CONDITIONS DE STABIUTÉ D'UN ASSEMBLAGE DE VOUTES

914. Massif tournis à une force quelconque. Les ponts, les grands viaducs et les édifices étant souvent composés de plusieurs voûtes dont les poussées réagissent les unes sur les autres et modifient leurs conditions d'équilibre, et une voûte unique étant souvent poussée par des terres que soutiennent ses culées, il est essentiel de se rendre compte de Taction des forces extérieures sur une voûte quelconque. De plus, un assemblage de voûtes étant toujours soutenu par des piles ou piliers, de réquilibre desquels dépend celui de la voûte, il s'agit d'examiner d'abord,- d'une manière plus complète qu'aux numéros 876 à 887, l'équilibre de ces massifs verticaux.

Quel que soit le nombre d'étages des voûtes qui reposent sur un pi- Fk. tsi. ^^^'> celui-ci est soumis à une force inclinée R, dont Y B la composante verticale V représente le poids d'une ^"A partie de la voûte, et la composante horizontale Q sa B^ poussée (Jig. 223). Dans sa généralité, le problème ne présente pas plus de difficulté que le tracé de la courbe de pression. Ainsi, à partir du point y, rencontre de la force R avec la verticale passant par le centre de gravité d'une tranche quelconque du massif, prenant gr et gp proportionnels respectivement à R et au poids de la tranche, le point où la diagonale gH' rencontre la base de la tranche considérée appartient à la courbe de pression, dont on peut ainsi déterminer autant de points que l'on veut, gp étant proportionnel au poids total du massif ABDO, It point N est le point où la courbe de pression rencontre la base CD.

(tnoique l'on puisse, par cette méthode, toujours tracer la courbe de pression dans un massif vertical, fl est utile d'avoir une idée précise de la nature de cette courbe, parce que cela permet de réioadre beaucoup de problèmes pratiques k la seule înapecttiMi des figures, et que pour les autres problèmes il suffit de déterminer un petit nmnhra de point». Appelant :

^ Tabscisse de la résultante du poids de la tranche considérée et de la force yerti-

cale Y, en prenant pour origine le point d'application n de la force R ; y rabscisM. du ctnfer» é% gr»f ili du pilier,

réquation générale de la courbe de pression étant (973, 88S)

comme pour un massif vertical et prismatique divisé en assises iiorU zontales, on peut poser

a quantité constante égale au produit pe de la densité p de la maçonnerie par répaisseur e du massif,

et que les forces verticales p et V donnent

?:T = P:(V + î», d'où î = Tvf^ = Tvf^,

remplaçant p et ^ par ces valeurs dans Téquation de la courbe de pression, on en conclut

« V 4- ay *

Cette équation représente une hyperbole. Comme pour y = oo on peut poser

on voit que cette hyperbole a une asymptote verticale située à la distance— -i- Y du point n, c'est-à-dire à la distance —du centre de gravité

du massif. D'après l'équation (1), cette verticale est celle qui correspond au cas où V = 0, c'est-a-dire au cas où il n'y a qu'une poussée horizontale Q; nous avons vu, en effet, que dans ce cas la courbe de pression se réduit (fig. 203) à la droite gN, qui est parallèle à la verticale ^G contenant les centres de gravité.

Si le pilier n'est soumis qu'à la force horizontale Q appliquée au point extérieur B, l'équation (2) donne pour a; = e, c'est-à-dire pour le cas où la ligne de pression se confond avec l'arête extérieure AC, en remarquant que a = pc et 7 = 0^»

On peut arriver à cette formule en égalant simplement les moments des forces par rapporta l'arête extérieure C; ainsi l'on a, II étant la hauteur du massif,

QH = peHx-,

et cette équation donne bien pour e la valeur ci-dessus, qui est indépendante de H parce que la ligne de pression se confond avec AC.

Pour û = 9000 kilog. et p = 2000 kilog., la formule (3) donne e = 3pour l'épaisseur de culée mathématiquement suffisante pour une hauteur quelconque.

De ce qui précède, il résulte que dans un pilier vertical qui sert de culée à plusieurs étages de voûtes ; la courbe de pression se compose d'une série d'arcs d'hyperbole placés Fun à la suite dé l'autre, et qui sont concaves vers la poussée résultante.

915. Conditions de stabilité de deux voûtes qui s* appuient sur un même pilier et qui ont les naissances à la même hauteur.

Il est évident que si les deux arches sont égales, la courbe de pression dans le pilier se réduit à une verticale, comme si les voûtes n'existaient pas (877), et que dans chaque voûte la courbe de pression est celle qui se réalise dans le cas d'une voûte unique égale comprise entre deux culées immobiles (874).

Il n'y a donc lieu de s'occuper que du cas où les voûtes sont inégales {fig. 224). Traçons dans les deux voûtes, depuis la clef jusqu'aux

Fig. TU.

naissances, les courbes de pression KD, K'D', comme si le pilier était immobile (905). Au-dessous du joint horizontal DD', la courbe de pression devient une branche d'hyperbole DN qui a pour équation, en prenant le point D pour origine des axes (914),

Qi) Qs poussées horizontales des deux voûtes, agissant Tune en D et l'autre en D';

p poids du pilier au-dessus de Tassise considérée, y compris celui des deux demivoûtes ;

f abscisse de la résultante des forces verticales qui agissent sur le pilier, c'est-k-

dire du poids de la grande demi-voûte appliqué en D, de celui de la petite demi-voûte appliquée en D' et de celui du prisme DD'G.

