DE LA Î5TABILITJB DES MASSIFS EN MAÇONNEBIB
876 Condition de stabilité d'un massif de maçonnerie ABDC qui n'est ^. ,ûî soumis qu'à V action de la pesanteur (Jig, 202) . Si ce massif ^^' est homogène, il est en équilibre sur une base CD tant
que la verticale menée par son centre de gravité G passe entre les points C et D ; mais suivant un autre pkn MN, appelant :
p le poids de la maçonnerie située au-dessus de MN ; a l'angle que forme MN avec l'horizontale ; çj^ "■ 'd f le coefficient de frottement,
la force qui tend k faire glisser Ip. partie supérieure sur la partie mferieure est p sin a, et, en faisant abstraction de la cohésion, la force qui tend a la letenir est /pcos*; par s.uiie ladislocaUon ^'opérera suivant MN' dès qu'on aura (873)
p si» a >/p €0$ « ou tango. >/,
Gomme tanga atteint son maadmum pour le plan CB, il en résuite que s'il y a équilibre pour ce système de division, l'équilibre subsistera pour tout autre système. ^^
Si le massif, au lieu d'êlrc homogène, est composé d'assises mdmces parallèles a MIS"; comme / devient moindre dans cette direction qw dans toute autre, fl suffit alors de s'assurer, à Farde de la formule précédente, que réquîïîbre existe dan» cette direction pour être sûr qu'il n*y aura pas dislocation suîvairf une autre dîrectkm queleon<îue, puîsqne cette dislocation ne peut se produire que par la rupture des pierres suivant une ligne brisée et en provoquant «n frottement considérable.
La résistance à l'extension étant beaucoup plus petite dans les joints d'un massif de maçonnerie que partowt adlleura (870), le constructeur doit déterminer la direction de. ces joints de manière qu'elle soit normale a la pression, afin que dans toute leur étendue les molécules de mortier ne soient soumises qu'à une compressii^». Ai»si dans le cas ' d'un massif soumis seulement à Facti-on de la pesanteur, les assises doivent être horizontales.
877. Conditions de stabilité d'un massif ABDC Ifig. 203), rectangulaire dans tous les sens et dont l'assise supérieure est soumise à raclû» d'une force horizontale Q, Courbe de pression dans ce cas. Pour abréger les calculs, nous appliquerons la remwqtte du n' 87?; ainsi nous prendrons pour Q la poussée totale contre îe massif divisée par la longueur du massif en mètres, et les poids des assises seront calculas pour un mètre de longueur.
Le massif étant composé d'assises horizontales, que nous supposerons égales, le centre de gravité de l'ensemble d'un nombre quelconque d assises se trouve sur la verticale gii menée par le centre de gravilê (i
«fsë
<îa massif; le poids de cet ensemble est une fo>rce agissant asvraBé cette
verticale, et ee poids est pTO>paptieniiel à lïk hauteur de ressemble. Ainsi, en suivant la marehe générale indiquée au n* 874, s^p^ représentant le poids de la première assise AB0I; prenant, h la même écheDe, 5^ égal à Q, la résultante ^^ de ces deux forces représente en grandeur et en direction la rcs«Itante des pressions sur le joint ie, et le point r, appartient à la courbe de pression^ Pour Fensemble des deux première» assises, le peids est <7Pj, la résultante ffr^ de ce poids et de la ponssée horizontale et>nstante yq est la résnMante des pressions sur le joint Wy et le point r, appartient à la courbe de pression. On obtiendrait de mênienn autre point quelconque rj, r^... N de cette courbe, qui est, d'après la con9tractTon,la verticale passant par le p^^înt ^1, on même par le point q lorsque ffp^ représente le poids de la pra* mîère assise.
D'après cette construction, si 0=0, la ligne de pression gN se confond avec la verticale ^ menée parle centre de gravité du piKcr, eoBmffi»e cela devait être:.
La conrbe de pression gN , que dans ce cas on peut tracer dès qu'on en a un point, ne sortant nulle part de la surface des assises, cota indique qu'il ne peut y aTO-ir renversement d'ancune partie du nftassif (873). Cela ne suffit pas pour réqtrîlibre, il faut aussi que la eompesante Q soit insuffisante pour ferre glisser une partie quelconque du massif sur Fautre,. et qu'on ait par conséquent
/ coefficient de fir^Uemeot;
p poids da la maçonnerie supérieure au joint consi^léré; ^
f coefflcient de cohésion ou résistance que la cohésion oppose au glissement par
nètre narré de surftu?e ; I wr&f e. êm fMnt.
Le second naembre de cette inégalité , c'est-à-dire la résistance au gtîssemenf, augmentant avec p, û augmente d'assise en assise depuis le haut du massif jusqu^en bas; ainsi, en s'assurant que cette inégalité se vérifie pour l'assise supérieure, on sera sûr qu'elle se vérifierait à plus forte raison pour 2, 3, 4... assises.
11 reste encore à examiner la question de récrasement. Puisque la ligne de pression g^N est partout à égale distance de la paroi AC, il est évident que c'est dans les assises inférieures que l'écrasement peut d*abord se produire. On a donc à voir si l'on a
R résistance de la maçonnerie à la com|)res&ioii ; P poids du massif;
Cette iBégalité est conforme à l'équation (b) du numéro 872, dans laquelle R est remplacé par P, P par R et 3d par e.
En admettant toutes ces conditions remplies, on ne doit pas encore en conclure que le massif se maintiendra en équilibre, parce que, à cause du peu de distance de la ligne de pression à la paroi AC, la pression se répartit inégalement sur la surface des assises, ce qui tend à disloquer le massif. Ainsi, d'après le théorème développé au numéro 872 , menant a droite de qN la verticale g'N' telle que Ag'= 3 Ag, cette verticale sépare dans chaque assise la partie pressée de celle qui ne Test pas. A droite de <jf'N', les joints tendent à s'ouvrir, comme nous rindiquons en si et uv, en exagérant les résultats pour les rendre appréciables à Tœil. Si le massif est composé de pierres de taille, les . assises peuvent rester dans leur position première, surtout si une fois Teffet produit on a eu le soin de garnir les joints; mais si le massif était composé de maçonnerie de petits matériaux, les portions d'assises soulevées, telles que suvt, ne pourraient se soutenir, et une disjonction s'opérerait suivant une ligne telle que eAN'. Cette disjonction étant opérée, le massif résistant ne serait plus que ABeAN'C, et il y aurait lieu de déterminer les nouvelles conditions d'équilibre relatives à ce massif (873 j. Or, il arriverait certainement que dans l'hypothèse admise pour l'intensité de la force Q et pour le poids de la maçonnerie, la courbe de pression sortirait du massif, ce qui en occasionnerait le renversement.
Nous ne pousserons pas plus loin l'examen des conditions de stabilité de l'exemple de la fig. 203, nous n'avons voulu que faire voir comment sous l'action de forces extérieures et par suite du défaut de cohésion .de ses parties, un massif de maçonnerie pouvait se trouver disloqué et devenir par là incapable de résister soit au renversement, soit au glissement. Nous aurons l'occasion de revenir sur cette observation , qui a une très-grande importance pratique (933).
878. Variation de la courbe de pression avec la direction donnée aux plans de joint. Nous venons de supposer le massif composé d'assises horizontales. Non-seulement cette condition n'est pas nécessaire pour l'équilibre, qui peut exister avec une infinité de systèmes d'assises; mais la direction à dominer aux joints est une des inconnues du problème à résoudre , et il est essentiel de se rendre compte comment cette direction fait varier la courbe de pression.
Afin de rendre la comparaison plus facile avec le cas précédent, supposons le massif divisé en parties équivalentes par un même nombre de joints inclinés (fig. 204). Menons la verticale g^p^ par le centre de gravité de la première assise , et supposons que g^p^ représente encore le poids d'une assise; prenons à la même échelle g^q^ ,égal à Q; la diagonale g^r du parallélogramme de ces deux forces représente la résultante des pressions sur le joint Al , et le point n où elle rencontre ce joint appartient à la courbe de pression. La résultante ^ir étant égale et parallèle à la résultante gr^ obtenue pour [le cas de la fig, 203, on voit qu'on peut obtenir le point n en menant simplement
par j7, une parallèle à gr^. De même ^,, g^... étant les projections
sur la direction de la force Q des centres de gravité de Fensemble des 2, 3... premières assises, on obtient les points n', n'^.. de la courbe de pression sur les joints 22, 3 3..., en menant par ces projections des parallèles à gr^, gr^... Conformément à ce que nous avons dit au numéro 874 au sujet de la fig. i99, la projection
g^ s'obtient en prenant gigt = â9i99 ^^^^ 9t
enprenant<gr, <7, = -^,^, et ainsi de suite. La
courbe de pression Bnn'N ainsi obtenue n*a de commun que le point N avec la ligne de pression çN fournie par les assises horizontales, et Ton voit qu'elle s'incline d'autant plus vers BD que les assises sont- plus inclinées; de sorte qu'en la traçant pour des assises verticales, elle aura le maximum d'inclinaison qu'elle peut prendre.
879. Courbe de pression dans le cas où les assises sont verticales.
Supposant le massif divisé en autant de parties égales que dans les
deux figures précédentes, mais verticales, en raisonnant comme au
numéro 878 , par le milieu ^j de l'épaisseur de la première assise et
Fig. Î05. projection du centre de gravité de cette assise
sur la direction de la force Q , menons Vi^ parallèle à gr^f cette droite rencontre le» joint i au point n qui appartient à la courbe de pression. Menant de même par la projection g^ du centre de gravité de l'ensemble des deux premières assises une parallèle a gr^ , elle détermine sur le joint 2 le point n' appartenant à la courbe de pression. En déterminant de même les points de cette courbe situés sur les joints 3, 4... , on peut la tracer.
La courbe de pression Bnn'N ainsi obtenue pour le cas d'un massif formé d'assises verticales est une parabole. En effet , supposant que le poids de chaque assise sollicite de bas en haut un câble Bnn'N tiré horizontalement par une force û (Jig. 206), les tensions aux divers points du câble seront égales
aux résultantes des pressions sur les assises , puisqu'on les obtient par la même construction. Ainsi le point n de la courbe de pression est donné par la diagonale g^r, résultante des pressions sur le premier joint, et la tension du câble en ce point est représentée par la diagonale np, qui
tf
9Vt t,S,h
ff
'I 1 ATI
/ic
tU^^ak^tt directement apposé à g^r; de même » au point n\ la teosÛMi Rif ' du câble est égstle et directement opposée à la résultante g^r' des presBÎonB sur ie second jotflrt, et amst de suite.
iiuis ce tais particulier, ies i^ésaltantes "sont tangentes à la courbe de pnessmi, ce qui n'a pas lieu q>aand ie& joints sont inclinés par rapport k la verticale. Ainsi, ^uftftd les joints sofit horizontaux {fi g, 203), les néflultantes gr^^ ^r*** <I^i partent toutes du même point g^ coupent plus ou moins obliquement la ligne de pression çN.
880. L'équation générale'de la courbe de pression donne klM. Dapuit une démonstration analytique de cette propriété du système de joints verticaux (873).
