Dans des Lettres à Taurinus (8 novembre 1824, p. 249), à

(') Mittheilwigen aus dem Briefwechsel von Gauss und W. Bolyai, von Paul Stackel. {Gôttinger Nachrichten; Matheniatisch-physikalische Classe, Jahrgang 1897, Heft 1).

(2) Voir p. i68-2o5 des Math. Annalen, t. XLIX ( 1897 )i Cahier 2. — Il n'a pas semblé nécessaire de traduii-e en français ce travail publié en latin et traduit en allemand et annoté par MM. Stackel et Engcl. L'intérêt en est surtout documentaire, comme M. Engel a eu la bonté de me le faire remarquer, en ce sens que l'on y voit clairement que les idées de W. Bolyai n'ont eu aucune influence sur celles de Gauss. D'autre part ce travail ne peut, à aucun titre, être rangé parmi ceux des précurseurs tels que Saccheri, Lambert, etc., car W. Bolyai, en cherchant uniquement à établir ce « que l'on ne pourra jamais établir a priori » (Johann Bolyaf, au titre de l'Appendice), fait encore partie des naufragés, qui ont échoué sur le groupe d'écueils dont parle Gauss dans sa réponse à la Lettre d'envoi du MruKMrc. , (L. L.).

Bessel (27 janvier 1829, p. 226) et à Schumacher (17 mai i83i, p. 280 et 28 novembre i84^3, p. 225), Gaiiss dit qu'il s'était occupé depuis déjà très longtemps de la théorie des parallèles, et la réunion de ses diverses indications permet de fixer comme point de départ de ses a méditations » l'année 1792. Il est vrai que la Lettre à Bolyai, du 6 mars i832, assigne une date plus moderne, 1797 au plus tôt, mais la Lettre à Boljai du 16 décembre 1799 montre que les travaux de Gauss sur les Premiers principes de la Géométrie étaient déjà bien avancés, et son affirmation, que « la voie... ne conduit pas au but que l'on cherche et que tu affirmes avoir atteint (*), mais conduit plutôt à mettre en doute l'exactitude de la Géométrie », jointe à la remarque suivante : « Il serait bien, en effet, possible, quelque éloignés entre eux que l'on choisisse les trois sommets du triangle dans l'espace, que néanmoins son aire fût toujours inférieure (^iiifra) à une limite donnée », ne peut guère s'expliquer autrement qu'en supposant que Gauss, en 1799, avait déjà poursuivi dans ses conséquences l'hypothèse de la non-exactitude du cinquième postulat d'Euclide, comme l'avaient déjà fait avant lui Saccheri (1733) et Lambert (1766).

Comparée à la Lettre du 16 décembre 1799, celle du 25 novembre 1804 montre un certain pas en arrière. Gauss y parle d'écueils contre lesquels ont échoué ses méthodes de recherche, et il continue en disant : a J'ai cependant toujours l'espoir que ces écueils finiront, avant la fin de ma vie, par me livrer enfin passage...; crois-moi, cela me réjouirait du fond du cœur si tu me devançais et si tu réussissais à surmonter tous les obstacles. »

Nous pouvons en conclure que ce n'est donc pas par une intuition de génie que Gauss est arrivé à reconnaître que la Géométrie non euclidienne est logiquement inattaquable, mais qu'il a dû, au contraire, livrer un rude combat contre l'anti(jue préjugé; cela coïncide avec ce qu'il dit en 1824 dans sa Lettre à Taurinus, où il

( ' ) Ces mots en italiques manquent dans la reproduction de celte Lettre donnée par M. le conseiller privé Schering à l'occasion des fêtes du Centenaire de Gauss, en 1877. ^^s mots nous semblent avoir une importance essentielle pour distinguer les rapports entre les recherches de Gauss et celles de W. Bolyai,

parle de ses vains eflTorts « pour découvrir une contradiction, une inconséquence dans cette Géométrie non euclidienne ».

