Maximum do T», E$, H's et M

7 bU. Minimum d'idem.

96S. Tracé de la courbe-enveloppe des moments mctxima et minima. Il est facile de voir que les diverses hypothèses du tableau précédent sont les seules qui doivent concourir au tracé complet de la courbe; enveloppé des moments fléchissants maxima, tant positifs que négatifs, des diverses travées.

Prenons pour exemple la quatrième travée :

Les formules des n** 960 ou 963 donnant les valeurâ de M, et de H„ la formule (3), page 1751, donne le moment fléchissant correspondant à une abscisse quelconque x de la quatrième travée, x variant de 0 pour le point 0 a /j pour le point 0' (/ig, 257). Prenant les moments fléchissants pour les ordonnées d'une courbe, Thypothèse 2 iburnit la courbe gihi'g\ qui indique que 0^ est la valeur M, du moment fléchissant sur la troisième pile, que ce moment reste positif jusqu'au premier point d'inflexion i de la poutre (255), point où il devient nul, qu'il est négatif de i au second point d'inflexion i\ et positif de z' à la quatrième pile, où il devient 0'^', qui représente le moment M4 sur la quatrième pile. Renversons en icdi' la partie ikV située au-dessous de l'axe des x.

Opérant de même avec l'hypothèse 5, on obtient le contour polygonal curviligne giixdi\g\^ qui indique que les moments positifs sont maxima sur la troisième pile et dans le voisinage de cette pile.

L'hypothèse 6 donne de même le contour g%Hci*^\, qui indique que les moments positifs sont maxima sur la quatrième pile et dans son voisinage.

Ces trois premières hypothèses correspondent au cas où la quatrième

Fig. 25:

Échelle des x : 3"» pour l^jOO.x

Échelle des -ordonnées représentant les moments fléchissants : 1"",25 pour 10000.

Échelle des ordonnées représentant les efforts tranchants : S"" pour 10000 kilog.

travée est chargée. On simplifie le tracé des courbes qu'elles donnent en observant que chacune des trois courbes peut être tracée avec un

patron de parabole ayant — — - pour paramètre [Lit, 1195), en désignant par P3 le poids permanent et par s la surcharge, uniformément répartie sur la longueur de la quatrième travée. Si p^ et s sont les mêmes dans les trois hypothèses, comme cela a lieu en général, les trois courbes peuvent, par suite, être tracées avec le même patron. Pour tracer la courbe ghg\ par exemple, après avoir déterminé les points g et g' qui correspondent aux moments M3 et M^ pour la deuxième hypothèse, on promène le patron, dont on maintient Taxe perpendiculaire a 00', jusqu'à ce que son contour passe par^r et g'. Ce contour permet alors de tracer ghg\ ou mieux les parties gi et i'g^ ; la partie intermédiaire ihi' se reporte en icdi', en faisant faire au patron une demi-révolution autour de H'.

4910 SUIÈMB FARTIfi.

Le patron permet aussi de tracer la parabole dès que Ton connaît les points i et i', et ce tracé donne géométriquement les valeurs de M, et M;. Si la position de l'axe de la parabole était connue, le patron permettrait de tracer cette courbe si Ton avait la valeur de Tun des moments H3 et M4 ou la position de Tun des points i et i'.

Les cinq arcs paraboliques g^b, bc, cd, de, eg\ constituent la partie la plus importante de la courber-enveloppe; mais ils ne donnent pas de maaima au moment fléchissant aux environs des points 6 et e. • Pour compléter ce tracé, il est nécessaire de considérer en outre trois autres hypothèses dans lesquelles la quatrième travée ne sera pas dwrgée et tendra, au contraire, à se roidir le plus possible, de façon à donner les maxima que nous cherchons aux environs des points h et e,

i* L'hypothèse 5 bis, correspondant au minimum absolu 4u moment M, sur la troisième pile [fig. 257), et au maximum relatif du moment M^. sur la quatrième pile, c'est-à-dire à la plus grande valeur que prend le moment fléchissant quand la quatrième travée n'est pas chargée, cette hypothèse donne une courbe apkiie dosit l'axe est aussi rapproché que possible de la pile n" 3, et qvi viendra couper Tare eg\ aussi haut qae possible.

2* L'hypothèse 6 bis donne, par des raisons semblables, une courbe aplatie qui vient couper Tare g^b le plus près possible du point g^.

3* Enfin l'hypothèse 1, correspondant au minimum absolu négatif ou, suivant les cas, au maximum absolu positif du moment vers le milieu de la travée, donne une courbe qui, dans certains cas, peut passer au-dessus des points d'intersection de la courbe àe l'hypothèse 2 ou des courbes des hypothèses 5 et 6 avec celles 4cs hypothèses 5 bù et 6 bis, .

