et

cos a = cos b cos c . . . . (m)

sin b = sin a sin B.... (n) • , . , . .

tangc = tango eos B. . . . ( p )

cos a = cot B cot C . . . . ( q )

cot B = cot b sin c.... (r) • A

cos 8 as sin C cos i.... (s)

CÉOMOBPHIE.

Ces six équations sont propres au calfcul logarithmique , et snfTisent à la résolution de tout triangle rectangle : Des cinq élément a,b,c,B et C, deux étant donné», on- peut toujours

trouver les trois autres. Ainsi la question est posée entre trois élémens dont un seul est inconnu. On dénommera les angles du triangle par A, B, C, l’angle droit étant A, et l’on cherchera celle de ces six équations qui comprend les trois élémens dont il s’agit : niais pour trouver cette équation, il pourra arriver qu'on soit obligé de changer de place les lettres B et C dans la figure. Suivant les divers cas qui se présentent, on choisit les équations qui contiennent les trois .élémens compris dans le problème.

r.’bvpoténnse

cl (leux angles B, C

. . prenez l’équation [q)

un angle B f

opposé

cl la côté |

adjacent c. . .

les trois eûtes

Un côté b de l’angle droit et les angles B,C (s)

Deux côtés b,c de l’angle droit et un angle B (r)

7?. Le fréquent usage qu’on fait de ces équations exige qu’on les ait sans cesse présentes à la mémoire, chose quo le defaut de symétrie rend asser. difficile. Mauduit a indiqué uu moyen empirique .de les retrouver, qui consiste à lire, sur la figure, les cjuq élémens .du triangle rectangle dans l’ordre où ils soo.t, çn faisant le tour, et à observer que les trois élémens en^re lesquels, on. cherche une relation, sont contigus ou alternatifs ; et il est de fait qu’on a toujours

„„„ ,• , ... ' . f des s in. d’arcs alternes,

cos. arc intermédiaire = produit : , ’

1 ■ '' ‘ T ( des cot.d arcs' cotmoos.

Seulement , en appliquant ce théorème , il faut remplacer les deux côtés de l’angle droit par leur complément , c'est-à-dire leurs sin. par cos., leurs, taug. par coi. , etc. , On peut, en effet, vérifier qué ces 'deux propositions reproduisent exactement nos six équations. ' i ' 1

i°. De l’équation (m), on conclut que le cosinus de l’hypoténuse est égal au produit des cosinus des deux autres côtés ; ainsi l’un des trois côtés est ou 90°, selon que

,gle

lesjdeux autres côtes sont 'd’espèces, semblables ou- différentes, car les cosinus d’arcs > 90° sont négatifs.

2°. L’équation (q) montre que si l’on compare l’hypoténuse aux deux angles adjacens B et C, l’un de ces trois arcs est > ou < 90°, selon que les deux autres arcs sont d’espèces semblables ou différentes.

3°. Les équations (r ou s) prouvent que chacun des angles B et C est toujours de même espèce que le côté opposé. ’ ,

4°. De même , l’équation ( p ) montre que l’hypotennse et un côté sont de même espèce, quand l’angle compris est <Ç 96°, et d’espèces différentes quand cet angle pst > 90°.

Nous entendons par arcs de même espèce ceux qui sont ensemble soit < , soit > 90°; et d’espèces différentes, quand l’un de ces arcs est < et l’autre ]> 90°,

5°. Enfin, si le côté b de l’angle droit = 90°, on aura cos b = o, et (d’après les équations met r) cos a = o, cos B = o : les côtés CA, CB sont donc chacun de 90“ , et perpendiculaires sur AB ; le triangle est isostèle bi rectangle ; ‘C est le pôle de l’arc AB (fig. 5?.) , c’est-à-dire que Ç est distant de 90° de tous les point» de cet arc.

73. Quoique nos équations résolvent tous , les triangles sphériques rectangles, -il 'convient de remarquer qu’elles lie donneraient pas les valeurs dès inconiidcs avec ‘précision, si ces arts étaient très pétits et exprimés par des cos. , ou voisins de 90° et donnés par des sinus. Voici comment on doit opérer dans ces cas.

„ , , „ . 1 1 — cosx

.0. On a (éq. 8, p: 35 ) .t^ = 7+^-; -,

sij’on demande l’hypoténuse ç , connaissant B et C, l’équa-

tion ( q ) devient

tang4 i a ét= tang’ - a ~

1 — co l B cotC 1 -f-cotBcotC cos (B -f- C)

. cos (B — C)'

sinB sinC — cos B cosÇ

sin ïl siuC cos R cos C *"

p GÉOMORPHIE.

on voit pâr' cette équation que la- sopirae des deux angles B et C est > go°, puisque le second membre est négatif, et doit devenir positif.

a°. De même pour obtenir un côté b de l’angle droit , con-

'* * cos B

naissantles angles B et C, l’équation (v) donne cos b == ^ ;

,, , , sinz

on pose z = 90° — B, d ou cos B =smz, et cpso — :

ainsi l’on a ( éq. i5,p. 35)

t i , sinC — sinz tangj (C — z)

tanG 2 sin C -4- sin z , tang| (C -f- *)’ tang i b { tang [± (B — < C) -f- 45°] . tang[i(B + C)— 45*] } .

3°. Connaissant l’hypoténuse a et un côté c , pour trouver l’angle adjacent B, l’équation (jj) donne

1 • 1 — tansc cota cosc sina — sine cos a

tang* - Bc= — — — == : — — : — : ,

u a, 1 +tangc cota cosc sina -f- sinccosa

• ,ansîB=v/[iS&r^]- • (,2)-;

On remarquera que les sinus de a — c et a-+- c doivent avoir le même signe, pour éviter les imaginaires ; donc si a-(-c> 1 8o° , l’hypoténuse a doit être < ' c ■ On voit donc que quand, le triangle a des angles obtus , l’hypoténuse a n’est pas le plus grand côté. Q’ est au reste ce que la fig. 55 mettra en évidence K 87).

. , , , . ,11 cos a -, ,

4°. L équation (m) donne cos c = , d ou

tang’i c = tang ;(«+*)• tang j(û — &)• • • (i3)

5°. Enfin, si l’on cherche un côté b, connaissant l’angle opposé B et l’hypoténuse a , au lieu d’employer l’équatiou (n) quand b est voisin de 90°, posez

0 = 90° — az, tangx= sinasinB;

l’équation (n) revient à cos -îz = t'ang x, d'où- - "

u-5’2'= rrï”iî=“”8!45"i');

ainsi tan g (45° — j 6) = \/ ta,ng (45° — . x). . . (i4)

L’arc x étant calculé par l’équation tângx szs sin a sin’B, cette dernière donnera b. • * •

74. Nous donnerons ici les cinq élémens constitutifs d’un triangle sphérique rectangle , afin qu’on puisse s’exercer à l’application numérique des formules, en prenant, à volonté, deux de ces élémens , et calculant les trois autres. .

Triafigle rectangle d épreuve.

ÉLÉMEHS.

LOO. SlïfUS.

LOG. COSIHÜS.

LOG* Tiff G» -

c = ii4.i5.5i

B = >38. i5.45 C = io5.5i.3g

T. g5983o3 T . 8232909 T.983iq68

75. Le signe — qui suit plusieurs de ces logarithmes est destiné à iqdiquer que le facteur qui s’y rapporte est négatif ; ce qu’il ne faut pas confondre avec les — qu’on place à gauche, des logarithmes, quand on veut écrire qu’il faut les soustraire, ce qui arrive dans le cas d-’une division. Selon que le nombre des facteurs négatifs d’une formule est pair ou impair, le produit a le signe -f- ou — /circonstance qu’il faut noter avec soin; car, par exemple, tanga donne pour a un arc a <£ 90°, quand cette tangente est positive , et le supplément de cette valeur quand la tangente est négative.

Quaqt au 1 qui est l’entier de plusieurs logàrithmes, cette notation indique que , le rayon étant pris == 1 , dans nos équations, comme t! faut retrancher 10 de toutes les caractéristï-

74 CÉojuonpuiE.

ques des tables, la caractéristique du logarithme dont il s’agit est réduite à — - i , valeur négative qui accompagne une fraction décimale positive. Nous jugeons plus commode de nous servir, par lja suite, de ces caractéristiques négatives, que des logarithmes totalement négatifs , lesquels appartiennent à des facteurs i ; et nous laissons Ksi , au lieu de corriger les

formules générales pour les approprier au cas où le rayon est R = io. Du reste, ces parties entières négatives se comportent dans les calculs comme toutes les quantités soustractives. {Voy. mon Cours de Mathématiques pures, T. i, pv 1 ad.)

Triangles sphériques obliqu angles.

76. Passons en revue tous les cas qui peuvent se présenter (fig. 53). -

•jf" cas. Étant donnés les trois côtés a, b, C, trouver F angle A? L’équation (3), p. 63, en substituant 1— iasin* { A pour cos A ( éq. 67 p. 35) devient

cosa = cos(ù — e) — • asib b sin osin* { h. . ( » 5)

Cette équation est d’up fréquent usage. Ou en tire