Si la courbe DN sort du pilier, ce pilier sera d'abord renversé en tournant autour de l'arête S; pendant ce mouvement, une courbe dynamique passant par ce point se formera; mais le pilier, en se renversant, poussera la voûte de gauche sur la culée D'T'; ce mouvement tendra à fermer le joint D'C et à faire descendre le point K' vers b; cette poussée se transmettra en D", et si la culée D^T'S'L n'est pas renversée, ce qu'on reconnaîtra par le tracé de la courbe de pression, l'équilibre se maintiendra.

Pour effectuer ce tracé, il suffit de donner k Q, la valeur qui a pour

166$ SIXIÈME PJIBTIE.

effet de faire passer la courbe de pression p«r le point S, Talevr qu*<m déduit de Téquatioa suivante, obtenue en considérant Téquilibre du pilier par rapport k Taxe de rotation S,

Q,A+(5P+P')e=0,A, d'où Q.=0*-(5r>l»')|. W

A hauteur du pilier DT ;

e épaisseur de ce pilier ;

p p«id» d» et même pilier;

p' poida àt la demi-Toâte BO ; le poid* de la d«iiii-Taûtfr 60' était q>pKqné «h D^ se

néglige, puisque sen momenl est nui ;

Qi poussée horizontale de la grande yoûte, appliquée en U;

Q2 poussée horizontale de la petite voûte , appliquée en D'.

A Faide de cette valeur de Qt ^^ ^^ point de rotation Dr, on pourra tracer Ja courbe de pression dans la petite voûte (2* du n* 875). Si son sommet se trouvait plus bas que 6, cela indiquerait que la courbe de pression ne passe pas par la naissance D^ et Ton prendrait sur le joint D'G un point plus élevé, de manière à obtenir ce résultat. On ne peut pas^ affirmer que cette courbe sera celle qui se réalisera, parce que des vices de construction peuvent changer le point d'application de la poussée à la clef; mais ce sera du moins une courbe parallèle, et le constructeur pourra prendre celle qui sera le plus défavorable à l'équilibre. Une fois ce parti pris, on tracera la courbe de pression symétrique dans Tautre demi -voûte, puis dans le massif D"T'S'L formant culée, et si cette courbe ne sort nulle part de ce dernier massif, tout le système de voûtes sera en équilibre. Gela tient à la résistance de la culée extrême D'^T'S'L, sur laquelle se reporte la poussée de la grande voûte par rintexmédiaire de la petite voûte.

Puisque, pour que la petite voûte puisse reporter sur sa culée la poussée de la grande voûte, il faut que la courbe de pression ne sorte pas de son profil, comme on a, en prenant le sommet de la courbe de pression de la petite voûte pour origine des axes (2" du numéro 875),

y' flèche de la eoiirbe de pression dt la petite voûte pour la. dsafr^inwrtare xf de

cette voûte; p" poids d& la demi-voùte hW \ Ç' abscjjsse du centre de gravité de cotte denû-yojute,

ou en faisant y' =/, «* = a et en remarquant qu'on peut supposer

%f^ira. roù /=^, m

on voit qa«/ii*aii§fment& qwe prop<>rtionnelïem«nt à p^, ptristpie a est inTariable et aussi Q, éf aprë» Féquation (f ) quî est ind>éperTdante de la* petite- vo>#te. Si la poussée Q, est très-grande, la flèche/ est trèspetite, et il peut arriver que la courbe de pression ne puisse pas se loger dans le profil et la voA^e, diont la montée ^tf^î être quefeonque.

DE LA STAEIUTÉ DBS VOUTES.

iftet

Supposons, par exemple» qu'on ait substitué à la petite voûte surbaissée de la jfy. 224, le plein cintre de hijig. 23Su Dana cette disposition, la courte de pression dans la petite voûte passant, même daas

Pîg« 2Ï5,

la position la plus favorable, au-dessous de la clef, Téquilibre ne peut avoir lieu ; la culée n'est pas renversée, il est vrai, mais le pilier intermédiaire le sera, et la petite voûte sera soulevée a la clef.

On voit quAj, dans ces circonstances, les, platesrbandes ou kft voûtes très-surbaissées sont les plus favorables poiur tranemeAtre des pressions horizontales. Du reste, remarquons-le en passant, à moins de conditions d'architecture bien impérieuses, la disposition de la Jig. 224 doit être rejetée dans la pratique, parce que le pilier intermédiaire reposant par Tarète S supporterait dans sa partie inférieure des pressions tellement considérables, qu'elles pourraient amener Técrasement des matériaux (871, 872). Si rien ne s'y opposait, il faudrait tâcher de ramener la courbe de pression vers le milieir de ST, en chargeant soit la petite voûte, soit le pilier, soit même la grande voûte près des naissances, ou enfin augraentir Tépaissevr do pilier (905, 906, 94l)>.

Cest là même une observation générale qm s'applique à tous les cas que nous allons considérer. Dans une construction solidement établie, telle que celle qu'exigent les trav»nx publics, la courbe de pression ne doit pas passer par les angles des piliers qui la supportent, quoique dans ces conditions l'équilibre puisse être trèsrstable. Donc si, comme dans la Jlg. 224, on trouvait par le premier tracé que la courbe de pression naturelle sort des piliers conutte DN, au Heu de chercher la courbe de pressieo définitive^ il serait préférable de modifier les dispositions du projet, de manière a ramener la coarbe de pression naturelle dans l'intérieur des bases, cas dans lequel elle se confond avec la courbe de pression définitive.

Il semblerait, d'après cela, qu'il n'y a pas lieu de s'occuper du cas oè les voûtes se poussent les unes sur les autres ; mais le constructeur nedoiit rie» ignorer' de ce qui concerne Féquilîbre des constructions; de plus, il peut sereneonfirer des eirconstantes exeeptionnelles qui obligent & avoir recours à cet [expédient; enfiin, dans les grands ponts, par économe^ toutes les arches ne sont pas construites à la fois, et

SIXIÈME PAETIS.

