RÉACTIONS
SUT les appuis.
MOimtTS VliGHTSSANTS
en fonction de L.
En A et E ;
. lEnAetC: --2>L Deux traTées, trois! lo
appuis A» B» C • • •) En B • -
pL
EnAetD:— -pL
Trois travées, quatre! 30
appuis A, B, C, D.) -. ^ - 11 ^'^ ' ' ' f En B et C : —- » L
En AetE:-r-pL
Quatre travées, cinqlg g .j.. 2 appuis A, B,C,D,E.j*'''*^*^- 7^^
EnC: igpL
En A et F; --pL 38^
Cinq travées six ap. 1 ^ ^ ^^ ^ . ^
puis A,B,C,D,E,F.J 190^
EnCetD:— pL
A» milieu :
pL>
ri oa
__ pL>
= PlK — 0
en fonction de /
Au milieu pi*
^pP "" 8
pfl
= tA« = 0
419. Aiguille verticale supportant une charge de liquide {fig. 123). Appelant :
a étendue horizontale de liquide dont la pression se reporte contre Taiguille ;
L distance AB des appuis de l'aiguille ;
H profondeur de Teau en amont, à gauche, au-dessus du point B ;
H' profondeur de l'eau en aval, k droite ;
g et g' pressions horizontales de l'aiguille sur les points A et B ;
co densité du liquide ou le poids du cube de liquide dont le côté a servi à exprimer les longueurs a, L, H, H'.
La pression du liquide sur la face d'amont de Taiguille est représentée par la surface du triangle rectangle isocèle BGD multipliée par a et par
Fig. 123.
Jgî»*^«**«
la densité du liquide ; ainsi elle est :
Sur la face d'aval de l'aiguille, la pression de Teau est :
H'* co X a X -5—
Les centres de pression sont situés à des hauteurs -r- et -r- au-dessus
au point B [JnL 1733).
La somme des pressions de Taiguille contre ses appuis est la différence des expressions précédentes, c'est-à-dire :
Prenant par rapport au point fixe B les moments des forces qui sollicitent l'aiguille, puisqu'il y a équilibre, on doit avoir :
9L = coa(^-^X^-^Xy), d'où ç=(Ha-H-).
On a alors g' = gî (H« - H'*) - gj (H»- H").
Pour un point 0 situé au-dessus du niveau d'aval et à la profon-^ deur z au-dessous du niveau d'amont, on a :
Le point de plus grande courbure de Taiguille, au-dessus du niveau> d'aval, correspond à :
4 /2g 4 /ïjP — If»
-" V wa "~ V 3L •
Remplaçant z et q par leurs valeurs dans l'équation (a), on a pour le point de plus grande fatigue de la partie considérée, en réduisant,
Pour un point 0' situé au-dessous du niveau d'aval à la hauteur z'^ au-dessus du point B, on a, en remarquant que H — H' est la hauteur constante de pression sur tous les points situés au-dessous de ceniveau.
Le point de plus grande fatigue de Taiguille, au-dessous du niveau?
fREUIËRE PARTIE.
correspond à
g' H + H' H' - H" * " u>a(H~-H') 2 OL^H — H')'
laçant z* et 9' par leurs valeurs dans l'équation [b), it vient poiot de plus grande fatigue, en réduisant :
j . . RI R6A* .,.-.„ ornent de résistance — = — g— si 1 aiguille est un prisme a
rectangulaire (390) ; celle quantité devra être au moins égiito
s grande des valeurs (c) et (d).
