AC
donc cette valeur n'est pas applicable et l'on fera pour le maximum du moment fléchissant x aussi grand que possible en prenant x = AC; ce qui donne [i= 11320. Le maximum est donc en C. On peut vérifier que la condition (D) n'est pas satisfaite.
415. Pièce prismatique dont une axtràmité A sst encastrée, tandis que l'autre B reposa librement sur un appui. Représentons (Jig. 119] par :
p DD poids placé en ud point quelconque de la piïce ;
p une charge par mttre répartie aDiformément sur tonte 1b longueur de la piice ;
L U langueur de la pièce;
I et P les distances respectWea An point d'applicalion du poids P au point d'encaalre-
ment el an point d'appui; q' la pression exercée par la luèce sur le point d'appui B.
Pour un point quelconque m pris sur l, on a, en désignant par x sa distance au point d'encastrement, et en supposant que la section de la pièce est rectangulaire (399) [pour l'équilibre de mB) :
Si le point m est pris sur V et à une distance x" du point d'encastrement Â, le moment fléchissant est, en supposant la pièce à section rectangulaire {équilibre de wi'B) :
Rl__R(.A*p
= ~^= ^ {h — 3f)''~^{L — af).
On a: <;'=M + ^.(3L-fl.
Suivant que P ou p sera nul, la valeur de g' se réduira respeciivement BU premier ou au deuxième terme du second membre de cette équalion ; ainsi supposant f = 0, on a au point B :
, 3pL , 5 ,
et la formule (a) devient :
y=sM:=f(L-..)-2Ei,L-.i=|(L-x)(^-x).w
Ce qui fait voir que pour les points qui donnent k = L et :r=:: -j, le
moment fléchissant est nul; ce dernier point est celui d'inflexion de la pièce : c'est le point analogue au point M (figASO). Le point de plus grande flexion, c'est-à-dire le point où la flèche est U plus grande, est à une
distance a; = - L du point d'encastrement. Cette valeur de x, substituée
dans la formule (6), donne :
RI RÈA' 9 ,,
La formule (&) fait voir aussi que le moment fléchissant est d'autant plus grand que x est plus petit, et que pour a; = 0, c'est-à-dire pour le point d'encastrement A, on a :
R6A' pL'
Spi-'-
Cette |valeur de — , comparée à la précédenle, fait voir qu'une pièce
prismatique fatigue plus au point d'encastrement A qu'an point même de plus grande flèche.
La plus grande flèche est donnée par la formule :
El/ = 0,0054pL', d'où /^
0,00B4pL* El
416. Pièce encastrée à ses denx extrémités. Soient l^g. 190) :
P nn poids placé «n un point quelconque C de la
portée ; p une charge par mètre répartie uniformément
sur toute la longueur de U pièce ; L = ;-|-f Is longueur de la pièce entre les encas-
i et ï les distances reapectiTea do point C au\
fl et g' les forces verticales capables de produira le mime effet que l'encastrement, c'esl-
i-dire de maintenir horiiontal l'élément B de la pièce; d la dislance de l' encastrement A dl'eïtrémité opposée de la pièce; X la dislance horiiontale d'un point quelconque de lu partie AC au point A ; i" ia distance horiionlale d'un point qaeconqne de CB au point A;
(93 PREMIÈRE PÀRTIK.
On a, pour un point M pris sur AC {équilibre de BH) : Si le point est pris sur C6, on a pour l'équilibre de BH' :
Lorsque x = 3/=l,}&B deux valeurs précédentes du moment fléchissant deviennent égales; ce qui doit être, puisqu'alors a: et a/ se rapporient au même point C de la poutre.
On en déduit : ffi^L(d-i) =Ei- + ïï^, (S)
Ces deux équations stirviront à déterminer q et ç"; ainsi de la première on tirera la valeur de g en fonction de g"; on subslituera cette valeur dans l;i deuxième, qui donnera la valeur numérique de 4, et cette valeur numérique étant substituée dans la première équation, qui ne renfermera plus que l'inconnue q, on pourra tirer la valeur de cette inconnue.
Dans le cas où p est nul, la formule (a) devient :
^ = Vl-qL + ^d-{P~q + ^)x.
