UNIVERSITÉS

comme écoles universitaires. I! faut observer, en outre, qu’etf Allemagne le nom de collège fut de bonne heure appliqué A des fondations principalement destinées à l’habitation et à l'Antretien des maîtres. Les établissements pour les étudiants s’appelaient bourses ( bursœ ); ces bourses correspondaient aux anciennes halls (salles, hôtels) d’Oxford et de Cambridge.

Ce qui précède suffira pour faire comprendre ce que sont aujourd’hui les collèges dans les universités anglaises. Semblables dans leur origine aux établissements analogues du Continent, ils n’étaient que des appendices de l'université qui y régnait de droit et de fait. L’enseignement public par des professeurs spéciaux, dans toutes les branches de connaissances des quatre facultés, était le seul enseignement légal. La participation A cet enseignement était la condition sine tjM non de la carrière universitaire. Hais peu à peu , à la suite d’empiétements successifs, ils sont devenus l'université elle-même; ou plutôt il n’y a pins proprement d'université, magni stal nominis timbra. Le corps spécial des professeurs publics n’existe plus que de nom ; plusieurs chaires sont totalement supprimées ; les autres n’existent que dans l’almanach. Ce sotft les collèges qui ont peu à peu accaparé le monopole de l’instruction et du gouvernement de l’université. L’assistance aux leçons publiques des professeurs d’université n’est pluX obligatoire (du moins en fait) pour obtenir les grades; de manière qu’au jourd’hui Oxford (ainsi que Cambridge) n’est pas véritablement une université publique, mais une simple agglomération d’écoles privées. Chacune de ces écoles a SA maison , ses revenus , son administration , ses privilèges et ses réglements particuliers. Ce sont, généralement, de vastes et beaux édifices. Les étudiants n’y sont admis qu’aprês un examen; ils y sont & demeure pendant toute la dorée de leurs études, et comme le prix de la pension est très-cher pour les écoliers payants, l’éducation universitaire n’est accessible qu’aux familles très-riches. Il y a en ce moment Vingt-quatre collèges et halls è Oxford , et dix-sept A Cambridge.

L’histoire détaillée de cette organisation dépasserait les li-

ANGLAISES

mites de cette note déjà longue ; nous devons pourtant signaler quelques autres particularités. Dans l'origine et avant la réforme de i634, les étudiants étaient soumis, pendant les quatre premières années des études, à la surveillance et direction d’un précepteur privé dans le collège ou hall auquel ils appartenaient. Cet usage tenait à ce que, à cette époque, on entrait fort jeune à l’université; car on pouvait être docteur à l'âge oit aujourd’hui on prend sa preuiièrë inscription. Les enfants ne pouvaient donc être livrés à emménies; de lu la nécessité des précepteurs (tuteur, tutor). Ceci étant une affaire de famille tout ù fait privée, l'université ne s’en mêlait pas. Dans la dernière moitié du xvi* siècle, l'autorité universitaire songea, pour la première fois, à mettre des conditions à l'exercice des emplois de tuteur; et ce n’est que plus tard encore, sous la réorganisation de Laud (t656), qu'on s’avisa de rendre cette tutelle obligatoire à tous les étudiants, et de plus d’exiger que le tuteur résidât dans la même maison que son pupille. Jusque-là, cependant , l'office de tuteur n’avait qu’une importance tout à fait subordonnée. Pour être tuteur il suffisait, d'après les statuts, d’être bachelier ès-arts et d’avoir un certificat de moralité et de Religion signé du chef de la maison où on résidait. Son rùle auprès des jeunes gens se bornait à leur inculquer de bons principes , à diriger leurs lectures, à veiller à leur habillement. Leur négligence était punie par des amendes, et ils pouvaient après la quatrième récidive être destitués.

Voilà ce qu’était le tuteur d’après les statuts. Il n’était rièn ; aujourd’hui le tuteur est tout, et voici comment. Les professeurs publics d’université ayant, par les raisons déjà exposées, cédé la place nux collèges, et l’instruction universitaire étant à peu près exclusivement donnée dans ces établissements, il arriva que les tuteurs, qui jusque-là n’avaient été que des espèces de mentors chargés de suivre leurs pupilles aux cours publics et de surveiller leur conduite, se trouvèrent peu à peu chargés de leur enseigner ce qu’ils venaient apprendre à l’université, lorsque lès cours et exercices publics tombèrent en décadence. Le tuteur ne ftit plus ud simple

UNIVERSITES

précepteur, mai» un vrai professeur qui dut, pour remplir les conditions du programme universitaire, eoseigner à lui seul, comme dit 51. Hamilton, toute l’encyclopédie académique. Ce singulier système est celui qui règne en ce moment, lin tuteur est un maitre qui a sous son inspection immédiate un certain nombre de jeunes gens pendant toute la durée de leurs études, auxquels il enseigne tout ce qu’il faut savoir pour être bachelier ou docteur d’une faculté. Ce système a existé aussi en Ecosse. /

Mais ce n'est pas tout. Cette substitution des tuteurs aux professeurs, déjà très-pernicieuse, fut rendue pire encore par cette circonstance que l’emploi de tuteur, au lieu d’C-lre accessible à tous les gradués (qui par les statuts ont le droit d’enseigner publiquement) a été exclusivement adjugé aux Agrégés des collèges ( colUgc-fcllows ). Reste à expliquer cette dénomination.

On a vu que la réunion des étudiants dans certaines maisons fut d’abord facultative. Plus tard, ces établissements particuliers ayonl pris beaucoup de développement, elle fut obligatoire; et il y avait des peines contre les écoliers réfractaires qui fréquentaient les écoles publiques sans appartenir à quelque hôtel [hall), hospice, entrée ou chambre ( aulœ , hospitia, inlroilus, caméra). La grande majoiité des écoliers qui habitaient ces maisons y viraient à leurs frais; mais bientôt la bienfaisance et la charité déterminèrent des fondations spéciales qui assuraient à un plus ou moins grand nombre d’individus uneinstrurtion gratuite. Ainsi, dans quelques maisons, on institua des dotations perpétuelles destinées à entretenir un certain nombre d’étudiants pauvres qui étaient incorporés à l’établissement et en fesaient comme partie sous le titre d’agrégés {Jellows ), c’est-à-dire comme participant au bénéGce de la dotation, sous le gouvernement d’un supérieur [head). Ces sortes de bourses ( fellowshijis ) étaient plus ou moins nombreuses dans chaque établissement; des dotations successives en ont augmenté le nombre. Ce sont ces boursiers, de date plus ou moins ancienne, qui composent dans chaque collège le corps des fcllows. Par malheur, la plupart de ces

ANGLAISES

bourses ou bénéfices ne furent pas établis par les donateurs et bienfaiteurs dans des Tues de science et d’instruction, mais pour des motifs tout-à-fait personnels et de localité. Ainsi, à Oxford ( et à Cambridge , il en est à peu près de même) , les bourses d’agrégés sont en général affectées à la parenté du fondateur, ou bien il faut, pour y avoir droit, être né dans un certain comté, avoir été élevé dans telle ou telle école, remplir des conditions toutes spéciales et tout-à-fait arbitraires de naissance, de patrie, de position, de rang, etc. Pour certains collèges il faut être gradué, pour d’autres il ne le fout pas; dans un grand nombre il faut être dans les ordres, dans d’autres non, etc., etc. Rien de plus arbitraire et de plus varié que les conditions imposées par le caprice des fondateurs à diverses époques. Quant aux avantages et privilèges, ils ne sont pas moins inégaux; ils varient considérablement d’un collège è l’autre ; et dans le même collège, d’une classe d’agrégés à l'autre, suivant leur origine. Dans tous cependant il faut être célibataire; le mariage détruit le droit et détermine une vacance. Autrefois la résidence dans le collège était obligatoire, aujourd'hui elle est facultative.