M. Dupuit démontre que la condition géométrique nécessaire pour que la résultante des forces qui agissent au-dessus d'an joint «oïl tangente îi la courbe de pression, c''est «qu'en un point quelconque cette courbe ait la même abscisse que l'assise élémentaire qui contient le pDÎnt considéré, condition évidemment satisfaite quand le joint est vertical. Dans ces circonstances, ta courbe -de pression est nne chc/t' nette, en étendant cette dénomination aux courbes données par use chaîne flexible et pesante, quelle que soit la relation entre te poîds el la longueur.
Quand les deux abscisses «dii^revit l'^ne de l'autre d'une eeninitte «qfiantîté, la tangente à la courioe de pression €ft la résuttaifte dm poiis «t ite la poussée font entre elles un angle ; maïs si cette différence ^t petite, comme pour un joint vertical ou presque vertical^ ou si le poids p est grand par rapport à d/>, ce qui a lieu pour les joints les plus bas, la tangente à la courbe de prerssion ne diffère pas beaucoup de la résultante du poids et de la f^oussée. ïl y a donc une grande analogie entre la eoui%e de pression e-t la «diaînetfe, et, dans beaucoup de circonstances, rassimilation de ces deux courbes focilite la recherche des condîtfons d'équilibre des massif^ de maçonnerie.
8ÎJ*I. Cest à ce point de Tue que «'est arrêté M. Dupuit surcesproprieftés de la courl>e de pression, car la condition que la résultante soit tangente à la courbe de pres^on tfa pas une grande importance pratique (4' du n" 87o). Ce que le constructeur doit plutôt rechercher, c'est ^f Je la dÎTedtion du joint soit normale k la résultante des pressions, parce qu'alors tout glissement du massif sur le joint devient impossible. •Or eette condition est facile à remplir, 'car la direction de la réCTÛtante sur un joint ne dépendant que du poids de la partie supérieure du massif, elle peut être déterminée d'avance. Ainsi, par exemple, dans le massif de la fig^ 208, les directions gr^, gr^,.. de la résuitante appartenant à tous les systèmes de joints -qui partagent le massif en huit parties équivalentes, si dans le mfassîf de la fig, 207 on mène à gr^ une perpendiculaire l'I' séparant une triangle l'Bl' égal au huitième du îiectangle ABD€, on a le premier plan du joint; le second plan de joint est déterminé par la petpendiculaire 2'2' à gr^ séparant le quart de ce . rectangle, et ainsi de suite, ©u reste, pour le cas simple du massif 'dtî 4a fig, 'Î6T, on obirent les J^nts inférieurs au premier en menant
DE LA STABIUTE DES VOUTER.
Fig. 207.
par 'tes milieux des joints horizontaux des perpendiculaires aux directions des résultantes.
Une fois le massif divisé en un certain nombre f de parties équivalentes, on détermine, par la marche suivie ^^. 204, le centre de gravité du massif situé au-dessus de chaque joint, on le projette en ^i,^g... sur la direction de la force horizontale Q, et par la projection obtenue on mène la directioo de la résultante, qui détermine le point de la courbe de pression sur le joint. En procédant de cette manière pour un certain nombre de joints, on tracera facilement la courbe de pressaon Bnn'...N correspondant aux joints l'I', 2'2'..., normaux aux directions g^n^ ^^'^» des résultantes aes forces qui agisseat sur les joints.
Si les autres coavenaaoes de la construction le permettent, c'est évidemment la meilleure direction à donner aux joints, puisque la résultante des pressions leur étant normale^ aucun glissement ne peut s'y produire (^76).
Les^g, S0î4 207 monti>ent q«be la courbe de pression djans un même naassif varie avec rinclinaison des joints; ce qui tient k ce qu'elle ne représente pas Tétat physique du corps, qu'dJe n'est qm'un lieu uniquement déterminé par des coAsidératioos géométriques qui varient «avec l'inclinaison des joinits. En traçant de même la courbe passant par les centres de gravité des assises ou voussoirs, elle varierait également avec le système de joints.
862.. Le» courbes que nous ve&ons de déienoiner {fig. 203 à 207) sui^osent que chaque assise forme un monolithe non susceptible de se diviser; netais âî eUes sont formées de petits matériaux réunis par du mortier, il y aura tendance à la disjonctiodi dans toute la partie située à. droite de la courbe BM'N' (jSg, ^7), obtenue en prenant sur cha4]ue joint une longueur nh «égale à 2 fois ni' (872j. Le massif devra alors •êliPe considéré comme réduit à la partie où la pression existe^ et il y aura lieu de rechercher la courbe de pression correspondant  cette hypothèse, ce qm peut coinduire à modifier la forme du massif, de manière que la courbe de pression passe am milieu ou près du mUieu des assises. Lorsque cette condition e&t satisfaite, Téquilibre ne peut plus être détruit que par récrasement des matériaux, qu'on prévient en donnant hux joints une surfajce convenable (874).
483. Con'sidérons maintenant le cas où le massif eH soUiciLé "par plu sieurs fo9>ces horizontales ^bgàssant- sur -sa /oioe verticale BD (j^^« 2Ûi8y, et, pour fixer les idées, supposons, ce qui est le cas de la poussée des terres, que ces forces agissant sur tout BB soient neprésentées par ks abscisses de la ligœ fiF. La résultante de ces forces est une force horizontale Q représentée par Taire du triangle BdF et agissant au point B' situé aux deux tiers de BD. Supposant un système de joints verticaux,
SIXIEME PAKTIE.
Fig. 208.
cette résultante Q pourra être considérée comme appliquée sur la première assise en restant constante pour les autres assises, de manière à déterminer dans le massif une courbe de pression B'N' qui est une chaînette (880), et qu'on trace comme celle BN de la fig. 205. La ligne g^ représente, comme dans la Jig, 205, la résumante des pressions sur la base CD du massif.
Pour tout autre système de joints, la force Q devient variable par son intensité et même par son point d'application, et alors la résultante des pressions sur chaque joint n'est plus, comme dans le cas précédent, tangente à la courbe de pression. Pour tracer cette courbe, commençant par Tassise supérieure, on cherche par les règles de la statique la résultante de toutes les forces qui sollicitent celte assise, et le point où cette résultante rencontre le premier joint est un point de la courbe. Procédant pour la seconde assise comme pour la première, en supposant celle-ci enlevée et considérant la résultante déterminée par la première opération comme une force appliquée sur le joint supérieur de la seconde assise, on compose cette force avec le poids de la seconde assise et avec les forces qui peuvent lui être appliquées, et Ton a la seconde résultante, qui donne un nouveau point de la courbe sur le second joint. On opère de même pour la troisième assise, et ainsi de suite. Au lieu d'opérer ainsi, on peut regarder comme ne formant qu'une seule assise toutes celles qui sont au-dessus du joint que l'on considère; cette méthode, que nous avons appliquée dans les exemples qui précèdent, est plus simple que la précédente.
Si la courbe de pression ne sort pas du massif, celui-ci est en équilibre, et la courbe de pression donne sur chaque joint le point d'application de la résultante. Il ne reste plus qu'à examiner si cette force n'excède pas la résistance des matériaux (874, 882). Si la courbe de pression sort du massif, il n'est plus en équilibre, et il y a lieu d'en changer la forme. La courbe indique même dans quel sens cette forme doit être changée, puisqu'il n'y a qu'à renfermer cette courbe dans le nouveau profil. Comme en changeant le profil, la courbe change aussi, il y a par suite une petite vérification à faire.
884. Circonslances du mouvement qui se produit dans un massif qui n'est pas en équilibre. Quand la courbe dite de pression sort du massif, elle n'indique plus le passage des résultantes sur les joints, attendu qu'elles ne peuvent en sortir (874). Dans ce cas, cette courbe, que nous appellerons statique^ n'est plus qu'une construction géométrique, propre à faire connaître si le massif est en équilibre, et de quel côté se fera le mouvement s'il n'y est pas ; mais si l'on veut connaître les circonstances de ce mouvement et comment se comporte la courbe de pression pendant quMl a lieu, il faut avoir recours à d'autres considérations, que nous allons exposer.
Il semble au premier abord que cette recherche n*ait point d^utilité pratique, puisque les constructions en maçonnerie étant destinées à l'équilibre, on n'a qiïh s'assurer d'avance qu'elles en remplissent les conditions; mais certains massifs, tels que les voûtes, par exemple, étant construites sur des cintres en bois destinés à les porter jusqu'à leur achèvement, quand on enlève ces cintres, les massifs prennent nécessairement un petit mouvement pour faire naître des réactions moléculaires qui remplacent la réaction du cintre. Or, quoique ce mouvement soit très-petit, il suffit cependant pour amener dans les massifs une certaine dislocation, qu'il est essentiel de connaître pour se rendre compte des conditions de leur stabilité définitive.
88S. Considérons à cet effet un massif en maçonnerie simplement soumis à l'action de la pesanteur, et pour lequel la courbe de pression K#<N sort de la paroi dans l'étendue st (fig, 209). Dans toute cette étendre, le p. 209 mouvement de rotation de la partie ABdc
supérieure k une assise quelconque cd
jL A E'K jB^ Q est possible ; mais ce serait une erreur de
croire que le massif, en tombant, va se diviser en autant de parties qu'il y a d'assises. Si la partie inférieure à cd était un monolithe solide; il est clair que la partie / Q ji! supérieure tomberait en tournant au-
/ I jh tour du point (2; mais comme un mouve-
/ 5/ / \ ment semblable peut avoir lieu par rap-
/ /i ' \ P^*"* ^ toute autre assise, il s'agit de sa-
I / 1/ \ voir celle autour de laquelle il aura lieu
0 N'M D en effet. Or, appelant Q la force horizon-
tale qui, appliquée au sommet du massif, établirait l'équilibre par rapport à une arôte quelconque dont l'ordonnée est y, on a
Qy = P(*'— a:) ou Q = pî.II^.
p poids de la partie de massif supérieure au joint eonsidéré ; x' abscisse de la paroi du massif, à la hauteur de ce joint ; X abscisse de la courbe de pression, k cette môme hauteur.
Déterminant la valeur de Q pour chaque joint, celle qui est maximum correspond au joint où le mouvement de rotation aura lieu, puisque ce serait le seul possible si l'on appliquait une force un peu inférieure. Comme
p densité du massif;
/ largeur moyenne du massif jusqu'à l'ordonnée y,
on a donc
ce qui montre que si la largeur l du massif était constante, la valeur maximum de Q correspondrait rigoureusement à celle de x' — x, c'est-
tCAO SIXIEME i»A&Tifi*
à*âire au ^ûat oà laeoiirbe 4e pressiodd es4 le plofi élioignée borizoalaleflMBtde iajparei du massif; or, à moins de doa&ei* au massif une forme tout i fait exceptionnelle, il en sera tov^ours à peu près ainsi. Alorsi sans faire aucun calcul pour déterminer la valoir de y pour laquelle Q est maKimum, le dessin bien fait à uae écàelle convenable donne, avec une af»proxii»ation suffisante ^ur la fNratiique^ le point ^ qui corres* fMMkd à ce maximum, puisque c'est le po^nt de la paroi du massif k plus élfoigné de la couri^e lUtN^ et q4ii âonne par suite la plus gxwkik violeur p<»iir «'—au
M<L Considérons maintenant te mouvement de roteUÉon qui se produit autçur du point ^ L%* âOd)-
La réaction d'un feintq>aelooiiqiie sur la parlâe denftassif qui le surmonte est HeUe que, combinée avec le poidjs p Àe eette^rtie, elle lui imprime Taisoélérartioa 4e vitesse qui a lieu daiis le mouvement Puisqu'il s'e^ d'un mmivemetnl de rotation^ appehmt Ry la composante verticale de la réactûm et B« sa composante hoidsontale, on a^ en désignant par m
un élément matériel de la partie de massif, pnr jy -= '-—' -= -=~ la composante verticale de son accélération de vitesse, et par jx = -tt- = -rji sa, 'Composante borizonlnte,
R, = p~Zm^, (IJ
L'accélération j, ayant lieu -de baut en bas, c'est ce qui motive le «igoe isQûins dans l'équation (i).