Cette équation du premier degré en x fait voir que le point de plus grande fatigue de la pièce est celui pour lequel z a la plus grande valeur l ou la plus petite 0; c'est donc C ou A, points pour lesquels les
valeurs respectives S et S' de — deviennent :
. S = q'd -- qL + {q — q')l et S' = Pl~qL + q'd.
Faisant p = 0 dans les équations (5) et (c), on en conclut :
PP(3M —f.L'^ + lL — Zld) PZ'(L — 0
^~ L'id-L) ^* ^-L»(d-L)'
Les moments 5 et S' deviennent, en remplaçant g et g' par ces valeurs :
Faisant les calculs, on verra quelle sera la plus grande de ces valeurs, d'après laquelle on déterminera les dimensions de la pièce.
HËSISTANCE DES HATÉEtlAUX A Là FLEXION.
Pour avoir les moments fléchissants de la partie CB, il suffit d placer / par l' dans les équations précédentes. Si le poids P est placé au milieu de la longueur de la pièce,
à-dire si i= g, on a:
ce qui montre que la charge que peut porter la pièce encastrée e: Me de celle qu'elle porte quand elle repose librement sur deux t La flèche est donnée par la formule
Ce qui apprend que la flèche est quatre fois plus petite que qu pièce repose simplement sur deui appuis (410), Pour le point d'inflexion H, ou a x = j.
Qaajtd P = 0, et que la pièce est ufi^formément chargée d'un j par mètre de longueur, des deux équations (b) et (c), on conclut :
Ces valeurs, substituées dans la formule (a) où l'un suppose ment P = 0, donnent :
Lp,L.-6U + 6..) = |[(i-.)-.
Ce qui doane la valeur maxima du moment fléchissant correspi à X = 0, c'est-à-dire au point A, pour lequel on a par conséquen
On voit que ce moment diminue ë mesure que z augmente, e est égal & 0 quand
/L a:y=y, c'est-à-dire quanda!=0,2i2L.
A partir de x=0,312L, le moment de résistance devient nég; sa valeur absolue croit jusqu'au milieu de la portée, point pour
I = |-, et par suite:
Tout étant symétrique par rapport au milieu de la pièce, au d ce point le moment fléchissant repasse par les mêmes valeurs.
^Tv^
La flèche est donnée par la formule :
El/=lxipLS d'où f=.^^.
Ainsi la flèche n'est que le 1/5 de celle qui a lieu, pour la même charge, quand la pièce repose librement sur deux appuis.
Dans les constructions, les poutres n'étant, en général, prises dans les murs que de 0",30 à 0",50 au plus, cela ne suffit pas pour produire un encastrement complet, et il est prudent de supposer que les pièces reposent sur deux appuis.
416 bis. Résultats d'expériences faites sur les poutres : 1^'. Dans les limites de charge oti l'élasticité n'est pas altérée, et qui sont celles que supposent les formules précédentes, qu'il convient d'adopter dans la pratique, la fonte et le fer résistant également à l'extension et à la compression, il en résulte que pour les poutres à simple T» il est indifférent de placer la nervure horizontale en dessus ou en dessous. Cependant on pourrait, la pièce reposant sur deux appuis, placer la nervure en dessus ou en dessous suivant que la résistance de la matière à la rupture est plus grande ou plus petite pour l'extension que pour la compression (page 472).
Pour les mêmes raisons, dans les poutres à double T? l^s nervures doivent être les mêmes dans les limites de la pratique. Cependant^ eu égard à ce que la fonte résiste mieux à la rupture par compression que par traction, les ingénieurs anglais, dans les poutres de ponts, donnent à la nervure qui est soumise à l'extension, une étendue plus grande qu'à la nervure supérieure. (Font à une seule travée,)
Les proportions des poutres non symétriques admises comme les plus convenables sont les suivantes :
Épaisseur du corps de la poutre 1
Hauteur totale h de la poutre 19
Épaisseur de la semelle inférieure 2,5
Id, id. supérieure l,â
Largeur totale de la semelle inférieure 15
Id. id, supérieure 8,7
Le centre de gravité de la section est à peu près au i/4 de la hauteur A, en sorte que la plus grande compression des fibres de la semelle supérieure est égale k environ 3 fois la plus grande tension des fibres de la semelle inférieure.