C’est cette classe qui par sa position privilégiée dans chaque collège composait en quelque sorte le collège même, qui a fini par avoir le monopole de l’emploi de tuteur, c’est-àdire, comme on l’a vu, de professeur universel. Cet emploi, jadis si humble, et aujourd’hui si important, est ouvert à tous les gradués d’après les statuts; mais cela n'a pus empêché qu’ils ne soient évincés en fait. Or, on peut présumer, d’après l’origine et le mode de formation de la classe des agrégés, combien peu d’entre eux sont propres à la tfiche qui leur est imposée 1 lorsqu’ils sont nommés tuteurs. 11 faut remarquer, en outre, que la nomination à l’emploi de tuteur n’est guère déterminée que par des motifs intérieurs de convc-

1 M. Hamilton observe que sur plus de quarante tuteurs cités dans l'almanach d’Oxford de 1819, il n’y en a pas un qui soit connu du public par quelques titres littéraires et scientifiques.

UNIVERSITES ANGLAISES.

nance, èt par une fonle de circonstances tout-à-fait étrangères aux besoins de l’enseignement.

tin peut dire , d'après des informations prises à d’autres sources , que M. Hamiiton n’a fait que rendre hommage à la vérité en signalant eet état de choses. Depuis long-temps les professions libérales sont, de l’areu de tout le monde, tombées en Angleterre dans un état d’abaissement relatif affligeant. L’Angleterre, dit M. Hamiiton, est le seul pays chrétien où le prêtre ( si toutefois meme il peut approcher de l’université) reçoit la même somme d’enseignement théologique que le Squire; c’est le seul pays civilisé où le grade qui confère au juriste un monopole exclusif est accordé sans instruction et sans examen; c’est le seul pays dans le monde où le médecin est lancé sur la société avec un si grand et si terrible pouvoir, sans éducation professionnelle , et mémo sans la moindre garantie.

Les détails qui précèdent, quoique fort incomplets, suffisent pour faire comprendre le sens et justifier la gravité des reproches adressés par M. Hamiiton au système actuellement en vigueur dans les Universités anglaises, et auquel il attribue, non sans raison, le déclin de toutes les fortes études, et eb particulier de la logique.

Nous avons accueilli l’annonce de cet écrit avec un intérêt peu ordinaire , à cause du sujet , à cause du lieu où il a été publié, à cause de l’auteur.

Le sujet est d’une grande importance dans la science de l’éducation. Là question de savoir si l’étude des mathématiques favorise le développement des facultés supérieures de l’esprit, et jusqu’à quel point elle est propre à ce but, a été très-hardiment et très-diversement résolue, quoiqu’on ne l’àit jamais traitée complètement. L’opinion courante et la pratique générale des écoles en Europe n’accordent tout au plus à cette étude qu’une utilité secondaire dans une éducation libérale , c’est-à-dire dans cette éducation où l’individu n’est pas élevé comme un instrument en Vue d’une fin ultérieure, mais comme étant lui-même sa propre fin; en d’autres termes j une éducation ayant pour but immédiat son absolue perfection comme homme, et non sa capacité relative poUr fine profession quelconque.

• Cet article a été Écrit I l'occasion de l’ouvrage suivant: Pensées sur l’élude des Mathématiques , comme partie de l'éducation libérale; par le rév. William WbewUl , M. A. , membre et tuteur du collège de 1* trluité. In-S». Cambridge, |83S. (Revue d' Edimbourg , n« ia6, janvier i836.) L. P.

de l'étude

Toutefois on ne peut nier que les symptômes d’une tendance révolutionnaire dans l’opinion générale , relativement à l’objet et au but de l’éducation , ne deviennent de jour en jour plus sensibles; et comme c’est surtout l’étude des mathématiques que les novateurs prétendent substituer aux anciennes branches d’enseignement, un examen direct et spécial, comme l’est celui-ci, de l’influence de cette étude sur les dispositions intellectuelles, présente, indépendamment de son importance générale , un certain intérêt de localité et de circonstance.

Mais l’intérêt de cette publication est surtout augmenté par la considération du lieu d’où elle émane. En effet, l’université de Cambridge, contrairement à l’opinion générale du monde savant , contrairement à la pratique de toutes les universités passées et présentes, contrairement même à l’intention de ses fondateurs et législateurs, est la seule qui fasse des mathématiques le principal objet de l’éducation libérale qu’elle donne, et de l’habileté mathématique l’unique condition d’un de ses honneurs 1 et le passeport nécessaire pour l’autre; réservant ainsi à la branche la plus étroite d’instruction toutes les places honorifiques ou rétribuées de l’université et des collèges, auxquelles ces honneurs donnent droit, et laissant l’immense majorité des élèves

1 Ln honncurt (horwuri) sont det distribution* annuelle* de prix. (L. P.)

sans encouragement, et les études les plus difficiles et les plus importantes sans protection, ni récompense. Il est vrai que les effets de cette étroite tendance de l’université sont un peu tempérés par quelques heureuses circonstances de la constitution de plus d’un de ses collèges privés; mais toute concession faite pour cet insignifiant et précaire correctif et pour quelques essais récents, mais insuffisants, de législation , on peut reprocher à l’université de Cambridge d’avoir institué et maintenu le système d’enseignement le plus exclusif et le plus imparfait qu’on puisse trouver dans l’histoire de l’éducation. Et ce reproche sera mérité tant qu’elle n’aura pas démontré que l’étude des mathématiques est la meilleure , sinon l’unique méthode à employer pour le développement général de nos facultés Ce fait seul qu’aucun mathématicien de Cambridge n’avait tenté jusques à aujourd’hui de faire cette démonstration si nécessaire à son corps , et si honorable pour sa science, nous avait toujours paru un aveu implicite que l’opinion était insoutenable. Dans cet état de choses, la publication d’un traité évidemment consacré à cette question , et par un membre distingué de l’université , ne pouvait manquer d’attirer notre attention , soit qu’il eût pour objet de justifier la pratique actuelle de l’institution , soit de montrer la nécessité d’une réforme.

Dans ces circonstances, c’est avec un sentiment d’attente et d’intérêt plus qu’ordinaire que nous avons reçu l’écrit de M. Whewell. Sa lecture , faut-il le dire, nous a désappointés. Nous sommes forcés de l’avouer. Notre respect même pour le caractère et le mérite de l’auteur nous fait une loi de la franchise plutôt que de la flatterie. Comme écrivain , M. Whewell n’a plus besoin depuis longtemps des caresses de la critique; la question qu’il agite est trop sérieuse pour permettre les compliments; son autorité, opposée comme elle est ànotre conviction, est trop imposante pour qu’on fasse aucun quartier à ses raisonnements, et nous sommes sûr d’ailleurs qu’il est lui-même trop sincère partisan de la vérité pour accepter d’autre faveur que ce qu’exige l’intérêt de la vérité.

Cet écrit nous a, disons-nous, désappointés, et cela par plusieurs raisons. Nous avons certainement lieu d’être étonnés que l’auteur ne réclame pas pour l’université les vues libérales qu’il a déjà appliquées à son collège. Mais si nous prenons cet écrit en lui-même, comme une justification des • études mathématiques considérées comme le principal moyen d’exercer le raisonnement, et supposant, en outre, que le raisonnement est la faculté dont la culture doit être principalement encouragée dans l’éducation libérale de l’université; si, en un mot, nous le jugeons uniquement dans son propre point de vue, nous dirons encore qu’il nous a désap-

DF. L’ETUDE

pointés, en ce qu’il faillit manifestement à sa tâche. Et de fait , si notre opinion sur la question n’eût pas été déjà arrêtée, la lecture de ce plaidoyer en faveur des études mathématiques n’aurait pu guère servir qu’à nous convaincre de leur inutilité relative.

Avant d’entrer dans les détails, il convient d’établir ici, et une fois pour toutes, par avance, d’abord qu’il ne s’agit pas de la valeur de la science mathématique considérée en elle-même, mais de l’utilité de l'étude des mathématiques comme exercice de l’esprit; et ensuite qu’on ne conteste pas la nécessité de laisser prendre aux mathématiques leur niveau naturel parmi les autres branches de l’instruction académique; on soutient seulement qu’elles ne devraient pas être le principal et encore moins r exclusif objet d'encouragement. Nous ne parlons pas ici d’une éducation professionnelle , mais d’une éducation libérale ; non pas de celle qui fait de l’esprit un instrument pour le perfectionnement de la science , mais de celle qui fait de la science un instrument pour le perfectionnement de l’esprit.