Il est vrai que nous n'avons pas de données plus exactes sur le développement des idées de Gauss, car nous rencontrons ici une grande lacune dans la correspondance entre lui et W. Bolyai ; nous n'avons ensuite que quelques lettres dont le contenu est purement amical; mais, de 1808 à 1882, Gauss n'a rien écrit à l'ami de sa jeunesse, et nous n'avons qu'une J^ettre de Boljai à Gauss relative à des choses personnelles et qui resta sans réponse. INous sommes ainsi, pour ce laps de temps, réduits à d'autres sources qui sont peu abondantes; en effet, Gauss, persuadé que « le nombre des vrais géomètres est extrêmement restreint, et que la plupart des gens ne sont capables ni déporter un jugement sur les difficultés de pareils travaux ni même de les comprendre », craignait (( les clameurs des béotiens », et était extrêmement réservé relativement à ses recherches sur la Géométrie non euclidienne. Ainsi s'explique que dans ses Analyses (') de 18 16 et 1822 (p. 220 et 223), il laisse seulement entrevoir sa véritable pensée, et qu'il n'octroie un coup d'œil sur ses découvertes qu'à des amis éprouvés, comme Gerling (i8ig, p. 246), Bessel (27 janvier 1829, p. 226) et Schumacher (12 juillet i83i, p. 232). Ce n'est qu'en apparence que la Lettre à Taurinus (8 novembre 1824, p. 249) semble faire une exception; en effet, Gauss enjoint expressément à celui-ci de garder le silence sur ses communications.

11 est malheureusement impossible de se faire, à l'aide de ce petit nombre d'indications, une idée de la voie qu'a suivie Gauss dans les recherches qui le conduisirent à « développer d'une manière parfaitement satisfaisante » la Géométrie non euclidienne, de manière « à pouvoir résoudre tout problème de celle-ci » dès 1819. Le fait que la correspondance actuelle entre Gauss et W. Bolyai nous permet d'arriver à une certaine conclusion sur ce sujet n'en est que plus important.

Le 6 mars i832, en effet, Gauss écrit de nouveau à son inoubliable amij qui lui avait envoyé V Opuscule de son fils Johann Bolyai, c'est-à-dire V Appendix : « Le contenu tout entier de

(') Goltingische Gclekrte Anzeigcu. (L. L.).

rOuvrage, la voie qira frajée ton fils, les résullats auxquels il a été conduit, coïncident presque entièrement avec les propres méditations qui ont occupé mon esprit en partie depuis déjà trente à trente-cinq ans. Aussi ai-je été complètement stupéfait. )>

Peu de temps auparavant, le 17 mai i83i, Gauss écrivait à Scliumaclier : « Depuis quelques semaines, j'ai commencé à mettre par écrit quelques résultats de [mes propres méditations sur ce sujet, qui remontent en partie à quarante ans, et dont je

n'avais jamais rien rédigé Je ne voudrais pourtant pas que tout

cela périt avec moi. » L'on comparera à cela ce qu'il écrit dans la Lettre précitée à Wolfgang Bolyai : « Quant à mon travail personnel, dont d'ailleurs j'ai confié peu de chose jusqu'ici au papier,

mon intention était de n'en rien publier de mon vivant C'était

au contraire mon idée de mettre avec le temps tout ceci par écrit, afin qu'au moins cela ne périsse pas avec moi. Aussi est-ce pour moi une agréable surprise de voir que cette peine peut maintenant m'être épargnée. »

D'après ce qui précède, il y a lieu de craindre que Gauss n'ait pas poursuivi la rédaction de ses méditations, et il ne sera peutêtre jamais possible de résoudre la question de savoir si Gauss a relié la Géométrie non euclidienne à ses Disquisitiones circa superficies curvas et s'il connaissait déjà ce fait que sa Géométrie non euclidienne est valable pour les triangles géodésiques sur les surfaces à courbure constante négative, et si, par conséquent, en 1854, il s'est rencontré avec Riemann, comme il l'avait fait en i832 avec Johann Boljai.

