IO

Moyenne

... ii*48'i7',3

Ainsi , si l’astre observé est le Soleil , la pendule retarde sur le temps vrai de ti’4a*,7, sauf une correction dont il va çtre question. On a noté i5* au lieu de 3*, dans la 3* colonne , pour que t' fût>/.

4io. Cette théorie n’est vraie qu’autant que l’astre conserve la même déclin, dans l’intervalle, ce qui a lieu pour les étoiles , mais non pas pour le Soleil. Que cet astre soit observé à l’est en A (fig. 125), et lorsqu’il atteint à l’ouest le cercle horaire PB faisant l’angle MPB = MPA avec le méridien PM, P étant le pôle et z le zénith, le Soleil n’est point revenu en B sur le même cercle horizontal AB, parce que s’étant rapproché du pôle, au lieu d’être en B, il est en i. Il faut donc que le mouvement se continue encore quelque temps, pour que de 1 , le Soleil retombe en C sur le cercle AC à même hauteur que A. • *

Mais alors l’angle CPM est ]>APM , et le milieu de la durée écoulée , n’est plus l’instant du passage au méridien. Faisons l’angle APM = p = BPM , BPC = dp , APC= bp + dp 1 la moyenne entre les heures écoulées t et t' , ou — /) est =r p -f- \ dp : ajoutant l’heure t de la 1" observation, il vient d’abord p — \ ( i -f- t — dp), puis l’heure de la pendule

MOSLNS d'avoir l’heure. 35l)

à l'instant du passage au méridien , est

T = Hi+0-* (*)

en représentant — j dp par x.

Ainsi , lorsqu’on aura pris des hauteurs correspondantes du Soleil , l’heure du milieu aura besoin de recevoir une correction x =s — \ dp, pour devenir celle du chronomètre à midi vrai, à raison du changement de déclin, dans cette durée.

11 s’agit donc de calculer cette correction x sa — ; dp.

Soient z = la distance zénithale du Soleil, l la latitude du lieu complément de l’arc PZ = 90° — • /, D la déclin, de l’astre en A; le triangle sphérique PZ A donne (éq. 3, p. 68)

cosz = sin/ sinD + cos/cosD cos/> .... (a);

le triangle s’étant changé en PZC la déclin. D et l’angle horaire p ont seuls varié : différent ions donc en prenant s et Z constaus »

(sin/ cosD — cos l sinD cos p) </D = cos / cosD sin p.dp\

dp et dD sont de fort petits arcs exprimés par la même unité, par ex. en secondes de degré. Si v est la variation diurne de la déclin, du Soleil, et que 28 = t' — t soit le temps écoulé, on a la partie de cette variation qui est produite dans cet intervalle , en posant 24* : v :: 28 : dD = 77 vi ; ici 8 est rapporté à l’heure, et v à la seconde de degré, ainsi que dp • du reste v et 8 sont connus. Tirons donc dp de notre éq. en y substituant cette valeur de dD, et changeons en outre dp en vB dp, pour que dp exprime des secondes de temps ( i5° valent i*f, p. 352 ) : on en tire

^ (ÎSS^ — ““S D ««••A') ;

la correction — £ dp est donc , en seconde de temps ,

*=æ(““""l!D-Si) (3)

36o CÉOMORPHIE ASTRONOMIQUE.

Nous avons remplace ici p par sa valeur fi, qui, sous les signes cot. et sin. , doit être exprimée en degrés.

4ii. i°. D est la déclin. Q à midi; on prend D en — , quand le Soleil est dans les signes inférieurs : ta latitude l est négative quand elle est australe.

2°. v est la variation de la déclin. D en 24*, exprimée en secondes de degrés : ce nombre est donné dans la colonne dijfèr. de la Conn. des Terris. On prend ordinairement pour v la moyenne entre les deux variations des jours que le midi cherché sépare. On donne à v le signe — , quand l’astre va en s’éloignant du pôle boréal.

3°. 0 = t («' — t) est la demi-durée éeoulée, exprimée en heures de temps vrai ; on la traduit en degrés sous les signes sinus et cotangentes.

- 4°. Quand la 1" observation est faite le soir, et la 2* le lendemain matin , le calcul dont il s’agit détermine l’heure de la pendule à minuit. D est la déclin, du 0 à cet instant , et il faut prendre le dernier terme de l’éq. (3) avec le signe + au lieu de — .