L’étude des mathématiques est de toutes les occupations de l’esprit celle dont l’utilité, comme exercice intellectuel , lorsqu’elle est poussée au-delà d’un certain degré, a été le plus péremptoirement niée par la majorité des juges les plus compétents; et les arguments sur lesquels cette opinion est fondée ont été jusqu’ici plutôt éludés que com-

Digitizad by

battus. Quelques mathématiciens éclairés admettent, à la vérité, tout ce qui a été dit contre leur science, considérée comme principale discipline de l’esprit , et ils prétendent seulement qu’on doit lui laisser une place dans un système d’éducaliou libérale. Nous n’avons donc rien à démêler avec ceux-ci. D’autres partisans plus zélés de cette étude soutiennent toujours que les mathématiques sont d’une importance majeure comme exercice logique; mais ne pouvant pas nier, tant c’est évident, la direction étroite et exclusive quelles impriment à l’esprit, ils essaient de justifier l’étude en général en attribuant ses fâcheux effets à certaines modifications particulières de la science, espérant ainsi ne pas perdre le tout en sacrifiant une partie. Mais ici , par malheur , ils ne sont pas d’accord. Quelquesuns voudraient renoncer à l’analyse moderne, employée comme gymnastique de l’esprit, confessant que sa perfection même, comme instrument de découverte, l’empêche d’ètre un bon instrument de culture intellectuelle, car ses formules portent l’élève mécaniquement et les yeux fermés jusqu’à la conclusion; tandis que, dans les constructions géométriques, s’il est conduit au but par plus de détours, il développe du moins son activité propre, et il a une conscience claire de chaque pas de l’opération. D'autres, au contraire, dégoûtés des opérations compliquées et ennuyeuses de la géométrie,

DE L’ÉTUDE

recommandent l’algèbre comme la méthode la plus utile aux facultés de généralisation et de raisonnement, par le motif qu’en condensant dans le plus étroit espace la plus grosse somme d’idées, elle prévient toute distraction , et rend l’intelligence capable d’opérer pendant pins de temps, plus énergiquement, plus siVrement et plus efficacement. Les arguments en faveur de cette étude se neutralisent ainsi mutuellement) et l’opinion de ceux qui ne lui accordent qu'une utilité secondaire et partielle, loin d’être contredite, a’est pas même abordée .

M. Whewell est d'une classe intermédiaire d'avocats. Tout en maintenant l’importance supérieure des études mathématiques en général , il avoue volontiers que le mal qu’on en a dit est vrai , quant à certaines opinions et pratiques auxquelles il est opposé. Ces défauts ne sont pas pourtant, selon lui, liés soit à la méthode géométrique, soit à la méthode analytique; mais quoique ses propres principes, bien développés, tendissent à invalider la dernière, M. Whewell ne voit le mal que dans quelques abus de détail qu’il signale dans ces deux branches de la science.

Nom avons été désappointés de trouver si peu de chose sur la question générale; et, quant au raisonnement particulier de M. Whewell, nous sommes autorisés à n’en pas tenir compte, attendu qu’on ne saurait admettre qu’une substance suspecte est une

DES MATHÉMATIQUES. Q(jl

nourriture saine par cela seul que quelques morceaux ont été déclarés des poisons mortels. Mais la discussion du point général n’est passeulcment trop courte; elle ne prouve rien. L'auteur nous donne quelques généralités bannales en laveur des mathématiques et des habitudes logiques qu’elles sont supposées produire; mais U ne discute ni les raisons, ni les autorités qui prouvent qu’une étude trop exclusive de cette science tend à rendre l’esprit impropre à l’observation et au raisonnement ordinaires. Sans maintenant entrer dans la critique des détails de son opinion, à quelques-uns desquels nous toucherons pourtant ci-après, nous dirons que la position même de la question est vicieuse. M. Whewell met en opposition les mathématiques et la logique, et entreprend de prouver l’importance générale et élevée des premières en montrant leur supériorité sur la seconde, comme école pratique de raisonnement. Eh bien, quand nous admettrions, ce que nous sommes certes loin de faire , que les avantages des deux sciences ont été complètement exposés et convenablement pesés, la comparaison elle-même serait encore nulle. La logique, suivant une division célèbre, se partage en logique théorique ou générale (ywpiç rp ayu-aftov, docens), en tant quelle analyse les lois pures de la pensée, et en logique pratique ou spéciale (év ypijc-^t , utens ), en tant quelle applique ces lois à une certaine ma-

aga de l’étude

tière ou classe d’objets. La première est une, et soutient le même rapport commun avec toutes les sciences; la seconde est multiple, et se trouve en rapport immédiat avec telle ou telle science particulière, avec laquelle elle s’identifie en fait. Maintenant, comme toute matière est ou nécessaire ou contingente (distinction qu’on peut à la rigueur prendre ici pour équivalente à mathématique et non mathématique ), on a ainsi, outre la logique théorétique ou générale, deux logiques pratiques ou spéciales dans leur plus liaute universalité et opposition.

Logique théorétique :

a. Logique pratique, spécialement appliquée à la matière nécessaire — le raisonnement mathématique.

b. Logique pratique, spécialement appliquée à la « matière contingente = la philosophie et le raisonnement général.

Maintenant la question que se propose M. Whewell est celle-ci : Quel est le meilleur instrument pour bien développer la faculté de raisonnement? Et il répond : tes mathématiques. Mais la faculté de raisonner étant, chez les hommes, appliquée prin ci -

DES MATHÉMATIQUES. ag3

paiement par tous, et exclusivement par le plus grand nombre, à la matière contingente qui comprend, comme le dit M. Whewell lui-même, « les plus importants objets de l’esprit humain, » il lui fallait nécessairement prouver (car on ne pouvait certes le prendre pour accordé) que les mathématiques exercent le raisonnement en matière contingente mieux que la philosophie, etc., c’est-à-dire mieux que la logique même du contingent. Mais c’est ce qu’il n’essaie pas même de faire. Loin de là, rapportant inexactement la coutume de « nos universités, » il commence par oublier complètement l’existence de la logique pratique en matière contingente; et puis, supposant que les mathématiques (la logique en matière nécessaire) sont la seide logique pratique existante, il leur accorde une facile victoire sur la logique théorétique, par ce motif que « le raisonnement, qui est une opération pratique, doit être enseigné par pratique plutôt que par préceptes. » La condition première et toute la difficulté du problème sont par là éludées, car il fallait prouver et non pas supposer ce paradoxe , que l’étude du raisonnement nécessaire est un meilleur exercice pour le raisonnement probable que la pratique même du raisonnement probable, et le justifier par la théorie des lois de la pensée et du raisonnement en général. On peut bien admettre que la logique théorique ne se réalise pleinement

DK L’iiTUDE

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que dans ses applications pratiques ; mais s’ensuit-il de là que l'usage pratique est indépendant de la théorie, ou que le meilleur moyen de se préparer à parcourir le libre champ de chasse de la probabilité soit une locomotion assidue sur le chemin de fer de la démonstration ? Mais nous parlerons de ceci plus loin.

Ayant prouvé par ce commode procédé que les mathématiques « sont un moyen de former les habitudes logiques meilleur que la logique même, » M. Whewell aborde l’importante question suivante •

Jusqu’à quel point peut-on accuser justement l’étude que nous recommandons de fâcheuses conséquences?... Aurat-elle pour effet nécessaire de rendre les esprits moins sensibles à tout ce qui n’est pas raisonnement mathématique ? Les induira-t-elle à exiger, en tout des principes fondamentaux et un mode de déduction qui ne sauraient réellement trouverplacc / dans les questions de politique , de morale ou même de phi-

losophie naturelle ? Si elle avait ce résultat, elle rendrait certainement les hommes incapables des plus importantes occupations de l’esprit humain, etc. Mais, en fait, est-ce là ce qui arrive communément? et si cela arrive quelquefois, et quelquefois seulement, en quelles circonstances cela a^t-il lieu ? Celte dernière question a, je pense, une grave portée pratique, et j’essaierai d’y répondre

* Je répondrai donc que si les mathématiques sont enseignées de manière que leurs fondements paraissent reposer sur des définitions arbiiraires sans aucun acte correspondant de l’esprit, ou si leurs premiers principes sont présentés comme tirés de l’expérience, de sorte que la science entière soit empirique , ou si on regarde comme la plus haute perfection

DES MATHjtM ATIQUES.