3. Wolfgang Boljai (*), né le 5 février 1770, après de longues hésitations sur le choix d'une carrière, se rendit en 1796 à léna, où étudiait alors son ami et patron le baron Simon Keménv. « C'est alors, en me promenant sur les rives de la Saale, que j'en-

(') Comme source pour ce qui suit, nous avons fait Usage d'une biographie de Wolfgang Boiyai par Joseph Koncz, parue en 1887 dans le Programme du Collège évangélique réformé de Afaros Vàsàrliely, traduite en allemand par M. le Prof. Martin Schmidt; ce programme, joint à quclqu<'s autres, a été réuni à une Histoire du Collège^ et s'y trouve imprimé p. 271-388. Dans cette biographie sont reproduites quelques indications, que donna W. Boiyai lui-môme en i84o sur -i \i< . n (ju'il envoya à la Société des Savants hongrois de Budapest.

trai, avec mes connaissances restreintes et en désordre, dans cette

voie où je me trouve encore dans ma vieillesse Nous nous

rendîmes à Gottingue [vers l'automne de 1796], où nous pûmes être reçus par Kœstner et Lichtenberg, et j'y fis alors la, connaissance de Gauss qui y étudiait [depuis l'automne de 1793], et dont je suis encore aujourd'hui l'ami, mais combien loin de pouvoir me comparer à lui. Il était très modeste et très réservé; ce n'est pas trois jours, comme avec Platon, mais pendant des années, qu'on eût pu vivre avec lui sans reconnaître combien il était grand. Quel malheur pour moi de n'avoir pas su ouvrir et lire ce livre sans titre et muet, je n'avais pas idée de l'étendue de son savoir, et lui, envoyant mes goûts, m'estima beaucoup sans savoir combien j'étais peu de chose. Ce qui nous unit fut notre passion commune (qui ne se révélait pas extérieurement) pour les Mathématiques et notre conformité morale, de sorte que souvent, occupés chacun de nos propres pensées, nous nous promenions ensemble pendant des heures sans dire un mot. »

Ces communications de W. Bolyai même sont complétées par des paroles que Gauss doit avoir dites, comme le raconte Sartorius von Waltershausen, dans le cours des années précédentes. « Bolyai est le seul qui ait jamais su entrer dans mes idées métaphysiques relatives aux IVJathématiques » (*).

Avant le départ de Bolyai, le 9 juin 1799, pour retourner dans son pays, il se trouva une dernière fois avec Gauss à Clausthal dans le Harz, le 24 mai 1799; Gauss avait déjà quitté Gottingue vers l'automne de 1798 et était retourné à Brunswick. Il est probable que les deux amis se sont, en cette occasion, entretenus sur la question des parallèles; en effet, après que Bolyai, le 11 septembre 1799, lui eut annoncé de Budapest son retour dans ses foyers, Gauss lui écrit, le 9 décembre 1799 - « Je regrette bien de n'avoir pas profité de notre voisinage rapproché d'autrefois pour connaître davantage tes travaux sur les premiers principes de la

Géométrie Fais-nous donc bientôt connaître ton travail. » Ce

travail où Bolyai, comme il l'avait annoncé à Gauss, dit qu'il est

(') Sautorius von Waltkushausen, Gauss zum Gedàchtniss. Leipzig, j»

parvenu à dcnionlrer le cinquième postulat d'Euclide, est bien celui cité dans la Lettre du i6 septembre i8o4 et envoyé à cette date à Gauss sous le nom de Théorie de Gottingue relative aux parallèles, et dont nous devons ainsi fixer l'origine entre l'automne de 1798 et le mois de juin 1799.