Ton tire parti de la poassée réciproque des voûtes pour obtenir leur équilibre provisoire sur des piles qui sont loin d'avoir Tépaisseur nécessaire pour résister comme culées.

916. Ainsi supposons qu'on ait plusieurs petites voûtes placées à la suite de la grande (fig. 226), et cherchons comment s'établit la poassée d'une voûte à l'autre.

Fig. tîô.

La formule (1) du numéro précédent donne encore pour ce cas la poussée Q, de la première petite voûte, ainsi l'on a

Considérant l'équilibre du second pilier, on conclut de même pour la poussée de la deuxième petite voûte,

p poids du deuxième pilier, supposé le même pour tous les piliers ; p" poids de la moitié de la presiière petite Toûte ; nous supposerons que toutes les petites Toutes sont égales et (jue par suitep" consenre la même valeur pour toutes ces voûtes»

Considérant l'équilibre du troisième pilier, on a de même

et ainsi de suite. Ces valeurs successives montrent que la poussée décroît d'une voûte a Fauire, suivant une progression arithmétique décroissante dont la raison est

Par conséquent, élevant sur le milieu de la première petite voûte une verticale proportionnelle à Q„ et sur le milieu de la seconde petite voûte une verticale proportionnelle à Q,, joignant les sommets de ces deux lignes, on obtient une ligne inclinée qui détermine la poussée de chaque petite voûte et, par son point de rencontre avec l'horizontale 11, le nombre n de petites voûtes nécessaires pour faire équilibre à la

grande voûte. On peut déterminer analytiquement ce nombre n en faisant la somme des équations précédentes, ce qui donne

et en égalant à 0 le second membre de cette équation. Ainsi on peut faire équilibre à une voûte par une série de petites voûtes accolées à la culée; ce n'est certes pas un moyen économique, mais des convenances architecturales peuvent conduire à adopter cette disposition.

Il est à remarquer que quoique les petites voûtes soient toutes égales, la courbe de pression est différente dans chacune déciles, car elles sont soumises à des poussées différentes; la flèche de la courbe augmente à mesure que la petite voûte s'éloigne de la grande, précisément en raison inverse de la poussée (formule (2) du n*" 915). On voit ainsi se réaliser dans une même voûte cette infinité de courbes de pression possibles qu'admet la théorie de M. Dupuit et qui sont, il est vrai, toutes compatibles avec l'équilibre de la voûte, mais qui ne peuvent se produire que sous l'influence de forces extérieures.

917. La poussée horizontale d'une voûte étant la même dans tous les voussoirs, il en résulte qu'on peut contre-buter un^ voûte par une demi-voute de même rayon [fig. 227). Alors, dans le pilier intermé-

Fig. 227. diaire, la courbe de pression

se réduit à une verticale,

comme dans le cas de deux

yi^^ voûtes symétriques (915), et

la hauteur de la culée étant diminuée de toute la flèche de la voûte, cela permet d'en réduire considérablement l'épaisseur.

918. Arcs'houtants. C'est sur ce principe qu'est fondée la théorie des acs-boutants, qui diffèrent du cas des fig, (224, 225 et 227), en ce que la seconde voûte n'est pas continue. Quoiqu'il en soit, la poussée que ces arcs doivent fournir se calcule comme pour le cas de la/^r. 224. La poussée Q, pour toute la longueur de la voûte étant obtenue a l'aide de l'équation (915)

Q.= Qi-(|p + P')j.

on la partage entre le nombre n des arcs-boutants, puis, au moyen de la poussée trouvée pour chaque arc-boutant, on détermine la courbe de pression dans chacun d'eux et dans sa culée, à laquelle on donne une épaisseur sufiisante pour prévenir le renversement. On peut diminuer cette épaisseur en chargeant la partie supérieure de la culée.

919. Conditions de stabilité de deux voûtes qui s" appuient sur un même pilier f et dont les naissances ne sont pas situées à la même hauteur. Si

iin&

SIXIÉHlS r^ATiV.

dftns la fi^. 934 la petite ¥Oùte était descendue paraHèlement à ettemême et de manière que sa naissance se trouTe au-dessoas da poûnt N, il est évident que la grande voûte ne serait pas en équilibre. La naissance de la petite voûte doit donc se trouver au-^s»us du point N pour que l'équilibre soit possible. Dans cette hypothèse, et en supposant que la naissance D'de la petite voûte se trouve plus bas que celle D de la grande voûte [fig. 228], pour que le pilier intermédiaire ne s<Ri

Fig. 228.

pas renversé, on doit avoir (formule (1) du n* 915]

d'où

tel

ff brss de Fevier îfT de la poussée Q| de la

grande YtOte, appliquée en D; h bras de leûer D'& de la pevsaée Q^ de ia

petite Yoûte, amP^'P^^ eu 0' ;

p poids tolal du pilier intermédiaire;

p'et e ont les mêmes significations que dans la formule (1) du n» 915.

La poussée Q,de la petite voûte étant plus grande dans ce cas que quand les naissances des deux voûtes sont au même niveau (915), la courbe de pression y aura une flèche moindre, et la voûte devra être plus surbaissée pour pouvoir contenir cette courbe; elle devra être une plate-bande, par exemple. Du reste Qs étant déterminée, on trace la courbe de pression, qui ne doit sortir en aucun point ni de la voûte ni de la culée.

Si la naissance de la petite voûte est au-dessus de celle de la grande Fie. 2î». i^g- 229), réquation qui donne la

valeur de Qs est la même que cidessus; mais h étant plus grand que H, Qs est plus petit dans ce cas que dans le précédent, et la courbe de pression a une flèche plus grande.

