Lorsqu’on veut arpenter un terrain, il est utile d’eu

ARPENTAGE

faire lever le plan , parce qu’il est facile de faire au crayou, sur le papier , les trace's de subdivisions qui sont propres à former des aires partielles commodes à évaluer : on obtient avec le compas des longueurs approchées qu’on peut ensuite vérifier et corriger sur le terrain.

Quand le sol est en pente , on réduit les longueurs à l’hori— zou , comme dans le levé du plan ; parce que c’est la projection horizontale qu’il faut arpenter. En effet, il est reconnu que l’étendue productive d’un sol n’est pas le développement des accidens de la surface : la projection a, il est vrai , une aire moindre que celle qui est inclinée ; mais l’espace de terre qu’il faut pour la croissance des racines , et la masse d’air nécessaire à la végétation des plantes , réduisent l’aire inclinée à sa projection horizontale, lorsqu’on mesure les produits. D’ailleurs, si l’on accorde un faible avantage à l’aire inclinée sur sa projection , elle est plus que compensée par les difficultés de la culture , à moins que l’inclinaison du sol ne soit une des conditions de succès , comme dans le cas des terres à vignes. La méthode de cullellalion est celle qui consiste à réduire ainsi les aires inclinées leur projection. L’exposition faite n°* 46 et 53 contient toüt ce qui est nécessaire pour ce genre de calculs.

Le plus ordinairement les champs , les bois , les parcs , sont limités par des lignes droites , et quelquefois même leur forme est celle de rectangles, de parallélogrammes , de triant gles.... Nous récapitulerons les théorèmes de Géométrie qui s’appliquent à l’arpentage de ces figures.

i°. La surface d’un rectangle ou d’ un. parallélogramme est le produit de sa base par sa hauteur : on prend pour base l’uo quelconque des çôtés ; la hauteur est la distance de ce côté à celui qui lui est opposé, mesurée sur une perpendiculaire aux deux.

20. Le même théorème s’applique au triangle, mais on ne prend que la moitié du produit, parce qu’tira triangle est la . moitié <? un parallélogramme deméme base et de mémehauteu/'.

TOPOGRAPHIE

3°. L’aire d'un trapèze est le produit de la somme des deux côtés parallèles par la moitié de leur distance , ou si l’ou veut, le produit de cette distance par la parallèle menée à distances égales de ces deux côtés.

4°. U aire d’un polygone s’obtient en le décomposant en triangles par des droites menées et un point intérieur (comme figure 26), ou par des diagonales menées d’un même sommet. On cherche les aires de ces triangles et on les ajoute.

Si le polygone est régulier, sa surface = y net* cot

n e'tant le nombre des côtés , et a la longueur d'un de ces côtés.

5°. Nous avons donné (n° 36) l’aire et un triangle dont on a les trois côtés : si l’on connaît deux côtés b , c et l’angle compris A, la surface = j bc sin A. Enfin, lorsqu’on a un côté c et les deux angles adjacens A et B , l’aire 1 . sin A sin B 1 sin A sin B

2 C ’ sin (A-f-B)

sinC

6°. L'aire et un quadrilatère se trouve en le divisant par une diagonale en deux triangles qu’on évalue séparément: cette aire est aussi égale à la moitié du produit des deux diagonales multiplié par le sinus de l’angle qu’elles forment entre elles.

70. L'aire d’un cercle de rayon R est=xR% «-étant 3,14169 {voy. n°33^, ■ , , ! ..

8°. L’aire d'un secteur de cercle dont l’arc a n degrés est

= Z R* S“slBn}

■y 'Jirî'i 1 -

On trouve que =0,01745.

90. L’aire d’une ellipse dont les demi-axes sont a et b, est = xab.

Toutes ces propositions sont démontrées dans mon Cours de mathématiques pures.

Lorsqu’on doit arpenter un terrain formé de diverses parcelles dont on veut avoir les aires séparées , comme cela arrive pour les opérations cadastrales , on évalue d’abord l’aire to-

ARPEÿTAGE. 69

taie des pièces re'unies , puis les aires des parcelles ; et l’on examine si la somme de celles-ci reproduit l’aire totale. On estime qu’une différence en plus ou en moins de n’est pas une erreur assez grave pour nécessiter que l’opération soit recommencée. Ces évaluations se font sur le plan, 4 l’aide de subdivisions qu’on fait avec le crayon. „

61 . L’arpentage comprend aussi le mode de division des héritages dans le rapport desjdroits des partageans. Ce problème n’est pas sans difficultés , surtout lorsqu’il comprend des conditions particulières d’intérêt ou de localités : comme lorsqu'il s’agit de faire aboutir les sentiers de séparation à un point déterminé, tel qu’un puits commun , une porte , une voie publique , etc. ; et aussi quand le terrain a des parties irrégulière» ou courspns, et qu’on veut que chaque partageant ait Une portion de ces désavantages.

Pour résoudre cette question , ou évalue l’aire totale en nombres, et l’on divise le résultat dans les rapports assignés, afin de connaître le nombre d’ares que doit avoir chacun. Puis opérant sur le plan , et par quelques essais approchés , on trace des lignes de séparation présumées : on mesure ce? aires partielles , et l’on reconbaît la quantité que chacun se trouverait avoir de trop ou de moins ; on corrige ensuite ces résultats ainsi que nous allons l’exposer.

62. Supposons qu’on ait présumé que la droite El (fig. 4&) coupe le quadrilatère ABCD par moitié, et en arpentant chaque partie M et N, l’aire surpasse N de a mètres carrés : voyous comment on devra déplacer la droite I$I pour que les deux parts deviennent égales. Il faut rendre ; a à N aux dépens de M. On abaissera la perpendiculaire EH == h sur AB, et on la mesurera : divisant l’aire | a par ÿ hf on portera de I

et» Fie quotient q = j = IF ; la droite EF coüpera la figure

par moitiés, puisque le triangle EIF == ÿ qh, = ÿ a.

On peut encore transporter la ligne de séparation vers AD. (fig. 5o), de El en FG, parallèlement à El, en faisant eq sorte que

TOPOGRAPHIE

l’aire EFGI = - a = El X mn : doue la distance mn — ~z.