Ainsi dansl’ex. précédent, si l’on observe le © le 2 octobre i836,onaD = — 3°4i'2o*,3, p = — i395"8, / = 48*41%

c' 3Go 3.443?° j

fi.. 0.5554° ».i439i +

; . tangfi... ,o.o554° moyenne 1 1 *48' 1 7*, 3»

col 9 T.863o5 «in.fl — T. 90734 correction + 30,a3

tangD... — 3.80937 — 1.39198+ h. vraie... 11.48.37, 53

+ o"65.... T. 81634+ 1 " eq. temps 11.49.16, 5i

corrcciion 30,33 retard sur l. ru. — 38,9s.

Ce procédé est> fort exact, et même le calcul en est très facile , parce qu’on peut réduire la formule (3) en table , d’où l’an tire à vue la valeur des deux termes.

Mais on est fréquemment exposé à "manquer le soir, les.

observations correspondantes à celles du matin ; parce que le ciel se trouve voilé par des nuages. On comprend que la correction étant en général fort petite, on a été en droit de substituer à D la déclin, du Soleil à midi, dans l’éq. (3), au lieu de la déclin, en A. La hauteur de l’astre observé n’est, comme on voit , nullement nécessaire à connaître.

Détermination de la latitude du lieu.

4ia. Par deux passages du méridien , l’un supérieur. Vautre inférieur. On obs.erve les deux hauteurs LD, LG (fig. i3o) d’une étoile circompolaire , lorsque dans son cercle diurne CD, autour du pôle P, elle entre dans le plan du méridien, et l’on corrige de la réfraction. La demi-somme de ces résultats est la latitude cherchée Z = la hauteur LP du pôle : la demidiffér. dé ces deux arcs est la distance PD de l’étoile au pôle, complément de sa déclinaison.

Ainsi ce procédé est indépendant de cette* déclin. , et la fait même connaître. 11 est extrêmement précis, mais rarement praticable. D’ailleurs il ne faut pas que l’étoile soit éloignée du pôle , parce qu’elle passerait en D trop près de l’ho^ rizon , où les réfractions sont incertaines , et en C trop près du zénith, où il est difficile d’observer. C’est la Polaire qui est ordinairement l’étoile qu’on préfère , ou quelque autre étoile de la Petite Ourse. , 1 ■ ’

4«3. Par un passage au méridien. Qu’on mesure avec soin la hauteur ds (fig. i3a) d’un astres, à l’instant où il est au méridien pzd ; z est le zénith, p le pôle, cd l’horizon , ce l’équateur. Après avoiï corrigé de réfraction — parallaxe, cette hauteur ds (ou la distance zénithale sz), on a ed=pz = 90° — l — hauteur de l’équateur ou colatitude du lieu. D’ailleurs se — D est la déclin, connue de l’astre, complément de sa distance au pôle sp. Ainsi sd = ed -f- es donne, en faisant h = hauteur sd, z=dist. zénithale sz (après la correction ) ,

/=z+D=9o"-)-D — A=9o °-f x — d^iSo” — (A-f-d). .. (t)

363 CÉOMOr.PllIE ASTRONOMIQUE.

Ces expressions conviennent aux cas où le passage se fait du côté du sud . i • !..

On prend D négatif , quand l’astre est en j' sous l’équateur , c.-à-d. quand sa déclin, est australe.

Les circompolaires ont deux passages visibles du côté du nord ( fig. 1 3o ) ; la formule doit être modifiée pour l’un et l’autre. En raisonnant comme on vient de le faire, on trouve

Passage entre le pôle et le zénith,

l—h — d== D — z = 90° — (z -{-</) = + D — go°. . . (a)

Passage entre le pôle et V horizon nord — (z D)

/=A-f-d=go°-J-d — z=9o° + h — D= 1 8o° — (z+D). . . .(3) Bien entendu que la déclin, de l’étoile observée doit être corrigée de la précession , de la nutation et de l’aberration.

4i4. On a reconnu que les cercles répétiteurs à grands dia-y mètres dont on se sert en géodésie pour les observations astronomiques , sont affectés d’une erreur qui leur est particulière ; cette erreur, qui rend trop faibles les distances zénith, observées, provient en grande partie d’une flexion de la lunette supérieure, flexion qu’on attribue au poids de l’objectif.

L’erreur dont il s’agit est très faible et varie avec les dist. zénith, à peu près dans le rapport de leurs sinus. Lorsque dans une station et pendant la durée des observations , le cercle répétiteur 11’éprouve aucun déplaccmeut , on est certain qu’alors son erreur particulière est constante pour une même dist. zénith. Il n’en est pas de même lorsque cet instrument est transporté d’un lieu à un autre, du moins à de grandes distances : sou erreur varie, et atteint quelquefois le double de ce qu’elle était d’abord. De nombreuses observations attestent ce fait.