Ces trois dernières courbes doivent être tracées avec un même patron de parabole ayant — pour paramètre»

Au moyen de ces six hypothèses, on obtient ainsi le tracé complet de la courbe-enveloppe de la quatrième travée, courbe composée de neuf arcs de parabole au maximum.

Les deux arcs de !a courbe «r 4, ainsi que les deux arcs accolés et d«bnnés par les hypothèses 5 et 6, n'entrent pas généralement 4aas le traoé de la courbe^nvieloppe. Danfi la plupart des cas, ce tracé se compose dies sept arcs fournis par les hypotàè&es 2, 5, 6, 5 /«^ et 6 bU.

IX peut Boème arrivcjr que, pour de grajades travées dont le poidf pernuinent «st supéri«iur à la surcharge, les arcs 5 6if et 6 bis f^ trouvent eux-mêmes supprimés. €e ca6 s£ présente pour les deux trar vées ccnitrales du pont firitaonia.

'Quant à ia courbe*efnrelop$)ie die la prennière !travée, elle ne |reul comprendre plus de trois arcs de paraMes correfi|ianidai2t aux hypothèses 1,£ et a.

Le nombre des hypothèses nécessaires au traoé cûmpkt de la courbe-

P0NI6 JflÈnftJÙEPES.

enveloppe d'un pont de m + i travées symétriques ou égaSes est m + 3 ou m + 2, suivant que le nombre des travées^ est pair ou impair.

966. Appéioation à un pont symétrique de onze travées représenté par le tableau mnvant, A Faide des résultats obtenus, nm peut tracer la courbe-^en^raiLdppe dans chacune des onze iTAvées, «a i^pérant comme il a été MMiiqué au numéro précédent ponr la quartriènve travée.

-ra

Pi-

) lâoo''

Pi=Pi P2=Pi

Pi=Pi

P3=Pl

Les premières valeurs de p, Pi„, indiquent les charges pennanentes par mètre de longueur de travée, et les secondes les charges totales (charges permanentes et surcharges) par naètre de longueur de travée. Les premières valeurs de P, P,... sont les charges permanentes pour toute la travée, et les secondes les charges totales; ainsi P =25 000* = lOÛO X 25 kilog., et P = 75000* = 300O x 2ô kilog.

Chaque rail est supposé porté par une S6iile poutre, etles poids Indiqués ci-dessus sont ceux relatifs à une poutre, soit à la moitié d'une voie.

On a (061 j, puisque 2» = 10^

, ^% 'h ^ ^g H p , "^4— ''^s p» VT" ^« P'

ywAmars ées roffKjrts a, % t, e et e (960) :

«ar=ï

Ps = l

Série x (960) :

T, =2 + 2ai = 3,666667

Tj = (2 + 2pj)T, — P2T0 = 13,666667

T4 = (2 + 28Jt3— V2= 177,714286

(2 + gg^, - T, ^ 2464770408

^^^(2 + 25jT,~-T, ^ 9942,234269

^^ (2JL?WZ8JzIt 139286,432398

Ces valeurs étant substituées dans la valeur précédente de T, il vient

T=H = 0,438704P— 0,064 624Pi+0,017341P,—0,004740P3 + 0,001 587P,

— 0,0005P, + 0,000 109P'4— 0,000 024P'3 + 0,000 OOOP'^

Les efforts tranchants sur les piles sont, en tenant compte des séries A, B,C,... (2* du n»960):

Hj = 1,319 444P + 0,25P, - 3,888 889T,

H8= — 5,902778P + Pj + 0,25P2 + 14,444 444T,

Hj = 23,645 833P — 3,50Pi + P j -f- 0,25P5 — 53,888 889T,

H4 = — 82,808 876P + 10,561 223Pi — 2,846 937P2 + 0,836 531?,

+ 0,25Pt + 154,630 612T, H,=2SI8,965683P — 32,293 526P| + 8,668 527P2 — 2,380 581 Pj

Les moments sur les piles sont (3* du n** 960) :

Ma = — 27,083 333P + 7,50Pi + 91,666 667T,

M, = 1 50P — 22,50Pi + 7,50P2 — 341 ,666 667T,

M^ = — 559,375P + 82,50Pi — 22,50P2 + 7,50P3 + 1275T,

Mg = 2338,928 646P — 287,142 813Pi + 77,142 853P2— 21,428 575P3

+ 8,75P* — 5331,528 576T, M, = — 6819,698 656P + 1004,598 21 8P1 — 269,598 21 SPj

+ 73,794 645P3 — 25,156 25OP4 + IOP5+ 15546,0892751.

