fig. 197.

Ta

Quand c dépasse -r e, comme dans Isijig. i97j la compression n'agit

plus que sur la partie ^; dans la partie AN, la cohésion de la maçonnerie agit seule, et puisqu'elle est négligeable (870), on ne peut donc admettre les valeurs négatives de p et p^ qui s'y rapportent d'après les formules (C) et (A). Ainsi la longueur du joint est réduite à NB = 3(c — c), sa réaction est exprimée par le triangle NBB', et la formule (b) devient

La partie AN = « — 3(e — c) = 3c — 2e devient inutile. De plus, le tiers de la partie NB est nuisible; car si dans la valeur précédente de P on fait BC = e — c = d, il vient pour la pression maximum

tandis que si le joint n'avait qu'une longueur 2(2, elle serait

Ces valeurs de P et P' étant entre elles comme 4 : 3, l'excès de longueur du joint amène donc une pression à la paroi plus grande dans le rapport de 4 à 3.

Si, par exemple, une très-forte charge R est appliquée au milieu du massif ABD^Ci {^g. i9S}j les pressions en chaque point de la base sont mesurées par des lignes telles que CC et DD\ c'est-à-dire qu'elles sont partout égales. Si, pour diminuer ces pressions, on élargit le massif

d^un seul côté en y ajoutant le massif B6dDi tel

\ que B6 = - AB, les pressions seront limitées par

la ligne inclinée C"d\ qui donnera en C une pression proportionnelle à

CC" = l ce.

Si l'on augmente encore la largeur du massif jusqu'en ?, il n'y aura pas de pression sur da, et le massif additionnel b^ud tendra à être soulevé et à se détacher de l'ancien suivant la direction bd,

875. Courbe de pression (860). Lorsqu'une voûte est en équilibre, de quelque manière que, sur chaque joint, la pression se répartisse sur les différents points, l'ensemble des pressions partielles donne une

résultante unique appliquée en un point du joint; ainsi, par exemple, pour le joint CD [fig, 199), cette résultante, que nous désignerons par r, sera appliquée au point N; sur chacun des autres joints c(2, dd\ etc., il existe des points n, n', etc. analogues à N. Tous ces points déterminent une courbe KN, que Méry a appelée courbe de pression,

La résultante des réactions des divers points d'un joint quelconque étant nécessairement appliquée à Tintérieur de ce joint, comme de plus elle doit faire équilibre à la résultante des forces qui sollicitent la maçonnerie qui s'appuie sur le joint, cette seconde résultante doit être égale et opposée à la première et par suite rencontrer le joint au même point intérieur. Or ce point appartenant à la courbe de pression, on est en droit de conclure que la voûte est en équilibre si cette courbe est partout intérieure à son profil, que les points faibles sont ceux où elle s'approche le plus de la paroi, et que l'équilibre est rompu dès qu'elle sort du profil, soit intérieurement, soit extérieurement

La résultante r des pressions sur un joint quelconque CD a pour composante horizontale la poussée Q qui agit au point K et qui reste constante pour tous les joints, et pour composante verticale le poids p, de la partie de voûte BD supportée par le joint considéré CD, poids appliqué au centre de gravité de cette partie ; on a donc, en prenant les moments par rapport au point N [lut, 1565),

Ûy = pg(x — Ç).

K origine des axes, c'est le point d'application de la poussée horizontale Q de la

voûte ; j/j X coordonnées du point N ; I abscisse du c^entre de gravité de la partie de voûte considérée.

p et Ç étant des fonctions de x, on peut considérer Téquation

comme étant l'équation générale de la eourbe de pression, puisqu'elle ne contient plus de variables que y et x. DifFérentiant, on obtient

^ étant l'inclinaison de la tangente à la courbe de pression et ^ dx w

celle de la résultante, on voit que la résultante n'est tangente à la courbe de pression qu'autant que Ton a

, -, dp dÇ ^

(^~^)dE-Pdï = ^-

M. Dupuit démontre qu'on peut supposer qu'il en est ainsi quand les joints sont verticaux, ou quand avec des joints inclinés p est

iCSS

SIXHblK PARTIK.

grand par rapport à dp, ce qui a lieu pour les assises sitaiée» Yers U bas (t79, 880).

