VI. Corollaire. — On a, par conséquent

F(ç)4-F(4/)= i— F(i8o" — cp — <|/)= F(cp + 4;), d'(jù l'on conclut facilement que

L'I <jut' (■(•Ile-ci

const.

f ) cf [«'(iKo"— 9) qui sont supposés inscrits en encre roupie.

VII. Théorème, — L^aire cVun triangle dont les angles sont A, B. C est

180" Kig. 7.

La figure fournit la démonstration. On a, pour l'aire,

J'ai voulu ici simplement esquisser la démonstration, sans aucun travail de la lime, et le temps m'a manqué jusqu'ici pour la polir. Tu es libre de la communiquer à Ion fils ; je te prie, en tout cas, de le saluer cordialement de ma part et de l'assurer de ma haute estime ; propose-lui en même temps de s'occuper du problème suivant :

Déterminer le volume du tétraèdre {espace encadré par quatre plans).

Puisque la surface d'un triangle peut être assignée si aisément, on eut pu s'attendre à trouver, pour le volume précité, une expression également simple ; mais cette attente, paraît-il, a été déçue.

Pour traiter la Géométrie, dès les débuts, d'une manière bien ordonnée, il est indispensable de démontrer la possibilité de l'existence du plan. La définition habituelle renferme trop de choses et implique déjà un théorème à proprement dire tacite. L'on doit s'étonner que tous les écrivains, depuis Euclide jusqu'à nos jours, se soient mis à l'œuvre d'une façon si négligente. Mais cette difficulté est d'une [nature] complètement différente de celle qui consiste à faire la distinction entre 211 et S, et clic n'est

pas très difficile à lever. Probablement, sur ce sujet, je trouverai ton livre satisfaisant.

Par l'impossibilité où l'on est de distinguer a priori entre 2 et S, se trouve précisément démontré le plus clairement que Kant a eu tort d'affirmer que l'espace est seulement la forme de notre intuition. J'en ai indiqué une raison tout aussi probante dans une petite Note qui a paru dans les Gôttingische Gelehrte Anzeigen, en i83t, Partie 64-, p. 6*25 (* ). Peut-être ne regretteras-tu pas de prendre la peine de te procurer ce Volume des G. G. A. (que tout libraire de Vienne ou de Ofen [Budapest] te fournira), car, parmi d'autres choses, tu y trouveras exposée, en deux pages, la quintessence de mes idées relativement aux grandeurs imaginaires.

W. Bolyai à Gauss.

Maros Vâsârhcly, le 20 avril i835.

[W. Boljai envoie à Gauss les deux Volumes du Tentamen... et écrit, entre autres choses] :

A la fin du deuxième Volume, à côté de l'explication de beaucoup de notions données dans le premier Volume se trouve aussi une certaine réunion des deux trigonométries, suivant les idées de mon fils. J'aurais volontiers imprimé la solution relative au tétraèdre (trouvée par mon fils une année avant la publication de son Appendix)\ mais les formules que j'y ai vues étaient trop compliquées et je ne les connais pas bien. Avant tout,

(') Gauss fait allusion à l'analyse de son Mémoire : Theoria residuorum biquadraticorum ; Commentatio secunda, qu'il publia dans les G. G. A. II y dit à la page 687 (Gauss, ÛE'Mt'/'es, t. II, p. 177; 1876) : « Cette distinction entre la droite et la gauche serait... en soi complètement déterminée, si toutefois nous pouvions communiquer notre intuition de cette distinction à d'autres seulement par une preuve reposant sur les ôtres matériels en présence effective desquels l'on serait. » Gauss ajoute en note, au bas de la page : « Les deux remarques ont été déjà faites par Kant, mais on ne conçoit pas comment ce philosophe perspicace pouvait croire trouver dans la première une démonstration de son opinion, que l'espace est seulement une forme de notre intuition extérieure, puisque la deuxième remarque démontre si clairement le contraire, et que l'espace doit avoir une signification réelle indépendamment de notre mode d'intuition. » Kant, en 1783, dans les Prolegomena zu einer jeden kiinftigen Metaphysik (§ 13), a cherché à employer l'existence de figures symétriques pour la démonstration de l'idéalité de l'espace, tandis qu'en i7G8,dans le Mémoire Von dem ersten Grunde des Unterschiedes der Gegenden im liaume, il avait, de cette même remarque, déduit « la réalité effective de l'espace absolu. »

j'aurais aimé à faire imprimer la démonstration qu'il est absolument impossible à l'esprit humain d'affirmer si l'axiome XI est vrai ou faux ; mon fils prétend en avoir la démonstration évidente ; d'ailleurs, je ne puis encore démontrer que l'existence aussi bien que la non-existence de cette proposition peut être compatible avec les autres axiomes d'Euclide, et que l'on a ainsi deux systèmes différents (chacun valable quant à soi), chose que je sais déjà être vraie depuis bien des années. Mais il s'agit de savoir aussi s'il n'y pas un autre axiome, d'importance au moins égale à celui qu'Euclide et les autres admettent tacitement, et que l'on doit admettre comme vrai dans les deux systèmes. Ce que que j'ai fait avant mon fils se trouve dans le Tome I, p. 488