Sflort tendant à faire rompre par glissement longitudinal uns
imnise à nn elfort de flexion. (Extrait des Annales des ponig
sées, 1856 : Traité des ponla, ayatème How, par H. Jouravski,
ir russe.)
jne pièce de section rectangulaire encastrée par une extrémité
itée & l'autre par une force P, lorsqu'il y a équilibre, une scc-
lée à la distance l de l'encastrement donne pour somme des
s, par rapport à la ligne neutre, des résistances à l'entension et
ipression de toutes les fibres qui composent la section :
e ta ligne (1«9 fibres inisrisble)
si&tances & l'extension des fibres vont en augmentant depuis la tutre.ofi l'on peut les supposer nulles, jusqu'aux points les plus de cette ligne, points où les fibres subissent le plus grand lent. La résultante de toutes ces résistances est égale à leur et elle a pour expression :
rbh
)res qui résistent à la compression fournissent une résultante la précédente, et comme elle agit en sens contraire de la preen résulte que ces deux résultantes tendent k rompre le solil" sment suivant le plan longitudinal contenant la nappe des fibres es. Appelant (J la force qui s'oppose à l'adhésion latérale des nées près des fibres invariables, on a :
mplaçaot r par sa valeur tirée de l'équation (1),
La valeur de Q est proportionnelle à L — l, el elle quand l = 0, c'est-à-dire pour la section d'encastrement,
Suivant un plan longitudinal situé à la distance y des blés, la valeur de Q est :
, thr (h* y*\
Q' augmente à mesure que y diminue, et il estmaximu c'est-à-dire pour le plan longitudinal passant par la ligni variables. Faisant v = 0 dans la valeur de Q', on obtien devait être :
Les équations (1) et (2) deviennent pour la section d en faisant r — R, résistance maximum à laquelle on peut
f- jiL ' ^*' "- 2A " 4 •
La formnle (3) servira à vérifier si la pièce résistera co
suivant l'encastrement, et la formule (i), si la pièce ne e
longitudinalement. R, étant la résistance de sécurité de 11
sèment parallèlement à la longueur des fibres, Q ne devr
R, X bL.
Supposant que deux solides prismatiques de même lo
geur b et hauteur h, soient mis l'un sur l'autre et encastn
mité, el que leur ensemble soit chargé à l'autre extrérail
Hais si les deux solides sont unis de manière à ne f seule pièce, on a :
Ce qui montre qu'en empêchant les deux pièces de gl; l'autre on double la charge qu'elles peuvent porter.
Dans la pratique, on s'oppose au glissement au moyei formules (a) et (a') serviront à déterminer le nombre et 1 de ces clefs, selon la position du joint par rapport au mil teur de la pièce. Ces formules montrent de plus que Q' e: nel à r; or, comme r est proportionnel, pour un même pc {formule 1), on voit que les clefs devront être également* elles sur toute la longueur de la pièce. 11 est évident qu' euler le nombre des clefs pour la plus grande valeur de
pour la section d'encastrement, ou en faisant r=R dans les équations (a) et {a'). Les clefs doivent avoir une largeur telle, qu'elles ne soient pas cisaillées transversalement par les deux parties de la poutre, et leur hauteur doit donner des entailles capables de résister ensemble à la compression Q sans altération.
Les clefs, sous l'aclion des deux parties de la poutre, tendent ^ tourner autour de leurs axes; il en résulte qu'elles ne pressent pas uniformémeni contre les entailles, et que pour cette raison on doit augmenter un peu la profondeur de ces entailles. De plus, celle tendance des clefs à tourner écarterait les pièces qui forment la poutre, si on ne les reliait pas entre elles par des brides en fer.
.Si la poutre reposait sur deux appuis placés à ses eKirémités, et qu'elle fQt chargée du poids P en son milieu, on la considérerait comme étant encastrée au milieu de sa longueur, et chargée à chaque -extré-
p mité du poids ~.
Si dans ce dernier cas le poids P était réparti uniformément sur toute la longueur de la poutre, p étant la charge par mètre de longueur, on aurait P = pL, et pour l'équilibre d'une longueur s- ~ '> comptée à partir d'une extrémité, la formule (1) deviendrait :
6 ~ 2 Va V 2 Va 7 '
'La force Q, qui tend à opérer la disjonction de la. poutre suivant l'étendue -s — /, est -j- , et l'on a, en remplaçant t par sa valeur tirée de l'équation précédente:
La valeur de Q augmentant à mesure que le carré de l est plus petîtr on voit que les clefs devront être plus rapprochées ou plus profondes vers les extrémités de la poutre qu'au milieu. De même pour une poutre encastrée à une exiréraité, et chargée uniformément sur toute sa longueur, les clefs doivent être de plus en plus rapprochées ou plus profondes à partir de l'encastrement.
