SUR LA MÉTAPHYSIQUE DE LA GÉOIHETRIE. 3'J'J

non-seulement l'étendue ^ mais encore l'espace ; il doit admettre non-seulement un espace déterminé qui renferme un corps donné, mais encore un espace infini qui contienne tous les corps réels et possibles. Otez la conception de l'étendue , toute la géométrie est renversée; otez la conception de l'espace, toute la géométrie n'est plus que la réunion des propriétés de certaines grandeurs renfermées dans des espaces déterminés , et non ce qu'elle est réellement , c'està<>dire , l'ensemble des propriétés de toutes les grandeurs réelles et possibles; les conceptions d'étendue et d'espace peuvent donc être regardées comme les données géométriques , données sans lesquelles la géométrie ne saurait exister, et l'examen de ces données doit être la première partie de cette dissertation. Après Texamen de ces données , vient naturellement celui des principes sur lesquels repose la géométrie. Il faut distinguer deux sortes de principes géojnétriques qui ont été trop souvent confondus, les uns improductifs, les autres productifs ; les uns desquels on ne tire aucun résultat , mais sans lesquels tout résultat serait impossible à obtenir; les autres, au contraire, qui renferment en eux toute la géométrie; les premiers sont les axiomes; les seconds sont les définitions. Qu'on passe en revue tous les théorèmes de la géométrie, on se convaincra fiicilement que les axiomes et les définitions jouent toujours le rôle que nous venons d'indiquer ici; on verra que la géométrie, quoique sans les axiomes elle ne puisse exister, n'est pas cependant bornée

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aux axiomes ; on verra en même temps que le géo* mètre j quoiqu'il ne puisse rien tirer des axiomes , ne pourrait , sans eux , obtenir aucun résultat ; on verra enfin que la géométrie tout entière sort des

définitions avec le secours des axiomes.

Après avoir examiné les principes d'une science , il est naturel de passer aux méthode avec, lesqudiles l'intelligence humaine tire cette science des principes qui la renferment. Il existe diverses méthodes suivies par les géomètres ^ soit pour la solution des problèmes j soit pour la démonstration des théorèmes , et l'examen des définitions et des axiomes doit être suivi de l'énumération et de la description de ces méthodes.

Enfin j une fois les méthodes géométriques énumérées et décrites , il restera à reconnaître toutes les facultés et les lois de l'intelligence qui peuvent concourir à la formation de la géométrie $ tant celles qui peuvent être nécessaires pour l'établissement des principes que celles dont les méthodes ne sont , en quelque sorte , que les divers modes d'exercice.

Ainsi :

i^ L'examen des conceptions d'étendue et d'esr pace, données géométriques;

a^ L'examen des axiomes , principes sans lesquels ne peut exister la géométrie ;

3^ L'examen des définitions , principes desquels se tire toute la géométrie;

4** L'examen des méthodes que suivent les géomètres;

JD£ LA GiOMiXBIE. 879

5^ L'examen des facultés et des lois de l'esprit qui peuvent concourir à la formation de la géométrie.

Tels sont , à ce qu'il me semble , tous les objets que peut et doit embrasser une dissertation sur la métaphysique de la géométrie.

Je n'entreprendrai point de passer tous ces objets en revue; ni mon temps , ni mes forces, ni les bornes de cette thèse ne me le permettent : je laisserai entièrement de côté la quatrième et la cinquième partie y et je ne résoudrai point toutes les questions que peuvent offrir les trois premières.

On a souvent agité et l'on agite encore cette question : quelle est la part de l'expérience dans les connaissances humaines? Suivant les uns, toutes nos connaissances dérivent de l'expérience sensible; toutes nos connaissances ont été primitivement des notions individuelles sensibles, et elles ne sont autre chose que les résultats de l'abstraction et de la généralisation opérant sur ces notions; suivant les autres , il n'est point, il est vrai , de connaissances que l'esprit puisse acquérir indépendamment de toute expérience ; mais il y a des connaissances que l'expérience seule ne saurait engendrer.

A laquelle de ces deux philosophies la géométrie est-elle favorable ? Les données et les principes de la géométrie peuvent-ils être dérivés de l'expérience seule, ou , s'ils ne sont pas empiriques , l'intelligence humaine pourrait-elle cependant les posséder sans le secours de l'expérience ? Enfin , quelle est la part de l'expérience dans la géométrie ? Telle est la ques-.

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lion que mon intention est surtout de résoudre.

Il est une autre question célèbre que l'examen des axiomes me fournira l'occasion de rencontrer, mais à laquelle je m'arrêterai peu, c'est celle de l'identité de nos connaissances. Les uns veulent que toutes les propositions soient identiques; les autres admettent des propositions non identiques ; il n'y a point un jugement, suivant les premiers, qui ne soit soumis à la loi d'identité; il y a, suivant les seconds, des jugements soumis à cette loi et des juments qui ne lui sont point soumis. Je pourrais discuter à fond cette question à l'occasion des axiomes géométriques , mais j'aime mieux n'en parler qu'en passant pour traiter dans toute son étendue la question que j'ai énoncée plus haut; savoir: quelle est la part de l'expérience dans la géométrie?

J'indiquerai toutes les questions que peut offrir mon sujet et que je ne résoudrai pas, suivant qu'elleis se présenteront , à la place qu'elles doivent occuper dans cette dissertation.