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de cette science, de réduire nos connaissances à quelques principes et faits extrêmement généraux dans lesquels tous les cas particuliers sont compris, elles doivent, ainsi étudiées, mal disposer les esprits pour les vérités d’une nature différente. »

Le reste de la brochure est consacré au développement et à la discussion de ces trois propositions.

On remarquera que ni ici , ni ailleurs, M. Whewell n’essaie de défendre les mathématiques contre ces accusations dont il convient ; car ce n’est pas justifier cette science en général (et c’est la science en général qu’on a de tout temps accusée) que de reconnaître , ou même d’exagérer la fâcheuse tendance de quelques futiles opinions d’origine récente, complètement négligées par les accusateurs.

Le principal mérite de la brochure de M. Whewell est dans le développement du premier et troisième point. Le mathématicien est ici sur son terrain. Nous aurions été assez disposés à présenter quelques observations sur cette matière; mais la nature technique du sujet n’aurait aucun intérêt pour la plupart des lecteurs; et nous nous souvenons de l’apophtegme rabbinique : Vies brevis , et opus multum , et pater-familias urget.

Mais nous ne devons pas négliger la seconde proposition; car ici M. Wbewell entre dans la phi* losophie.

DE L’ ETUDE

■■ Toute personne, dit-il, qui s’est occupée de mathématiques, doit voir clairement la différence qui existe entre les mathématiques et les faits empiriques, entre l’évidence des propriétés d’un triangle, et celle des lois générales de la structure des plantes. Le caractère spécial de la vérité mathématique est qu’elle est nécessairement et inévitablement vraie ; et une des leçons les plus importantes qu'on puisse retirer des études mathématiques , c’est de connaître qu’il y a des vérités de ce genre, et de nous familiariser avec leur forme et leur caractère.

Cette leçon n'est pas seulement perdue, mais ou la prend au rebours, si l’on enseigne à l’étudiant que cette différence n’existe pas, et que les vérités mathématiques s’apprennent aussi . par l’expérience. J’ai de la peine ù croire qu’un mathématicien soutint cette opinion relativement nuxvérités géométriques, quoiqu'elle ait été professée par des métaphysiciens d’un talent peu commun, tels que Ilumc. Nous lui demanderions comment l’expérience peut montrer non-seulement qu’une chose est, mais qu’elle doit être ■ par quelle autorité elle prononcera sur tous les cas possibles qui sont encore à se produire dans l'avenir, ou plutôt ne se produiront jamais, elle qui n’est que le simple rapporteur ijes événements du passé. Ou bien, si l’on descend aux applications, nous demanderons à ceux qui prétendent que l’expérience seule nous a appris que deux lignes droites ne peuvent enfermer un espace, comment et par qui l’épreuve a été fuite ? et nous les prions de nous dire de quelle manière on s’est assuré que les lignes employées dans l’expérience étaient parfaitement droites L’erreur dans ce cas est, je pense, trop palpable pour qu’il soit nécessaire de s’y arrêter davantage. »

Maintenant, nous remarquerons, en premier lieu , que la recherche de la nature et de l’origine des principes des mathématiques sort de la sphère des mathématiques mêmes.

Les mathématiques, comme Proclus 1 et Platon 1 l’ont observé, sont fondées sur des hypothèses dont elles 11e peuvent rendre compte, et c’est par cette raison que le dernier leur refuse même le titre de science, « Le géomètre, en tant que géomètre, a dit Aristote, ne peut discuter ses principes 3. » Et Sénèque observe que « la science mathématique est, « pour ainsi dire, une science superficielle ; elle « bâtit sur un terrain emprunté, et les principes « dont elle se sert ne lui appartiennent pas. La phi- « losophie ne demande rien à personne, elle élève « son édifice sur son propre soH. » Ces autorités représentent l’opinion uniforme des philosophes et des mathématiciens anciens et modernes sur ce point.

Mais en second lieu, en admettant qu’un mathématicien méconnaisse les limites de sa science au point de faire une excursion dans les domaines du philosophe, nous ne comprendrons jamais comment quelques généralités de métaphysique, placées à la tète d’un traité de mathématiques, pourraient influer sur la manière d’exposer la science , et ultérieurement sur l’esprit de l’étudiant. Nous doutons fort qu’un mathématicien sur cent ait jamais possédé une opinion , et encore moins le droit d’avoir une opinion sur cette matière.

1 In Euclid., 1. 1, p. 13.

* De Repub., I. VI el VII.

* Po»t Aralvl., 1. 1, c. i», j 3. eojei Phy«., 1. 1, e. a, leit. 8.

* Epiai. 88.

298 DE L*ÏTÜDE

En troisième lieu, que doit-on penser de cette assertion , que l’étude des mathématiques est indispensable pour nous révéler l’existence des vérités nécessaires? Qu'il y ait certains jugements que nous sommes obligé» de reconnaître comme nécessaires, c’est là un fait qui n’a jamais été ignoré ni contesté par personne. Ce qui a été révoqué eu doute par quelques philosophes, c’est si ces jugements nécessaires sont des •vérités ; mais pour ce doute les mathématiques ne peuvent fournir aucune solution , ni même aucun élément de solution. Les propositions sur lesquelles cette science bâtit tout son édifice de démonstrations sont aussi bien connues du commençant qui ouvre sonEuclide, que des Euler et des Laplace; mais elles appartiennent avant tout, et par un droit antérieur, au philosophe auquel le mathématicien est toujours obligé de recourir lorsqu’il s’agit de les établir ou de les défendre.

En quatrième lieu , si M. Whewell « a de la peine « à croire qu’aucun mathématicien voulût soutenir « que les vérités mathématiques s’apprennent par « l’expérience, » nous ne comprenons pas pourquoi il prend la peine d’écrire ce Traité contre cette opinion , comme actuellement soutenue par « toute une école de mathématiques. » Peut-être par ces mots, « aucun mathématicien, » entend-il aucun mathématicien digne de ce nom. Mais si cette école est si méprisable, pourquoi écrire, et si sérieusement, contre elle ? Nous remarquerons, en passant,

DES MATHÉMATIQUES. agg

que, dans la brochure de M. Whewell, cette contradiction n’est pas la seule qu’il nous a été impossible

d’expliquer.

Mais, cinquièmement, cette distinction repose elle-même sur une erreur. Pour justifier les mathématiciens, nous n'avons pas besoin d’aller plus loin que sir John Leslie : « La géométrie ( dit ce penseur « vraiment original , qui était bien certainement un « mathématicien ) est également fondée sur l’obser- « vation , mais sur une observation si familière et « si évidente, que les notions primitives quelle « fournit pourraient sembler intuitives. » Quant à l’accusation portée contre les métaphysiciens , pourquoi Locke n’a-t-il pas été mentionné à la place de Hume? Hume, en avançant une telle doctrine, n'aurait fait que développer sceptiquement ce que Locke avait établi dogmatiquement. Mais Locke lui-méme avait reçu cette opinion d’un mathématicien, car il doit cette partie de sa philosophie à Gassendi ; et , ce qui est assez curieux , il abandonne ici le scolastique, auquel il avait emprunté, comme base de sa philosophie , la double origine de nos connaissances, la sensation et la réflexion ; car ce maître non avoué avait sur cette question, ainsi que sur beaucoup d’autres , des opinions bien plus profondes que celles de son disciple. Quant à Hume, M. Whewell s’est tout-à-fait trompé. Ce philosophe n’a pas, certes, prétendu « que les vérités géométri» « que» sont enseignées par l’eapériençél » çar, tqut

3oo DE L’érUDE

en faisant peu de cas des mathématiques, comme étude, il était trop pénétrant pour émettre une opinion aussi absurde, quant à leur principe; et, de fait , il est célèbre pour avoir soutenu précisément l’opinion contraire. Sur ce point, il n’était ni sensualiste, ni sceptique; mais il abandonna Locke et Ænesidème pour passer du côté de Leibnitz.