Pour trouver les intégrales d^es seconds membres de -ces équations, il faudrait, comme on le fait pour le pendule composé, déterminer la vitesse angulaire au bout du temps t et le moment d'inertie. Ces équations donneraient d'aîllenrs Tintensîté de la pression sur le joint considéré, en étendant la limite de l'intégration à tout le massif supérieur à ce joint.
Le calcul rigonreox de la courbe de psressâon dytsam^iqiae par cette marche serait assez compliqué. On a une approximation de cette courbe, en traçant une courbe KS par les points K et ô qui lui appartiennent. En effet, supposant d'abord appliquée au sommet du massif la poussée Q minimum capable de produire l'équilibre, c'est-à-dire d'amener la courbe K^^N 'en K'8N' tangentiellement en S, de l'équation de cette courbe (873)
2/ = ^{a; — Ç), on tire x = Ç-f^,
ou, en faisant p = ply (885),
DE LA StAItlLITÉ iD£S TOUTES. 1641
Pour Qtrs a/ on la :a;:^f, ce qui représente k courbe de prescûon stftHqHe K«4Ni si "Q prend une tTakuiir iiiiie, on rentre 4aAs Téquatmtk i(S)^ c'est-à^dipe <fiie Taiisctsse augmente d'aune quantité à peu |prè« oonstamte. ainsi r«ffet île la forée Q, <quand elle augmente, est de transporter la courbe de {nressioa stKtîque ILsiN à peu près parallèlement à elle-même, de manière à devenir K'8N' lorsque Q atteint l'intensité qui suffît à réquilibre.
Maintenant, la force horizontale Sm -rrj- ne produisant que l'équilibre
de la partie de massif supérieure au joint considéré, tandis que Q fait équilibre à tout le massif, la première force, qui varie de 0 pour le point K à Q pour le point 8, est partout ailleurs qu'en 8 moindre que la seconde Q; par suite, la courbe dynamique K8 est située tout entière à gauche de Ki^/N et à droite de K'§; donc elle est comprise eritre ces deux courbes.
Si le massif, au lieu de tournerlibrement autour de l'arête S, trouvait en £ un obstacle d'où naîtrait une force variable q augmentant sucoessivement, l'existence de cet obstacle aurait pour effet de rapprocher &u€ces&ivenaent la courbe K5 de K'8, position qui amènerait l'équilibre du juassâf en négligeant l'efGet de la vitesse acquise, qui ne ferait, au resta, ^ue produire quelques oscillations autour de cette position défimtiye«
4^7. La première condition -de toute construction étant d'être en équilibre, on ne peut avoir dans la pratique à se préoccuper des pressions qui se manifestent pendaiiit la chute. Aussi, ce qui précède sur les circonstances de la chute d'un massif de maçonnerie (884 à 886), suffit pour déterminer ce qui se passe dans le petit mouvement que les voûtes exécutent au moment du décintrement, et réduire par là l'indéterminitîon de la courbe de pression.
888. Au n"" 874, nous avons choisi arbitrairement le point K àla clef et le point W a la ndssance ou sur tout autre joint, et .nous en avons déduit, d'abord la poussée Q, puis le tracé de la courbe dépression qui passe par ces deux points. La question qui se présente est celle de savoir si les deux points K et N peuvent être déterminés, ou si l'on peut les prendre 'arbitrairement ; c'est la plus délicate de toiites oeïïes que présenftf le problème de rééquilibre des voûtes.
«Quand «ne voûte est exécutée avec un système déterminé de jointe, larésultairte ées 'pressions sur tiftiaque joint rencontrant «a surface en trn pohït dëftermîhé, il li'y a ^évidemment qu'une courbe de pression qui se réa^se, et il «crait \ désirer qu'on pût la calculer à priori. 'M. Méry dît qTsre ee ri'e^que par des considérations plus ou moins iïieertaines sur les effets du taseement qu'on pourrait prévoir, parmi toutes les courbes de pression possibles, celle qui doit se réaliser (861). Nous allons voir que dafts le rafou-vement qui se produit au décintrem'cnt,!! y a quélqne
Fig. ÎIO.
NJ
SN' N n TN»
chose de certain, de fixe, qui ne dépend que du profil de la voûte, puis quelque chose d'incertain qui dépend de la nature des matériaux et du mode de construction ; de sorte que si le problème reste indéterminé, il ne Test plus que dans des limites tellement étroites, qu*il n*y aurait guère d'intérêt pour la pratique k les resserrer davantage (913).
889. Imaginons donc que la voûte de la^^. 210 vient d'être décintrée
et que la demi-voûte est abandonnée à elle-même pendant un temps très-court, et étudions le mouvement qui va se produire. A l'origine du mouvement, il n'y a à la clef aucune poussée horizontale, et chaque demi-voûte peut être considérée comme un massif isolé abandonné à lui-même; par conséquent la courbe de pression statique KjpPNj, qui se trouve ici tout entière extérieure au massif, est déterminée par la rencontre de la verticale passant par le centre de gravité de la partie de voûte supérieure au joint considéré avec ce joint (874, 875); ainsi le point P, où la verticale passant par le centre de gravité G de la demi-voûte rencontre le joint de naissance CD, appartient à cette courbe; il en est de même du point N,, où la verticale menée parle centre de gravité G' de tout le massif, rencontre le plan de la base.
Le tracé de cette courbe n'a d'autre but que d'indiquer le point autour duquel la voûte va tourner; on voit immédiatement que ce sera le point D, ce dont on peut s'assurer en vérifiant si de tous les points de
rintrados il donne un maximum pour l'expression p ^LnJL (885). En
donnant à la poussée une valeur quelconque q moindre que celle qui produit l'équilibre, on obtient une courbe Ksn plus rapprochée du massif que celle KjPN,, et qui, par suite, indique mieux la position D de l'arête de rotation.
L'arête de rotation D étant déterminée, nous savons dans quel sens la voûte se mouvra, et la trajectoire que suivra chacun de ses points sera un arc de cercle ayant D pour centre. Ainsi les arcs AA' et BB', qui correspondent au même angle au centre D, étant les espaces parcourus par les points A et B dans le même temps très-court d/, le joint AB à la clef prend la position A'B' après ce temps. Les lignes comprises entre les positions AB et A'B' sont proportionnelles à l'accélération i = jj pour chaque point du joint, puisqu'on a E = --jt* et que t a la même valeur pour tous ces points; de plus, la pression en chaque
ûv point étant exprimée par mj, elle est aussi proportionnelle à jr, et par
suite k l'arc que parcourt ce point pendant le passage de ÂB en A'B'. La résultante de toutes les pressions dynanoiques est donc appliquée au centre de gravité du trapèze AA'B'B, c'est-à-dire en un point K situé un peu au-dessus du milieu du joint.
890. Les points K et D étant connus, ils déterminent la courbe de pression dynamique KDN qui se produit dans le massif au moment du décintrement. Pour avoir une idée suffisante de son tracé, indiquons la courbe statique correspondant à la valeur de Q qui produit l'équilibre par rapport au point de rotation D (875). Nous aurons ainsi deux
courbes statiques, l'une K]PN| correspondante û = 0, et l'autre KDN
correspondant à Q = P , y et x étant les coordonnées du point D
et P le poids du massif supérieur au joint DG. Or nous avons vu (886) que la courbe dynamique qui passe par le point D est partout comprise entre ces deux courbes statiques, et que si, au joint AB, on suppose appliquée une force q croissant depuis 0 jusqu'à Q, la courbe dynamique s'avancera de plus en plus vers la courbe statique fournie par Q, avec laquelle elle se confondra quand on aura g = Q. Eh bien ! c'est ce qui arrive au décintrement. A mesure que les deux demi-voûtes s*appuient l'une contre l'autre, la poussée 9, d'abord nulle, augmente progressivement, et quand elle est égale à Q, l'équilibre s'établit nécessairement, si le décintrement s'est fait assez lentement pour qu'il n*y ait pas de vitesse appréciable dans la voûte. Si le décintrement avait lieu brusquement, la force q dépasserait la valeur Q qui convient à 'équilibre, et la courbe statique franchirait k gauche du point D. Il n'en est pas de même de la courbe dynamique, qui continue nécessairement à passer par le point D, puisque c'est par ce point que le massif supérieur s'appuie sur le massif inférieur.
La courbe de pression statique ayant dépassé le point D dans le décintrement brusque, «lie indique que le massif supérieur peut être renversé en arrière. La courbe statique s'éloigne du point D, et par suite la tendance au renversement augmente jusqu'à ce que la vitesse de la ^ voûte devienne nulle. A partir de cet instant, la poussée 9 diminue, et la courbe statique se rapproche du point D, qu'elle peut atteindre et même dépasser; cette courbe revient sur elle-même, pour redescendre ensuite, et se fixer définitivement sur la position qui passe par le point D, qui est la seule position compatible avec l'équilibre, après avoir exécuté une série d'oscillations dont le nombre et l'étendue dépendent de l'élasticité des matériaux.