Quand la tangente à la eoiirbe de pression coindée aifoc la résultants, eiiê rencontre FhorizontaU KX, menée par ie p&imt ^tÊpplieaiiûn de la poussée, au même point que la verticale ptLssant par le centre de grwiM de la partie de voûte supérieure au joint considéré,

La résultante des pressions sur un joint quelconque s'exerrçant à peu près suivant là tangente à la courbe de pression ; cette courbe» par soa inclinaison sur les divers joints, sert encore à faire connaître les joints où le glissement est à craindre, a étant Tangle que fait la direction ée la résultante r avec la normale au joint (InL 1650), Teffort qui agit sui* ▼ant la direction du joint pour produire le glissement est r sin c, Tef* fort normal au joint est r coso, et 0,76 étant le coefficient de Sottement de la maçonnerie (58), on doit avoir, pour quil y ait stabilité, en négli* géant la cohésion,

r sin a < 7" cos « x 0,76 ou tanga < Oj^.

Remarque, Comme la courbe de pression est la même pour toute la voûte que pour un mètre de longueur de voûte mesuré suivant les génératrices, pour abréger les calculs, on ne considère en général qu'uB mètre de longueur de voûte ; il est évident que les conditions de stabilité sont les mêmes pour un mètre de voûte que pour la voûte entière (857). On peut abréger encore les opérations du tracé de la coube de pression, en remarquant que les poids des voussoirs sont proportionnels à leurs profils, et que les voussoirs ont les mêmes centres de gravité que ces profils; après avoir opéré ainsi, il suffit de multiplier par un mètre et par la densité de la maçonnerie, les poids trouvés et les valeurs de Q et de r qui en sont résultées, pour avoir les valeurs réelles des poids et de Q et r. •

874. Soit à tracer la courbe de pression passant par le point d^ application K de la poussée horizontale Q sur le joint vertical de la clef, et par un autre point N pris sur le joint de naissance ou sur tout autre joint (fig, 199). Par le centre de gravité du voussoir ABDC qui surmonte

DE LA STABIUTÉ AKS VOUTES. 1629

le joint pftsoaBt par le point choisi N» on trace une verticaile qu'on prokNftgcjus qa!h rhorixolitale HX en g^y et Ton mène j[«N ; sur la verticale, à partir du point p^, on prend une longueur Q^p^ proportionnelle au poids du voassoir ABIKI ou à la surface de son profil (873), et terminant le parallélogramme g^p^RQ, gjà représente à la même échelle la poussée Q et g fi. la résultante des pressions sur le joint CD^ résultante qui est appliquée en N. Ayant Q, il devient facile de déterminer le point n qui appartient à la courbe de pression sur un autre joint quelconque cd. Ainsi on mène une verticale ^^p, par le centre de gravité du voussoir ABdc; on prend, à partir du point ^r,, g^q égal à la poussée ^,Q et g^pt proportionnel au poids de ce voussoir ou à son profil; on termine le parallélogramme g^p^rq^ et la diagonale gtr, qui représente en intensité et en direction la résultante des pressions sur le joint cd, rencontre ce joint au point n qui appartient à la courbe de pression. En opérant ainsi, on trouve autant de points que Ton veut de la courbe de pression, même des points situés au-dessus de CD. Raccordant ces points par une courbe continue Knn'N, on a la courbe de de pression avec une exactitude suffisante pour la pratique. La loi de continuité qui lie entre eux tous les points de la courbe de pression, fait qu'il suffit presque toujours d'en déterminer quelques points pour pouvoir en faire le tracé complet.

Comme on peut prendre une longueur quelconque pour représenter le poids du voussoir ABDC, si Ton prend g^p"^, la poussée Q est représentée par NpVi valeur à Faide de laquelle, par la construction précédente, on obtient la même courbe de pression K?m'N.

Le tracé de la courbe de pression KN exige qu'on détermine d'abord les centres de gravité des parties de voûtes supérieures aux joints considérés cdf CD..., ou mieux les projections g^, g^,., de ces centres de gravité sur Thorizontalc KX. On facilite beaucoup la recherche de ces projections, en divisant la voûte en voussoirs égaux (côté droit de la fig. 199), en déterminant les centres de gravité 1, 2, 3... de ces voussoirs, ou ceux de leurs profils, qui sont les mêmes, et en projetant ces centres de gravité sur Thorizontale menée par K; cela fait, prenant

g^g^ = - ^j2, le point ^r,, milieu de la distance horizontale g fi, est la projection du centre de gravité de l'ensemble des deux premiers voussoirs; prenant ensuite gigz = ô9i^y ^^ point g^ est la projection du centre ^e gravité de Tensemble des trois premiers voussoirs; de même, prenant ^85^4 = ^5^84, puis g,^i = ^gk^y etc., on a les projections g^,

g^y etc., de l'ensemble des 4, 5, etc. premiers voussoirs.

