COS J

sin a4- .

tanfiJT

cos y

239. Ces éq. dominent, pour chaque station M', les deux coordonnées x' et y' , l’une dans le sens de la méridienne, principale PX, l’autre selon sa perpendiculaire pÇÏ. O11 déterminera d’abord les arcs y, £ et 4. par les éq. G et I, sans qu’il soit nécessaire d’y apporter une grande précision ; et même, comme on procède successivement d’un sommet de triangle au suivant, aret y sont connus lorsqu’on cherche x' et y . Au sommet A pris pour origine, x et y sont nuis, et nos éq. se réduisent aux formules (F), au 3" ordre près. Alors (fig. 89) M est situé sur la méridienne principale, £=go° et ^=go° — z> La valeur QQ' — x' — x, pour tous les arcs MM' (fig. 87) , est leur projection sur la méridienne principale, selon des arcs pQ,p Q > perpendiculaires à cette méridienne.

240. Il arrive souvent que la longitude P et l’arc' J' sont fort petits ; alors les équ. (G) se mettent sous une forme plus simple pour le calcul, ün y remplace les sinus et tang. par l’arc, savoir^ P cos l, et 90° — Ç = — Psin/; et comme on veut exprimer l’arc P en secondes, et la ligne y en mètres,

on change P en Psin 1", et y en ^ , N étant la normale; ainsi

l’on a

y = NP sin i"cosZ, (K)

• =.go° -j- Psin i"sin l. ....... . (L)

Nous ferons plus tard des applications de ces formules.

241- Si l’on suppose l’arc MM' (fig. 79) perpendiculaire à la méridienne PM du point M,on a z=go” dans les éq. A' , B' et C', pages 21 1 et 209; et pour que a soit exprimé par le nombre <p d’unités métriques de l’arc terrestre, au heu de

228 GÉOMORPlilE.

l'être par sa longueur Je rayon étant i , ou par son nombre

de secondes, on changera, comme n° 1 8 ■ , l’arc a en 5-? — j .

N sin 1

Ainsi, à cause de D = /-*- L, on trouve, i° pour la latitude L de l’extrémité M' de l’arc MM', perpendiculaire en M; 20 pour la différence P des longitudes de M et M' ; 3® enfin pour l’azimut z du lieu M vu de M', .ou l’angle rw'M'M compté du sud , les trois relations suivantes :

N cos /sin \

y* tang* /

3N3 cos /sin i*

»■ „9..+i“s' £ “aie +,»*/).

u Nsint 6NJsm 1 0

Ces éqti. sont exactes au 4' ordre près : l’azimut z est compte' du sud vers l’est ou l’ouest; P est exprimé en secondes, ainsi que tous les termes qui ont sin 1® au dénominateur; 1 p et N sont des longueurs rapportées à la même unité métrique (n° 181).

Multipliez la 2' de ces éq. par sin/, et retranchez la 3', la 1” puissance de 1 p disparaîtra, et vous aurez

Cette éq., où le 1" membre et l’avant-dernier terme sont exprimés en secondes, fait connaître la longitude P de M’ par rapport au méridien de M, lorsqu’on a l’azimut z* du sommet M, vu de M', compté du sud.

Pour un autre point du même arc perpendiculaire, mais situé de l’autre côté du méridien de M,- on aurait une éq. semblable en P', z" et <p' : ajoutant ces deux éq. et désignant par a la différ. des longitudes de ces deux stations opposées, ou a = P -f- P', on a

z' -I - z” — t8o° (p3 ■+• 1 pn) tang/

sin/ 6N5sin/sini"

ARCS DE MÉRIDIEN

Telle est la diflér. Ailes longitudes des deux bouts M' et M" d’un arc perpendiculaire à la méridienne, laquelle le traverse en l’un de ses points. M. Puissanta prouvé (Conn. des Tems, 1828) que si cet arc a \oo mille mètres de longueur (100 lieues), sous la latitude de 45°, on a a=5° 4' 3", 78, valeur exacte à une demi-seconde près. Pourvu donc que l’arc n’excède pas celte étendue, c’est-à-dire que son amplitude ne dépasse, pas io° de longitude, l’éq. est exacte. Les azimuts z et z* mesurés aux extrémités de cette perpendiculaire , et les longueurs p et tp' de ses deux parties, font connaître la différ. en longitude de ces deux bouts de l’arc.