891. Dans l'ancienne théorie (874), lorsqu'on cherche les conditions d'équilibre d'une demi-voûte, on remarque qu'elles ne déterminent d'une manière précise ni l'intensité de la poussée, ni son point d'application à la clef (889) ; d'où il résulte que l'équilibre est compatible avec une infinité de courbes de pression, en présence desquelles on n'ose faire aucun choix. On n'hésite pas cependant à admettre qu'en
|«f| dIXiftKE: PART».
rendant certaines eourbes possibles, elles ne man(][ueront pas de se réaliser. Cela est une inconséquence, et Ton ne doit pas hésiter de dire que ces courbes nen-seulement qq sont pas probables^ mais cpi'ettn sent impossibles. En elfet, KLN' étant une courbe partout éloignée de Hnfrados, il est évident qu'elle suppose une {dus grande poussée à la clef que la courbe dont nous avons démontré rexisteiiee et qui pastt par le point D (990). Or, quel que soit le mode de défomMdion de la voûte, Ofi est bien obligé d'adiaetÉre qu'avant le décintresient il n'y i pas de poussée, et que, pendant celte op^ation, cette, force passe p» tontes les valeurs inférieures à eelles qu'elle fiait par aliteindre; d*oû îl suit qu^arant d'arnver à Fînlensîté qui correspond à la courbe Inté» rienre KLN^, elle a passé par celle qui suffit à Féquilibre. Or, si le décintrement s'opère lentement, il est évident que tout mouvement cesse dès qu'ail y a équilibre, et que la courbe ne s'avance pas dans Fintériear ; donc aucune courbe telle que KLN' ne peni se réaliser. Si Je décintremenf s'opère bmsquemient, sous^ l'inllaence de la vitesse ac* quise par la voûte, la poussée peut dépasser la limite qui eonvieat à Féquilibre ; mais réagissant bientôt contre la voûte, etie diminne dlntensité, pour s'arrêter à la force qui suffit à Féquilil>re après ^pielqtes oseOlatiens, et par suite eneore auenne eourbe telle qoe KUf ne pest se réaliser. Ce résultat est dft à ee que la poussée n'est pas une force quelconque, mais bien une réaefion qm ne peut dépasser Faction. SiBS doute, si Ton imagine qu'à la c^ef et au point K on applique une force quelconque, féquilibre de ta voâte sera compatible avee des iutensitéi de cette force comprises entre deux limites faciles à déterminer, piûspie les courbes de pression que fournissent ces limites ne doivent pis sortir du massif de la voûte, ni à l'intérieur ni à f extérieur (874); m«s dans une voûte la poussée n'est pas une force quelconque, mais ibien la résultante des réactions de cliaque demi-voûte sur l'autre. Aiaeà, demander quelle force il faut appliquer au point K pour soutenir la demi-voûte, est un problème indéterminié ; au lieu que demander qnelle compression se produit au point R , centre de contact de deux demivoûtes qui s'appuient Fune contre l'autre, est un problème tout différent et qui ne peut avoir qu'une solution.
La théorie de M. Dnpuit fait disparaître la plus grande partie de Findétermination de Fancienne théorie, en fixant un des point? de la courbe de pression sur Fintrados, dans une position toujours faetle* ment calculable (899 à 902). La courbe de pression reste encore indéterminée quant au point d^application de la poussée; mais, d'une part, cette indétermination n'intéresse plus guère la pratique, et, de l'autre, elle est inévitable.
Il est évident, en effet, que le mode et les vices de construction de la voûte doivent avoir une influence dans la détermination de la courbe de pression, et que tonte théorie qui ne leur laisserait pas nn« place serait par cela niônpie erronée ; or, par leur natare, quelques-enes de ces circonstances échappent à toute prévision et à tout ealcal- Cependant nous allons Atire voir qu*en supposant la vodte eonstroite
DE LA SfABÊlVrÈ MES VOUTES. I^IS
aytîc des sein» onfinwas, on peut dé^ennîner, sinon le p>oint même d'^pplicatioB de la poussée sur la eief, du moîns la ré^on dans laquelle il se trouve suivant les différentes espères de voûtes, parce qne s*û j a dans la voûte des déformations accidentelles, il y en a dP^utres qui sont inévitables, mais qui, résultant de la nature des malériauT et du mode de leur assemblage, peuvent êtreppévu«s.
892. Examinons donc ces déformations et cherchons à en apprécier les conséquences. Un léger tassement vertical du point B (fig. 210) est évidemment sans aucun résultat sur Téquilibre de la Yoûte, qui ne fait que descendre parallèlement à elle-même ; mais uii recalement horizontal de ce même point peut modifier sensiblement les conditions d'équilibre, car ce reculement aura pour effet de diminuer la pression au point B de la clef et de l'augmenter en A. On comprend même que ce reculement puisse être tel qne la pression devienne nulle en B, cas dans lequel la résultante de la poussée menterait aux deux tiers (Je la clef (872). Enfin, un rectilement plus considérable peut limiter le contact au sommet  de la clef, où îl se maintiendra jusqu'au renversement des calées. Ainsi Técartement des culées a pour effet de faire monter le point d'appKcation de la poussée vers le sommet de la clef. Or cet écartement se manifeste toujours un peu, même dans les voûtes les mieux construites ; car les corps ne résistant que parce qu'ils fléchissent, le point D ne résiste à la poussée de la voûte qu'en reculant un peu vers l'extérieur; mais la quantité dont il recule n'est' pas évidemment accessible an calcnl. Quoi qu'il en soit, on vbit que plus ce mouvement de recul est considérable, plus le joint CD doit s'ouvrir. 11 est donc très-important pour la solidité de la voûte que La partie qui se trouve au-dessous de la càarnière soit d'une solidité suffisante pour ne reculer que le moins possible.
Au-dessus de la charnière, les imperfections de la eonstruction peu^ vent aussi modifier le tracé de la eourbe de pression, en y établissant des points de passage obligés. Un gros grain de sable très-dur, placé dans un joint et portant sur les. facei» des vonssoirs sans intermédiaire de mortier, peut concentrer la pression autour du point où il se trouve et y faire passer la pression; une mauvaise taille des joints laissant deux voussoirs contigus portés l'un sur l'autre par une bosse aurait le même résultat. A la clef, des voussoirs trop démaigris en queue ou avec de grands jointâ font baisser le point d'application de la poussée, et un défaut contraire le fait monter. Mais ces divers accidents sont très-rares dans les voûtes construites avec les soins les plus ordinaires. Ce qui peut se rencontrer plus souvent, ce sont des joints nombreux, épais et dont le mortier n'a pas encore suffisamment durci; d'où résulte un tassement de la voûte. Mais cette imperfection, qui peut amener un abaissement de la clef,, ne peut déplacer la position de la courbe de pression dans le massif; c'est ce que nous ferons voir tout a l'heure.
8d&. En général^ le seul mouvement accidentel qui puisse modiôer la courbe de pression, et dont il soit impossible de prévoir llmpor-
f646 SIXIÈME PARTIE.
tance, se réduit à récartement des joints de rupture. En faisant abstraction de ce mouvement, il est facile de déterminer approximativement le point d'application de la poussée sur la clef. En effet, de ce que la voûte tourne autour du point D [fig. 210), il s'ensuit que les points A et B de la clef sont inégalement comprimés, car leur compression est évidemment proportionnelle aux espaces horizontaux que parcourraient ces points s'ils étaient libres. Appelant :
r la distance DB ;
R la distance DA ;
f la flèche BG ;
e Tcpaisseur k la clef AB ;
a rangle BDE ;
p rangle ADE,
dans la rotation de la voûte autour du point D, les angles a et p diminueraient d'une quantité égale si la demi-voûte ne rencontrait pas d'obstacle, puisque AB se transporterait en A'B'. Or, Tefifet de l'obstacle étant de nmtntenir AB dans la verticale, il s'en suitque la compression horizontale en chaque point est proportionnelle aux diminutions des projections horizontales des rayons menés du point D k chacun des points du joint de la clef» Ainsi, la projection horizontale du rayon R étant
Rcosp si p diminue de d^, cette projection augmente de (Int, 1764)
RsînpdS,
et comme
Rsinp=/+e,
la compression en A est donc proportionnelle à
En B, d'après les mêmes calculs, la compression est proportionnelle à
/da.
Mais
dp = da;
donc les compressions en A et B sont entre elles comme
Par suite, le point K n'est pas au milieu de AB et se rapproche du point A. D'après le numéro 872, P étant la pression en A et p^ la pression en B, on a
Pq~ 9ie — 3c'
Remplaçant dans cette équation — par son égal ^^-^ — , on en déduit '
ce qui montre que c est toujours plus grand que ^ e.
Suivant que / = 0, ce qui est le cas de la plate-bande, ou / = cx>, cette formule donne
2 1 c=-g ou c = -g.
Il résulte donc de ce calcul que la résultante passe nécessairement plus haut que le milieu de la clef (897}.
Mais ce calcul suppose que le point D est fixe. Or comme il recule toujours d'une certaine quantité, il résulte de ce mouvement que la pression en B diminue et que le point K remonte. Si la pression en B devient nulle, et il suffît, pour que cela arrive, que le point D recule de/da, c'est-à-dire d'une quantité d'autant plus petite que da est plus petit, on a (872)
Si le point D recule davantage, le point R se rapproche de plus en plus du point A, mais sans pouvoir l'atteindre si l'équilibre s'établit, car on ne peut admettre qu'une force agit sur une surface nulle, puisque alors la pression serait infinie. La flexion des parties comprimées donne nécessairement au contact une certaine étendue^ et comme la résultante passe au tiers de l'étendue de ce contact, quand celui-ci n'a pas lieu sur tout le joint (872), elle ne peut donc passer à son extrémité. Quant à l'étendue du contact, il n^est pas possible de la calculer, puisqu'elle dépend de la compressibilité de la matière.
Cette dernière observation s'applique également au joint CD. Quand nous avons dit que la résultante passait parle point Dj nous avons supposé le corps incompressible ou peu compressible. Ainsi des voussoirs de fer ou de fonte donneraient à peu près ce résultat ; mais de la pierre et surtout du mortier fléchissant, une surface de contact se forme, et la résultante passe au tiers de son étendue, à partir du point D.
Quoi qu'il en soit, on voit que la courbe de pression passe très-près du point de rupture D, et au-dessus du milieu du joint de la clef, où die remonte d'autant plus vers l'extrados que la culée résiste moins au mouvement de recul. Si le point D est à peu près invariable , ce qui a lieu, par exemple, pour une pile placée entre deux voûtes symétriques et couronnée par une pierre de taille, la courbe de pression rencontre le joint de la clef k une distance c de l'intrados légèrement plus grande que celle donnée par la formule précédente (a). Mais s'il s'agit d'une culée peu résistante, si, par exemple, les mortiers sont encore frais, le point D reculera sensiblement; alors le sommet de* la courbe de pression montera dans la clef, et le joint s'ouvrira en B.
Par des soins apportés à la construction, on peut donc empêcher la
courbe de pression de s'élever a<la def versi'eKtrados, mais on ne peut pas r-empêcher de s'appr(wAer de PîBtraAos au j©mt de rupture. Quelles que soient la précision de la taille et la résistance de la culée, le joint CD doit s'ouvrira restrados^et kiTëMtoiiée passe 4'aDlaeDt plus près du point D que les matériaux de la voûte sont plus résistants.
«M. Il faat dotïc se résigner à admettre que la courbe de pression passe très-près de l'intrados au joint de rotation, quoique ce principe soit une difficulté pour la pratique. La tbéorie de M. Dupuit ne fait pas connaître à quelle distance précise la courbe de pression passe de l'intrados, et il devient difficile de calculer la pression maximum qui aura Heu «1 ce poitrt ; mais la vérité dT une théorie ne dépend pas de la plus ou moins grande difficulté qu'on éprouve à f appliquer, et Ton comprrend cwnfeien il peut être dangereux de mettre en pratique une théorie inexaiete.