A Gottingue même, Bolyai n'a pas dû manquer d'incitations à s'occuper de la théorie des parallèles. Abstraction faite de cette circonstance que, vers la fin du dix-huitième siècle, cette question excitait un grand intérêt dans un cercle très étendu (p. 21 1-21 3), l'on sait que Ksestner s'est occupé sérieusement de l'axiome XI d'Euclide, j a fait allusion dans ses Cours, et que ce fut en 1763 qu'il provoqua la Dissertation de Klùgel (p. i4o)- Mais ce qui est encore plus significatif, c'est que Boljai avait des relations d'amitié avec un homme très au courant des recherches sur la théorie des parallèles, le professeur d'Astronomie SejfTer, dont nous avons parlé en détail dans notre Livre (p. 2i4-2i5). Cela est démontré, non seulement par les nombreux souvenirs et demandes d'informations, relatifs à SeylTer, que l'on rencontre dans les Lettres de Bolyai à Gauss, mais encore par ce qu'il écrit dans son autobiographie : <( Je fis [le 9 juin 1799] le chemin à pied. Le professeur d'Astronomie (qui [plus tard] se trouva avec Napoléon à Austcrlitz, où il était un de ses colonels du Génie [Ingenieur- Oberts)) et d'autres encore m'accompagnèrent à pied jusqu'au premier village » (*).

Wolfgang Bolyai devint, à partir d'avril 1804, professeur de Mathématiques, de Physique et de Chimie au Collège év. réf. de Maros Vâsàrhely. Les espérances qu'il fondait sur son travail ne furent pas réalisées, et plus tard, malgré tous ses efforts, le but qu'il recherchait ne put être atteint. Il écrit à ce propos dans son autobiographie : a Comme je n'étais pas satisfait de mes tentatives pour démontrer l'axiome des parallèles, et qu'après les avoir, pendantbien longtemps, poursuivies jusqu'aux limites du possible,

(") K.-F. SeyfTcr (1762-1822) quitta en i8o5 Gottingue, où il était professeur extraordinaire d'Astronomie. De i8o5 à 1806, il occupa le poste d'officier du Génie-topographe au quartier général de Napoléon. Plus tard, il devint directeur du Bureau de Topo^'i ;i[)Iiii> <l do Slalisliquc à Munich. Comparer Aligenieine deutsche Biographu

j'en perdais le repos, mon feu pour les Malhémaliques s'éteignit et je me tournai vers la poésie. » Il se plaint à son fils Johann en disant : « Si jadis j'eus pu arriver à un résultat dans la question de l'axiome XI, je ne me serais occupé ni de la construction des poêles (sic) ni de l'art poétique, et j'eus été un homme et un père de famille meilleur. »

W. Bolyai a exposé ses aperçus sur les principes de la Géométrie dans l'Ouvrage : Tentamen j uventutem studiosam in elementa Matheseos... introducendi [^) dont le premier Volume parut en j832, le second en i833. Dans le Generalis conspectus Geometriœ (t. I, p. 44^-502), il rend compte, à partir de la page 490, de ses premiers essais de démonstration du cinquième postulat d'Euclide, et indique en chaque cas quel axiome nouveau il est nécessaire d'admettre, pour que l'essai de démonstration devienne une véritable démonstration. Il parle en le plus de détails d'une tentative de démonstration qui a les plus grands rapports avec celle qu'il communique, en i8o4, dans le Supplementum ad Theoriam parallelarum.

A. Johann, fils de Wolfgang Boljai, né le i5 décembre 1802, à Klausenburg, était, comme l'écrit son père àGauss, le 20 juin i83i, doué d'aptitudes étonnantes pour les Mathématiques. « Son père tint à conserver lui-même la direction de ses études mathématiques; » raconte Koloman Szilj (-). « Ses progrès en Mathématiques étaient rapides comme l'éclair, et tels, comme se plaisait à le raconter son père, qu'il n'attendait pas la démonstration des théorèmes et la donnait lui-même le premier. Il faisait un bond vers moi comme un diable {sic)^ disait son père, et me priait d'aller plus vite en avant. »

Quant au cours de ses recherches sur la théorie des parallèles, Johann Boljai en donna lui-même un exposé dans une autobio-

(') Une nouvelle et magnifique édition a été donnée sous les auspices de l'Académie Royale des Sciences de Budapest, par M. M.-J. Konig et M. Rhéty. Le premier Volume, qui vient de paraître (orné d'un portrait de W. Bolyai ), ne renferme que la partie arithmétique du premier Volume de l'édition originale. (Berlin, Friedliinder. — Paris, Gautliier-Villars et fils).