En sixième lieu , la condition de nécessité est regardée avec raison par M. Whewell comme le critérium de toute connaissance pure ou a priori. Mais loin que ce soit là une vérité vulgaire familière à tous les mathématiciens , nous y voyons seulement la preuve que M. Whewell vient de s’initier à la philosophie kantienne, dont il rapporte ici un des plus fameux principes et un des exemples ordinaires. Ce principe avait été, il est vrai, énoncé par Leibnitz , mais ce philosophe négligea de le pousser jusqu’à ses applications les plus importantes. Dans sa philosophie, nos conceptions de X espace et du temps sont dérivées de l’expérience. On peut encore en apercevoir la trace confuse dans Descartes et chez plusieurs des métaphysiciens qui l’ont précédé > mais à coup sûr ce n’était pas une chose palpable, et à l’égard de laquelle les mathématiciens pussent élever quelque prétention. D’après ce principe, tel qu’il a été développé par Kant, Yespace et le temps sont de pures modifications de l’esprit, et les mathématiques n’ont ainsi pour objet

DES MATHÉMATIQUES. 3oi

que des pensées nécessaires, pensées qui ne peuvent même jamais prétendre à la vérité et à la réalité objectives. Les fondements de la science se trouventils par là mieux assis? — Mais passons à des matières plus importantes.

C’est une observation ancienne et universelle, que selon la différence des études l’esprit reçoit une culture différente; et comme le but d’une éducation libérale consiste dans le développement général et harmonieux des diverses facultés dans leur subordination relative, on a depuis long-temps reconnu qu’il serait insensé d’attendre ce résultat de l’exclusive application d’une étude déjà exclusive par elle-même. Les effets d’une éducation dirigée d’un seul côté ne consistent pas seulement, ainsi qu’on l’a remarqué, dans le développement disproportionné d’une faculté aux dépens des autres, mais aussi dans l'éducation exclusive de cette même faculté pour une sphère d’action spéciale ou pour une classe particulière d’objets. Personne n’a mieux vu cela qu’Aristote ; personne n’a mieux exposé les mauvais effets d’une telle culture sur l’«nsetnble et sur chacune des facultés de l’esprit

« L’instruction, dit-il, se fuit différemment selon les habitudes d’esprit. Il nous semble que tout doit être enseigné de la manière à laquelle nous. sommes accoutumés; et le même objet présenté d’une manière qui ne nous est pas familière, nous parait différent, et même étrange et inconnu; car ce qui est accoutumé est le mieux connu. Combien forte est l’influence de la coutume , c’est ce que prouvent les

3oa

DE L’ih'DDE

lois où le fabuleux et le puéril ont , par l'habitude , plus d’in- Quence que l’utile et le convenable par In connaissance raisonnée. Voilà comment quelques-uns, (qui se sont trop habitués aux études mathématiques), ne veulent rien admettre que ce qui est démontré à la manière des mathématiciens; d'autres, (ceux qui ont exclusivement cultivé le raisonnement analogique) ue veulent que des exemples; pour d’autres encore, (dont l'imagination a été exercée aux dépens du jugement), il faut le témoignage d’un poète. Il en est qui veulent qu’on leur explique et développe tout; taudis que d’uutres, soit par légèreté, soit par impuissance de suivre un long raisonnement, trouvent tout développement ennuyeux... C’est pourquoi nous devons nous exercer et habituer à différentes sortes et degrés d’évidence, suivant la nature de chaque objet. ■ (Métaph.,1. II, e. 6, 14.)

Et ailleurs :

« C’est le propre d’un homme élevé convenablement de ne demander sur chaque chose que le degré d’exactitude que comporte la matière ; il ne Serait pas moins absurde, en effet, de supporterun mathématicien qui ferait de la rhétorique, que d’exiger d’un orateur des démonstrations. Mais chacun est compétent dans les matières qu’il connaît, et en est bon juge. Celui-là doit juger bien de chaque chose en particulier qui a été instruit dans chacune ; celui-là juge bien en général et en tout qui a été instruit dans tout. » (Eth. Nicom. I. I, c. 1. )

Mais il y a une immense différence entre une étude et une autre , quant à l'étendue de leur action. Les unes exerceront, et par conséquent dévelopjteront une faculté dans une seule direction ou à un faible degré, tandis que d’autres, par la variété d’objets et de rapports qu’elles embrassent, mettent fortement en jeu tout l’ensemble ries plus hautes facultés, et pourraient presque prétendre accomplir seules l’œuvre d’une éducation générale.

Si nous consultons la raison , l’expérience et le témoignage commun des temps anciens et modernes, aucune étude ne tend à cultiver un moindre nombre de facultés, et d’une manière piu9 incom-* plète , que les mathématiques. C’est ce qui est reconnu de tous les hommes qui ont écrit sur l’éducation avec un peu de jugement et d’expérience ; et c’est ce que ne contestent pas même ceux qui s’opposent le plu# vivement à ce qu’on les exclue tout-àfait de l’éducation libérale. L’Allemagne est un pays qui a laissé bien loin tous les autres dans la théorie et la pratique de l’éducation. Les trois citations suivantes représentent l’état actuel de l’opinion dans les trois royaumes de la confédération germanique, qui, pour les lumières, occupent le rang le plus élevé, la Prusse, la Bavière et le Wurtemberg.

« On demande, dit fiernhardi, (nn des hommes les plus intelligents et les pins expérimentés en matière d’instruction qu’on puisse trouver en Prusse) on demande, si les mathématiques développent le jugement, la faculté de raisonner, l’intelligence en général, dans tous les sens? Nous sommet» forcés de répondre : non ; car elles a’exercent les facultés que . relativement à la connaissance de la quantité, négligeant complètement celle de la qualité. Et d'ailleurs cette évidence mathémathique, cette coïncidence parfaite de la théorie et de la pratique, les retrouve-t-on dans les autres branches de nos connaissances? L’examen plus superficiel prouve tout le contraire, et nous apprend que les mathématiques tendent nécessairement à introduire dans notre vie intellectuelle cette rigidité glacée, qui, marchant obstinément droit à son but, n’a

DE LÉTUDE

aucun égard aux moyens par lesquels il peut être atteint dans des matières dilférenles »

La seconde autorité que nous citerons est celle du philosophe éminent qui a pendant long-tems dirigé avec tant de fruit l’Institut royal des études à Munich. m '

« Les mathématiques et la grammaire, dit de Weiller, diffèrent essentiellement quant à leur influence, comme moyens généraux de culture intellectuelle. Les premières s’occupent uniquement des intuitions de l’espace*et du temps, et sont, par conséquent, dans leurs bases mêmes, circonscrites dans une portion restreinte de notre nature; tandis que la dernière , opérant sur les notions primitives de notre vie intellectuelle, s’étend sur tout son empire. Par cette raison, l’exercice grammatical de l'esprit, doit, pour être employé arec fruit , précéder l’exercice mathématique. C’est ainsi que nous comprendrons pourquoi l’action des mathématiques ne s’étend pas aussi largement sur le champ de l’intelligence ; pourquoi elles ne déreloppeut jamais l’esprit en autant de sens, et pourquoi elles ne pénètrent jamais aussi profondément. Les mathématiques ne stimulent pas les facultés de la pensée dans leur essence intime ; elles ne font que les * soumettre à un certain ordre et rigueur purement extérieurs ; et l’esprit y prend plutôt une certaine précision de formes que de la fécondité et de la profondeur. Cette vérité a été confirmée d’une manière remarquable par l’expérience de notre propre institution. Les meilleurs de nos anciens élèves des classes réelles1 pourraient, en général, soutenir diffi-

1 Ansichten , etc. , c’est-à-dire , Pensées sur f organisation des Écoles tarantes , par A. F. liernhardi, docteur en philosophie, directeur et professeur du gymnase de Frédéric, à Berlin, et membre du conseil consis-

torial; 1818.