Les considérations précédentes s'appliquent aux rivets des poutres en tffle comme aux clefs des poutres en bois.
Autre expression de l'effort de glissement. D'après Bresse et Bélanger, on a :
gs^elTorl de glissement; b largeur de la pièce eonsidërie; T effort tranchant mojen; 1 moment d'inertie du profil par rapport au centre de gravité.
■Cet effort g est nul sur les faces extrêmes et maximum pour la secti<m des fibres neutres où il atteint les 5 de l'effort tranchant moyen.
RÉSISTANCE DES HlTÉItiADX A LA FLEXION.
421. Becharcha des coaBicients de dépense correspondant a géométriques des solides soumis à la flexion, faite par L.-A. On sait par l'expérience la plus élémentaire que la charge d'un solide, reposant librement sur deux appuis, dépend e ment de la distributioo des éléments de sa section transversa dire de la forme géométrique de cette section transversal aussi que les profils âvidés sont plus économiques que les pro et que dans les solives la hauteur et la portée sont les élén pondérants par rapport à la charge que ces solives peuvent p formules de la résistance ne permettent pas d'apprécier ii ment l'économie pécuniaire que donne une section rectangi exemple, sur une section triangulaire ou curviligne ou l'écon profil évidé sur une section pleine. J'ai cherché à rendre l'influence de la forme géométrique des profils au moyen de c numériques attribués à ces profils. En rapprochant les form flexion des solides, on parvient facilement à leur donner un Je généralité en y introduisant une nolion très élémenlaire : moyenne de Jlexion par imité de section transversale du sol chaque cas particulier, cette charge Jictive s'obtiendra en ( charge totale fléchissante par la section transversale de la se
Ainsi qu'on le verra ci-après, ce quotient peut être considé le coefficient de dépense d'un profil pour une hauteur de se portée données.
Ce quotient ou cet effort moyen multiplié par la section tn du solide reproduira nécessairement la charge totale fléchi) 'nous supposerons uniforme pour plus de simplicité.
On trouve par cette considération de la charge moyenne {qui ne se rapporte à aucune notion de mécanique) un résuit que l'on peut énoncer ainsi :
La charge moyenne de Jlexitm cCun solide plein ou creux superficielle de sa section transversale est proportionnelle au i l'une des dimensions verticales du solide à sa longueur ou pi ■œuvre. Cette charge est indépendante des dimensions iranm profil.
Il y a dans ce résultat général une sorte de connexion av moyen de compression par unité superficielle de la section trs d'un solide chargé debout; effort moyen qui dépend, comme i 4u rapport de la longueur du solide au plus petit cdté de transversale. Je vais établir la loi énoncée se rapportant à moyenne de flexion d'une solive ou d'un solide reposant sur de «t chargé uniformément sur toute sa longueur pour les se plus usuelles (fig.iiZbis).
i° Solive à section rectangulaire reposant sur deux appuis e une charge pi répartie uniformément sur toute sa longueur
Pour ce cas, on a les formules bien connues {l étant la longi
PREMIËRB PARTIE.
barges moyennei de flexion des «oUtqi
unité superficielle de leurs seclions transversales.
Fig. lia ils.
\ / X . w-lk *b/'*\ àh* »*
2R T tA
!,3RU- 0,ï84b>H
3R(-J O^wB
solive, 6 et A ses dimensions transversales) :
I 6A« tùh
(0 = 6A = section de la solive* (3)
La charge moyenne de flexion a pour expression :
F = Pf. (4)
Remplaçant pi par sa valeur déduite de (i), w par sa valeur (3) et -
par sa valeur (2), il vient pour l'expression de la charge moyenne de flexion (4) :
Ainsi pour une solive rectangulaire la charge moyenne de flexion est proportionnelle au rapport de la hauteur h de la solive à sa longueur L
La charge totale pi s'obtiendra en multiplant la charge moyenne par la section transversale rectangulaire w.