Il peut arriver cependant que Q, soit assez grand, c'est-à-dire la flèche de la courbe de pression assez faible, pour que cette courbe prenne une position K'n; alors le point 71 étant au-dessus du po-înt F, il ne pent y a^oir équiîibire;. Si la courbe de pression de la petite voâte sort dn pilier au-dessous du pcnnt F, c*est>k-dire vient rencontrer le joint de naissance de la grande voûte, elle modifie la courbe GN, qui devient fiS. Le pilier intermédiare est alors en équilibre, et il ne reste phis qu'^k vérifier, par le tracé de la courbe de pressian, s'il en est de même pour la culée. Si la entée était remplacée par une série de ▼oàtes quelconques, oa

ilTS

Fig. Î30.

trouveraât por le même procédé les poussées Q,, Q^ ... relatives à ces voûtes, ce qui permettrait de tracer les courbe» de pression racéessives (916).

Si le pilier intermédiaire e«t soutenu par deux étaf^es de Ti>àles ou

par un pins grand nombre (fip. 230)., il devient impossible de déterminer exactement la poussée de chacune des petites voûtes. C'est une indétermination inévitable et de même nature qne celle qui existe an 8ii|et du point d'appKcation de la poussée (B93;). L*éqo3ikre est, en effet, corn*patibleavec de» intensités de poussée très-différentes dans^les deux petite»

voûtes; ainsi on a, pour déterminer Q, et Q',, réquatioD nniqoe, obtenue en égalant les moments pris par rapport au point S , des forces qui agissent sur le pilier intermédiaire,

QJi + Q',/i'«QtH- (^p -p')e.

Q^ poussée de In ]M)tite yoûte supéneure; h hauteur D'S de son pilier; Q'j poussée de la petite Toûte inférieure ; h' hauteur l^'S de flon pilier.

Les aotses lettres ont les niêmes significations que ci-dessus.

Il ne suit pas de là qu'on peut donner à Qj et Q', des valeurs quelconques depuis zéro, quoique ces valeurs satisfassent à cette équation; il est évident que ces quantités ont au moins Tintensité due au poids et a la flèche de chacune des petites, comme dans les cas où le pilier serait immobile. De plus, si Ton suppose que la résultante passe par le pied^du pilier SL, il y a un commencement de renversement de ce pilier, qui a pour effet de déplacer les naissances D' et D*^ de quantités proportionnelles à A et h\ II est donc permis de supposer, comme approximation, que les poussées sont aussi entre elles comme les hauteurs, c'est-à-dire qu'on a '

Q'i:Qi = h':h, d'où

Cette équation, cennbinée avec la précédente, donneraît Q, et Q',, ce qui permettrait de tracer la courbe de pression dans la culée. Ce procédé ne donnant qu'une approximation, il ne mériterait pas grande confiance s^îl s'agissait de trouver les dimensmnfr-limitesi de FéquililH*e ; mais comnw dans îa pratique on se tient toujours loin de ces limites^ l'erreur qu'on peut commettre en le suivant ne saurait avoir de consé^ quences lâcheuses..

920. Dans les exemples que nous venons d*examîner (915 à 919) et dans tous ceux qu*on pourrait se proposer, on voit qu*il s'agit toujours d'établir les conditions d'équilibre du pilier intermédiaire. Pour cela on commence par y tracer la courbe de pression dans Thypothèse où les voûtes auraient leur poussée naturelle, c'est-à-dire où elles agî> raient seules. Si cette courbe de pression est contenue tout entière dans le pilier, le problème est résolu; mais si elle en sort, cela indique que le pilier pousse les voûtes du côté où il doit se renverser. On cherche alors quelle doit être la poussée de ces voûtes pour que l'équilibre sojt rétabli (915), ce qui détermine la poussée des voûtes pressées et leurs courbes de pression. Si la forme des voûtes pressées permet k la poussée d'atteindre l'intensité voulue par l'équilibre, il ne reste plus qu'à vérifier si la courbe de pression ne sort pas de la culée. Si au lieu de culée il y avait un second pilier et d'autres voûtes, on procéderait pour ce second pilier comme pour le premier, etc. 021. Cas â^une voûte qui s'appuie directement sur une autre sans r intermédiaire d'aucun pilier. Soit, par ^' exemple, un évidement sur une pile

^ j — J — de pont dans le genre de ceux qu'on

/"X^^j^^:::illi:::::vj^^^j?^ exécute aujourd'hui {Jig, 231). D'abord

' la courbe de pression se détermine dans la petite voûte comme dans le cas le plus simple (874), elle passe à la naissance et en un point de la clef qui est d'autant plus élevé que la grande voûte s'abaisse davantage au décintrement. Dans la grande voûte, si elle était isolée, la courbe de pression serait K8N, qui correspond à la poussée Qo facile à déterminer puisque le point de rupture 8 serait connu (900) ; mais la présence de la petite voûte donnant naissance à une force extérieure appliquée en M situé au-dessus du joint de rupture, la poussée de la grande voûte augmente, son point d'application descend légèrement en K', et le joint de rupture 8' se trouve au-dessous de 8. Pour avoir une valeur approchée de la nouvelle poussée Q , appelons, en supposant Q appliqué en R que nous prenons pour origine des axes :

^0) ^0 l^s coordonnées du point de rupture S de la grande voûte quand la petite

Yoûte n'existe pas ; x'y y' les coordonnées du point de rupture 6' qui se produit quand la petite voûte

agit; on choisit d'abord abitrairement 6' un peu au-dessous de S ; x"y y" les coordonnées du point M ;

Pot p' les poids de la portion de la grande voûte de B en 6 et de B en 8' ; p" le poids de la petite demi-voûte, appliquée en M ; io, S' les abscisses des centres de gravité des portions de voûte BÔ et B8' ; % la poussée de la grande voûte, indépendamment de la petite voûte ; Q la poussée de la grande voûte eu égard à la petite voûte ;

R la poussée horizontale de la petite voûte, appliquée en M ; les forces p" et K

«ont les composantes de la pression que la petite voûte exerce en M sur la

grande voûte, tangentiellement à la courbe de pression de là petite voûte.