(^) Értekezések a mathematikai tudomànyok korëbol. [Abhandlungen aus deii Gebieten der malhemalischen Wissenschaften], Bd. \I, Heft 9 Budapest (i88'().

graphie, dont M. Franz Schmidt place la date de composition entre i84o et i85 i.

« Il [mon père] me fit remarquer les grandes lacunes et Tinsuffisance de la théorie des parallèles; il me fit voir que. bien que procédant beaucoup mieux que ses prédécesseurs, il n'avait cependant encore rien trouvé de satisfaisant ni de convenable, en ce sens qu'aucun de ses nouveaux axiomes, dont chacun d'ailleurs suffisait pour démontrer rigoureusement l'axiome XI, ne possédait le degré nécessaire d'évidence géométrique, quelque admissible et justifiable qu'il semblât au premier coup d'œil. Il affirmait, sans démonstration néanmoins, qu'il est impossible de démontrer l'axiome XI; et en craignant, non sans raison, que je pourrais y passer toute ma vie vainement et infructueusement, il s'efforça de toutes les manières possibles de me détourner de la continuation de mes recherches et de m'en inspirer l'horreur. »

<( Comme je lui avais écrit, de l'Académie rovale et impériale du Génie de Vienne, que je venais d'entrer dans une voie pouvant mener à la démonstration de l'axiome X] d'Euclide, en prouvant qu'une ligne parallèle à une ligne droite, c'est-à-dire une ligne équidistante d'une ligne droite, dans toute l'étendue du plan, est également une ligne droite, et que j'avais commencé, dans ce but, par le développement des propriétés d'une telle ligne au cas où cette affirmation serait fausse (' ), il me répondit comme il suit, dans une remarquable Lettre [la Lettre manque]

« C'est en 1828 qu'il [Johann] pénétra la vraie nature de son problème, quoique ensuite il ait ajouté des conditions relatives aux matériaux et à la forme. »

Cette affirmation est prouvée et complétée par une Lettre écrite deTemesvâr, le 3 novembre iSaS, à son père, par Johann Boljai. Dans cette Lettre, écrite en langue magyare et retrouvée dans les papiers de Wolfgang Boljai, par M. le Professeur Martin Schmidt, qui nous en a obligeamment communiqué une traduction, nous lisons :

(') Donc Johann Bolyai a suivi dans ses recherches géométriques la voie qui avait été déjà inaugurée avec succès par Saccheri (1733) et Lambert (176C). L. I.

« Je suis tout à fait décide à publier un Ouvrage sur la théorie des parallèles, dès que j'aurai mis les matériaux en ordre et que les circonstances le permettront. Je ne Fai pas encore fait, mais la voie que j'ai suivie a certainement, pour ainsi dire, presque atteint le but; le but même n'est pas atteint, mais j'ai découvert des choses si belles que j'en ai été ébloui; il serait à jamais regrettable si elles étaient perdues. Lorsque vous les verrez, vous le reconnaîtrez aussi. En attendant je ne puis ici dire autre chose que ceci : J'ai du néant tiré un nouvel univers. Tout ce que je vous ai communiqué jusqu'ici n'est qu'une maison de cartes, comparé à cette tour. Je suis déjà autant persuadé que cela me fera honneur que si cela avait déjà eu lieu. »

Dans son autobiographie Johann continue comme il suit :

