NIVELLEMENT

M. Puissant une table où on lit ces corrections à vue, pour toutes les distances h. On observe que la correction i due à la réfraction n'a pas de valeur sensible quand la distance k ne dépasse pas 600 mètres. , >

56 Montrons, par des exemples, comment on fait les opérations de nivellement.

I. Nivellementcomposé . Supposons qu’on ait fait six stations successives du niveau , en se plaçant vers le milieu de la distance entre les points où la mire était portée de proche en proche, comme on l'a représenté figure 43. A chaque station, on a donc donné deux coups de niveau, l’un en arrière , l’autre en avant; et lisant sur la mire les hauteurs correspondantes, on a trouvé

Coups d’arrière,

Coups d’arant.

Somme. ... . ■

Somme. ........

3,193= diff. de niveau.

Ainsi le poiut A est au-dessus du point E de 3m,ig3. 11 est clair que le point qui a la plus grande cote est le plus bas.

11 n’y a pas lieu de faire ici les corrections de réfraction , ni de courbure de la terre , puisque les stations sont conjuguées.

II. Nivellement simple. Par un seul coup de niveau, sur une mire placée à 1742' mitres de distance , 'on a trouvé que le sol y est plus élevé de B*™, 453 ; on demande de corriger ce résultat de la réfraction et de la rondeur de la terre.

Log. 1742=3.24^0482, double. . . - 6.4820964 ... . constante A- • 8.8ig335o

ol",2oo2. 1 .,3oi43i4

54 TopoeiumE.

ainsi il faudrait abaisser la mire de o^aoo, ou a décimètres; la différence de niveau n’est donc que de 3m,253.

III. Nous supposons dans le dernier exemple , que la portée de la lunette du niveau a permis de ne faire qu’une seule vise'e à mètres de distance; s'il n’en était pas ainsi, et que la nature du sol ne permit pas de placer le niveau au milieu des deux stations successives d’une mire qu’on promènerait de proche en proche ; alors il faudrait opérer par une seule visée répétée chaque fois qu'on transporterait le niveau au point que vient d'occuper la mire. Et , comme , dans ce cas , la correction de réfraction nç serait pas nécessaire, on ne ferait que celle de la rondeur de la terre , en se servant de la valeur de n au lieu de celle de A.

67. Le niveau de pente, nommé aussi Eclim'eire , n’est autre chose que celui de maçon (fig. 3q), où, après avoir divisé la liauteUr CI en 100 parties égales, on a porté ces divisions le long de la barre HK, de part et d’autre du milieu I. En appliquant les branches du niveau sur une règle inclinée AB, ontrouve qUe le fil , au lieu de battre sur ce milieu I de la règle , point où est le zéro des divisions, vient battre en un autre point; l’angle que le fil-à-plomb fait avec la droite CI est visibelment celui que la règle AB fait avec l’horizon. Ainsi la distance du point I au point où bat le fil est la tangente de cet angle. On peut donc graduer la droite AB de manière à donner les diverses pentes d’un terrain. Au reste, nous indiquerons plus tard les pcrfectionnemens qu’on a fait subir à cet instrument. Pour faciliter l’usage du niveau à perpendicule , on peut le rqonter sur un pied à trois branches, à l’aide d’un genou sur lequel il puisse tourner : on adapte alors des pinnules aux extrémités A et B, afin de pointer les signaux qu’on établitau

bout des pentes- • n j«> . sb jstlü

Chézy a imaginé un êclim'elre beaucoup mieux entendu ; on le trouve décrit dans la Topographie de M. Puissaut. Nous ne noùs'y arrêterons pas, parce que cet instrument est rarement employé , et qu’on y supplée , comme il a été expliqué précédemment, par des opérations trigonométriques.

ARPENTAGE

Chap. IV. — arpentage.