On a pour l'équation d'équilibre autour de l'axe S'

Qy'=p'(x'— Ç') + p"(aj'— *") + R(y'-y").

Le premier terme de la valeur de Q diffère peu de ^-^^-^ — ^= Q^,

qui correspond à la poussée Qo du cas ordinaire (il est un peu plus petit, puisque le point dont les coordonnées sont x^ et y^ est celui qui

donne le maximum à la fonction ^ ^ ), on peut donc le remplacer

par Qo. Le second terme de la valeur de Q est en général fort petit et d'autant plus négligeable, qu'on a augmenté la valeur du premier. On a donc appoximativement

Q = QoH-R-R|Î^- (i)

A l'aide de cette valeur de (J, facile à calculer à priori, on tracera d'abord la courbe de pression depuis le point K', qu'on peut prendre un peu au-dessous de K, jusqu'au point n', en composant, comme à l'ordinaire (874), la poussée Q avec le poids de chaque voussoir de la grande voûte ; puis la partie n'N', en remarquant que la pression en M de la petite voûte sur la grande a pour composante horizontale la poussée R, et pour composante verticale lef poids p'\ Or la poussée R,

transportée de M au niveau de la poussée Q, diminue Q de R^^ — ^ =

R — R^; par conséquent, pour la partie /a'N', la poussée devient Q^

d'après l'équation (1), et permet delà tracer. Ainsi, menant une verticale par le point d'application de la résultante du poids de la portion de voûte B8, par exemple, et du poids p" appliqué en M, prenant sur cette verticale, à partir du point où elle rencontre l'horizontale menée par K', une longueur proportionnelle à cette résultante, et sur cette horizontale une longueur proportionnelle à Qo, la diagonale du parallélogramme de ces deux forces rencontre le joint passant par S en un point de n'N'.

Si l'on a pris pour Q une valeur un peu trop faible, la courbe KVN' coupera l'intrados en deux points, et l'on prendra le milieu entre ces deux points pour le nouveau point de rotation. Si l'on a pris, au contraire, une valeur trop forte, la courbe K'n'N' sera tout intérieure, et Ton prendra sur l'intrados le point qui en sera le plus voisin pour point de rotation. Il n'est même pas nécessaire de calculer d'abord une valeur approximative de Q, on peut lui attribuer de suite une valeur arbitraire plus grande évidemment que Qo; le calcul préliminaire ne fait qu'abréger le tâtonnement.

î)22. Voûte consolidée par des armatures. Si dans la voûte de la

Ifl6

s HW T

fig. 232, on ne solidifie par des «nnatures que la partie ioférieure au

point de rupture B, il est évident que la courbe de pression KSN ne sera pas ebangée, et que le renversement de la voûte se fera comme dans le cas ordinaire. Mais si les armatures s*élèTent jusqu'en V situé aii-4essais de S, la poussée diminue» le pied N' de la courbe de pression, qui devient KS'ii'N', s'avance vers T à mesure que ^ monte davantage, et finit par Tatteindre pour un certain point ^ où la poussée atteint son minimum. Pour ce point o^, la pression que la demi-voûte incomplète B^" exerce au point B" sur le monolithe h'T ne fait que suffire k Téquilibre de ce monolithe, en Tempêchant de tomber en avant; on a, en prenant les moments par rapport au point T,

Px'= Qy — px.

P poids eu m<militke 6*^ ;

X distance honzontale da ceoftre de gravité de ce monolithe au paai T ;

p poids de la demi-Toûte 65", supposé appliqué au point 5";

Q poussée horizontale de la demî-voûte B^", supposée appliqfuée en ^; p et Q soat

les composantes Teilicale et horâoBtale de la |Nressi(« ^n la éani-v0ûte W

eKMce en V sur le moQolitlie <'T; X, y distances horizontale et yerticale du point B'' au point T.

Si à partir de S" le monolithe augmente aux dépens de la petite voûte, c'est alors lui qui pousse la voûte, de sorte que la poussée de la voûte reste constante, et la courbe de pression conserve la position Rd^; il «st donc inutile que le monolithe s*élève plus haut que le point ^'.

Il est k remarquer que dans ce cas Téquilibre n'exige plus que la KSùurbe de pression soit tout entière comprise dans la surface de la voûte, elle peut en sortir dans toute la partie qui forme monolithe, qui alors résiste par la cohésioai des matériaux.

925. Dans le cas où c'est la partie supérieure ABIE qui forme monolithe i^g. 232), cette partie ne pousse pas, et il suf&t de déterminer la poussée de la partie inférieure* Pour cela, on la considère comme une voûte en ogive chargée à la clef d'un poids égal à celui de la partie de voûte BI. On détermue le joint de rupture S^ en cherchant sur Tintrados le point où la tangente à cette courbe vient rencontrer l'horizontale IQ, au même point g que la résultante du poids qui agit en I et du poids de la partie de voûte 1S| appliqué au centre de gravité de cette partie. Le poiut \ étant déterminé, on en déduit par les procédés ordinaires la courbe de-pression (874J. On reconnaît facilement que Tannature de la partie supérieure de la voûte fait descendre le point de rupture, et qu'elle diminue d'autant plus la poussée que le monolithe supérieur est plus considérable.