On petil objecter k cette lïiéoTie qu'en admettant son exactitude, il j a vers les points de rotation des gratids ponts construits, des pressions hien phrs ctmsîd érables que celles qui avaient été calculées par les constructeurs, et que, puisque les pierres n'y sont point écrasées, c'est que la pression s'y maintient dans les limites que les constructeurs ont l'habitude de s'imposer. Voici comment on peut expliquer pyMirq^u)! ks voussaii« i^sûtent dans ces cif^e^astsAces. On est éuta r^isage «le me ùÀre suppoa^âr auK «latérimix» d'^iae laAiiière penui^ neiLte, 4ue le dixièjne «envkieH «de l'^oti 4111 «stcapaèle tie les écnmfsr; or an «oaço^it que oelile «éfionne .réil«oCJDn met à l'slDri ^'«i lescès ée pression prodiiit aecidefifteUemcat fasj* «a vhoe lée «œsInioliMi «m ptr toute autre causer, •et^que sJ», ,p«,r i'e^t d'un anov^eœeiit de ila snaçoiK nerie, la pres&ioB se déplace^ *on a une iarfe meet^e pour prévenv éoiiie chance d'accident Ayant ^CHié, par exemple, que la pms^sn unforme sur le joint de.ra|itu2*e «st de &iM)àâd§. pour \m misÊcmti ée vio4te de H^fii d'épaiss£ttr.; la pierre -eoipioyée pou^âst sapporlav ^ raison du dixième de la pé&istaaoe JBMLxiinaai* d^O IdkliQg. .par œmtàmâtn csLPré^ la, loi^ueur du joiiit poudrast s'être i^«ie de fT^të si hi pnessiOB était uniforme dans toule soa étendue^, fli«is 00 hii dcnne 0"^, d'après l'iiypoithèse que kt Tésukante de ia pivssiCMi passe eu tieis de la longueur du voussair, la letnirale [i?) en. n"* 872 doMie eu «fftit
p t= — ^ — •:=z W Mog. Or 'Si ïa résultante passe à 0*,0o seulement,
la pression P ==='?4^==^'kîlog.,ëta(r,04,onaP=?^^^==75kïl.
Il .esl évident que les voussdÀrs B'édatiènoat pas poia* icetau JBk voici les fiUKlifs principaux : i** c'«std'aèMd fu'du b^ pus «ncore «tttnit b limite de la résisjtauœ de la pierre; T ^pâ'eâé-nn sittelst oeltte i^te, cozùme ceJ;te pressltu n'^xie^ak <^ae ^snr une lanéÉe, «eik ne smistft avoir le même^elCet que si eHe eiistait «or tonte i'ééHiAne du amtsct; 3** ^ue Vsrèie du voussoir eslfiéce86aireitten(t«mrrstiid)ie, ai fine que sait la taille, ce qui perut Téftoifte le cfaiffipe de ia premon moifliuia; V qu'autre ks deex v^usseirs ^e énstive «n imaéeliissbe 'm&rtkr (9S1);
S" que les fiiernes àt grande dimeiMion doivent «Toir uoe rësistanoe propoTtign Relie plus grande que Mlle qsi est donnée par les eipérienoes faites sur des petits cubes (S71).
Sttt. Oitts l'exemple de le fif. SIC, la T«ft'(c est incomplète et la po- - Kitiondu point de rotation eit>éTideate. S'il e'ai^snit d'une voûte complète, c'estk-dire d'une vùHte se nicconlant avec ses pieds-dioits par un éiénient vertical, on démontrerait par un raJaMmement anaktgae qu'an point de la courbe de pression doit se trouver Bur l'intrAdos, et que, au décintrement, tavoAte tsuniera autour de ce point; mais la pasilion de ce point ne ressortirait plas au premier coup d'œil (899). I-as^e chose qve nous Toalions établir dèB à piéBenl, c'est que, dans oe cas, la courbe de pression est nécessai renient tangente à l'inlrados; «n effet, si elle ne l'élaît pas, elle le «ouperait en deux points, et cett« «murbe se trouvant e\téi->eure au massif dans une oerlaine étendue, il n'y aurait pas équilibre.
MoBSCOOsidérerons clone comme démontré que la wiurbe de pree- «•OBipasse loojonrsà l'intrados, «t-qae, dans une -roâte csmplète, ou dutsune voûte incomplète, mais d^vne unplilnde telle que, ai la voûte «tait Eomplélée, le point cemman avec l'into^os »e Irouverait -dans rétendue de la vofite, elle est tangente à cet intrados au point «ù elle le rencontre. Ce point commun à la courbe de pression et à l'intrados est le point de rotation autour duquel la partie eupérieura de la demivoûte tourne en dedans pour s'appujer sur celle qui lui est symétrique, lorsqu'au décintrement la voûte s'asseoit.
896. La courbe de pression passant par le point de rupture et par un point }*rïs arl)ilfain»nent & la clei^ il peut arriver qu'elle coupe l'extrados au-dessous ou au^essue du point diarnièri^ Ainsi, dans le cas de lA^g. 210, si le pied-droit avait une épaisseur moindre que NT, la courbe de pression i-eocontrerait J'e.\trados au-dessous du point D, et dans ce cas la culée serait renversée à l'extérieur en tournant au.l«(ir d'iin point charnière qui se formerait à l'angle extérieur de la culée. tandis que la voûte tomberait iiTinlérieur^ c'est la seule manière dont Y-^ *,] la chutepeutavoir lieu pour une voaie
surbaisséeteUcqueceiledelaj^. Slfl. Quand la voAte est -surélevée {/£^.
2I1J, la couriie de pression peut rencontrer l'extrados avant de passer par le joint de ruptore liC. Traçons d'abord la courbe de pression statique; puisqu'elle passe par le point D, ^i nous supposons de plus qu'elle passe par le point arbitraire K, nieuant l'homontale ït' et la vertieaie iX' par le centre «le gravité G .de la voMe, si C'P représente le poids de ta ■riemi^oûtc, 1)P peppésemera la poussée hornoatale Q au point K, et -G'n
la résultante des pressions sur le jointde rupture DG. La poussée Q étant connue, on tracera la courbe de pression KnD en opérant comme au n* 874. Cette courbe sortant de Textrados, la voûte n'est pas en équilibre et il y a lieu d'en modifier le profil; mais si Ton veut savoir comment elle va se rompre, on tracera la courbe dynamique KËD, tangente a Textrados vers le milieu de l'intervalle entre les points où il est coupé par la courbe statique (885), et le point de tangence £ indiquera le point de rotation de la voûte, tandis que la courbe KED indiquera comment se comporte la pression en chaque point pendant la chute. Ce point de tangence E deviendra ainsi un nouveau point de rotation autour duquel tournera la partie supérieure de la demi-voûte, tandis que la partie inférieure tournera autour du point D. Le joint ÂB prenant part à ce double mouvement, dont le premier tend à le faire monter tandis que le second tend k le faire descendre, il suivra une direction résultante dans laquelle il pourra arriver qu'il s'élève. Les calculs que nous avons faits (893), relativement k la position du point K, ne sont plus applicables dans ce cas. Il faudrait chercher la direction résultant de la vitesse des points A et B, comme nous l'avons indiqué au n* 886; mais cette recherche serait sans utilité pratique, puisque la voûte ne peut pas être exécutée dans ces conditions.
897. Il n'y a donc lieu de s'occuper que du cas où la courbe de pression ne fait que s'approcher de l'extrados, et ce qu'il y a d'essentiel k remarquer, c'est que dans lé mouvement de la voûte la clef remonte. En effet, d'une part, puisque l'intrados s'ouvre vers F, il s'allonge, ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que B s'élève; d'un autre côté, la pression se portant vers l'extrados, cet extrados doit diminuer de longueur. Ainsi, tandis que B doit s'éloigner de D, A doit se rapprocher de C, et de ce double mouvement, on voit que la clef a une tendance k s'ouvrir en A et k se serrer en B. Si donc la voûte avait des dimensions suffisantes, et que la courbe de pression fût KË'D, les joints s'ouvriraient k l'intrados vers F, sur une étendue telle, que, pour un joint quelconque EF, la partie comprimée Ee fût égale au triple de EE' (872) ; par suite, la voûte se dilaterait k l'intrados, se contracterait vers l'extrados, et le mouvement qui en résulterait tendrait bien k soulever la clef et k faire descendre le point K vers B. Dans ces espèces de voûtes, le point d'application de la poussée est donc, en général, audessous du milieu de la clef, si le point de rupture D ne recule pas sensiblement (893). ^
En général, on reconnaîtra que la clef a une tendance à se soulever quand la courbe de pression, dépassant les deux tiers de la longueur des voussoirs k partir de l'intrados, s'approche de l'extrados (907).
B98. La recherche des conditions de stabilité d'une voûte est ramenée, comme on voit, au tracé d'une courbe géométrique qui se trouve déterminée quand on connaît deux de ses points (874). L'un de ces points se trouve tantôt au-dessus, tantôt au-dessous du milieu de la clef (893, 897), et le second, appelé point de rupture, est toujours situé k l'intra-
dos (889), mais dans une position qu'il s'agit de déterminer pour une voûte quelconque.
Fig. 212.
RECHERCHE DE LA POSITION DES JOINTS DE RUPTURE ET DE LA COURBE DE PRESSION DANS UNE VOUTE QUELCONQUE SOUMISE UNIQUEMENT A DES CHARGES VERTICALES.
899. Dans les exemples de voûtes des fig. 210 et 211, la position des joints de rupture était pour ainsi dire évidente. Mais il n'en est plus ainsi quand les voûtes sont complètes; la continuité de la courbe d'intrados n'offre plus a l'œil de point particulier qui puisse devenir le siège de la rotation de la voûte, et il faut alors en chercher la position par le calcul ou par une construction géométrique. Construction géométrique. Dans une voûte complète, la courbe de
pression est tangente k l'intrados au point où elle le rencontre (895).
De plus, si l'on admet un système de joints verticaux, la tangente au point de rupture rencontre la direction horizontale de la poussée au même point que la verticale menée par le centre de gravité de la partie de voûte supérieure (879, 880).
Alors, la tangente menée h l'intrados par le point m (fig. 212), qui paraît k l'œil être aussi voisin que possible du point de rupture, rencontrant en n l'horizontale passant par le point d'application R de la poussée, et la verticale menée par le centre de gravité G du voussoîr Bm rencontrant cette horizontale au point g situé à gauche de n, cela indique que le point de rupture est au-dessous du point m, et même un peu plus bas que le point de contact de la tangente menée par g, car le centre de gravité de la nouvelle partie de voûte se trouve à gauche de G^. On pourra donc, pour abréger le tâtonnement, par un point g' situé un peu k gauche de g mener la tangente g'Z, et vérifier si g' correspond bien à l'abscisse du centre de gravité de la partie de voûte B8; s'il n'en était pas ainsi, on pourr.ut continuer le tâtonnement.
Autre construction graphique pour déterminer le point de rupture 8, La courbe de pression étant déterminée quand on en connaît deux points, traçons-la en prenant pour première fausse position un point quelconque t sur la courbe d'intrados et le point K. On obtient ainsi une première courbe K^^, et le point $ de l'intrados qui est k la plus grande distance horizontale de la corde st est le point de rupture. Dans la pratique, ce point se choisit k l'œil sur l'épure; mais si Ton avait besoin d'un plus grand degré d'exactitude, on opérerait sur ce point comme on l'a fait pour le point t.