11 suit de là ([lie pour obtenir avec une précision rigoureuse la latitude d’un lieu, il faut observer des dist. zénilb. méridiennes de deux astres , l’un au nord , l’autre au sud , distances qui doivent être à peu près égales, autant que possible, afin que l’erreur de l’instrument soit la même, et que celle de la réfraction soit dans le même cas. La moyenne

TDigiüzed by G'

latitude. 363

entre les deux résultats donnera la latitude avec toute l’exactitude désirable. La demi-diifér. de ces résultats sera donc l’erreur particulière de l’instrument pour la hauteur observée.

Si l’on veut obtenir une seconde détermination de la latitude du même lieu par l’observation de deux autres astres soumis aux conditions énoncées, mais à des dist. zénith, très différentes des précédentes , on trouvera une latitude très concordante avec la ire, en admettant que chaque détermination ait été faite par des séries de 20 et 3o répétitions, afin de compenser les erreurs d’observation. Mais l’erreur particulière à l’instrument qu’on déduira de ces nouvelles dist. zénith, ne sera pas la même que celle qui a été obtenue dans le ier cas. On verra si la variation de cette erreur est dans le rapport des sinus des dist. zénith. ; dans le cas contraire, on cherchera une formule empirique propre à exprimer approximativement la loi de celte variation.

Quand l’heure n’est connue que par des dist. zénith, absolues ( p. 352 )', il importe alors de connaître l’erreur particulière au cercle répétiteur dont on a fait usage , afin d’appliquer aux observations qui ne seraient faites que d’un seul côté du méridien, une correction nécessaire à la précision. Si l’on a la précaution de déterminer le témps par des observations de dist. zénith, absolues faites à l’est et à l'ouest , la moyenne entre les heures obtenues par ces deux déterminations , sera dégagée de l’erreur du cercle. Mais il arrive souvent que, par un prompt changement dans l’état de l’atmosphère, itne observation faite d’un côté du méridien , ne peut plus être corrigée par celle de l’autre côté , parce que le ciel s'étant couvert , cette dernière n’est pas possible. Il convient alors d’appliquer à cette détermination unique , la correction due à l’erreur de l’instrument, afin de détruire l’influence qu’elle exerce sur le résultat.

Nous donnons ici un ex. de ces calculs que M. Corabœuf a bien voulu nous communiquer. Ce savant faisait usage d’uu cercle de Gambey de 33 centim. de diamètre, et voulait ob— * tenir la latitude d’Angers : il a trouvé

GioMOt.PHIC ASTRONOMIQUE.

Etoiles observées.

Dist. tènith.

Latitude.

Erreur.

C Petite Ourse.,

47<>î8' to''g5

Àrctorus

moyenne ........ , . . . . .

Polaire { pas*, sap.).

moyenne

1er résultat

latitude delinitirc d’Angers

Les remarques précédentes doivent être faites pour toutes les méthodes d’observation de temps, de latitudes, etc. , lorsqu’on prend pour base des calculs les dist. zénith, des astres.

4*5. Par des hauteurs d'un astre observé près du méridien (fig. i3i ). Les méthodes qu’on vient d’exposer ont l’inconvénient de ne pas se prêter à la répétition fréquente, pour affaiblir les erreurs d’observation en les multipliant; l’astre doit en effet être observé une seule fois à l’instant où il traverse le méridien. Le procédé suivant est dû à Delambre; il permet de réitérer les mesures un grand nombre de fois en peu de temps : c’est ainsi que ce savant a opéré dans la grande triangulation française.

p est le pôle , z le zénith , pzmo le méridien , s un astre voisin de ce plan , ps son cercle horaire, m le point où l’astre passe au méridien , et par conséquent ps = pm = d= go° — D. Du zénith z pour centre, traçons l’arc so , et nous aurons zs — zoy s et o de même niveau. Faisons le petit arc mo = x , et calculons-en la valeur. Dans le triangle sphérique pzs , on a (éq. i5. p. 74)

cos zs 3= cos ( ps — pz ) — 2 sin pz . sin ps sin* \ p s or sz = oz =jm + x ; le i" membre devient coszm.cosx — sinzm.sinx = cos sm(i — jx5) — xsin zm\ car x étant fort petit, on peut négliger les 3CS puissances de

cet arc, dans les développemens de sinx et cos x, (éq. 16 et 17, p. 36). '

Quant au 2' membre , comme pz —90° — /, et /wasgo® — D, il devient

cos (Z — D) — 2 cos J cosD sia’ j/>.