DE LA SrABlilTi DES VOUTES.

¥ig, 233.

M4. L'exejnple précédent résout le cas des tirants en fer qn*on place fuelquefoîs dans les routes, surtout dans celles qui couTretit.deB édifices trèsréleYéSv afin de réduire la poussée et jMir sutte l'épaisseur des «iilées.

Si le tirant se trouve au-dessous du joint de rupture (JSg. 233, côié

gtttiehie)^ k mouvenient de la voûte se fiiit oocnme dans ie <cas ordiiaire; mais l'épaisseur de ia ailée peut être réduite, puîaqpe ia pousaée est détruite par le tirant conveaaiUeaieatserné. Lacourlie de pression qui eût été K^ et indiqué que la cuJëe n'est pas en équiîjlire, devient KW,

Si le tirant est placé au-dessus du joint de rupture IJig. S33, oôié droit}^ il a pour ftfet de détruire la poussée horizontide de la partie de voûte qui lui est supérieure; celle-ci ne fait jusque presser verticalement, le poids de BI est appliqué en I, el la «Murbe de pression^ au Jieu d'être Kâ^ll, devie»t Kô'^N'.

92S. Voûtes en dôme. Dans les ouvrages qui traitent de la stabilité des voûtes, on ramène le problème de la stabilité des dômes a celui des voûtes en berceau, en considérant une petite portion de ces dômes comprise entre deux plans méridiens verticaux (>^«23&). L'équilibre de cet

élémetit ABDG du dôme peut alors se calculer de la même manière que celui d'une section de la voûte en berceau, en ayant soin de eaicmler le poids et la position du centre de gravité des portions de voûte depuis la clef jvsqu'au Joint considéré, non d'après la surface méridienne, mats d'après le solide. On peut imaginer, du reste, un extrados 'fictif ANV, tel que taisurface ABSN comprise entre fe clef et un joint quelconque ^N sort proportionnelle au -volmue correspondant kKn de l'élément de voûte. Alors on pourra «pérer aTec cet extrados comme sH s'agissait d'une voôffce en berceau. A l'aide de la^^. t34, on voit que le joint de rupture B est plus bas que dans la voûte en berceau extradossé parallèlement, puisque p<onT un joint quelconque <W, l'abscisse K^ du «entre de gravité du profil ABMIY est plus grande quel'abscisae du centre de gravité de ABSn, et que par suite 'k tangente ^ s'approche plus de ia vieiÊcale (999).

Ayant l^s deux points K et 8 de la courbe de pineasioa, on peuttracer cette courbe dans toute la portée du dôme et dans le mur circulaire qui le supporte (874). Cette courbe représenterait l'état d'équilibre du dôme

Fig. 234.

1(P78 SnUÈHB PAftTIE.

et de son pied-droit si la maçonnerie était établie par plans méridieiis juxtaposés sans aucune liaison entre eux ; mais comme au contraire des liaisons nombreuses sont établies dans les assises horizontales, et rendent difficUe la division suivant les plans méridiens, il en résulte que s*il y a équilibre dans l'hypothèse d'une division en plans méridiens sans liaison, il y a à plus forte raison équilibre dans le mode de constmctioa ordinaire, et que même s*il n'y a pas éqnUibre dans cette hypothèse, on ne doit pas en conclure que l'équilibre n'existe pas dans le mode ordinaire de construction. L'hypothèse des plans méridiens verticaux ne représente donc pas exactement la résistance de la construction. De plus, il faut complètement l'abandonner quand le dôme est percé à sa partie supérieure par un vide circulaire, comme cela arrive souvent dans les édifices, où ce vide est surmonté d'une tour appelée lanieme; l'assimilation à la voûte en berceau devient impossible, puisque ce genre de voûte exige une clef.

926. Avant d'examiner comment s'établit Véquilibre des dômes tronqués^ rappelons la formule suivante, qui découle du théorème bien connu de mécanique : Quand une couronne circulaire est pressée wkLJoT' mément sur tout son contour par une force constante qui agit suivant son rayon, selon que cette force agit de l'intérieur vers l'extérieur ou de l'extérieur vers l'intérieur, la tension tangentielle du cercle dans le premier cas ou sa compression tangentielle dans le second est (388)

T = FR, d'où F = ^. (1)

T tension on compression tangentielle en chaque point de la couronne; F force agissant suivant les rayons de la couronne, par mètre de longueur de sa circonférence ; R rayon de la couronne, en mètres.

Cela posé, si l'on imagine qu'un dôme soit décintré avant que la clef ne soit posée, ou qu'il entre dans la nature de la construction d'avoir un vide circulaire à son sommet, il est évident que pour cela la partie inférieure ne tombera pas, et qu'il n'y aura qu'une légère inflexion vers l'intérieur de la partie supérieure au joint de rupture; ainsi, l'intrados deviendra B'B, de BS qu'il était avant le décintrement (fig, 234}. 11 en résulte que les assises horizontales du dôme, qui forment des espèces de couronnes, diminuent de diamètre, d'où naît une force tangentielle T, qui donne lieu à une force horizontale F dirigée suivant le rayon. Cette force horizontale maintient l'équilibre de l'assise ou voussoir sur son joint, en faisant l'office de poussée.