* On nppclle classes réelles et écoles réelles , en Allemagne ( real tchülen), celles où l’on enseigne le calcul , la géométrie , le dessin linéaire , la mécanique , et généralement la partie pratiqua des sciences exacte*. (L. P.)

cilemenl la comparaison arec les plus médiocres élèves latins, non -seulement en matière de langue, mais sur tout autre sujet qui demanderait une pensée plus développée *.

Le troisième témoignage que nous invoquerons est, il faut le remarquer, celui d’un homme qui a plus de propension au réalisme qu’on n’en trouve généralement aujourd’hui chez les Allemands, après l’expérience du passé.

« Il faut admettre avant tout, dit Klumpp, que les mathématiques ne développent l’esprit que sous une seule face. Elles ont pour unique objet la forme et la quantité. Elles s’arrêtent donc, pour ainsi dire, à la surface des choses, sans pénétrer jusqu’à leurs qualités essentielles, ou à leurs relations internes, de beaucoup les plus importantes, (par exemple les sentiments et la volonté), et, par conséquent, sans mettre en activité les facultés les plus élevées. Ainsi donc, tandis que la mémoire et l’imagination demeurent en grande pnr-

1 Extrait d'une dissertation qui accompagne le Rapport annuel de l'Institut royal des études , à Munich, pendant l'année iSaa, par le directeur Cajelan de Weiller, conseiller privé, secrétaire perpétuel de l’Académie royale des sciences , etc. Ce témoignage est digne d'attention , non seulement à cause des talents distingués . du savoir et de l’expérience de celui qui parle , mais parce qu'il a trait au résultat d'une expérience désastreuse faite par l’autorité du gouvernement dans tontes les écoles d'un grand royaume , expérience dont certains empiriques recommanderaient la répétition parmi nous. Mais l'épreuve qui , dans des écoles organisées et contrôlées comme celles de Bavière , put être immédiatement abandonnée dès que ses funestes effets devinrent suffisamment apparents . ne pourrait, dans les nôtres, finir que par leur ruine complète , ou par une transformation qui ferait de ees instruments, déjà fort incomplets, de haute culture intellectuelle, des instruments directs d’une barbarie déguisée. Empêchons dès à présent, s'il est possible, que l'expérience des autres nations soit entièrement perdue pour nous FpIIi qnem fieiunl aliéna pcrletil.) nnlnm.

3p6 pp p’iîTiiop

lie sans occupation ,11 n’y a, rigoureusemfnt parlant, que l’cntçndemenl qui fonctionne, et encore n'es(-i) développé et di-e rigé que daps un sens spécial. Les mathématiques pe peuvent prétendre ni à une culture Tariée, ni a un développement complet et harmonieux de toutes les facultés. Ceci d’ailleurs est parfaitement confirmé par l’expérience; car on soit que beaucoup de mathématiciens, quelque instruits et estimables qu’ils puissent être d’ailleurs , se font remarquer par une certaine exclusivité d’idées, et par leur manque de tact pratique. Ainsi • donc, si l’on veut employer avec fruit l’instruction mathématique, comme moyen de culture intellectuelle, il faut remplir les rides qu’elle laisse par d’autres objets d 'étude, pour obtenir cette évolution harmonieuse des focullés, que le haut enseignement doit nécessairement se proposer pour fin '■

En confirmation du même fait, nous ajouterons le témoignage d’un des plus sagaces observateurs. « Cela me prouve aussi (dit Goethe dans une lettre à « Zelter), de plus en plus clairement, ce que j’avais « à part moi remarqué depuis longtemps; c’est que « la culture donnéç par les mathématiques est, au « plus haut degré, exclusive et restreinte. Voltaire « n’hésite pas à affirmer quelque part que la géomé- « trie laisse l’esprit où elle le trouve. Franklin a éga- « lement exprimé de la manière la plus formelle sou « aversion particulière pour les mathématiciens, parce « qu’il les trouvait, dans les rapports sociaux, insup-

‘ Die Geiehrten schulen, etc.; c’est-à-dire : les Écoles savantes, conformement aux principes de notre nature et aux besoins de C époque , par M. IS- Klumpp. professeur au Gymnase rojalde Stuttgart, tSag, vol. II, liage 4 1 . Ou trouvera dans le Conversations lexicon fur neuesten zeit , I. p. ;>7, une notice très-iniéressante sur l’école établie en i83r, d’après les principes de Klumpp . par le roi de Wurtemberg . à son palais de Stetten.

ed.by.CoQgJe

Diç

DES MATHÉMATIQUES. 3o7

« portables par leur esprit pointilleux et ergoteur'. » D’Alembert même, mathématicien et panégyriste déclaré des mathématiques, ne peut pas nier entièrement l’effet qu’on leur impute de glacer et de dessé cher l’esprit; mais il tâche de le dissimuler. « Nous « nous contenterons de dire que si la géométrie « (comme on l’a prétendu avec assez de raison) ne « redresse que les esprits droits, elle ne dessèche et « ne refroidit aussi que les esprits déjà préparés à « cette opératipn par la nature *. »

Quel aveu pourtant!.. On voit que la panacée de Cambridge est un remède qnj, loin de donner la santé, tend à développer les germes de maladie.

Enfin Descartes, le plus grand mathématicien et, malgré ses mathématiques, le plus grand philosophe de son siècle, était convaincu par sa propre expérience que ces connaissances, très-précieuses d’ailleurs comme instrument de science extérieure, étaient absolument nuisibles comme ijmyen de cuir ture intérieure.

«H y avait déjà long-temps, (dit son biographe « Raillet, Année iüa3, la vingt-huitième du philou sophe) que sa propre expérience Tayait convaincu « du peu d’utilité des mathématique^, surtout lors- « qu’on ne les cultive que pour elles-mêmes, sans « les appliquer à d’autres choses... Il ne voyait rien

* Briefwech&el zwischrn etc . , c’est-à-dire : Correspondance entr , Goethe et Zelter , i833, 1, p. 43o.

• Mélanges, t. IV, p. ifti. Çd. *;63.

« rie moins solide que de s’occuper de nombres « tout simples et de figures imaginaires, comme si « l’on devait s’en tenir à ces bagatelles, sans porter « sa vue au-delà. Il y voyait même quelque chose de « plus qu’inutile. ..Sa maxime était que cetteapplica- « tion nous désaccoutume insensiblement de l’usage « de notre raison et nous expose à perdre la route que « sa lumière nous trace. » ( Cartesii Lib. de direct ione i tige ni i , régula 4-) «Dans une lettre au P. Mer- « senne, écrite en i63o, M. Descartes le fit souvenir « qu’il avait renoncé à l'étude des mathématiques « depuis plusieurs années; et qu’il tâchait de ne plus « perdre son temps à des opérations stériles de géo- « métrie et d'arithmétique, dont la fin n’aboutissait « à rien d’important. » A propos du caractère de ce philosophe en général, Baillet ajoute : «A l’égard du « reste des mathématiques (il vient, de parler de l’astronomie que Descartes regardait , quoiqu’il ne put s’empêcher jl’y rêver, comme une perte de temps), ceux qui savent le rang, qu’il tient au-dessus « de tous les mathématiciens de l’antiquité et des « siècles modernes, conviendront qu’il était l’homme « le plus capable d’en juger. Nous avons remarqué « comment, après les avoir toutes pénétrées jusqu’au « fond, il avait renoncé à celles qui ne sont d’aucun « usage pour la conduite de la vie et le soulage- « ment du genre humain *. »

Depuis les temps les plus anciens, les observa-

• La rieiê Deteartit . I" p«rt. p. 1 1 1, i n, «5. — n« part. p. '.Si .

