AZIMUTS, LONGITUDES, LATITUDES

(Voy.,un Mémoire de M. Bonne, T. III du Mémorial du dé j pôt de la guerre.) . ■

Des azimuts, longitudes el latitudes. 1

317. Nous savons calculer tous les côtés des triangles du réseau géodésique ( fig. 73). Connaissant, par l’observation directe , la longitude, la latitude d’un des sommets A, ainsi que la direction d’un côté AC, c’est-à-dire l’angle CAI qu’elle fait avec la méridienne AV du point A , on peut trouver , par le calcul , les mêmes choses pour la station C. Et comme , de proche en proche, ou peut opérer de même pour chaque sommet de triangle, on trouve en définitive les longitudes et latitudes de toutes les "stations, ainsi que les azimuts des côtés des triangles. Exposons cette théorie, mais supposons d’abord que la Terre soit sphérique; nous corrigerons ensuite l’erreur qu’entraîne celte hypothèse. ^

Soit Ç (fig. 79). le pôle terrestre; PM, PM' les méridiens des déux stations M et M' ; l’arc MM' = a est connu en mètres , et par suit? en secondeî d’are (11e* 146 et t8i). La latitude du point M est/; celle de M' est /'. La ire est donnée, la ac inconnue * ainsi que l’angle MPM' = P des deux méridiens , différ. des longitudes des stations M et M' ;

PM = go° — l, PM' = go° — /'.

Dans le triangle sphérique PMM', on connaît donc les côtés et MM', ainsi que l’angle compris M, supplément de l’azimut donné M'iVIm = z ^ compté du sud vers l’est ou l’ouest : on suppose cet angle z connu par l’observation astronomique ou par des calculs de l’espèce de ceux dont nous nous occupons actuellement. Il s’agit de résoudre le trianglePMM', et d’en tirer PM'=go° — F, l’angle P, et l’angle M', supplément de l’azimut MM'm' = z' compté vers l’ouest ou l’est, le côté MM' «tant vu en M', sur l’horizon de cette station.

Comme les arcs c et P sont toujours fort petits, on veut

ao6.

GfcOMOHPHIE.

résoudre un Irianglc sphérique dont un côté et l’angle opposé

sont très petits , c.-à-d. n’ont qu’un petît nombre de minutes.

Il est plus exact de calculer la petite diffe'r. d= l — V entre

les deux latitudes. L’éq. fondamentale , p. 68, devient ici

sin/' = sin / cos a -f- ctjfi/ sina cosM; ' •

d’où sin/ — sin T — sin / (t — cos a) 4- cos / sina cosz = 2 sin /sinaŸa + cos/sinacosa. .

Le t <r membre = 2 sin ÿ (/—/') cosÿ (/+/’) = 2 sin ^ d. cos (4 — -j-d)

= 2 sin y d (cos / cos -j- d -f- sin / sin { d ).

.. * fi,

Divisant toute l’éq. par 2 cos / cos’-j-rf ,il vient

tangId(H-Ung/tangirf)=^p-K(,+tan8»I*), > '

en posant , pour abréger , *

K = -f s*nfl cosz + tang/sin*Aa. »

Donc en ordonnant,* • «

tang £</+ (tang/ — K) tang*?</= K ; •

niais l’arc a est très petit : on a , au 4' ordre près , .

sina = a — -j-a3, sin ’{«- ; t

d’où R = 7 a cos ÿ a“ tang / — -fj a3 cos z-

Résolvant l’éq. par rapport à | d , et négligeant le 4e ordre (*), d—a cos z+ tang/ sin *z —4 a 3 sin ’z cos z ( t -f- 3 tang ’/). (A)

H Résolvons l’équation tang x + h tang* isK,

En supposant K très petit, ainsique .t, pnis développant le radical efl série , selon les puissances croissantes de K , enfin ne prenant que le signe —

AZIMUTS, 1.ÀTITUDKS, longitudes. * .207