PA = QA
Ce qui montre que le travail utile serait alors égal au travail moteur. Cette condition ne peut être réalisée, puisqu'on ne peut supprimer les prisons ou guides.
Quand le filon est soulevé par une camey comme cela a lieu ordinairement, le travail absorbé par le frottement de la came sous le mentonnet est analogue à celui absorbé par le frottement d'un pignon s'en-
grenant avec une crémaillère (84); seulement le pas a est remplacé par h. En tenant compte de ce frottement, et en supposant que son coefficient est le môme que pour les prisons, la formule (a) devient :
n étant le nombre des coups de pilon donnés pendant une révolution de Tarbre k cames, et P la force motrice tangentielle qui agit à Textrémité du rayon r, on doit avoir, pour Téquilibre dynamique,
inr ~" ^ 47cr«(d — Hf+J^n) '
Les cames se font en développante de cercle {Int, 1237).
La durée totale d'un coup de pilon se compose du temps t que met la
came à élever le pilon à la hauteur h, de celui t'= V/ — de la descente du pilon (19) et de 1/10 à 1/6 de < + f pour le temps employé par le pilon à agir sur la matière, qui peut être plus ou moins compressible.
97. Choc des corps solides. Quand deux corps solides, en vertu de vitesses acquises sous l'influence de causes quelconques, tendent à occuper au même instant une même partie de l'espace, dès qu'ils arrivent à être ce qu'on appelle en contact, il se produit des actions mutuelles répulsives qui atteignent un degré suffisant d'intensité pour modifier en grandeur ou en direction, ou à la fois en grandeur et en direction, les vitesses primitives des deux corps, de manière que ceux-ci ne viennent pas occuper la même portion de l'espace au même instant, et par là, satisfont à la loi générale de V impénétrabilité de la matière (Jn^. 1534 et suivants).
Lorsque deux corps se rapprochent ainsi de manière à donner naissance à ces actions mutuelles par leurs changements plus ou moins sensibles de forme, on dit qu'il y a choc ou collision entre les deux corps.
Le choc de deux corps nHnflue en rien sur le mouvement du centre de gravité du système, mouvement qui ne dépend en intensité et en direction que des forces extérieures [Int. 16.36)«
98. Vitesse du centre de gravité de l'ensemble de deux corps solides aprôs leur choc {Int, 1671).
Supposons le cas le plus simple, celui où les centres de gravité des deux corps se meuvent suivant une même droite par rapport à laquelle les deux corps sont symétriques. C'est à ce cas qu'on ramène les applications pratiques sur le choc.
Le centre de gravité de l'ensemble se mouvra sur la droite suivie par les deux corps, comme si le choc n'avait pas lieu; de plus, il est évident que la vitesse de chacun des corps en particulier ne changera pas
de direction, mais bien d'intensité^ et même Tune pourra changer de signe.
Soient m et m' les masses des deux corps, v et v' leurs vitesses respectives avant le choc, et u la vitesse du centre de gravité.
Dès que le choc commence, les actions mutuelles égales agissent en sens contraire sur chacun des deux mobiles et produisent des changements de formé et des vibrations qui dépendent de la nature et de la forme des corps.
Si la vitesse relative des deux corps Tun par rapport à Fautre est faible, et que les corps aient une certaine consistance, on peut admettre que. le changement de forme pendant le choc s'étend à peu de distance du point de contact et que les vibrations des molécules sont' très faibles; d*où il résulte que le mouvement de toutes les molécules de chacun des corps peut être considéré comme n'étant qu'un simple mouvement de translation, qui est le même pour toutes les molécules.,
En se plaçant dans cette hypothèse, Y étant la vitesse commune à tous les points et au centre de gravité du solide de masse 7n à un instant quelconque du choc, et Y celle de tous les points et du centre de gravité du solide de masse m' au même instant, on a, en négligeant pendant le choc les impulsions des forces extérieures, s'il y en a, ce que Ton peut faire, puisque la durée du choc est très petite (Inf. 1635) :
mV 4- m'V + mv + mV.
11 y a toujours, pendant le choc, un instant où les centres de gravité des deux corps ont la même vitesse, qui est aussi la vitesse u du centre de gravité du système; à cet instant, l'équation précédente devient:
[m 4- m)u =r mu + m'v\ d ou u = ; — r-.
41 est la vitesse du centre de gravité, et sensiblement aussi celle de tous les points du système à Tinstant considéré, dans le cas de très faibles vibrations.
Lorsque les deux corps ne sont pas élastiques, c'est-à-dire quand ils conservent les formes que des forces extérieures peuvent leur donner, les actions mutuelles cessent leur effet dès que la vitesse u est devenue commune aux deux corps; alors les deux corps se meuvent en restant en contact, tant que des forces extérieures ne viennent pas modifier leur vitesse commune u.
Les formules précédentes s'appliquent au cas où les corps marchent en sens contraires, comme à celui où ils vont dans le même sens; seu- \ lemeot il faut avoir égard aux signes quMl convient de donner aux valeurs de V et v'j et par suite à celles de mv et m'v'. Le signe de u est toujours celui de la plus grande quantité de mouvement.