DES MATHÉMATIQUES. 3oQ

leurs ont remarqué combien sont opposées les habitudes d’esprit que l'étude des sciences mathématiques et celle des sciences philosophiques nécessitent et entretiennent. Cette opposition a pour principe la triple différence de leur objet , de leur 'fin, et de leur manière de considérer leur objet ; différence inhérente à ces sciences mêmes qui, mettant en action chez ceux qui les cultivent des facultés différentes, ou la même faculté à des degrés et dans des directions diverses, déterminent un développement intellectuel si dissemblable que l’aptitude pour une de ces sciences a été regardée, non sans raison, comme un signe d’incapacité pocfr l’autre.

Quant à leur objet. En premier lieu, les sciences mathématiques sont limitées aux seids rapports de quantité, ou, pour parler plus exactement, à un seul rapport des quantités, l’égalité et l’inégalité; les sciences philosophiques, au contraire, ne sont enfermées dans aucune des catégories ; elles s’étendent aussi loin que l’existence avec tous ses modes, et n’ont d’autres limites que celles de l’esprit humain lui-méme. En second lieu, les mathématiques ne s’occupent point des choses, elles ne roulent que sur des notions, et toute la science ne consiste que dans la séparation, la réunion et la comparaison de ces notions. La philosophie, au contraire, a principalement pour objet les réalités; elle est la science de l'existence réelle, et non pas seulement de l’existence abstraite.

bE i/ÉTübE

3io

Quant à leUt* fin fet à leur manière d’atteindre dette fin, il est certain que les mathématiques et la philosophie ont pour but commun la vérité ou la Science; mais cette science est d’une espèce différente dans les deux études. En mathématiques, tous les principes sont donnés ; en philbsdphie, il faut les chercher et les établir «presque tous. Dans les premières, les principes donnés sont à la fois matériels et formels , c’est-à-dire, ils fournissent en même temps et les conditions de la construction de la science, et les conditions de la connaissance de dette construction ( principia essendi et cugno.s- ' céndi). Dans la seconde, les principes donnés sont purement formels, n’étant que les conditions logiques de la possibilité abstraite de la connaissance. En mathématiques, la science tout entière est virtuellement contenue dans ses data ; elle n’est que l’évolution d’une connaissance en puissance en une Connaissance en acte, et son procédé est en conséquence purement explicatif. En philosophie, la sélence n’est pas contenue dans des data; ses principes ne sont, que les règles qui nous guident dans la recherche, la preuve et l’arrangement dè la science; c’est une transition d’une ignorance absolue à la connaissance, et soh procédé est ën conséquence ampliatif. En mathématiques, on commence toujours par la définition; en philosophie, c’est par la définition qu’on finit le plus souvent. Les mathématiques ne savent rien des causes,

DES mathématiques 3ii

et la philosophie est la recherche des causes. Les premières n’enseignent que le fait 5-n); la dernière

recherche sur tout h'.pbütyuoi (fi vérité des

mathématiques est l’accord de la pensée avec ellemême; la vérité de la philosophie est l’aécord de la pensée avec l’existence. De là l’absurdité de toute application de la méthode mathématique à la philosophie.

Mais c’est surtout par la manière différente dont elles considèrent leur objet que les mathématiques et la philosophie sont un exercice si différent pour l’esprit. Premièrement, sans entrer dans la nature métaphysique du temps et de l’fespace, comme basés des quantités discrètes et Concrètes, de l’arithmétique et de la géométrie, il suffit de dire que l’espace et le temps, en tant que conditions nécessaires de la pensée, sont pour nous absolument uns; chacune de leurs manifestations, quoique saisie comme individuelle dans l’acte de conscience, est en même tetnps reconnue comme universelle, virtuellement et en fait. Ainsi donc la science mathématique, dont toutes les conceptions (le nombre, la figure, le mouvement) ne sont que des modifications de ces formes fondamentales, séparées ou combinées, n’établit pas leur universalité à posteriori par l’abstraction et là généralisation; mais elle saisit d’un seul coup le général dans le particulier. Les notions de la philosophie, au contraire, soht toutes, à peu d’exceptions près, des généralisations de l’expériènce, et comme

3u DE l’ÉTUDE

l’universel est la règle sous laquelle le philosophe pense l’individuel, la philosophie, à l’inverse des mathématiques, voit le particulier dans le général.

Secondement, en mathématiques, la quantité, quand on ne la sépare pas de la forme, est réellelement présentée à l’entendement sous une image lucide ou une figure sensible , et les quantités qui ne peuvent être ainsi présentées distinctement à l’imagination et aux sens ne sont jamais que des synthèses de l’unité, des répétitions de l’identité, adéquatement formulées, quoique conventionnellement, par la combinaison d’un petit nombre de symboles très-simples. Ainsi, en géométrie, au moyen d’une construction , sensible, et en arithmétique et cm» algèbre, au moyen d’uneconstructionsymbolique, l’intelligence est soulagée de tout effort dans la contemplation de ses objets ; et elle peut opérer sur eux avec la même facilité et sécurité que dans l’observation des réalités concrètes de la nature. La philosophie, au contraire, s’occupe principalement de ces no, lions générales qui sont pensées par l’entendement, mais qui ne sauraient être peintes à l’imagination. Bien plus, outre qu elle est ainsi privée de la clarté et de la précision des notions mathématiques, la philosophie ne possède pas une langue qui puisse exprimer adéquatement les siennes propres; et le langage commun, vague et insuffisant , ne donne pas à ses abstractions la garantie et le secours qu’obtient si complètement sa rivale, quoiqu’elle en ait bien moins besoin ,

dans l’absolue équipollence de la pensée mathématique et de l’expression mathématique.

Troisièmement, les mathématiques partant de certaines hypothèses fondamentales, et ces hypothèses déterminant exclusivement toute leur marche, et les images et symboles qu’elles considèrent étant clairs et simples, les déductions de cette science sont apodictiques ou démonstratives; c’est-à dire qu’à chaque pas de la déduction la possibilité du contraire est exclue par la position même des termes. Mais, en philosophie, nous ne pouvons presque ja mais, excepté en logique, arriver à cette certitude démonstrative : la certitude probable, c’est-à-dire celle qui ne donne pas la conscience de l’impossibilité du cpntraire, est tout ce que nous pouvons obtenir; et celle-ci encore n’étant pas déduite de data fondamentaux, il nous la faut chercher autour de nous, la recueillir et la tirer du dehors.

On peut voir par ce contraste général combien une étude trop exclusive des mathématiques, loin de préparer l’esprit à la philosophie et à la pratique, l’en rend au contraire incapable. Il en- résulte une inaptitude pour l 'observation soit interne , soit externe, pour l' abstraction et le raisonnement ordinaire,, et une disposition au double défaut d’une crédulité aveugle ou d’un scepticisme déraisonnable.

Personne sans doute ne voudra soutenir que les mathématiques, dont l’objet est purement idéal, dont les principes sont donnés , où l’on déduit

De t’éttiflt

toute la science de ces principes seuls -, ët où celui qui fait la déduction est, comme le dit Aristote, non pas acteur mais simple ipec tuteur , puissent favoriser l’exercice des facultés d observation , soit dans leür réflexion sur nousmêmes , soit dans leur application aux affaires de la vie ou aux phénomènes de la nature. Mais nous reviendrons sur ce point»

11 n’est pas moins évident que les mathématiques n’exercent nullement la faculté de généra/isatioH. Les figures de la géométrie ne sont pas des abstractions , mais des formes concrètes de l’imagination et des sens , et le plus grand mérite de la notation Symbolique de l’algèbre et de l'arithmétique consiste, de l’aveü des mathématiciens philosophes les plus éclairés , à soulager l’esprit dé tout effort intellectuel , en substituant des signes aux notions et des opérations mécaniques aux opérations tnen*tales. En mathématiques, les genres et espèces sont à peine Connus.

La géométrie, comme oh l’a justement remarqué, exerôé plutôt le dernier degré de l'imagination* qu’âùcuné des facultés plus élevées de l’entendeméht.

