PERPENDICULAIRES A LA MÉRIDIENNE

couperait l’équateur en deux points diamétralement opposés, et à 90° de distance en longitude, de part et d’autre du méridien du lieu de départ.

Il y a plus , dans le sphéroïde , la perpendiculaire à la méridienne est une courbe à double courbure. En effet (fig. *y5) les verticales qui vont toutes au centre de la Terre sphérique, ne concourent plus au même point dans l’ellipsoïde. Si l’on a mené, en un lieu a , la perpendiculaire ab à la méridienne P a, ob supposé un très petit arc, est dans le plan vertical iab, qui passe par la normale ai. Lorsqu’on se transporte à l’extrémité b i\e cetarc, comme la verticale ou la normale en b est bk, coupant l’oxe de la Terre en k, il faut briser le prolongement de ab, pour le coucher sur le nouvel horizon, dans ce a' plan vertical cbk : ainsi l’arc bc sort du i" plan vertical. De même, l’arc cd se trouve dans un 3e vertical dcl-, et ainsi des autres. La courbe abcd. . . est donc composée d’arcs élémentaires situés dans des plans verticaux sans cesse variables.

237. La position d’un point M (fig. 84) sur un plan, est déterminée par ses distances x et y à deux axes Ax, Ay, rectangulaires et donnés; ou bien par sa distance AM—ç à l’origine A , et par l’azimut PAM = z , savoir.

x =. pcosz, y = ç sin z (F)

Imitons ce système sur la surface terrestre. Soit P (fig. 87) le pôle , PX le méridien d’un lieu A pris pour origine des coordonnées sphériques AQ—X, QM = y, d’un point M, et A Q'=x', Q'M'=,y' d’un autre point M'. Les ordonnées y, y\ sont comptées sur des arcs Q M/> , , perpendiculaires à

la méridienne PX.

Si l’on suppose que la Terre soit sphérique, ces arcsQM/>, Q'M 'p, vont concourir en p à l’équateur, ainsi qu’il vient d’être dit, et p est le pôle du méridien PX, c.-à-d. que le point p est à 90 degrés de tous les points du cercle PX. Les méridiens des stations M et M' sont les arcs PM , PM', cplati-

(.ÉoMOHPaiE.

tudes de ces points. Les angles MPA, M'PA sont les longitudes de ces stations, relativement au méridien principal PX; nous les désignerons par P et P' : l’angle MPM'= P — P' est la différ. des longitudes.

Or le triangle sphérique rectangle PMQ donne (éq. net 7, page 69)

sin^ = cosZsin P, cotf = — sinf tangP; . . . . (G),

l est la latitude de M, Ç l’angle IMQ , ou l’azimut de MQ sur l’horizon de M , compté à partir du sud. Mais l’azimut du côté MM', vu de M, est connu, IMM' = z; appelons l’angle QMM' = 4') angle donné par

La long. P du point M de départ est ici > que celle P' de M'; l’azimut z est du côté occidental de la méridienne : s’il était à l’est, comme fig. 88, on aurait P < P', et on ferait z négatif, car l’on aurait visiblement / = Ç + z.

238. Appliquons au triangle sphérique M/>M' tout ce qui a été dit page 206, et les formules démontrées conviendront ici ; seulement/z n’étant plus le pôle terrestre, comme l’était P(fig. 79) , il faudra prendre pM = 90° —J, pM'=90° — y, c.à d. remplacer, dans les éq. A' et B', p. 208,

l et t par y et y, d par jr—f, z par 4> el P par l’angle p == arc QQ' = ar' — x.

Et même, comme dans les équ. A' et B', d, s cl P sont des valeurs angulaires exprimées en secondes d’arcs débits du rayon t , et que nous prendrons la normale N pour rayon j il

faudra substituer ^ et ^ , au lieu de a sin i", d sin 1* et

P sin 1", comme page 176, pour que <p , d et P représentent des longueurs métriques. Il faudra donc en définitive rempla-

(B 'y ■ y' x OC

eer fl sin 1", etc., par ^r, — et — — ; et 9, j,y, x et

x' seront rapportés A la même unité que la normale N, qui d'ailleurs est connue (n° 177).

PEBPENDICULA I RES A LA MÉBIDIENNE.

Ainsi l’on obtient les équ. suivantes pour la fig. 87,

p eos -J, — ^ tang^.

sin1

p sin 4"