Les diverses hypothèses de surcharges à considérer sont au nombre de douze (965), et sont représentées dans le tableau du n* 964.

Hypothèse 1. Le tableau du n''964 montre, par des traits pleins et forts, que, dans cette hypothèse, les travées i, 3, 5, 7, 9 et il sont surchargées et portent les poids (tableau page 1761) P = 3000 x Z= 75000*, Pj = 3200 X /, = 96 000*, etc., et il montre par des traits pointillés que les travées 2, 4, 6, 8 et 10 ne portent que les charges permanentes, soient P^ = 1200 x /, = 36 000% Pg = 1200 x Za = 36 000*, etc.

Les valeurs de P, P^, Pj,..., P'i, P', ainsi obtenues, substituées dans la valeur précédente de T, donnent

T (maximum) = 52 238* (1),

et cette valeur de T, ainsi que celles des charges étant substituées dans les formules précédentes des efiforts tranchants et des moments, on obtient :

Hj = 49 097*, H^=59597*; Mi = 131550, M, = 178 290, M3 = 145380, M4 = 230370, M» =323225.

Pour la première travée, Féquation (3) du n* 960 devient, en remar^ quant que Mk = M = 0, Hk = H = T = 32238 (960) et^ = ^^ = 1500,

tii = — 32 238x + 1500a:*. (a)

Pour les points d'inflexion (265) le premier membre de cette équation étant nul, cette équation donne, en appelant i et i' les valeurs de x qui correspondent à ces points d'inflexion (Ini, 537),

L*abscisse de Taxe de la parabole des moments est

Substituant cette valeur de x dans Téquation (<z], on obtient pour moment négatif maiLlmam

îli = — 175218.

Le moment sur la première pile est (page 1762)

M, = 12,50P — 25T = 131 550 ; valeur que donne également la formule (a) en y faisant a;=Z = 25'".

(1) Les réactions, efforts tranchants et moments mtixima et minima sont désignés par des chiffres plus apparents.

VHè WOBÈÊUL Pânn.

F«iiir la immènê^ irmés •■ a de* Baème, en remaryialt fng W^^M^

et H» = H,:

Éqmtioii de la troisième tntrée — = r78290— 49O97x + 10M^;

Abscisses 4es points dfinflexion (/ni 53S). . . t,=^4-%aBft,. t\=S6r,4«;.

Abscisse de Taxe de la parabole des moments =15 ,340;.

MtoBOB* mégmtit Maxtam =— t9ff387;

Moment sur la iroisîèa* pile, obteim avec la fommle de bi pa^fe ¥199,

RI OTT mieux tiré de Ta valeur précédente de — en y faisant x = lm

= 30- Ms =145380.

Équation de lu cinquième travée — =220370— 59 597x4- 1750a;«;

Abscisses des points d'infTexion t^=4"JS50,, t\=2B*,935;

Jtbscifse dé' l'axe d^ ht paraboller dies moments. . . . i, =1^ ,7107

■■•ment nésaiif maximam =— 268l97i^

Hjpoth&sk 2, — Surcharge, des travées %,^ù,Sei 10.

T (mlitimaiD) =4939S^0 ;

Mi = 189012, ]!ly=151î52, %= 174363^ M^= 143563, Mj = 390450, ]»4= 399 450,

■ RI Équation de la deuxième travée — =189Ûlâ— 49062jr + 16Ç0x*;

Abscisses des points d'inflexion Zi=4",375, f'i=:26",285;

Abscisse de Taxe de la parabole des moments =15 ,332;

Équation de la quatrième: travée. ^sillâ^Sâi^— 48€i6âi&+iâQQfl^;,

Abscisse de Taxe de la parabole des moments (fig. 257) =15*',300;

Moment négmilt maximum (fig. 257). =—202181.

Équation de la sixième travée — =399450— 80000a; + 2000x*;

Abscisse de Taxe de la parabole éUba mnmoBtsv « . . .- =20"',000;

Mameitt nésatir maximum = — 400S^.

Hypothèse 3. — Surcharge des. travées 1, 2^ 4,. 6, 8 «i 10..

D'après le tableau du n* 964, T (maximum) est égsl k T (minimum) donné par Thypothèse % plus 0,438 704 (P— ttWOrxQ (valéurdib T de la page 1762 et tableau de la page 1761). Ainsi

T(3)=T(minimuiu) +•«1.488 7Q4.x506âa=4939^+2li935,2a=2fta74^,7«. Hi = 82298''; Mi=26862S, Mj=136685.

Équation de \si première travée — =— 26874,70j;+1500a?>;

Abscisse de Taxe de la parabole des moments =8*^,958.