Ce procédé est fondé sur la propriété suivante de la courbe de pression, propriété que nous avons déjà signalée au n* 885. L'équation de
i6âS
SfxièiiE PAanc.
la. courbe de iprteeian est (886)
P Pour une autre courbe de pression dont la poussée est Q\ on
donc
Comme le rapport - est très-peu variable, surtout aux environs du
point de rupture, la différence x' — x des aheissea. des deux co>urbes de pression est dooc à peu près constante.
Be cette paropriété il. résulte biea que si Ton fait passer une seconde GOur]»e de pression par le* point ^ qui est le plus éloigné de st, cette seconde courbe ne coupera pas Viutr ados en un autre point.
Cetie. propriété des courbes de. pression facilite considérablement leur rcicherebe, puisque si Ton esk a tracé une, il suffit d'augmenter ou de dinûiiaer ses akdâses. d.*une quantité constante pour en avoir une nouvelle.
Les procédés, graphiques qua nous venons d'indiquer sont généraus, et. il Êuidrait y avoir recours dans le cas où Ton aurait à rechercher l'équilibre d'une forme, bizurre on peu. usitée. 900.. Dans lesi travaux publlcsh, on ne se sert guère que d'intrados
circulaires ou elliptiques, et alors on peut sans tâtoimements trouver les points de rupture. AppelantC%..2i3):
a et^ Iardieim-omi!rtsr« et la mo»téâ de:l3 ¥(»ûil«;
K là point d'apptlicatioiL de la poussée ;.
ft l'ordonnée dn point K ;
0> le centre de r«llq»e, «rigùie dea6«A]f(|£inii4es^
réquation* de la courbe de pression devient, en supposant des joints verticaux (880^ 886),
Fîg. 213.
^— y = |(x— ÇK
(il
et celle, de l'intrados, est [InL 4131)
t.^yl^
Pni&qoe ces deux csourbes sont tasgentcs aa point de raptorev lenis
DE LA STAmUrpÉ Wm liOUTES. f ^3
âévivèes 90ii4 égales pour ee poin^t. Preoaiif ces dérivées t% les êgolratty on a
Telle est: U veMion qui lie: y o^i a: pwurl* poiaide mptare? 9. Fnur sésQii^ve cette équfttlon, il ^iveiiplac«r i pw sa v^iteur en x^ tirée à» la relatiott qui ex.i«te entive Vab»ckNie ^ éi» ee»tre ée graTÎtà de la. pwrtîc de voûte située en avant du point de l'intrados, dont Vabsciase est v. et cette alMS€isfte^ et essuita la valeur de or eA fonetidii de ^[^ tivée de ré^uaiion (2) de U coufbe. d'JAtrado€k
M. Bupuit établit qu'cwt peut suprposer, pour les valeurs de x voisines de celles, qvi aoiFesp^oadeat au paiiit de rupture,
n étant un peu plus grand que - = 0,50. On ne pourrait avoir n = - = 0,67
^uepenr des voûtes extradossée&de manières bizarres et inadmissibles. £n mettait 4aDs réquaticNa (3) cette valeur de iy puis celle de rr en y , tirée de réquatkm (S^,. qq oi)tMiat
d'où l'on tire {Int 538)
Cette formule montre que la valeur de y est indépendante? àe FcMiverture a de la voûte, c'est-à-dire que cette valeur est la Mena» p#ur le plein cintre que pour une elKpse quelcewque de même montée.
Pour des valeurs de n voisines de 0,50i on peut poser «(l— 711 = 0,25^ et l'équation précédente devient
OU, si l'on fait -r — 0,90,
n étant plus grand qae 0,50 et plus petit que 0,67, on voit que y ne peut pas différer beaucoup de 0,506.
€e n'est là au reste qu^ume approximafio» qui cesserait d*être vraie
si le rapport t différait peu de Tunité» c'eatrà-dire si l'épaisseur de la
voûte à la clef était très-petite. On voit alors que la valeur du radical
diminue de plus en plus, et que y s'approche de —, ce qui pourrait
avoir lieu, par exemple, pour une voûte métallique; alors le point de rupture pourrait se rapprocher beaucoup de la clef. Mais si Ton se tient dans les cas pratiques des voûtes ordinaires en maçonnerie, on peut dire que dans les voûtes complètes en plein cintre ou elliptiques, le point de rupture se trouve à peu près au milieu de la montée, c'est-àdire qu'on a à peu près Oe = eB.
901. Démonstration géométrique de cette propriété remarquable.
Sur la même montée OB = 6 traçons trois intrados (Jig. 214) : un plein cintre et deux ellipses, Tune surélevée, Tautre surbaissée. Sur le milieu de OB, menons une horizontale eS, et, par ses points de rencontre avec les intrados, menons les trois tangentes ST. Ces trois tangentes se rencontrent au même point T de Taxe, et Ton a (Int, 1158), puisque 05 = OB = 20e,
Fig. 214.
OT = ^ = 20B, Oe
Appelant :
ou OB = ET.
X les abscisses des points $ considérés comme des points de rupture ;
Ç les longueurs des parties de Thorizontale K^ menée par le point d'application K de
la poussée, ou abscisses des centres de gravité des parties de Toûte supérieures
aux points 5 (899) ; b montée des voûtes; fkb la hauteur KB du point K au-dessus de Tintrados,
les triangles semblables TeS et TK^' donnent
d'où!
a::Ç = T6:TK, ou x:Ç = 1,506: (l — a)6;
Gomme dans une voûte ordinaire on a Ç > 0,50x, pour que cette équation (1) soit possible, il faut qu'on ait
-j-gQ- > 0,50 ou a < 0,25.
Or, c'est précisément ce qui a lieu en général, l'épaisseur à la clef elle-même n'atteignant jamais les 0,25 de la montée b de la voûte. Cette condition étant remplie, l'équation (1) indique que la valeur de Ç varie
de 0,50x à 0,67x, qui correspondent respectivement à «==0,35 et « = 0.
La limite Ç = 0,67a; ne pouvant être atteinte (900), si nous faisons Ç = 0,60x, réquation (1) donne a = 0,10, et c'est une proportion qu'on rencontre dans beaucoup de voûtes. D'ailleurs, comme l'équation (1) indique que de légères variations de a sont à peu près sans influence sur la valeur de S, ainsi pour a = 0,15 cette équation donne Ç = 0,57x, on est donc en droit de conclure que le vrai point de rupture ne peut guère s'écarter du point de l'intrados situé au milieu de la montée.
902. M. Dupuit ne donne pas cette détermination du point de rupture comme exact et précise, mais comme une approximation trèsutile dans la pratique, en ce qu'elle suffit pour les cas ordinaires. Du reste, on pourra toujours vérifier si en menant par le point de rupture choisi une tangente à Tintrados, elle rencontre l'horizontale menée par le point d'application de la poussée au même point que la verticale passant par le centre de gravité de la partie de voûte située au-dessus du joint de rupture choisi (899).
En résumé, quand l'intrados d'une voûte est circulaire ou elliptique, on obtient une approximation suffisante en plaçant le joint de rupture au milieu de la montée. Si la demi-circonférence ou la demi-ellipse est incomplète, on Tachève sur le dessin, et l'on prend le milieu de l'axe, si ce point est au-dessus des naissances, et ces naissances s'il est au-dessous. Il résulte de là que pour une voûte circulaire de moins de 120* d'amplitude, les points de rupture sont toujours aux naissances.
905. Il résulte de la connaissance de la position des joints de rupture (902) un moyen simple et facile de se rendre compte dç la stabilité de la plupart des voûtes, sans autre tracé que celui que l'on peut faire à la main.
Prenons pour exemple la voûte qui sert de base aux calculs de
MM. Lamé et Clapeyron (fig. 215). Par le point de rupture $, correspondant au milieu du rayon vertical OB de la voûte, menons la tangente T8S k Tintrados. Cette tangente rencontrant la paroi extérieure du pied-droit en S, cela indique que si le pieddroit se terminait en S ou si, k partir de ce point, le pied-droit était élargi de manière qu'il contienne cette tangente, tout le massif serait en équilibre. Gomme dans la pratique les constructions doivent être stables, on peut à la rigueur fixer leurs dimensions d'après ces simples indications.
Si l'on veut plus de précision, on détermine la poussée en construisant pour le point S le parallélogramme des forces gp^q, dans lequel gp représente le poids de la partie B8 de la voûte, et par suite gq la poussée appliquée au
Fig. Î15.
1666 ftixiiitt FAïau.
f oiiiâ& (&74, 991^ aa^V Pttifti P^p le eenàre âegraiYiié de L» deml-woûie, menant la verticale GP proportionnelle au poids de cette demi-voûte, l^reiMUHit G^' égal a k poussée m, et consiruiaant k paraliéto^mBaie sur GP et Gq\ s&diagonale Gr représenta en grandeur et en direction la pres6i<Ma sur la base de la voûta. Le point N où eette diagonale ren* axafa*e la baee apf artient à la canrbe de paresfiioo ft^N, (ç^'ùa peot alors tracer avec une approximation suffisante pour la p^ratiqtie, en raccordant les trois points K., S et N ^i lu& t]ppartiennent. B«i reste, en opérant pour une portion quelconque de la voûte comme on vient de le taire pour la demi-voûte» ce qui a cloimé le point N^ on oMiendrait autaQt de points qu'on le désire de la eoiwbe de pression.
La courbe K^» sortant du massif, montre que ce massif n'est pas en équilibre; elle inddqae de plue eomnaent on deit modiâer le profil peur ol^enir cet équilibre.
]>ane l'exemple de lajiijir. Si&, on n'a m<^meeu besoin de détemainer le point N de la courbe de pression que parce que les piedsHfaroits sont très-élevés ; dans la plupart des cas,, on peut tracer cette courbe à main lavée, dès que les points SL et S sont connus.
M4. Le tracé sommaire indiqué au numéro précédent résout le problème d'une mamère suffisamment exacte pour la pratique, d'abord parce que, comme nous le verronss ua tracé pins étnïtié n'a pas beau-< coop plus de chance d'être plus exact» et ensuite parée qne le problème à résoudre présente une granide latitude, puisque les constructions doivent présenter un grand excès de solidité, pourrésister aux charges accidentelles, aux chocs, aux dégradations, etc» On conçoit, en effet, que cet excès, qui est une mesure de prudence, ne peut être soumis au calcul ; c'est une afifaîre d'expérience et d'usage qui fait que la recherche de conditions d'équilibre plus exactes ne peut pas modifier les dimensions basées sur un calcul approximatif. De plus, quoique la solidité des constructions en soit la condition la plus essentielle, elle n'est cependant pas la seule, et l'on peut être déterminé par d'autres convenances pour fixer les dimensions de la voûte.
BInfîn, quoique les limites de l'indétermination^ en ce qui concerne La. courbe de pression, aient été très-resaerrées (8^i), elles restent cependant encore assez étendues pour qu'il soit légitimement permis de se servir de méthodes approximatives. En effet, pour que la courbe de pressicNa fût rigoureusement déterminée, il ne suffirait pas d'en connaître deux points, conune on le dit ordinairement (875); il faudrait encore connaître la manière dont la surcharge des reins pèse sur la voûte, c'est^àrdire le poids de la voûte correspondant à chaque joint, car l'hypothèse qui consiste à considérer cette surcharge comme produite par des prismes verticaux ne peut être considérée que comme une approximation.