Il est naturel de supposer que la compression tangentielle pour chaque assise est proportionnelle à la diminution du développement circulaire de l'assise, ou mieux à la diminution d'un mètre de ce développement; par conséquent, en appelant £ le coefficient d'élasticité de la maçonnerie, on peut poser (251)

^ 2irR — ^iz^' ^ R — R' ^- 2ÏS *^=-R— ®-

Remplaçant T par sa valeur ci-dessus en F, on peut poser^ aussi

R — R' allant en diminuant d'une manière sensiblement régulière depuis le sommet du dôme jusqu'au point de rupture B, tandis qu'au contraire R croît comme les rayons des assises, par ce double motif, la valeur de F décroît rapidement à mesure que R augmente. Ainsi en prenant à partir de la verticale 8V [fig, 235), sur les horizontales menées au niveau de chaque assise, des ab- *^* *^^* scisses proportionnelles aux poussées F rela-

tives à ces assises, on obtient la courbe Fn8, qui fait avec W un angle plus aigu que la droite F8. L'aire 8VF7i de cette coube représente la poussée Q du dôme tronqué, et cette poussée passe par le centre de gravité de cette aire. Pour calculer exactement l'intensité de la ^ ^ 0 poussée et son point d'application, il faudrait

faire des hypothèses sur la courbe FnS (899), et Ton conçoit que les résultats obtenus ne peuvent pas avoir beaucoup d'exactitude. Ce que nous avons voulu surtout mettre en évidence, c'est que la poussée, au lieu d'être constante pour tous les voussoirs comme dans la voûte en berceau, prend une valeur différente pour chaque assise, de sorte que le tracé de la courbe de pression a lieu d'une manière différente. Ainsi, pour trouver son point de passage sur un joint donné, on doit d'abord, comme pour la voûte en berceau (873), chercher non-seulement le poids de la partie de voûte supérieure au joint et l'abscisse de son centre de gravité, mais encore la résultante des poussées des diverses assises supérieures et son point d'application, résultante qui croît et point qui descend à mesure que l'on considère un joint placé plus bas ; avec ces éléments, on détermine le point de passage par le procédé ordinaire.

Ce qui précède s'applique aux dômes complets comme aux dômes tronqués. On peut se demander cependant si dans un dôme complet la poussée k la clef ne peut pas tenir lieu des poussées des assises suc* oessives, et faire que ces poussées ne soient pas indispensables à l'équilibre; mais pour être convaincu que ces poussées se développent, il suffit d'observer que, même dans un dôme complet, il se produit un tassement général qui fait descendre la clef de B en B' [fig. 234), et qu'alors toutes les assises circulaires se resserrent et donnent naissance à ces poussées.

Nous devons dire cependant que si la voûte est bien construite, la poussée ne doit pas prendre de valeur finie à la clef, formule (2), et que ce qu'il y a de plus rationnel à supposer, c'est qu'elle croît graduellement depuis le joint de rupture jusqu'au sommet suivant une loi inconnue. Quoi qu'il en soit, il résulte de cette analyse que le point d'application de la résultante des poussées est sensiblement plus bas que

mo simÉVE partr:.

ne le donnerait Fhypothèse des onglets compris entre deux plans méridiens. Or, comme la tangente à Tintrados au point de rupture doit rencantrer la direction de la résultante des poussées au même point que la verticale qui passe par le centre de gravité de la partie de voûte supérieure (899), il s'ensuit que rabaissement de la résultante des poussées doit relever le point de rupture. Pour s'assurer de cejlte cmiséquence, supposons qu'on ait déterminé le point de rupture B ( fi,g, 231^ ottrrespondant au point d'application K, la tangente ^g coupera la di-

rection ÏLg de la poussée au même point g que la

verticale menée par le centre de gravité de la partie

— f^ — ^J^ (Je voûte supérieure au point 8, tandis qu'elle cou-

^'f^^ — -jK' pera la droite K'^r' en g' plus éloigné que g de la

le \ droite KK'. Il faudra donc remonter sur l'intrados

/^\ i en ô' pour que la tangente ôy rencontre la nouvelle

y^ ^^^-^^ '\^ i direction K'^' de la poussée au même point ^" que

[ ^Il>:J 1* verticale passant |Mir le centre de gravité de la

^ ^ partie de voûte supérieure au point 8'.

En résumé, la forme sphérique de la voûte fait baisser le point de rupture par rapport à la voûte en berceau, tandis que la résultante des poussées dues a la oompression des assises circulaires le fait remonter. On peut donc admettre que ces deux influences contraires se neatralisent, et que dans le dôme le joint de rupture est situé à peu près à la même hauteur que dans la voûte en berceau (900). Pour le déterminer exactement, il faudrait faire une hypothèse sur la position de la poussée, et ici le champ de l'incertitude est beaucoup plus considérable que dans les voûtes en berceau, parce que dans ces dernières voûtes la poussée passe nécessairement dans l'épaisseur de la clef, tandis que dans les dômes la résistance des poussées peut être au-dessous.

On remarquera qu'au-dessous du joint de rupture ^ même un peu au-dessus, la courbe de pression peut se tracer par le procédé ordinaire, c'est-à-dire en supposant la poussée constante en intensité et en direction; on pourrait donc chercher le point de rupture par des tâ- <lonnements analogues à ceux que nous avons indiqués pour les voûtes en berceau (ââ9). En commençant le tracé de la courbe par le jotat de naissance sur lequel on se donnerait un point, om. éviterait la complication qui résulte de la nature spéciale de la poussée.