2° Sali ce à section triangulaire, chargée uniformément (Profil B). On a les formules :
tùh ■ 12
a> = --- = section transversale; d'où l'on déduit pour la charge moyenne de flexion :
Ce résultat est moitié de celui trouvé pour une section rectangulaire. 3* Solive chargée uniformément dont la section est un losange ou un parallélogramme (Profil C), [Vune des diagonales étant horizontale). On a les formules :
fa) =£ 6A ,
On en déduit pour la charge moyenne de flexion :
FRBUIÈRE PARTIE.
t est moitié de celui trouvé pour un triangle et le quart de pour un rectangle.
chargée uniformément, à profil circulaire oit elliptique
ction circulaire, de rayon r, on a :
de la relation :
aur la ctiarge moyenne de flexion :
^ = ^' = Kt)-
me pour les sections rectangulaires et triangulaires, la :nne de flexion d'une solive cylindrique pleine estproporrappûrt de la hauteur verticale de la solive h=ir, son a portée de celle-ci,
liptique. La section elliptique donne le même résultat, ainsi le de le vérifier. On a en effet pour une ellipse dont le petit = h et le grand axe 2o [Profil D) perpendiculaire à la la charge îléchissanto :
I noi^ ^
' la charge moyenne de flexion, en remarquant que
iltat si le grand axe est vertical. Alors A = 2a.
thargée uniformément dont la section transversale e m une demi-ellipse (Profil E).
' la section demi -circulaire :
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX A LA FLEXION. ïiOl
on déduit pour la charge moyenne de flexion :
F = PJ=0.96r(^)
Cet efifort est un peu moindre que pour la section circulaire pleine;
,1 en est les ^ = ^.
Pour les profils demi-elliptiques {Profils E) on trouve le même résultat que pour le demi-cercle. La charge moyenne de flexion est donc donnée par la même expression pour tous les solides dont la section transversale est l'une des formes (Profils E), h étant la hauteur commune de ces profils.
Il en résulte que les résistances totales k la flexion des trois solives D de même portée et de même hauteur sont proportionnelles à leurs sections ou à leurs bases.
ô*" Solives dont la section est une couronne circulaire ou elliptique (Profils F). On a pour la couronne circulaire (r et r' étant les deux rayons) :
co = 7c(r» — r''), (1)
ou
Pratiquement, l'épaisseur de la couronne n'est pas arbitraire, et Ton peut, pour fixer les idées, adopter une épaisseur minimum e = 0,Oi r' et une épaisseur maximum e=0,lr'.
La limite inférieure donne :
e=:r — r' = 0,01r', d'où: r=i,01r'
et r + ^' = 1,01 r' + j-^^, = l,99009r'.
On peut donc écrire très approximativement :
par suite, la relation (2) devient :
et de la formule générale
PHEUIÈItE PAItTIE.
our la charge raoyenne de flexion
supérieure d'épaisseur donne :
e = r~r'=0,ir
rreur relative par déraut de gsrlonc comme ci-dessus :
idra, comme précédemmeot, pour la charge moyenne de
rérifier que pour une épaisseur e = î- > la charge moyenne 1 pour valeur :
rrenr par défaut de j^-
elliptique (Profils F). Si le profil est formé avec deux icentriquea semblables ou non , les mêmes calculs et les Ites d'épaisseur aux sommets peuvent être appliquées el urne précédemment, pour la charge moyenne de flexion, la approximative :
chargée uniformément dont la section évidée est celle (fi"« î T OM d^un caisson à deux lames verticales (Profil G). Afin pidement à une approximation suffisante pour la recherche
de la charge moyenne de flexion, nous exprimerons to sions du profil en ronclion de l'une d'elles, en attribuant aux nervures des épaisseurs minima et maxima se rapp portions pratiques.