Bn négligeant la légère variation que pourrait amener, dans le tracé de la courbe de pression, la connaissance exacte de la répartition de la charge, Tincertitude ne repose plus que sur la position exacte du point d'applicaticm. de la poussée,, point oui se trouve entre le milieu
Fi^c& 216.
et le sMBiiraet de kK def poor les voûtes en plein ctntie ou sviteissées
(893). En eJQfet, si la voûte est iacomplète^ sa naissance est un point de la courbe de pression, et si la flèche de la voûte est plus grande que la moitié de l'axe vertical', la courbe de pression est tangente à l'intrados, condition qui équivaut à la déterminatîon d'un point. 905. Considérons d'abord une voûfte i»complète formée d'un arc
de cercle BD et d'nn pieddroit DT ifig. ^6). Prenant le milieu K de Tépaisseur à la def pour fioint d'apn pdiG&tion de la ponssée, à Taide des points K et D,.
traçons les courbes de près sien KON el ILDN' corre»pondani à Feitrados de la TOÛte après le décintrer.
nent (903.), d'abord dans rhypotttèse oà la voûte est extradossée par la eourbe ÂFC,, p«is C8D la supposant chargée JQsqu*àUltgDe AU.
Po«r qu'il y ait équilibre, il suffit que les deux eour*bes KBN et KON' soieait tontes les deux conleaues dans k proâl de la noaiçonnerie; car, quoique la position exacte du point Ksoit ineo&AuOy comme elle ne peut être que supérieure à celle qui lui a été assignée (8(9d), il s'ensuit que la courbe de pression, qui passe toujours par le point !>, a'kiiftéelttt davantage quand la ¥Oûte est chargée que quand ^e na L'est pas. La dbarge de la voûte faisant reculer le centre de gravité Cl el par suite sa projection ç vers la gauche, il en résulte C|n'âlle a p«uf effet d'amener le point N en N^ c'est^-dîre de consolider la Toûie. Voici comment Mli. Lamé et Glapeyron déterminent la ligne séparative de la région où nue masse additionnelle contribue à l'équilibre. Appdons, K étant Torigine des axes :
H le pai4s d« la. masse additioiuieUe placée sur ks reins et dont le centre de gravita se projette en M \
q la poussée qui résulte du poids II;
e ràkscisse ^ porât M;
a Fabscisae ixk point I>;
X TabscUse du point N ;
H l'ordonnée du point N ;
h la hauteur EO dt pîed-droît.
Cherchons à déterminer Fabscisse t de manière que la courbe de pnnession continue k être KdN après l'application de la masse de poids IL On a, e» égaiani les moments des forces Q et qt pris par rapport à N ,
n(X~£)=:gH,
tf>
et en égalant les moments des mêmes forces par rapport au point D,
d*oii, en divisant membre à membre Féquation (1) par celle (2),
Q — e""H — A' ^^ Dr"Mr'
égalité qui indique que les trois points N, D, M doivent être en ligne droite (la résultante dii poids n et la poussée correspondante q doit en effet passer par D et N). Donc, prolongeant la droite ND jusqu^à rhorizontale KM, la verticale menée' par le point obtenu M limite la partie de voûte sar laquelle toute charge additionnelle contribue à la stabilité. Ainsi, tout poids ajouté à gauche de M a pour effet de rendre l'équilibre plus stable en éloignant le point N de S; c'est ce qui fait que le remplissage des reins, au-dessus de ÂFG , a porté la courbe de pression de KDN en KDN', parce que le centre de cavité du solide ajouté se trouve à gauche de M. Un effet tout opposé aurait lieu si l'on chargeait la partie MR, surtout vers le point Â; le point N atteindrait le point S , et une fois qu'il l'aurait dépassé, la culée se renverserait en tournant autour de ce point, tandis que la voûte, tournant autour du point D, tomberait à l'intérieur.
Il y a donc deux moyens de s'opposer à l'effet de la poussée : c^est d'abord d'augmenter l'épaisseur de la culée, et ensuite d'augmenter la charge des reins. Si l'on voulait, par exemple, amener la courbe de pression en N'^ milieu de ST, on tracerait la droite N^DM^, et Ton augmenterait la charge à gauche de la verticale menée par M^. Nous reviendrons sur ce résultat (9ii).
906. Considérons maintenant une voûte complète {fig.^il). Prenant
Fig. 217.
encore le milieu K de l'épaisseur à la clef pour point d'application de la poussée, si le point 3, situé sur l'intrados au milieu de la montée, est le point de rupture, la tangente ^g à l'intrados au point $ rencontre l'horizontale menée par K au même point g que la verticale G^ tracée par le centre de gravité G de la partie de voûte sans surcharge ÂB8y, et alors on peut tracer la courbe de pression RSN dans toute rétendue du massif (903). Si la verticale menée par le centre de gravité G rencontrait l'horizontale R^ en un point g' ou g'' autre que g, le point 8 ne serait pas 1^ point de rupture, et il faudrait pour le déterminer avoir recours au procédé de tâtonnement indiqué au n* 899. Le point de rupture une fois déterminé, il
servirait, avec le point R, à tracer la courbe de pression, comme on
vient de l'indiquer pour la courbe R8N.
La sur^charge de la voûte jusqu'à la ligne UV a pour effet de faire descendre le point de rupture de B en 8' (905). Ce dernier point se trouve facilement par tâtonnement au moyen de la condition que la tangente à Tintrados en ce point doit passer par la projection du centre de gravité de la partie supérieure de la voûte surchargée sur la direction de la poussée (899). On trace alors, par K et 8', la courbe KS'N' re lative à tout le massif (903). Si Ton voulait déterminer la limite verticale des charges qui contribueraient à la stabilité de la voûte, on prolongerait la droite N'^' jusqu'à Fhorizontale Kg y et la verticale menée par le point de rencontre M serait la limite cherchée (905).
Dans cet exemple et dans celui du numéro précédent, on ne doit pas tenir compte des charges qui se trouvent à gauche du joint de rupture $'y'L' pour le tracé de la courbe de pression dans la partie S'B de la voûte ; mais on en tient compte pour le tracé de cette courbe dans la partie de voûte inférieure au point B'.
On voit que les voûtes complètes, en plein cintre ou elliptiques, n'offrent pas plus de difficultés que les voûtes incomplètes quant au tracé de la courbe de pression.
90T. Considérons maintenant une voûte en ogive Ifi^. âl8), c'est-àdire une voûte dont l'intrados est formé par deux arcs se coupant à la clef suivant un angle plus ou moins ouvert. Nous avons vu que dans ces voûtes le point d'application de la poussée se rapprochait plus de l'intrados que de l'extrados (896) ; mais comme il est indéterminé, supposons-le d'abord au milieu K du joint, et traçons la courbe de pression dans cette hypothèse. Pour cela, on divise, comme nous l'avons indiqué au n* 874, la voûte en un certain nombre de parties d*un égal volume, et l'on détermine sur l'horizontale K^4 les projections g^, gt».. des centres de gravité des parties de voûte Bl, Bâi... Faisant alors rouler une règle tangentiellement à l'intrados jusqu'à ce que le numéro qu'elle indique sur cet intrados soit égal à l'indice de la lettre g sur l'horizontale K^r^, comme pour la ^^r. 218 cette coïnci dence a lieu au joint 3,. le point 3 est le point de rupture, et Ton peut tracer la courbe de pression K3N à l'aide des deux points K et 3 ou mieux des tangentes ILg,^ et Zg^. On peut, du reste, déterminer le point de passage de cette courbe sur chaque joint et la tracer avec toute la rigueur désirable (903).
Comme le montre la/^r. 218, la courbe de pression K3N des voûtes en ogivel perce le plan des naissances tout près de l'intrados, ce qui indique qu'il y a peu de tendance au renversement extérieur. On peut, du reste, s'assurer que ce renversement est réellement impossible, en traçant une nouvelle courbe de pression par le point B, ou seulement
Fig. 218.
imb SIXliME 3>iAttE.
en menant la taof ente k l'fKtmdes am joint ée ruptune ralalxf à oé point, après avoir descendu sur i'horîsontale menée par B les projections ides centres de grarité; on reconnaîtra âucilement que le nonvean point de rupture ê est situé rni peu auHiessas du prcanier, et qœ Ul tangente à, i'tntrados en oe point diffère très-pea de celle menée an paint 3. ^
Qaand cette vérificalioii, qn'on peut considérer comme à peu près superflue dans l'exemple de la jCg. ^18, est faite, il convient de s'assarer d<e la stabilité de la partie supérieure de hi voûte par rapfHnt i» renversement extérieur. Si le point K est le point d'application de k poussée, le tracé. de la courbe de pression Kâ donne toute satisâbction à 4>et égard ; msîs 11 peut très-bien se feire que par le moée de coosbuction de la voAte, ce point d'application remonte vers A; si, par '^cenQ|>le, ie joint à la clef -était ouvert à f intmdos ptr constructioai et que le décintrement ne l'eût pas complètement ienué, ie point d'appiieatioo de la poussée ponmit se trouver tout près de A« Or, la conrbe de pression «fai a son sommet en A sortant do i'extrados, ce qu'îndt«[ue le tracé ponctué A4, la partie supérieure de la vcûle se renverserait à rextérieuT,ce qui permetiraità la partie înféiieune de tomber en dedans. Aînsi^ quoiqne la voûte ^.91S soit stable si sa construction ne présente rien de parOicnlier, puisqn'alors la poussée passe plutôt au-dessous qu'aurdessus dn point K, il peni arriver qu'elle tombe au décin tnement si mi vice de oonstruction fatt monter le poipt d'application de la poussée vers le sommet. On peut prévenir cet accident en augmentant répaissenr de la partie sapérieure de la voûte à partir du point 2, comme l'indique ia lîgne pointée AS, on^ ce qui serait plus hardi, en enlevant le sommet înisqu'au niveau de la ligne K^^, ou, ce qui reviendrait an même, en refouillafit le joint de la clef depuis le sommet jusqu'au point £.,
Si la vwûte portait une surcharge, ies conditions d'équilibre ne seraient pas plus difficiles à tro^cver.
Il nous Teste à examiner le cas des voûtes en plate-bande, c'està-dire de celles dont l'intrados est *'*• **^* une horizontale (Jig. 219). Il est clair
— f^ ^, q«ft pour oes voûtes, comme pour
les VDùles incomplètes {fy, %l«), le
joint deruptarese trouve aux nais-
«anoes© etD', puisque c'est évidem-
7* \ ■» / ment en oe point qae se trouve !e
/ ma'Kimam du moment de renverse-
\ \ ; " / ment. Donc â R est î'e point d''api^
; \ \ i / cation de la ponsséeàîaclefaumo-
^ \ \ i // ment du décintrement, la oouAe
, . , /' dynamique passe par les points K
V^ ' \^.'/'' -et D, et se osnfond awc la oovrtie
"^ — -3r' îstati^e quand l'éiqaiiibre estëtaMi
^ <^B^)* Qumnt k la position du point Ik,
DE LA STABILITÉ M» ITOUTES ^.^&i
«Ile est toujours indé^rminée^ mais moms qae dans les «tttres TH>&t«s (905 à 907). En effet, il est évident que ie point B descend d^nne petite quantité $m décintrement, qu'alors le joint s'ouvre en ce point et que èa pression j devient nulle ; par suite, ÀK est égal tout au plvis au tiers de AB (872). On devra denc dans le caletil de la poussée supposer ÂK égal au tiers de AB» puisque c'est l'hypothèse qui donne le maximum de cette poussée.