« Il [Johann] communiqua ce travail à son père, ainsi qu'à d'autres personnes, parmi lesquelles se trouvait M. Johann Wolter von Eckwehr qui avait été son professeur à l'Académie du Génie, dans un manuscrit de 1820, où se trouvait déjà exposé le principe de toute la question 5 ce manuscrit sera encore vraisemblablement entre les mains de ce dernier. Après s'être rencontré avec son père, il s'entendit avec lui pour lui en fournir une traduction en latin qui parut en 1882 comme Appendice au Tentamen. Le Tentamen avec VAppendix furent envoyés à Gauss. Sa réponse arriva six semaines après. Gauss commence ainsi : 11 ne peut, quelque bizarre que cela puisse sembler au premier abord, louer ce travail et cela, parce que le louer serait se louer lui-même; en effet, le contenu tout entier de l'Ouvrage, la voie que je me suis frayée, comme les résultats auxquels j'ai été conduit, coïncident presque entièrement avec les propres méditations et recherches qui ont occupé son esprit pendant trente ou trentecinq ans. Dans une première Lettre il écrivait [Gauss, le 2 5 novembre 1804] : qu'il espérait pouvoir éviter ces écueils. // espère donc ! ! »

Ces derniers mots révèlent une certaine défiance envers Gauss, qui sera peut-être expliquée par ces mots de Koloman Szily : « Wolfgang et Johann n'étaient pas en bons termes. Le fils fut plein de jalousie et d'ingratitude jusqu'à la fin ; ce ressentiment provenait

de ce soupçon non justifié que le père avait divulgué à Gauss les idées exposées dans l'Appendice et que ce dernier voulait alors ravir au fils la priorité de ces conceptions. »

Il est encore nécessaire d'ajouter une remarque à propos de ces mots « Le Tentamen comme VAppendix furent envoyés à Gauss. » Du premier volume du Tentamen, c'est V Appendix qui fut imprimé le premier, et Wolfgang, à la demande de son fils, envoya cet opuscule à Gauss pour avoir son avis, comme le montre sa Lettre du 20 juin i83i.

D'après l'indication même de W. Boljai, le porteur de cette lettre était un gentilhomme hongrois, Joseph von Zejck, dont le père Daniel von Zejck avait été étudiant à Guttingue en même temps que Gauss et Boljai. Dans la lettre suivante du 6 janvier 1882, Boljai écrit à Gauss : « Je t'avais envoyé cet opuscule en même temps que ma première lettre [du 20 juin i83i] et pendant longtemps, durant la fatale épidémie du choléra, je n'ai pas su ce qu'il en était advenu; je l'envoie maintenant par la poste sous le couvert de H. Joseph von Zeyck [alors à Klausenburg, d'après M. Franz Schmidt] en le priant de te le faire parvenir. » Gauss répondit, le 6 mars 1882 : « Tes deux lettres, qui me sont parvenues par les soins de M. Zeyck, m'ont fait le plus grand plaisir, mon vieil et inoubliable ami. Au reçu de la première, j'ai remis ma réponse jusqu'à l'arrivée de la deuxième, voulant attendre le petit Mémoire annoncé. »

Laissons maintenant parler eux-mêmes les nouveaux documents.

Gauss à W. Bolyai.

Helinstedt, le iG décembre 1799 (•).

... Je regrette bien de n'avoir pas profité de notre voisinage rapproché

(') Cette lettre a été déjà, quant à ses parties essentielles, publiée par M. le Conseiller privé Schering, en 1877, à Toccasion des fôlcs du Centenaire de Gauss.

d'autrefois, pour connaître davantage tes travaux sur les premiers principes de la Géométrie; je me serais ainsi certainement épargné bien des peines inutiles, et j'aurais eu l'esprit plus en repos, autant que quelqu'un de mon caractère peut l'avoir, lorsqu'il reste encore tant à désirer relativement à un tel sujet. Quant à moi, mes travaux sont déjà bien avancés (autant que m'a permis de le faire le peu de temps que m'ont laissé mes occupations de nature toute dilïerente); mais la voie dans laquelle je suis entré ne conduit pas au but que l'on cherche, et que tu affirmes avoir atteint, mais conduit plutôt à mettre en doute l'exactitude de la Géométrie.