2^ Il est prudent de ne faire travailler les poutres en fonte soumises à des vibrations, comme celles des ponts de chemins de fer, qu*à 1/5 et même à i/6 de la charge de rupture. La résistance moyenne de la fonte à la rupture par flexion étant 32441000 kilog., on fera dans les formules précédentes R égal à 1/5 ou 1/6 de ce nombre, selon les cas. Des ingénieurs font souvent R = 7500000 pour les pièces ordinaires de machines, R = 3000000 pour les arbres de roues hydrauliques et les poutres de ponts, et R = 2000000 et quelquefois moins pour les ponts de chemins de fer (par mètre carré de section).
Des expériences faites par M. BaumgarteD sur des poutres en fonte d'une certaine dimension, et non sur de petits échantillons, ont conduit à des valeurs moindres pour la charge de rupture R et pour le coefficient d'élasticité E:; on a obtenu en moyenne R = 217400000 et E = 9595000000. Ces nombres vérifient ceux obtenus pour le viaduc de Tarascon et consignés dans un rapport de MM. Gollet-Meygret et Desplaces.
3*. On admet que la flexion des poutres en fonte ne doit-pas dépasser 1/600 de la portée, et qu'il conviendrait de la limiter à i/2000.
4*. Les ingénieurs anglais admettent que la charge d'un pont varie de 5000 à 6555 kilog. par mètre de longueur de paire de rails. La charge d'épreuve excède rarement le 1/3 de celle de rupture.
5*. Des expériences de Fairbairn, il résulte que les flexions sont encore proportionnelles aux charges pour les poutres en fer à double T> et que le coefficient d'élasticité est E = 11602000000 (en moyenne).
Des expériences faites au Conservatoire des arts et métiers sur des poutres en chêne, en sapin, en fer à double T et à semelles égales, en /}
fonte à double T et à semelles égales, et en fonte k double T et à semelles inégales, ont également donné des flexions sensiblement proportionnelles aux charges. Les fers double T ont donné E = 18000000000 environ (par mètre carré).
6^ Des expériences de Fairbairn sur des tubes en tôle ont donné E= 16600000000 jusqu'à la flexion de i/378 de la portée. Le premier grand tube en tôle du pont de Gonway a donné E = 13185000000. Les ingénieurs anglais admettent que la résistance de la tôle à la rupture est, par mètre carré, 28680000 kilog. pour la traction, et 23290000 kilog. pour la compression, nombres qui sont sensiblement dans le rapport de 5 à 4. Dans la pratique, on peut considérer ces deux résistances égales et prendre R = 6000000 de kilog. pour le coefficient de sécurité.
Aujourd'hui, un grand nombre de constructeurs adoptent pour le coefficient de sécurité des fers laminés pour planchers et combles, 8 et même 10 kilog. par millimètre carré.
417. Solides d'égale résistance. Quand une pièce est encastrée par une extrémité et chargée à l'autre d'un poids P, le moment de cette force P, en un point quelconque, est d'autant plus petit que ce point est plus éloigné de l'encastrement; de là il résulte que, pour. ne pas employer de matière inutile, les sections transversales de la pièce doivent aller en diminuant depuis Tencastrement jusqu'au point d'application du poids, point où la section devient nulle. Il en est de même si la charge est uniforme. Des considérations analogues sont applicables à une pièce reposant sur deux appuis : la section peut diminuer depuis le milieu de la portée jusqu'aux appuis extrêmes.
En général, une pièce est dite d'égale résistance lorsque l'effort maxima extension ou compression est le même dans toutes les sections transversales.
Vthhi
La formule PL = — r— > donnée pour une pièce rectangulaire encas-
PREHIËRE PARTIE.
ine seule extrémité (399), est applicable à une section quelde la pièce; alors, supposant que la hauteur h reste constante, aiit l'équation par rapport à b, on a, pour uns valeur quelcon- L, en considérant R comme constant :