Ainsi, en prenant les données suivantes qui convie fers laminés à plancliers, petites ailes et faibles nervur
e= — Fi = épaisseur des tables;
a= — H = épaisseur de l'âme;
6= -T — largeur du J,
on trouve :
et
^ = 0,02!iH' = 0,284H«.
Par
suite,
la formule de la charge uniforme :
donne profil
pour
la charge moyenne de flexion par unité
Pour de grandes proportions de nervures prenons : , 2„ H H
Le calcul donn(
et pour la charge moyenne par unité superficielle du |
Nous admettons que les coefflcients de la charge moj pourles profils ÎKdouble Tsymétriiiie varient entre It suivantes 2,3 et 3, en nombres ronds. Ces limites n'on parce que cette chargemoyenne augmente à mesurequelE d'imporlance par rapport à l'&nie ou tôle verticale. Lor: réduit à ses deux tables, comme dans les poutres k trt la charge moyenne de flexion (H étant la hauteur de 1 distance des tables) :
F = £i = iR (^^ =3,96R(5^ environ résultat calculé ci-après et correspondant au profil H.
8* Solive OU poutre dont la section se réduit à deux tables, — Poutre à treillis (Profil H.) D'après la figure, on a :
I __ 6 (H» — yi>)
L'épaisseur e des tables n'est pas arbitraire et l'on peut admettre un minimum e = 0,01 h et un maximum e = 0,1 h. La première limite e = 0,01 h donne en exprimant les dimensions de la figure en fonction de h :
1 = 0,0100 6A* = |wA.
De la formule:
on déduit pour la charge moyenne de flexion :
ou
Calcul pour la limite supérieure d'épaisseur des tables.
Soient :
ci) = 0,2 67i,
On déduit la charge moyenne de flexion de la relation :
d'où
Approximativement on peut poser pour tous les cas F = 4R ( y ] en
nombre rond avec une très petite erreur relative soit en plus soit en moins. Telle est la valeur approximative de la charge moyenne de flexion par unité superficielle des deux tables d'une poutre à treillis.
Le résultat est triple de celui donné par un rectangle plein. Mais ici l'économie, n'est pas absolue; car on n'a pas tenu compte des treillis qui conduisent à une grande dépense.
Résumé. Nous rapprochons ici les résultats numériques qui expriment
niSISTVHGE DES HATÉItUUX A LA FLEXION.
respecliveraent les charges moyennes de flexion des solives [ carré de leurs sections transversales.
CbïTgB me Profllj. defleiit
1* Reettngulairf plein ~r[
8" Triangulaire ■ - R j
3' Eu losange -r/
*■ Circulaire aa eltipUqu plein RI
5° Demi-cIrcnUire oa demi ■ellipli que 0,96 R 1
6° Couronne ciiculaire et ellipUqae creuses SRI
7° Profil k double T symétrique Mec Sme 3,3à3R[ '
8° Profil composé de deai tables eans ftoie 4 R [ ■
Ces divers résultats [montrent que pour les solides pleins tilignes, soit curvilignes, la charge moyenne de flexion esl tionnelle au rapport de la hauteur verticale A du solide à sa lo ou portée.
La même loi est applicable aux solides creux.
Dans tous les cas, la charge totale et uniforme que peut porK solive s'obtient en multipliant la charge raoyenoe de flexic section transversale de la solive. Les coefficients numériques dei peuvent ëire considères comme mesurant la dépense d'un ] rapport aux autres.
Du tableau précédent, oo déduit que, pourdes solives pleines portée l, de même hauteur h, si Ton prend la charge moyenne i de la solive rectangulaire pour unité : 1* la charge moyenne c de la solive triangulaire est moitié de celle de la solive rectan^ celle de la solive à profil en losange en est le quart; 2° la treillis réduite à deux tables et dont la hauteur est égale i cell gulaire pleine, donne une charge moyenne par unité superficii de celle de la poutre rectangulaire pleine {abstraction faite du
Pour les solives pleines, à section circulaire ou elliptique, hauteur A et de mémo portée l, la charge moyenne est la mëi charges totales sont proportionnelles aux sections ou k la lai prolils. Les demi-profils circulaires et elliptiques donnent '. conséquence.
