IV

W. Bolyai à Gauss.

Marcs Vâsârhely, le 20 juin i83i.

[Mon fils] est déjà lieutenant en premier dans le Corps du Génie et sera bientôt capitaine ; c'est un beau garçon, un virtuose sur le violon; il est fort en escrime et brave, mais il s'est souvent battu en duel, et c'est encore un militaire un peu trop bouillant, mais aussi un parfait galant homme : de la lumière dans les ténèbres, des ténèbres dans la lumière. Il est passionné pour les Mathématiques et possède pour elles de rares aptitudes d'esprit, il est maintenant en garnison à Lemberg; il a pour toi la plus grande vénération, il est capable de te comprendre et de t'apprécier. C'est à sa demande que je t'envoie ce petit opuscule de lui; aies la bonté de le juger avec tes yeux si perspicaces, et, dans la réponse que j'attends impatiemment, écris-moi ton arrêt sans ménagement. C'est le premier commencement de mon œuvre qui est sous presse; j'aurais bien voulu t'envoyer le premier Volume, mais il n'est pas encore publié.

[A rintérieiir de l'enveloppe de la lettre, W. Boljai écrit encore ce qui suit] :

A mon avis, dans l'opuscule de mon fils, u est construit géométriquement (c'est-à-dire où a ne coupe pas la première fois 6, pour c = l'unité de la droite) mais la grandeur de m, de o à R (le premier exclus, le second inclus), n'est pas déterminée. Et chaque théorème en Géométrie ou bien dépend de m, ou bien en est indépendant ; par exemple, au § 26, la Trigonométrie sphérique est établie indépendamment de w, de même que l'aire de la sphère ou de la zone, etc. Mais tout ce qui dépend de u sera ox-

primé par une certaine fonction de u, où rien ne reste indéterminé hormis la grandeur de u et sera vrai pour chaque valeur subjectivement possible de u. Ainsi, quand on a pour un certain cas f{ii)=y, et que ii

Fig. 2.

est représenté par l'abscisse (croissante de o à R) et ^ par l'ordonnée correspondante, alors la grandeur de y sera donnée par l'expression générale qui dépend de m, pour chaque valeur de u et aussi à la limite pour u ='R. Il se sert de certaines lettres majuscules et minuscules; elles sont d'ailleurs toutes de certaines fonctions de u\ il eût été plus élégant et plus clair de les exprimer ainsi, puisque cela se déduit aisément du travail même; du reste, cette façon de parler ne diffère que par les mots seuls de ce qui se trouve dans l'Ouvrage. A la fin, il fait voir que, si u n'est pas égal à R, l'on a la quadrature du cercle.

Maros Vasârhely, le i6 janvier i832.

[W. Bolyai envoie à Gauss l'Appendice, et écrit à cette occasion] :

Mon fils était absent lorsque son Travail a été imprimé, il a fait corriger les erreurs (dans VErrata à la fin). J'en ai corrigé la plupart à la plume, pour t'éviter cet ennui. Il m'écrit de Lemberg qu'il a depuis rendu beaucoup d'endroits plus simples et plus élégants, et qu'il a démontre l'impossibilité de déterminer a priori si l'axiome XI est vrai ou non.

Gauss à W. Bolyai.

Gôttingue, le 6 mars i832.

. . . Parlons maintenant un peu du travail de ton fils.

Si je commence en disant que je ne puis louer ce travail, tu pourras l)ien un instant reculer d'étonnement; mais je ne puis dire autre chose; le louer serait me louer moi-même; en effet, le contenu tout entier de l'Ouvrage, la voie qu'a frayée ton fils, les résultats auxquels il a été conduit coïncident presque entièrement avec mes propres méditations qui ont occupé en partie mon esprit depuis déjà trente à trente-cinq ans. Aussi ai-je été complètement stupéfait. Quant à mon travail personnel, dont d'ailleurs j'ai confié peu de chose jusqu'ici au papier, mon intention était de n'en rien laisser publier de mon vivant. En effet, la plupart des hommes n'ont pas l'esprit juste sur les questions dont il s'agit, et j'ai trouvé seulement bien peu d'entre eux qui prissent un intérêt particulier à ce que je leur ai communiqué à ce sujet. Pour pouvoir prendre cet intérêt, il faut d'abord avoir senti bien vivement ce qui fait essentiellement défaut, et sur ces matières la plupart des hommes sont dans une obscurité complète. C'était, au contraire, mon idée de mettre, avec le temps, tout ceci par écrit afin qu'au moins cela ne périsse pas avec moi.

Aussi est-ce pour moi une agréable surprise de voir que cette peine peut maintenant m'être épargnée, et je suis rempli d'une joie extrême que ce soit précisément le fils de mon vieil ami qui m'ait devancé d'une manière si remarquable.

Je trouve les notations très précises et propres à abréger le discours; cependant je crois qu'il serait bon, pour quelques-unes des notions principales, de choisir non seulement des symboles ou lettres mais encore une terminologie déterminée, et j'ai déjà depuis assez longtemps pensé à de pareilles désignations. Tant que l'on ne fait que réfléchir aux questions au moyen de l'intuition directe, l'on n'a besoin ni d'appellations, ni de symboles; ils ne deviennent nécessaires que lorsque l'on veut éclairer les autres hommes. L'on pourrait, par exemple, donner à la surface que ton fils désigne par F le nom de parasphère ; à la ligne L le nom de paracycle; ce sont, en principe, la surface de la sphère et la circonférence du cercle dont le rayon est infini. On pourrait nommer hypercycle le complexe de tous les points équidistants d'une droite située dans le même plan qu'eux; de même l'on pourrait parler d'une hypersphèrc. Mais tout cela n'est qu'une question accessoire sans importance. La chose principale c'est le fond et non la forme.

Dans quelques parties de ces recherches, j'ai suivi une autre voie; comme spécimen, je joins ici une démonstration purement géomélri<juc

(esquissée à grands traits) de ce théorème que la quantité dont la somme des angles d'un triangle diffère de iSo'' est proportionnelle à l'aire du triangle.

I. Le complexe de trois droites ab^ cd, e/, telles que l'on ait ab !|] de,

Fig. 3.

cû^lll^/, e/|||è<2, forme une figure que je nomme T. L'on peut démontrer que cette figure est toujours située dans un plan.

n. Cette partie du plan qui est située entre (i) les trois droites ab, cd, ef, possède une aire finie déterminée; désignons-la par t.

in. Deux droites aô, ac se coupant en a sous un angle cp, l'on peut déterminer une troisième droite de telle sorte que l'on ait ab ||| ed, ac^de; alors de est aussi située dans un plan avec ab et ac, et l'aire de

Fig. 4.

a surface comprise entre ces droites est finie, et ne dépend que de 'angle o. Évidemment en S, de et bac ne forment qu'une ligne droite lorsque ^ = 180°, et, par conséquent, la valeur de cette aire s'évanouit en même temps que 180^— (j). L'on posera donc, en général, que l'aire = F(i8o" — <p), F désignant un symbole fonctionnel,