58. Ça détermination de l’étendue superficielle d’un champ est facile à faire lorsqu’il est levé par le secours de l’équerre , parce qu’on connai t les bases et les hauteurs des parties élémentaires de cette surface. Quand on a fait usage du graphomètre, il faut calculer ces élémens par des résolutions de triangles. Eq général j ces aires sont toujours le produit de deux, longueurs qu’on exprime en mètres, et le produit est des mètres earrésj pour l’énoncer en ares, il faut diviser par cent, parce que .l’are vaut cent mètres ; pour avoir des hectares, il faut diviser de nouveau par cent. Ainsi en reculant la virgule vers la gauche de 2 ou de 4 rangs, l’aire est exprimée en ares ou eu hectares.

Par exemple , que, l’aire soit le produit de 453m par 329", elle sera ou 149037 mètres carrés, ou 1490,37 ares, ou 14 ,9037 hectares, c'est-à-dire 1 4 hectares 90 ares 37 centiares.

5g. Toutes les fois que la figure du champ sera géométrique, ou réductible à cette forme (cercle, parallélogramme, triangle, polygone) , les théorèmes connus reçoivent leur application, lllais s’il y a des limites courbes, il faut décomposer ces lignes en parties qu’on considère comme de petites droites , ce qui ramène l’aire à des formes géométriques qu’on calcule , par portions distinctes, par les procédés ordinaires. Au reste, le théorème de Simpson donne l’aire avec une plus grande approximation ; voici en quoi il consiste.

Cherchons d’abord l’aire d’un petit segment CEM (fig. 44) d’une courbe quelconque rapportée aux axes rectangulaires Ax, A r> .et nommons • l’angle MCH formé par la corde CM avec Ax. Menons l’ordonnée K.E par le milieu, K entre les ordonnées terminales CB, MP. On peut sensiblement regarder l’arc CM comme appartenant à une parabole dont le sommet L répond au milieu I de la corde. L’aire du segment est donc CEMI = | CM.LI. Or les triangles LET, MCH, donnent

LI = El cos a, CM = —, d’où CEMI = § El X CH.

7 cos*’ 3

TOPOGRAPHIE

Cela pose", faisons BK = KP = A, ÇB — y , KE = y0 y PM = J* \ l’aire CBPM se compose

du trapèze CBPM = h(y' -\-y“) , et de CEMI = f h . El.

Or El = EK — Kl = ÿ ( 2 y" — y — y*) ; donc le segment CEMI = | h ( 7y " — j ' — y) , et la petite aire

cempb = | A (î y-h *y + IS%

Supposons l’aire plane BACD (fig. 45) qu’on veut arpenter, limitée par la courbe AC, la droite BD et les perpendiculaires AB, CD; on coupera la base BD en un nombre pair de parties égales, dont h sera la longueur, et par les points de divisions on mènera des ordonnées / , y* ,y" >.-,y* , qui couperont l’aire en élémens dont les surfaces respectives seront exprimées deux à deux par la formule ci-dessus : la 2*, la 3*, . . . seront

f a (if + v" + ïf) , + v" + i y "h etc. ,

la somme = ar,’-f-7,T -H.T00),

Tel est le théorème de Simpson : Voire formée d'un nombre pair de trapèzes rectangles et curvilignes se trouve en prenant la moitié de la somme des ordonnées extrêmes , plus la somme de toutes les coordonnées , celles-ci exceptées , plus enfin celles de toutes les ordonnées de rangs pairs } le tout multiplié par y h.

La même règle s’applique évidemment au cas où l’aire est comme ACFE terminée par deux courbes opposées , en appelant y y f — la longueur totale de chaque parallèle.

Plus h est petit et plus le résultat est approché de l’aire demandée. Ce théorème s’applique à toute surface irrégulière , parce qu’on peut la décomposer en d’autres qu’on évalue séparément , et qu’on ajoute ou retranche ensuite , selon les cas. Lorsqu’il arrive que la base se trouve coupée par la courbe , la même règle reçoit son application , en faisant égale à zéro l’ordonnée du point de section.