Donc à cause de zm — pm — pz = ps — pz =s D — Z , on trouve

^x*cos(Z — D) + x sin(Z — D) = 2 cos Z cos D sin* [p . . . (A)

Telle est la relation qui est destinée à donner le petit arc x. Pour cela , appliquons le procédé exposé dans la note p. 206 , en y faisant

2 cos Z cos D sin* ; p sin(Z — D) ’

A = 5 cot ( Z — D), et tangx=x.

4 16. Au reste, on parvient au même résultat par le moyen suivant, qui montre mieux comment l’approximation se développe, et n’est au fond que le procédé de la note citée.

Négligeons le terme eu x*, pour une 1" approximation, et changeons x en x sin 1®, afin d’exprimer l’arc x en secondes de degré : nous avons

cos Z cosD ^ sin (Z — D) ’

en posant k

2 sin* 4 p sin 1“

On a donc ainsi le nombre x de secondes dont l'astre doit monter de s en m , pour entrer au méridien, dans le temps marqué par l’angle horaire p.

Soit H la hauteur de l’astre en s, Z sa distance zénithale (corrigée de réfraction — parallaxe) , valeurs obtenues l’une ou l’autre d’après une observation : soient h et z les valeurs de ces arcs quand l’astre sera en m au méridien ; d’où

Une fois qu’on a z ou A, l’éq. (1), p. 36i, fait ensuite con-

366 ciioMoiirniE astronomique.

naître la latitude l, comme si l'astre eût été observe au méridien même.

Mais comme , dans tous les instans voisins , soîtavànt, soit après le passage, on peut obtenir différentes bauteuW ou dis* tances zénithales successives, savoir H', H*,. . . , ou Z', Z',. . . , en notant les heures p correspondantes, on obtient,

pour chaque observation, une valeur de h ou de z. Toutes celles-ci devront être les mêmes, parce que les ir” ont chacune leur correction propre x' ,x" , . . . ; et les petites différ. des résultats devront être attribuées aux erreurs d’observatiOrt. Et puisque ces erreurs se compensent par leur nombre , la moyenne donnera une latitude fort exacte. Tel est l’esprit de cette ingénieuse méthode, dont il nous reste à développer les conséquences.

4i y. Les hauteurs méridiennes sont H'+x , H -4- x , ; la moyenne entre n observations donne

H'-f x-j-x — ja m0yenne fl entre la hauteurs

-f- la moyenne x entre les corrections ; de ces deux parties , la H est celle qu’on litsur l’instrument après toutes les observations dont il donne la somme , et qu on divise par n : ensuite on corrige de la réfraction — parallaxe. Quant à la 2me x, comme dans l’éq. (B), le facteur k varie seul aveO p , il faudra prendre pour k la moyenne entre les nombres

y k",.., attendu que cos 1 c°— est un facteur constant.

4i8. En conséquence : i8. on mesurera diverses hauteurs successives d’un astre non loin du méridien , tant avant qu après son passage, et l’on notera les heures de chaque observation.

2°. On cherchera l’heure que doit marquer la pendule à l’instant du passage, et les différ. entre ces heures et celles des observations , différ. qui sont p , p , . . . en temps.

3°. Chaque durée répond à une valeur de k qu’on calculera par l’éq. (C) ; et pour abréger ce travail , on formera une table

LvrtriDr. 36y

donnant les nombres k pour chaque angle horaire p', p" C’est ce qu’On appelle des réductions au méridien [vof. table de VAsiron. pratiqué) ; on a ainsi à Vue leé nombres k', k" . . .

4*. On prendra la moyenne^ entre tous ces résultats , et on l’introduira dans l’éq. (B), qui donnera la correction x que II ou Z doit éprouver pour devenir h ou z (éq. D).

5°. On connaîtra donc la hauteur h de l’astre au méridien ou sa distance zénithale z , comme si elle eût été observée n fois , et qu’on eût pris la moyenne de ces résultats. Enfin l’éq. (i) donnera la latitude l avec une grande précision. Mais avant il faudra corriger A ou z de réfraction — parallaxe.

Il faudra aussi corriger l’asc, dr. et la déclin, de l’astre des précession, nutation et aberration, s’il s’agit d’une étoile pour laquelle ce travail ne soit pas tout fait dans la Conn. des Tems.

419. Ces calculs ont une exactitude suffisante; mais il faut se mettre en garde contre diverses causes d’erreur.

Il n’est pas indispensable que l’heure dè la pendule soit très exactement connue pour l’instant du passage, pourvu qu’on prenne autant de hauteurs avant qu’après cette heure supposée.