Je suis, il est vrai, arrivé à bien des choses, qui seraient par la plupart des hommes regardées comme une démonstration valable, mais qui, à mes yeux, ne démontrent pour ainsi dire rien; par exemple, si l'on pouvait démontrer l'existence possible d'un triangle rectiligne, dont l'aire serait plus grande que toute surface donnée, je serais alors en état de démontrer avec une rigueur parfaite toute la Géométrie.

La plupart, il est vrai, voudraient donner à cela le rang d'un axiome, moi non; il serait bien, en effet, possible, quelque éloignés entre eux que l'on choisisse les trois sommets du triangle dans l'espace, que son aire fût néanmoins toujours inférieure (infra) à une limite donnée. Je possède quelques théorèmes pareils, mais je*ne trouve en aucun d'eux quelque chose de satisfaisant. Fais-nous donc bientôt connaître ton travail ; tu auras acquis alors droit à la reconnaissance, mais non pas celle, il est vrai, du gros du public (auquel appartiennent cependant nombre de gens regardés comme d'habiles mathématiciens); je m'aperçois, en effet, davantage chaque jour que le nombre des vrais géomètres est extrêmement restreint, et que la plupart des gens ne sont capables ni de porter un jugement sur les difficultés de pareils travaux, ni même de les comprendre; mais jouis de la reconnaissance de tous ceux dont l'opinion seule peut avoir effectivement du prix pour toi!

Il se trouve, à Brunswick, un émigré nommé Ghauvelot, qui n'est pas mauvais géomètre, et qui prétend avoir complètement établi la théorie des droites parallèles; son travail sera imprimé bientôt, mais je n'en attends rien de bon. Dans les A rchiçes de Hindeburg, neuvième Partie, se trouve également une nouvelle recherche, d'un certain Hauff, sur le même sujet; c'est au-dessous de toute critique.

W. Bolyai à Gauss.

Marcs Vàsârhcly, le i6 septembre 1804.

Il m'est venu l'idée, au lieu d'attendre plus longtemps {noniuu an-

nuni) ('), une occasion favorable de l'envoyer quelque chose. Je ne t'envoie que des demi-feuilles, pour que ma lettre ne soit pas suspecte (').

Sous le couvert de celle-ci, je t'envoie ma théorie, de Gôttingue, relative aux parallèles; par la poste suivante je voudrais t'envoyer les principes de l'Arithmétique et de la Géométrie; cela peut aller jusqu'à trois courriers ; si le système lui-même pouvait t'intéresser, j'en serais très heureux. J'ai laissé de côté cette théorie pendant environ trois ans, car les événements m'ont empêché d'y travailler; j'ai dû maintenant la reprendre en vue de l'enseignement et je l'ai renfermée dans un espace plus restreint. Je ne puis y découvrir d'erreurs; éprouves-en l'exactitude et écris-moi le plus tôt possible; écris-moi tes objections; dis-moi, ou si je me suis mal exprimé, ou peut-être trop en abrégé; je l'ai fait écrire par un étudiant, car je n'écris pas bien, mais j'ai eu de la peine à corriger les fautes et il peut encore m'en être échappé dans quelques lettres. Ici, il n'y a aucun goût pour ce genre de choses; aussi suis-je, en général, exécré parles prétendus savants arriérés d'ici. Si tu juges que ce petit opuscule en vaut la peine, envoie-le à une Académie capable de le juger et de lui donner le sceau de. son approbation. Je suis préparé à entendre des jugements défavorables, aussi je ne disconviens. pas que je n'aurais pas encore publié cela, si, pour pouvoir vivre en paix parmi mes nombreux critiques, il n'avait pas fallu hasarder quelque réputation extrinsèque. Tu sais, n'est-ce pas, ce que dit Hamlet : « The spurns, that patient merit of th'unworthy lakes ».

Gauss à W. Bolyai.

Brunswick, le 25 novembre 1804.