Pour les profils demi-circulaires et demi-elliptiques, la charge de flexion esl un peu plus faible que pour les profils entiers ci et elliptiques.
Enfin, en comparant les profils curvilignes pleins aux prof
PREHlÈnE PARTIE.
m constate que pour le même rapport Kl la charge
«ion est double pour les solides creux. Pour le type recibleau montre l'économie des profils évidés. Enfin, pour eilHs, la charge m'oyenne de flexion des tables est à peu celle du rectangle plein,Aélantrécaplementdes tables, t aussi que deux solives de même type présentant le (-.j de leurs hauteurs à leurs portées, les charges
ilives sont proportionnelles k leurs sections, le coefticient tant le même. Les dépenses par mètre linéaire de solives .emps proportionnelles à ces mêmes sections, irons par une remarque concernant la comparaison des sus et celles se rapportant à la compression des solides. ux en bois les expériences de Rondelet, et pour les r et en fonte les formules d'Hodgkinson , de Love, de ;ablissent que la charge moyenne de compression eslcons-
néme valeur du rapport 1 - I de la hauteur du support à
isions de sa section transversale: le plus petit cOté s'il ction rectangulaire et du diamètre pour une section r la flexion, on vient d'établir que la charge moyenne de rês peu près constante pour un même type de solives nême rapport 1-^1 de la hauteur verticale de la solive
, Hais il y a cette différence caractéristique, c'est que ission la charge moyenne est une fonction parabolique
S du rapport ( - ) i tandis que pour la flexion des solives
nne de flexion est uue fonction linéaire du rapport! -j
rtionnelle.
înant R = IO kilog, par millimètre carré, les valeurs
lédeDt expriment les charges moyennes de flexion par
ê des sections transversales des solives.
« à la torsion. Lorsqu'une pièce cylindrique ou pris-
ène est soumise à un effort de torsion, tant qu'on n'a
limite d'élasticité, on a :
/=CflB, Pp = Gei„ tanga = eB. (a)
1 (rapporté i l'uniti de surface), qui sollicilc un élément d'une
souque li la distsace i de l'axe ;
de /pour les éléments d'une section transieraile du solide, les plus
ion sie et pour lesquels S = n. C'est le plus grand effort de glisse-
'lé par les élémenis les plus fatiguas d'une section transversale
•rré). F esl un coefficient de sécurité que l'on prend égal k une fvac-
>rt de rupture par torsion ;
loraion supporté i la secliou (ransTuraale dn solide. C'est le
5ia
rapport constant pour une matière donnée jasqu*à la limite d'élasticité de la force F qui tend à tordre le solide au déplacement On. On a :
0 angle de torsion ou angle dont deux sections» k i mètre de distance suivant Taxe, se déplacent Tune par rapport à l'autre ; 0 est exprimé par la longueur de Tare qui correspond k 0 pour un point situé k Tunité de distance de Taxe, soit
Ifi «irA
par le nombre de degrés de 6 multiplié par le rapport -~- ; donc 6= — dans
les formules précédentes ; •a angle de Thélice en laquelle se transforme une fibre primitivement rectiligne, située
k la distance 5 de Taxe ; 0 étant exprimé en degrés, on a tang «= — ;
d distance variable des fibres considérées à Taxe du solide ;
P force tendant k tordre le corps, agissant dans un plan normal k Taxe ;
p bras de levier de P ;
l0=y^d(i> somme des produits des éléments superficiels du de la section de la pièce
par le carré de leur distance i k Taxe longitudinal du solide soumis à la torsion. Iq est appelé moment d'inertie polaire.
Pour une section circulaire
Pour une section en couronne circulaire Pour une section rectangulaire
»ôW àh .
3(61 + Aï) 3(6«+A*) 12
Pour une section carrée, c= 6= A .... Iq= — =
Pour un triangle équilatéral I^ss — c* ^3 = --<«) c*