11 conviendra de raccorder les centres de gravité par une courbe conUnue, qui pourra rectifier les erreurs commises; du reste, les erreurs qu'on peut commettre en assignant par un moyen quelconque une position a ces centres de gravité ne peuvent pas modifier sensiblement les positions des projections g^^ ^r,, ^s.... Si la voûte estcir-

1630 SniillE PARTIE.

culaire et extradossée parallèlement, la eonrbe 123... passant par les centres de gniTité des Tonssoirs est on arc de cercle ayant le même centre 0 que Tintrados et l'extrados. Cet arc de cercle coupant les bissectrices des Yonssoîrs à leurs centres de graYÎté i,2,3..., il s'agit donc d*en déterminer le rayon.

D*abord la surface abVaf du profil d'un youssoir est égale à la surface du secteur Oah moins la surfiu^ dn sectenr Otf'6', c'est-à-dire à (Ini. 724)

^{ar^aY},

a longaeor de Tare ab ;

r rayon de cet arc;

a' loDgnenr de Tare f/b' ;

r' rayon de cet arc,

ou, en remarquant que af = a—^ à

Le moment de cette surface par rapport au point 0 est égal au moment du secteur Oa6 moins celui du sectenr Oa'b'; on a donc {Int. 1599)

d'où Ton tire, en remarquant que d^c- et simplifiant,

/•| rayon 06 de l'arc 1 2 3... ; c longueur de la corde sontendant l'arc ab ; c ' longueur de la corde soutendant Tare afb'.

Si r=iO", r'=9", et que a soit le sixième du quart de la circonférence, la formule précédente donne r^ = 9",483, en remarquant que

a =^w- = 2-,6i80 et c = 2sin-axr = 2x0,13053xi0 = 2-,6106.

875. 11 découle de la construction précédente de la courbe de pression KN (fig. 199), que cette courbe est déterminée et peut encore être tracée par le procédé précédent :

1* Quand an a la poussée horizontale Q et son pointât application K;

2* Quand on a un point quelconque n' et Vintensité de la poussée

horizontale Q {fig. 200). La position du point d'application K de cette

poussée Q est déterminée par Téquation (873) :

Fig. 200.

d'où

Qy' = p'(x'-f),

y' ordonnée du point «'; le point K est déterminé par la valeur de y', puisque «' est connu;

a/ abscisse du point n';

p' poids de la partie de voûte Bd';

Ç' abscisse du centre de gravité de celte partie de voûte.

Ayant Q et son point d'application, on trace la courbe de pression comme au n^ 874 ;

3' Quand on a deux points quelconques n' et n (fig. 200). On a respectivement pour chacun de ces points :

d'où

(îy' = p'(x'-Ç'),

ûy=p(x-Ç);

Fig. 201.

Supposant la droite n'n proportionnelle à p'(2f — P) — p(x--ï), prenant à la même échelle n'a = p'(x' — i') ou na=j9{x — Ç), le point a est sur rhorizontale KQ. Ayant le point d'application K de la poussée Q, on trace la courbe de pression comme à rordinaire'(874); 4* D'après M. Dupuit, si la voûte est complète (en plein cintre ou elliptique), la courbe de pression KN (Jig. 201) est tangente à Tiçtrados en un point â situé au milieu de la montée (B& = sO). Le point S, qui détermine le joint de rupture 8y> reste le même pour une voûte incomplète dont la naissance CD n'est pas au-dessus de S ; mais si le point D s'élève au-dessus de 3, la courbe de pression passe par D, qui devient point de rupture.

Menant alors au point S une tangente à rintrados, elle est aussi tangente à la courbe de pression, et par suite le point g, où elle rencontre la verticale passant par le centre de gravité de la partie de voûte B8, se trouve sur rhorizontale passant par le point d'application K de la poussée (873, 879 et 880). Ayant le point K, on trace la courbe de pression par le procédé ordinaire (874). Comme vérification, les points 3 et ^ doivent vérifier l'équation (873)

Qt/ = p(x — Ç).

SIXIÈWE PARTIE.