Maintenant, . . .* encore quelque chose à propos de ta Communication géométrique. J'ai lu ton Mémoire avec le plus grand intérêt et la plus grande attention et j'ai été vraiment réjoui de la profonde perspicacité dont tu fais preuve. Mais ce n'est pas une louange inutile que tu désires; celle-ci, à un certain point, pourrait aussi sembler partiale, car la marche de tes idées a beaucoup de similitude avec celle que j'ai autrefois moi-même employée dans la recherche de la solution de ce nœud gordien, recherche vaine encore jusqu'ici. C'est seulement mon jugement sincère et sans détour que tu désires. Le voici : ta méthode ne me satisfait pas encore. Je vais chercher à mettre en pleine lumière, avec toute la clarté possible, la pierre d'achoppement que j'y trouve encore (et qui appartient aussi au

(') Nonum prcmatur in annitm (Horace). (L. L.).

(-') Bolyai craignait le cabinet noir du Gouvernemenl autrichien. (I^. !..)•

li

même groupe d'éciieils sur lesquels ont échoué jusqu'ici mes propres recherches). J'ai cependant toujours l'espoir que ces écueils finiront, avant la fin de ma vie, par me livrer enfin passage. Mais j'ai ici, en ce moment, tant d'autres affaires en train, que je ne puis actuellement y penser; croismoi, cela me réjouirait du fond du cœur, si tu me devançais et si tu réussissais à surmonter tous les obstacles. Je ferais alors, avec le plus grand plaisir, tout ce que je puis pour faire reconnaître ton mérite et pour le mettre en pleine lumière. J'arrive maintenant à la question.

A toutes les autres conclusions, je ne trouve aucune objection essentielle à faire : ce qui, pour moi, n'est pas concluant, c'est simplement le raisonnement dans l'A-rticle XIII. Tu supposes ici prolongée, d'une manière indéterminée, une ligne II. ... kdefg ... formée de segments tous rectilignes et égaux kd^ de, ef, fg, etc., et oii les angles kde, def, efg, etc., sont égaux entre eux, et tu veux démontrer qu'en procédant ainsi plus ou moins longtemps II devra nécessairement dépasser k^. A cet effet, tu fais tourner la ligne droite kdco = Q, autour de k, du côté où est situé II, en sorte qu'elle passera successivement, en le rencontrant, de chaque côté du polygone II au côté suivant. Tu fais voir à merveille que Q, passant à la façon d'échelons par d, e, /, g, etc., se rapproche chaque fois davantage de /cep; contre tout ceci, aucune objection à faire; mais maintenant tu continues ainsi :

Fig.

« Quapropter Q moveri potest modo prescripto, usque dum in kc^^'cc pervenerit ... » et voilà la conclusion qui ne me semble pas évidente. De ton raisonnement, à mon avis, il ne s'ensuit pas le moins du monde que l'angle, autour duquel Q ... (i), en cheminant le long d'un côté de II qui se rapproche de /co, ne devienne pas toujours moindre; de la sorte, l'agrégat de tous les rapprochements successifs, quel que fût leur nombre, pourrait bien ainsi n'être jamais [suffisamment] grand pour amener Q en k(f; si tu pouvais démontrer que dke = ekf = /kg, etc., alors la

(') Ici se trouvent des lettres devenues illisibles par l'effet de l'usure d'un pli dans le papier de la lettre.

- lo -

chose serait nette et claire. Le théorème est du reste exact, mais difficile à démontrer en toute rigueur sans présupposer d'avance la théorie des parallèles. On pourrait donc toujours appréhender que les angles dke^ ekf^fkg^ etc. ne diminuassent successivement.

Si cela avait lieu {exempll gratlâ seulement) en progression géométrique, de sorte que l'on eût ekf — ^ x dke, fkg = ^ dke^ etc. {^ étant plus petit que i), alors la somme de tous les rapprochements, quelque grand que l'on prenne leur nombre, resterait toujours inférieure à

j- X ekf^ et cette limite pourrait encore alors être toujours inférieure

à l'angle droit dk^. Tu as exigé de moi un jugement sans détour; je te l'ai donné, et je te répète encore l'assurance que cela me ferait le plus grand plaisir si tu surmontais toutes ces difficultés.