Âu^essus du joint de rupture, to^utes les assises dm dème sont de plus en plus contractées ; au-dessous de ce joint, elles sont entendues par la poussée. La poussée totale du dôme étant (873t)

fj poids de la calotDe mu-deasus du joânt de ropture;

y hamteur du point d'application de la poussée au-dessus du poiut de rupture ;

X distance du point de rupture au centre de la voûte ;

Ç distance du centre de gravité de l'onglet au centre de la Toftte,

la ponssée par mètre courant de la circonférence du «aur qui le si»p-

DE LA STABILITË BES VOUTES. l^gl

porte est —, et la distension de ce mur suivant un plan méridien ver-

tical est, d'après l'équation (1), ^. Ce mur ne pouvant être renversé

qu'autant qu'il se forme une disjonction suivant un plan méridien vertical, on voit que ce renversement ne pourra avoir lieu qu'autant que la cohésion sera vaincue. Si donc il se forme défi fissures verticales dans la tour qui supporte le dôme, elles se produiront nécessairement suivant les génératrices qui se trouvent interrompues par des portes, fenêtres ou ouvertures quelconques, et qui, par suite, présentent le moins de résistance. Il suit de là aussi qu*on peut empêcher le renversement de la tour au moyen de cercles en fer placés au-dessous du joint de rupture. Presque tous les dômes sont pourvus de ces armatures qui tiennent lieu des tirants dans les voûtes en berceau (92iJ, mais qui ici ne sont pas apparents et ont aussi l'avantage de ne rien enlever à l'élégance et à la hardiesse de la construction.

D'après ses conditions spéciales d'équilibre, faon-seulement un dôme n'a pas besoin d'être fermé à la partie supérieure, mais aussi il peijit être ouvert suivant des plans méridiens, pourvu que l'arc coqsenjé dans chaque assise soit assez grand pour que la tendance de l'assise ^ à augmenter de rayon ne puisse pas faire glisser les pierres extrêmes. L'onglet compris entre deux plans méridiens quelconques et limité à la clef est en équilibre, si les assises sont des monolithes et que Javerticale menée par le centre de gravité de l'ensemble des assises supérieures tombe vers l'extérieur de la voûte par rapport à la corde de l'assise inférieure. Dans un hémicycle, si toutes les assises formeat monolithe, il y aura équilibre, puisque aucune d'elles ne peut tourner autour de son diamètre. Si les assises de l'hémicycle sont composées de voussoirs, chacune d'elles peut être considérée comme une voûte placée sur la surface conique de l'assise inférieure, et alors le frottement suffit pour empêcher toute dislocation. On peut du reste ajouter à l'effet de ce frottemeat, à l'aide d'un mur de tête dont les vou&soirs de face font partie. Souvent aussi l'hémicycle termine une voûte en berceau de même profil, et l'on conçoit qu'alors l'équilibre est aussi solir dément établi que si le dôme était complet.

Les tours ou lanternes que l'on peut établir au sommet des dômes tronqués, par leur poids et leur influence sur la position du centre de gravité, doivent entrer dans le calcul de la poussée, qui s'en trouve nécessairement augmentée. Ce cas particulier ne fait naître aucune difficulté qui ne soit résolue par la théorie précédente.

927. Voûtes en arc de cloître. Ce sont des voûtes qui recouvrent des polygones en général réguliers, et qui sont formées par des portions de voûtes en berceau coupées par des plans méridiens se réunissant au centre du polygone. Ce sont, pour ainsi dire, des voûtes en dôme dans lesquelles on aurait remplacé les cercles par des polygones. Mieux encore que pour les voûtes en dôme, on pourrait considérer l'équilibre de deux portions opposées (925, 926) ; mais on ne tiendrait pas tiom^h»

Fig. ia7.

ainsi de Teffet de la contraction des assises horizontales, d'où résulte dans les plates-bandes de chaque assise une force qui pousse à Texterieur. Par des calculs et raisonnements analogues à ceux faits pour le dôme, on trouverait que la compression de chaque assise engendre une poussée d^autant plus grande qu'elle est plus près du sommet. Par ce motif, les voûtes en arc de cloître peuvent être tronquées à leur partie supérieure et recevoir des lanternes ou tours.

928. Voûte d'arête. Ces voûtes étant formées par la pénétration de deux cylindres à angle droit, s'appuient seulement sur quatre piliers (fig. 237), au lieu de le faire sur des murs continus comme les dômes et les voûtes en arc de cloître. Pour calculer leur équilibre, on considère isolément chacune des parties pentagonules en plan, opposées à leur sommet 0, et qui forment une voûte en berceau dont les génératrices vont en croissant depuis les naissances jusqu'à la clef. Pour chacune de ces parties, le joint de rupture et la courbe de pression se déterminent facilement, en ayant égard à la longueur variable des voussoirs {.our calculer leur poids et la position de leur centre de gravité (874, 899). Ainsi l'on voit de suite que le joint de rupture doit être plus élevé que dans une voûte en berceau ordinaire, puisque le centre de gravité de la partie de voûte supérieure l'est davantage.

En opérant de la même manière sur chacune des trois autres parties de la voûte, on déterminerait les arêtes de rupture séparant la partie centrale de la voûte tendant à tomber verticalement, des parties renversées dans le sens des diagonales. Si Q est la poussée due à un système de voûte et que l'espace couvert soit un carré, la poussée suivant la diagonale est la résultante de deux forces rectangulaires Q, c'est-àdire Q V^2, et Ton donne au pilier des dimensions en conséquence.

Ces dimensions sont en général considérables; aussi les voûtes d'arête ne sont-elles guère employées que pour couvrir de petits espaces, ou de grands espaces divisés en plusieurs compartiments. Alors les poussées se font équilibre sur les piliers, qui ne supportent plus que le poids des voûtes, et elles sont reportées sur les murs d'enceinte, dont il est facile d^augmenter l'épaisseur.

Si la surface ABGD était un rectangle, que AD fût plus grand que AB, on pourrait la couvrir par une voûte d'arête qui serait elliptique pour les triangles AOD, BOG, et circulaire pour les triangles AOB, DOC.