Si la marche de la pendule ne s’accordait pas àvet celle de l’astre, avant d’entrer dans la table des réductions au méridien, il faudrait corriger les distances horaires p', p’,... mais cette opération peut être très simplifiée , comme on va le voir. En effet , désignons par a l’avance de la pendule, et par — a le retard , en n4‘, sur la durée de la révolution complète de l’astre ; si a exprime des secondes de temps , et qu’on représente 86400" par A ; on a la proportion :

Si A -f* a doit être réduit à A , le temps p le sera à

kP

et comme a est toujours fort petit par rapport à A , ce 4e terme

=p — 0,00001 16. ap-,

faisons donc y = 1 — o, 00001 16 n, chaque durée écoulée p devra être changée en yp ; sina p le sera en sin” j yn, ou, si

368 GÉOMOHPHJE ASTRONOMIQUE,

l’oq veut, en y% s\n%{p, attendu que l’arc est fort petit. Et comme ce facteur y* est constant pour toutes les durées p', p" ... il suffira, pour tenir compte dans le calcul, de l’avance diurne de a secondes de la pendule , d’introduire dans la formule (B) y% pour facteur, ou

donc

0 = i — o, oooos3. a;

x — mk X

cos / cosD cos h

Cette correction est principalement utile , quand la pendule marque le temps moyen , et qu’on observe une étoile ; ou réciproquement lorsque la pendule est sidérale et qu’on observe le Soleil. Dans le i*' cas la pendule retarde de 235", 909 par jour ( voy . p. 34*), ou a = — 235', 909, et

0=1,005482, log0 = 0,0023746.

Dans le 2* cas, il y a une avance a, qui est la différ. entre deux asc. dr. © consécutives de la Conn. des Tems, prises à la date de l’observation.

Du reste , si la marche de la pendule s’écarte sensiblement du temps moyen ou sidéral , il faut calculer la valeur de a. qui doit tenir lieu des précédentes d’après la grandeur de son avance diurne.

Après le passage au méridien , les angles horaires p sont négatifs; mais comme les sinus sont au carré, aucun nombre k ne prend le signe — ; tout se passe comme si les observations étaient faites d’un même côté du méridien.

420. Lorsqu’on prolonge les observations à plus de 6 ou 7 minutes de temps du méridien , il n'est plus possible de négliger le terme en x‘ dansl’éq. (A). Changeons-y x en x sin 1 ", puis mettonsdans le 1" terme transposé le carré de la valeur (F) au lieu de x3 : il viendra cette éq . qui suffit à tous les cas :

x = km.

avec

cos l cos D sin(f

[~ cos l cosD- 1*

-5J-mcot(/-D).|i^^J..,(G)

2 sin*

2 sin* J p

sin 1

LATITUDF. . 36$

On compose aussi une tahJe des valeurs de m, ( Fay. V^Asir. pratique , p. 21O.) - .

4a i. Jusqu’ici nous avons suppose' que l’astre passe au méridien du côté du sud ; pour appliquer cette théorie aux étoiles de la Petite Ourse, pour lesquelles D >• Z, il faut modifier les résultats. La marche des circompolaires est si lente qu’on peut prolonger les observations pendant une demi-heure à •

l’est, et autant à l’ouest du méridien , et par conséquent les rendre plus nombreuses ; ce qui donne beaucoup d’utilité à la méthode.

Ainsi quand l’astre est observé au nord ,

Entre le pôle elle zénith, changez dans l’éq. fG) / — D enD — Z;

Entre le pôle et l'horizon, remplacez — D par -f- D,

et comme l~\- D est > 90°, le dernier terme de l’éq. (G) devient positif.

La correction x donne

seulement, dans le i*r cas, l’astre descend pour arriver au méridien , et il faut prendre x en signe contraire.

Les éq. (2) et (3), n° 4 • 3 , donnent enfin la latitude/.

422. Par exemple, pour avoir, en un lieu dont la latitudç est à peu près de 4<°23’, une valeur exacte de cet arc, les 1 j avril i836, on observe S Gémeaux près du zénith :1a pendule marche sur le temps moyen, et retarde de 8", 76 par jour; en sorte que le retard sur le mouvement sidéral est — 244”>66> d’où « = i,oo5383. D’après la Conn. des Tenu, on a 1 ■ ..i .... r-U

A * = 3*35’ i6", 1 5 , D. sa 28°25'6>q ;

on en conclut l’heure moy. du passage en temps de la pendule, que nous supposons être

GÉOMORPIItE ASTRONOMIQUE.

5A48'39,"7 heure moyenne du passage — 17.17,4 retard de la pendule sur le temps moy.