Mesure des arcs de méridien, de parallèles, etc.

243. Les arcs terrestres sont mesurés en dirigeant un réseau de triangles dans le sens de ces arcs , calculantes longueurs et azimuts de ces côtés, les longitudes et latitudes des stations, enûn projetant ces lignes sur l’arc qu’on veut mesurer, à l’aide de parallèles à l’équateur, ou d!arcs de grand cercle perpendiculaires à la ligne géodésique: le tout par le secours des formules précédemment démontrées. La somme des projections convenablement choisies donne la longueur totale de l’arc.

Ainsi pour trouver la longueur de l’arc de méridien qui traverse une chaîne de triangles dont tous les élémens et la disposition mutuelle sont connus , on rapportera chaque sommet au méridien principal d’une station prise pour origine, et l’on évaluera les deux coordonnées x et y de chaque sommet, dans le sens de la méridienne et de sa perpend. Ce procédé 1 est bien plus commode et plus analytique que celni de la page i55, qui a l’inconvénient d’exiger le secours d’une figure. D’ailleurs , on est obligé de trouver la latitude de l’extrémité de l’arc, qui diffère sensiblement de celle du dernier sommet, ce qui exige une correction qu’ou peut trouver, il est vrai, par nos formules précédentes : mais la méthode des projections a l’avantage de faire connaître directement les latitudes

Dig

cëomohpbie.

de tous les pieds des arcs perpendiculaires, ainsi qu’on va l'expliquer.

On projette donc tous les côtés orientaux, sur la méridienne principale ; On en fait autant pour les côtés occidentaux ; les deux sommes doivent -s’accorder à donner la même longueur pour l’arc total; ce qui fournit un moyen de vérification des calculs ; et s’il existe entre les deux résultats une petite différ., on prend une moyenne entre eux pour la valeur cherchée.

Et d’abord il faut préparer nos éq. pour en faciliter l’applicatiou au cas que uous traitons.

244* b’éq. A , p. 206 , donne la différ. d entre les latitudes des deux stations M et M’ (fig. yq) , dont l’arc de distance est o, et z l’azimut de cet arc vu de M. Or, d et a sont de petits arcs qu’il convient d’exprimer plus commodément. La distance itinéraire MM', en unités métriques, étant p, on chan-

géra a en , N étant la normale du point M, ou

N = — ; c’est ici comme au n® 238. De même,

[/ 1 — ea sin’ l

' fi

011 changera d en — , et 6 désignera la distance, en mètres, des deux parallèles de M et M' ; ainsi l’on aura

0 =pcosz-4-^tangfsinJz — g— sinaz.cos z(t-^-3 taug“i)... (E)

Ou peut donc projeter ainsi tous les côtés des triangles du réseau sur la méridienne principale , par une suite d’arcs de parallèles à l’équateur, et obtenir la longueur de l’arc total, limite eu deux points extrêmes dont on a les latitudes. Ce procédé conduit au résultat demandé puisque la somme de toutes les valeurs de 0 , pour les côtés soit orientaux , soit occidentaux , donnera l’arc de méridien , non-seulement en entier, mais même en parties séparées qp’on pourra comparer entre elles, comme on l’a fait p. 180; et il n’est point nécessaire de faire, pour la dernière station, la petite cor-

ARCS OC MERIDIEN . l3 I

rection dont nous «vous parlé, et qu’exige la méthode de Legendre, p. 1 55.

On a soin de donner aux azimuts z le signe qui convient selon le senÿ que ces angles affectent par rapport à la méridienne : ces angles sont comptés du sud ; mais les uns sont ouverts à l’ouest, et les autres à l’est. Les ingénieurs préfèrent ordinairement les compter tous dans l’un de ces deux sens, de o à 36o°, en faisant le tour entier.

Observé* que pour arriver à l’éq. (E), nous n’avons pas employé la correction d’aplatissement donnée par l’éq. (A"), p. 2ii, parce que nous nous servons de la normale N qui contient e\ et que l’angle des deux normales IG, IH (fig. 80) est celui qu’on a .introduit daus l'éq.

345. Appliquons cette formule à l’exeinpie de lap. 212, et ' projetons sur la méridienne l’arc terrestre du Panthéon à Dammartin (6g. 83) ,

vos* 1.8397190 — , 0,5...