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408. Applications des formules généralds de la flexion. Pièce prismatique encastrée par une de ses extrémités , chargée uniformément sur toute sa longueur. Dans ce cas, les deux formules (i) et (2) du n* 399 deviennent :

j L RI

pL* ^ RI

gpLxL» = EI/ ou

pL*

= EÏ/.

Les lettres L, R, I, n, E et /* ont les mêmes significations qu'an n<> 399.

p charge par mètre de longnenr de la pièce; c*est, par exemple^ le poids de chaque

mètre de longnenr de la pièce on tonte autre charge uniforme comprenant la

charge des poutres ou soliyes ; pL charge totale uniforme ;

~ bras de levier de la résultante on de la charge uniforme pL.

Pour une section normale, faite en m {Yoirjlg. 108, p. 468), le moment fléchissant et Feffort tranchant ont pour expressions :

plL — x)*

et T = p (L — x) (dérivée de (x).

En comparant la formule précédente (1) avec la formule analogue (1} du n*" 399, on voit qu'une même pièce peut supporter une charge totale pL, répartie uniformément sur toute sa longueur, double de la charge P qu'elle porte quand P est appliquée à l'extrémité de sa longueur, et en comparant la formule précédente (2) avec la formule analogue (2) du n*" 399t, on voit qu'une même pièce donne, pour une charge égale^ une flèche /qui n'est, pour le cas où la charge est uniformément répartie, que les 3/8 de celle produite par la même charge appliquée à rextrémité de la pièce; ce qui revient à dire que pour produire une nième flèche la charge uniformément répartie doit être au poids unique appliqué à rextrémité de la pièce dans le rapport de 8 à 3 pour x = 0, T =pL,

FREHEËRE PAItTIE.

iplaçant, dans les formules (I] et (S), n et I par les différeotes ;ui conviennent aux formes des sections transversales des I obtiendra des formules analogues à celles du n° 399 ; ainsi pièce prismatique à section rectangulaire, on aura : pL* R6A' î ~ 6 '

!S données de l'application de la page 470, c'est-à-dire pour ) et pL = 600 kilog., remplaçant les lettres par leurs valeurs ormules précédentes, on tire A=0",17i, 6=0",124 et/=O"',O031. ica encastrée par une de ses extrémités, chargée d'nn poids P à son extrémité libre et d'un poids pL réparti uniformément ! sa longueur. (Ce cas se présente particulièrement toutes les 1 outre du poids P, on est obligé de tenir compte du poids de I Avec ces données, les formules (1) et (2) des a" 399 et 408 ut, en conservant aux lettres les mêmes significations ;

PL + f = ïï „„ (p + f)L = ^, (.)

iplaçant n et I par les valeurs qui conviennent aux sections :s, on obtient des formules analogues i. celles des n" 399 et i,'pour une pièce à section rectangulaire, on a :

ne section fait* en m {fig. 118), le moment fléchissiœl et l'ef- :hant ont pour expressions :

— X) + J'^^ — ^T et T = P + p(L— a:) {dérivée de [.).

ièce encastrée par une de ses extrémités est chargée de poids P", P", etc., distants de l'encastrement de l', l", r, etc., on ra dans les formules précédentes PL par la somme :

onera le moment fléchissant au point d'encastrement :

H = FI' + P"i" + V"V = R i.

après cette expression qu'il faudra calculer la section d'encasècs reposant but deu appuis placéi à •«■ extrémité!. Sup-

posons d*abord qu'on puisse négliger le poids de la pièce, et qu'elle soit

chargée d'un poids P placé au milieu de sa longueur (/î^r.i 18). Dans ce cas, la pièce travaillant comme si elle était encastrée au milieu de sa

longueur et sollicitée à chacune de ses extré-

mités par une force égale à -, toutes les formules posées au n** 399 se reproduiront; seu-

lement P sera remplacé par ô" ®* ^ P*** âî

ainsi, pour une pièce prismatique, les deux formules (1) et (2) deviennent, en conservant aux lettres les mêmes significations :

^^ ^^ iA\

Comparant ces formules avec celles (1) et (2) obtenues au n" 399, on voit qu'une même pièce porte, dans le cas où elle repose sur deux appuis au milieu de sa longueur, une charge quatre fois plus grande que quand elle est seulement encastrée par une extrémité et chargée à l'autre, et que, pour un même poids^ la flèche est seize fois plus petite.

Remplaçant n et 1 par les valeurs qui conviennent aux sections transversales des pièces, on obtiendra des formules analogues k celles du n" 399; ainsi, pour une pièce à section rectangulaire, on a :

Rbh*

PL» Ebh^f ,, , ^ PL» — =-^, dou /=

Pour les pièces à section carrée de côté c, il vient, en faisant h=h=Cf

P=!|!£! et /=P^'

4Ec*'

C'est au moyen de ces dernières formules que nous avons calculé les valeurs de P et de /du tableau suivant. La formule donne la flèche /en mètres, mais elle est écrite en millimètres dans le tableau.

La première de ces dernières formules montre que P varie simplement en raison inverse de L.

De ces formules on tire respectivement :

^ y3PL