1 Le mot imagination a été employé, dans oés derniers tèinps, dânè uhe acception plus restreinte, pour exprimer seulement l’imagination créatrice et productive. M. Dugald-Stewnrt a appliqué à l’imagination reproductive le terme conception, avec peü de butihéur, & noire aVis , car, èoit grammaticalement , soit par l’exemple des plus anciens et plus exacts philosophes t ce mot équivaut à notion générale , et, dans ce sens, il est admirablement rendu par le btgrifjf{éhe grasping up , empoigner, gripper) des Allemands.

DES MATHÉMAÏlQUKS. 3 1 §

« Le géomètre , dit Philopon , contemple les formes « divisibles dans l'imagination; l’imagihatioh lui sert « de tablette.* » «Ceux, dit Albert-lé Grand, dont « l’organe d’imagination pour recevoir les figures est « modérément sec et chaud Ont du goût pour les « sciences mathématiques *. » — «Partni les philo- « sophes , dit le mathématicien , philosophe et poète « Fracastor, les uns aiment à rechercher les causes « et les substances des choses, et ce sont les philo- « sophes proprement dits. D’autres s’occupent de « préférence des rapports de quelques accidents * « tels que les nombres, les figures et en général les « quantité i. Ceux-ci sottt principalement remarqua- « blés par l’imagination , dans les parties centrales « du cerveau. Aussi ont-ils cette partie chaude, « large et propre à bien retenir. C’est pourquoi ils « imaginent très-bien comment les choses se com- « posent dans le tout et dans leurs Rapports entre « elles. Or, nous avons dit qiie chacun aime à faire « ce à quoi il est apte. Ainsi donc, Ceux-ci s’appli- « q uent principalement à ces connaissances qui ré- « aident dans l’imagination, et on les appelle màthé- * ittaticiens.1 * 3 » Quoique nous ne croyions fias au système de Gall, on tte peut cependant douter qu’il ri’y ait dans le même individu divers degrés d’ima-

1 tn Aristot. de anima, sig. B. IV, ed. Triocarelli, «535. ( Arisi. I. I,

* In melaph. Arist. I. I, tract. I, c. 5.

• De imtelUclione, |. II, opéra. I* 148, édit. 3, VéSet., rî8*.

3i6 db l’étude

gination suivant Ja nature différente des objets, et parmi ces variétés la plus remarquable est la capacité spéciale de certaines personnes pour se représenter et retenir les quantités et les nombres, capacité qui est la condition du génie mathématique. — « L’étude «des mathématiques » dit Descartes, (et il reproduit fréquemment cette observation) « exerce princtpale- « ment l’imagination en la considération des figures « et des mouvements. 1 » C’est même par ce fait qu’il explique l’incapacité des mathématiciens pour la philosophie. — « Cette partie; de l’âme , dit- il , dans « une lettre au père Mersennè , c’est-à-dire l’iuiagi- « nation, qui est principalement favorable à l’habi- « leté mathématique, est plus nuisible qu’utile dans « lesspéculationsmétaphysiqjuesï.»SirK.enelmDigby dit avec beaucoup de finesse: «Je dois remarquer, « ainsi que l’a déjà fait il y a longtemps notre cum- « patriote Roger Bacon, que les étudiants qui s’oc- « cupent beaucoup île ces notions qui résident eu- « tierement dans la fantaisie, ne peuvent que diffi- « cilement réussir dans les spéculations abstraites et « métaphysiques ; car dans les unes on a toujours « comme base solide et point de départ (au moins « pour poser un pioil) la matière ou ses accidents ; « tandis que les autres ilottent et volent sans cesse, « au milieu d’un air subtil, autour d’un point qui

* Lettres , p. 3, leur. su.

* Episl. p. a, ep. sum.

DES MATHEMATIQUES. 3iy

« va toujourss’amoindrissant. Aussi a-t-on remarqué « généralement que les plus exacts mathématiciens « qui ne s’exercent que sur les figures, les lignes et « les autres différences de quantité, sont tres-rare- « ment supérieurs en métaphysique et en théologie,

« pas plus que les professeurs de ces sciences dans « les autres arts. bien moinsencore peut-on attendre « d’un excellent médecin, dont l’imagination est « toujours remplie des drogues qu'il prescrit à son « apothicaire pour composer ses remèdes et dont « les mains et les yeux sont accoutumés à disséquer « et examiner les cadavres, qu’il s’amuse àguinder ses « pensées jusqu’à la hauteur insaisissable de l’intel- « lect pur, d’une âme incorporelle et tout à. fait sé- « parée1. La philosophie de Kant et les sectes qui en dérivent ont également reconnu le rapport de dépendance des mathématiques avec le plus bas degré de l’imagination.

L’étude de la démonstration mathématique est principaleinentrecommandéeparM. Whewel comme exercice pratique du raisonnement en général; or, c’est précisément sous le rapport pratique que son inutilité est peut-être le plus évidente. Le raisonnement, en général, a presque exclusivement pour objet le contingent. Si donc , ainsi qu’on le- prétend, la démonstration mathématique est le meilleur exercice de logique pratique, elle doit atteindre

1 Obirrvationt sur II R.ligio medici de sir Tho. Brown. Sut initia.

3|P Rf I.’ÜTUpf.

ce but en nous armant contre les chances d’erreur qui nous assiègent et en détruisant les principaux obstacles que nous rencontrons dans nos raisonnements probables. Or, les dangers et difficultés de cette espèce de raisonnement résident entièrement dans sa forme , dans son moyen de transmission et dans sa matière.

Quant à la forme, l’étude des mathématiques ne développe nullement te sagacité nécessaire pour découvrir et écarter les erreurs qui ont leur source dans la pensée même du raisonneur. I^a démonstration n’est démonstration qu'autant que la nér cessité d’un des contraires et l'impossibilité dp l'autre sont, par 1a nature de la matière même, absolument évidentes et claires potÿr la conscience, a chaque pas de 1a déduction. Ainsi dppc, le raisonnement mathématique, par cela seul qu’il est démonstratif, ne laisse place a aucune sorte do sophistication de 1a pensée; la nécessité de son objet nécessite 1a correction de sa forme; par consé^ quent, il ne peut nous prémunir pt armer contre cette fqrinjdable source d’erreurs. M. Wbewel nous dit que « dans les mathématiques, l’étudiant se fa- « miliarise avec les plus parfaits exemples de cpn- « clusious exactes ; qu'il est forcé de fixer continuel- « lement son attention sur les conditions dont défi pend l’irrésistibilité de la démonstration; et que « dans les essais infructueux et imparfaits de dè- « monstration faits par lui ou par d’autres, il a sous

DF.S M ATHM1 VI lyilFS. 3|Ç)

« les yeux les exemples des sophismes les plus na- « turels , exposés et corrigés. » (P. 5.) Nous aurions désiré que la connexion des premières phrases de cette assertion avec la dernière eût été établie par quelque chose de mieux que par un e(; et que l’idée nouvelle exprimée dans cette dernière même eut été expliquée et éclaircie par quelque exemple. Si la vérité de notre opinion n était pas si manifeste par elle-même, nous pourriqns invoquer le fait, déjà indiqué par Aristote et toujours confirmé depuis par l’expérience, que les mathématiques sont les seules sciences qui aient continué à faire des progrès sans “ apparence d’uqp rétrogradation », et même (quant à leur objet propre) a sans une dispute. » Les mathématiques ont, dès l’origine, brisé l’enveloppe du fruit; la philosophie combat encore pour la pulpe. Par conséquent, la logique, comme doctrine de la forme du raisonnement, si utile en tout autre sujet , est sans valeur pratique en mathématiques; et loin « déformer les habitudes logiques mieux que la logi- « que même, «comme l’assure si hardiment M. Whewel, les mathématiques n’en peuvent pas former du tout. L’art de raisonner juste ne peut, certes, être enseigné par une méthode dans laquelle il n’v a pas de raisonnement faux. On n'apprend pas à nager dans l’eau par un exercice préalable dans un réservoir de vif -argent; et pourtant si les mathématiques sont bonnes pour contrebalancer notre tendance naturelle vers l’erreur, pourquoi ne pas rg*i