Si les deux quantités de mouvement sont égales et de signes contraires, la formule précédente donne w = 0; ce qui montre que les corps arrivent au repos, et y restent s'ils sont dénués d'élasticité.
Dans le cas où Vun des corps est au repos, c'est-à-dire où Von a v' = 0, l'équation précédente devient :
(m + m')u = mVf d*où u = — ; — :. la)
99* Perte de puissance vive due au choc de deux corps non élastiques. Si les corps restent unis après s*étre comprimés, et qu'on néglige les vibrations auxquelles peuvent être soumises les molécules des deux corps, il y a perte de puissance vive dans le' système, puisque, pendant la compression des deux corps, et jusqu'au moment où une même vitesse est devenue commune aux deux corps, les molécules voisines du contact se sont rapprochées, et par suite les actions mutuelles répulsives de ces molécules ont produit un travail négatif, d'où il est résulté une perte de puissance vive [ïnt, i637).
Le travail dû aux forces moléculaires, et par suite la perte de puissance vive du système, ne dépendant que du mouvement relatif des deux corps, il en résulte que, pour calculer cette perte, on peut supposer que l'un des corps est en repos et que l'autre vient le choquer avec une vitesse absolue égale à là vitesse relative du système.
Soient donc v la vitesse de la masse choquante m, et u' = 0 la vitesse do la masse choquée m\
La puissance vive du système avant le choc est - mt-*. Après le choc,
les molécules des deux corps ayant la même vitesse u^ à cet instant la puissance vive du système est (29) :
La perte de puissance vive due au choc est alors:
Remplaçant dans cette expression u par sa valeur (a) (98), on obtient :
Dans le calcul des machines, la perte de puissance vive due à un choc se calcule en général à l'aide de cette formule (Int. 1675).
Établissant un certain rapport entre m et m', c'est-à-dire faisant m' •= Nw, on conclut :
formule qui fait voir que la perte de puissance vive est d'autant plus
VAGHINES SIMPLES. 73
petite que la valeur de N est plus petite, c^est-à-dire que la masse choquante m est plus grande par rapport à la masse choquée m'.
Voir InL n" 4673 pour la durée du choc et l'intensité des forces ou oclions mutuelles^ et n» 1674 pour le choc des corps d'une élasticité parfaite.
iOO. Corps tonniant autour d'un axe fixe. On appelle vitesse angulaire d'un corps tournant autour d'un axe, la longueur de l'arc décrit, ou qui serait décrit si le mouvement en restant uniforme était suffisamment prolongé, pendant Tunité de temps, par un point situé à Funité de distance de l'axe et lié invariablement au corps.
<o étant la vitesse angulaire d'un corps, et v la vitesse de l'un quelconque de ses points situé à une distance r de l'axe, on a, en remarquant que les vitesses des divers points sont proportionnelles à leurs distances à l'axe :
c:w = r:i, d'où î; = wr, et w=-.
iOi. Poissaiice vive d'un corps tournant autour d'un axe fixe. Lorsqu'un élément matériel m tourne autour d'un axe, sa vitesse étant cor, sa puissance vive est (29) :
Lorsqu'un corps solide tourne, chacun de ses points matériels possède une puissance vive d^une expression analogue à la précédente, et en faisant la somme de toutes ces puissances vives élémentaires^ ou a la puissance vive du corps, qui peut alors être représentée par :
2) signifiant somme.
Gomme ^co* est commun à toutes les parties de cette somme, on peut le mettre en facteur commun, et poser :
mr*, produit d'un élément matériel par le carré de sa distance à l'axe de rotation, est ce qu'on appelle le moment d'inertie de Vêlement m par rapport à cet axe.
2?»r», somme des moments d'inertie de tous les éléments matériels
d'un corps par rapport à un axe, est le moment d'inertie du corps par rapport à cet axe.
La formule précédente fait voir que la puissance vive d'un solide tournant autour d^un axe fixe esty à un instant quelconque, égale à la moitié du produit du carré de la vitesse angulaire du corps à cet instant par le moment d'inertie du corps par rapport à Vaxe de rotation.
102. Rayon de gyration {Int. 1614). 11 existe une valeur R de r telle, que si toute la masse du corps se trouvait à la distance R de Taxe, la puissance vive et par suite le moment d'inertie, pour une même vitesse angulaire par rapport au même axe, n'auraient pas changé. Cette distance R est le rayon de gyration du corps.
Appelant R le rayon de gyration, M la masse et P = M^ le poids du corps, le moment d'inertie est alors (101) :
ywr« = MR*=-R»,
et la puissance vive :
Nous allons donner les valeurs du rayon de gyration des corps homogènes de formes géométriques employées dans la pratique. (Voir Int. 1826 pour la détermination du rayon de gyration d'un corps de forme quelconque.) 103. Rayon de gyration d'une tige homogène AB d'une très petite
section tournant autour de Taxe Ày passant par son extrémité. On a {Int. 1615, 1825) :
Rî = i BC*-
Le moment d'inertie est alors (102) :
et la puissance vive:
