sin

log b

Ce sont précisément les log. obtenus p. 139.

i4g. On peut encore modifier l’éq. (F) ; car on a

cos i = x — ^r;, d’où

J. i* i , , Mi*

(cosi)3 = I — -log cos b= gjjT = .»

partant l’éq. (D) devient

log b = log sin b — j log cos b (G)

Au reste , on peut remarquer que tous les calculs qu’on fait pour appliquer la théorie de l’excès sphérique, due à Legendre, se retrouvent ici, et qu’on en fait quelques-uns de plus. Le procédé qui vient d’être exposé est donc moins

CALCUL DES CÔTÉS DES TRIANGLES. i/fa

simple que le premier : il a plus de pre'cision ; mais on n’y doit recourir que pour le« triangles très étendus , et encore il est douteux que les résultats soient différens de ceux de la i” méthode.

i5o. Il convient d’examiner maintenant le procédé de Delambre , parce que ce procédé a été suivi dans la base du système métrique. Il consiste à ramener, par le calcul, les triangles déjà rendus sphériques par leur réduction à l’horizon , à des triangles rectilignes formés par les cordes des arcs , ou côtés de ces triangles très peu courbes. On a de la sorte un polyèdre à faces triangulaires inscrit au globe terrestre , et dont les sommets sont situés à la surface du niveau des mers. Comme il y a très peu de différence entre chaque arc terrestre et sa corde, de petites corrections, faciles à faire, donnent les arcs par les cordes et réciproquement.

i5t. Cherchons d'abord (fig. 80) la corde GÆII = k d’un arcGçiH — <p dont la longueur est connue; et réciproquement cette longueur , quand celle k de la corde est donnée , le rayon du cercle étant IG = R. Prenons le rayon IL = i , la corde LO = « de l’arc a, est(p. 37, n° 35)<* = 2sinj«. Mais on a

d’où

Sm 2 ° 2 23.2.3 2*. 2. 3.4.5

Mais on a aussi IL ;LO IG; GH, savoir, 1 R k ,

et 1 : a :: R : p ; ainsi il faut changer aen|, et « eu 5;

* ~ 9 24R1 + iga^oRf ’ * ‘

donc

et lorsque le rayon est très grand ,

excès d’un arc sur sa corde, <f> — k = = q.Q3.

En mètres log y=i5.on8474>en toises logÿ=i5. 5914874»

GÉOMOBPHIE.

en adoptant la valeur de R qui convient à la France (n® 149).

On a aussi p = k + — . . . , et substituant pour <p

sa valeur approchée k ,

9 = * + dpC* (I)

Ainsi quand on connaîtra l’une de ces deux quantités , un arc terrestre p ou sa corde k , on pourra calculer l’autre.

Soit par exemple = 39561", 19... 13.79181

— 0,064 •• i5.on85

Corde de Parce A =39561, a3 o»,o64. a.8o366

152. Dans le triangle sphérique très peu courbe ABC (fig. 72), on connaît le côté a en mètres, ainsi que les trois angles : on demande quels sont les angles A',B',C' et lescôté3a', è',c'du triangle rectiligne formé par les trois cordes?

CZ est une verticale à angle droit(surles arcs CA, CB, ou plutôt sur leurs tangentes enC.ZCI est de go°. L’angle ZCn est donc =90° — puisque l’angle lCn, formé par une tangente et par une corde, a pour mesure { CaB, ou \a. De meme ZC p = 90° — J b.

Imaginons une sphère dont le centre soit en C; sa surface couperaMes arêtes du trièdre ZCAB en m,p et n, ce qui détermine un triangle sphérique mpn. On connaît dans ce triangle, outre l’angle m = C que forment les plans ZCA* ZCB les côtés qui comprennent cetangle, savoir, mnrrrgo® —

mp — 90° \ b. Pour en tirer le côté pn =C’, qui est l’an—

-le des cordes CA .CB , il faut résoudre ce triangle . et comme les arcs a et b ne sont au plus que de quelques minutes, nous imiterons ici ce qui a été fait p. i33 pour réduire un angle à l’horizon.

Cherchons l’excès 1 de |C' sur C C' — C -f- t.

le triangle sphérique mnp donne

cos C = sin i a sin j b -f- cos -j a cos j b cos C

CALCUL DES CÔTÉS DES TRIANGLES. i4g

or, on a cos (7 = cos C — t sin C; substituant et développait les sin. et cos. de ; a et -j b , il vient

cos C — < sin C = j ab — ^ (a* + b‘) cos C -f- cos C , i sin C = — i ab -f- | (a“ -f- b') cos C ; le reste du calcul est le même p. i34 , et l’on a enfin

• = — Ç* s'n **' tang ~ G + Ç* ~f~) sini"cot^C..(L)

i53. Cette valeur de i, est aussi appelée excès sphérique , quoiqu’elle soit tout autre que la quantité à laquelle Legendre a donné ce nom. La formule ci-dessus exprime en secondes la correction que doit subir, avec son signe, l’angle C des arcs , pour devenir celui des cordes.

On applique cette formule à chacun des angles A,B,C du triangle sphérique, et l’on obtient les angles du

triangle rectiligne formé par les cordes des arcs. On connaît d’ailleurs l'une k de ces cordespar le calcul de l’éq. H, n° i5i, qui enseigne à la déduire de l’arc tp , ou côté de triangle sphérique ; ainsi l’on pourra calculer les deux autres côtés du triangle rectiligne. Ensuite on ramènera ces cordes k aux arcs <p par le même procédé , éq. I, n° i5i , et les côtés du triangle sphérique seront connus.

Tel est le procédé que Delambre a suivi dans la base du système métrique. Nous allons bientôt en montrer l’application à un exemple.

Mais avant, enseignons à réduire cette formule L en table, car on est obligé d'en faire le calcul pour tous les triangles du réseau. Or, en comparant cette éq. à celle A de la p. i34, on voit qu’elle est la même en signe contraire, en remplaçant h et h' par ; a et '-b. Ainsi l’on entrera dans la table I, qui donne les valeurs des quantités comprises sous la forme. . . . j m * sin i", avec la somme et avec la différence des arcs j a et ±b exprimés en secondes, ou avec a et b, sauf à prendre ensuite le quart des résultats. On aura ainsi les log. des coefficiens de

l5o 0É0M0RPHIE.

tang -i C et cot J C, la i” négative et la 2e positive. Ainsi on obtiendra les deux termes de la formule (L).

1 54 - H faut réduire en secondes les côtés a et b de l’angle B qui fait le sujet du calcul ; c’est ce qu’on fera ainsi qu’il suit.

On considérera , par approximation , le triangle sphérique proposé ABC , comme rectiligne , et l’on trouvera par le calcul les côtés a , b , c, qui seront à peu près exacts ; mais l’usage auquel on destine ces nombres n’exige pas qu’on les connaisse avec plus de précision, car l’erreur extrêmement petite qui affecte les longueurs de ces côtés, ne peut influer sur la valeur qu’on en tirera pour t , qui est très petit. Au reste , on pourrait convertir en table la formule (C) n° 146 , pour en tirer à vue les valeurs des côtés a et b en secondes.

i55. L’exemple suivant est destiné à montrer comment on doit gouverner les calculs.

STATIONS

ANGLES REDUITS 4 l'horizon.

ANGLE de* corde».