D'après Coulomb, pour que les joints d'une plate-bande soient nor- Bianx à la fiéeultioile 4es {yreisnon« (SM), ih doivent être dingés «uivant les rayons d'un même cercle. En effet, £F étant un joint quelconque, menons Thorizontale Kg, et du point de rencontre g de cette horizontale avec la verticale gh passant par le centre de gravité du voussoir AfiFE, menons la ^per^yeôdieulaifv gn ^vlt le )<oint EF. Cette perpendi- ««âaire pourra être cotisidërée oomme élant la résnltanle èes pressions mit te joint EF -(STS, 90S), et si fou termine le triangle rectangle gnh ^ai m 'ffn pour tiypoléviase, les •O'^tés ^A et fm smit proportionnels au pouls p ûv. VMittoir AWS et à la poussée horizontale Q qui agit en K; iiiiai Ml a
mais i&6 iirianifleB settUabies BOF et Avif donneat
X gh p' ^fi
Or le poids)» élanft fropof^ounel à la surface AWE, ert eelle-ci ii BF oa:x, «91 voit que la valeur <Ae BO est indépendante de x, et que tous les joints se rencontrent au uième point 0 de la verticale AB. Pour détermiaor oe ^at, Û faut remplacer Q par sa valeur dans l'expression cidessus. Or isupposaut, pour'SÎmplitier, la voûte terminée aux naissances par des plans vertiieau'x, le point g' étant alors le milieu de la largeur de la demi-vcrùte^ h%y est proportionnel à la poussée Q et g'h' au poids P Ae la demi-voftte'; de sorte ^'en appelant a la demi-ouverture et y la haulttwr KH, «m a
çfl par 'conséquent, en remarquant que - = 5- ,
ty P '^
Pour construire BO, on prend liW = KB, et par les poiûts K' et D on trace une demî-drconférence K'DO ayaat son centre sur le prolongement de AB et quî détermine BO. En effet, de ce que le triangle OBD' eslseniblable au triangle BTi'^', on a
BO Pft^__Q.
BB'"~ y '*'"■*>'
ce qui montre que BO représente la valeur de la poussée Q, quand le poids P de la demi-voûte est représenté par a.
Enfin, faisant passer une circonférence, ayant son centre sur BO, par les points K et D' qui appartiennent à la courbe de pression, on a, en appelant R le rayon de cette circonférence.
R»=a*4-(R— y)», d'où
équation qui fait voir que le centre 0' de cette circonférence n^est qu'à une distance égale à ^ du point 0 obtenu ci-dessus, quantité négligeable
par rapport au rayon.
On peut donc poser comme règle pratique que, dans une plate-bande, les joints normaux à la résultante des pressions se confondent avec les rayons de la circonférence qui passe par les naissances et par le point d'application de la poussée. Si Ton prend un rayon plus petit, cela n'a d'autre inconvénient que de donner des angles de voussoirs trop aigus» sans utilité pour la stabilité de la voûte ; si l'on prend un rayon plus grand, les voussoirs ont une tendance à glisser.
Une charge uniformément répartie sur toute l'étendue de l'ouverture
de la voûte ne modifie pas le tracé des joints, puisque le rapport - ne
change pas. La pression qui agit sur chaque joint augmente, mais ne change pas de direction.
909. Examinons ce qui se passe au décintrement dans une voûte
dont l'intrados n'est pas sy- Fig. 220. métrique (Jig. 220). Il est évi-
dent que la grande voûte tourne autour du joint de rupture § comme si elle était contre-butée par une demi* voûte symétrique, et qu'elle ne s'arrête que quand la poussée de la petite voûte est devenue égale à celle que produirait la voûte symétrique. Ainsi, dans la grande demi-voûte, tout se passe comme si la voûte entière était symétrique, et la courbe de pression se détermine de la même manière (906) ; mais dans la petite voûte, la poussée devenant égale à celle de la grande voûte, et dépassant par conséquent celle qui se serait spontanément produite, le courbe de pression KN' doit être tracée avec l'intensité de la poussée de la grande voûte (874) ; d'où il suit qu'elle s'avance plus ou moins dans l'intérieur de la maçonnerie, que par suite il n'y a plus de point de rupture à l'intrados, et qu'il peut même passer à l'extrados et renverser la voûte. Le tracé de la courbe de pression ne présente donc pas plus de di£Sculté pour ces espèces de voûtes que pour les voûtes symétriques ; car une fois la courbe tracée dans la demi-voûte où la poussée est là plus
grande, et cela au moyen du point K et du joint de rupture 5 (874) on connaît pour l'autre côté de la voûte l'intensité de la poussée et son point d'application, ce qui permet de tracer entièrement la courbe
(!• du n' 875).
Quant au point d'application K de la poussée sur le joint de la clef il est évident que cette disposition de voûte est de nature à la faire descendre vers l'intrados. En effet, les raisonnements que nous avons faits au sujet des voûtes symétriques ne sont plus applicables (8931 • mais le joint AB se portant à droite de la verticale par suite du léger renversement de la petite voûte en arrière, la pression augmente en B et diminue en A, et la résultante doit descendre vers le point B. Il est donc prudeni de vérifier les conditions d'équilibre de la petite demivoûte et de son pied-droit en supposant que B est le point d'application de la poussée.
910. Les arcs rampants n'étant qu'un cas particulier de voûter non symétriques {fig. 221), on en détermine les conditions d'équilibre en
Fig. 221. opérant comme pour ces dernières
(909). Ainsi, menant une tangente horizontale à l'intrados et par le point de contact le joint vertical AB, on a à gauche de AB un arc dont on détermine les conditions d'équilibre comme pour une voûte symétrique. L'intensité de la poussée étant donnée par cette première opération, on en conclut la courbe de pression pour le petit arc situé à droite de AB. Il est évident que ce procédé s'applique k toute espèce de courbe et à toute espèce d'inclinaison.
91 i. Lorsqu'une vctûte n'e^t pas symétriquement chargée (^^.222), il se passe quelque chose d'analogue au cas des voûtes non. symétri-
Fig. 222. ques (909). Non-seulement le point
de rupture peut quitter l'intrados de la demi-voûte la moins chargée, mais même se transporter à l'extrados.
On commence par chercher le point de rupture 8 du côté le plus chargé de la voûte; ce point se trouve plus bas que dans le cas ordinaire (900 et 901), parce que la tangente a l'intrados en ce point devant rencontrer la verticale passant par le centre de gravité sur l'horizontale menée par le point d'application K de la poussée (899), sera nécessairement plus incliné dans le cas qui nous occupe. Quoi qu'il en soit, on arrivera facilement par tâtonnement k déterminer la tangente ^g passant par la projection sur K^ du centre de gravité de la partie de voûte supérieure au joint de rota^
i6€4 SIXIÈME PAI^TIE.
tion (899). Le point o étant déterminé, on trace facilement la courbe de i|yresmoii ïiiftN (^4); cette courbe présente lin angle en n à cause delà dÎBoeEntinuîfeé 4e ta «harge. La poussée horizontale en K étant connue, on trace Tautre branche Kn'N' de la courbe de pression ; la partie Kn' est symétrique de Kn, mais la partie n'N' s'écartant beaucoup plus de Fintrados fue la parfie itN, îl en résulte que si la culée de droite n'avait pas une épatsBeur suflOsante, elle -serait reii\ersée k rextérleur, poussée par la demî^foûte d« «ôté gauche, qui tournerait autour du point B.
Du cdté de la charge, la courbe de pression rencontrant la hase au ptint N situé tout près de l'intrados, on voit qu'on peut suppléera répaisBeinr de la -eulée par une charge sur les reins de la voûte (905, §06).
•42. Bn réssmé, pour s*«S8urer de la stabilité d*une voûte en berceau, il suffit de tracer sur son profil la courbe de pression, et de s'assurer que cette <oo«<r4>e ne tondue Textrados en aucun point. Pour Irater iacoorèe de presivon, -on cherche d'abord les points de rupture de la voMe, «'«est-à-diire les points .de l'intrados où la tangente passe par ia projection, sur la direction de la poussée, du centre de gravité de la partie de voûte supérieure à ces points («99, 9003. Le point d'applica- Hion ide cette poussée à la def est indéterminé mathématiquement, mais renfermé entre d^s limites assee rapprochées (905 à 911), pour que le oo(BStriioteur soit assurà que, quoi qu'il arrive, l'équilibre sera maintenu.
Le prohlèfne«de latstalnllté d«s voûtes se résout donc complètement à i'aide d'un' procédé graphique tellement simple, que la plupart du temps on peiJrt rétablir à la seule inspection du profil, sans calcul, sans règle et «ans compas.
:9t6. Cwwparawow de îaiivéeirieée M. Dujmît à celle de M. Méry. Dans la théorie de M. Méry (860), le champ où la courbe de pression fcai venir «c placer a*a «Taiitres Kmîtes que celles des voussoirs euxfliâmes; 4aMsiat3iêoirle deM. Dupuit, ilest beaucoup plus restreint: la condition en poi«* de rupture k l'intrados le réduit d'abord de moitié ; la condition d« point de passage de la poussée, tantôt au-dessus, tantôt au-dessous 4e ^amoilsé -de l'épaisseur à la clef, selon la nature de la voûte, le réduit encore à la moitié de ce quir.e&te j[91S). 11 en résulte qu'au-dessus du point de rupture, rindéterminatîon e&t réduite de piluB des trois «qnaJrts; aanâessons, elle disparaît presque entièrement.
M. Méry alftra)ue l'5»*étcrm5na^ion que sa construction graphique laisse à Ha position de lacroudbe de pression au tassement de la voûte, tassement dont on œ sait ipas tenir cowpte avec exactitude (B6i, S88). Ce n*ieâ, dil-iA, q«ue par des considérations plus ou moins incertaines «UT les effets du tassement que Ton pourrait prévoir quelle est ceDe ffu doâft se réaliser, 11 en «st effectivement ainsi ; mais il faut distinguer éssœ le ■wMiTCineat ^es Tofttes deux espièces de mouvements : Tun né- WEisaire, inévitable «et indispensable, q«î a pour résultat d'amener Té- ^iïâsre par la production ^ îa poussée, e^st le mouvement virtuel de relation qui £a»t <|Qe les deax parties supérîcnres de la Tt^ûte s'appuient
DE LA STiSILlTÉ DES VOUTES.
Tune contre Tantre; Tautre aeeidentel, qui tient à la manière dont la voûte a été construite, à la dufeté des mortîerB, «u pliM ou muins de solidité des culées, etc. Celui-ci, en effet, est incertain et inaccessible au calcul, puisqu'il dépend de circonstances tout à fait fortuites; mais, comme la démontre M. Dupait, les résultats de ce mouvement accidentel sont renfermés dans d'étroites limites.
