Les procédés qu’on vient d’exposer servent aussi à

ARCS DE MÉRIDIEN

trouver la longueur d’un arc de parallèle , limité par des méridiens extrêmes dont la différ. de longitude est connue (n°2ii). On forme, comme n° i6a, une chaîne de triangles dirigés de l’est à l’ouest , et peu dis tans de ce parallèle ; puis ou en calcule les côtés, les azimuts, les longitudes et les latitudes , comme ci-devant.

Soit AB (fig. 92) un côté de ces triangles, A. et fi deux stations, OQ le parallèle sur lequel on veut projeter l’arc AB, à l’aide des deux méridiens PAE, PBG; c.-à-d. qu’il s’agit de trouver la longueur Y de l’arc GE dont la latitude est L. L’azimut du côté AB vu en A est z; la latitude de B est /, sa normale est N'=BN' j celle du point G est N = GN : les rayons des parallèles GE, BD, sont GF ae x, BI r= x', perpendiculaires à l’axe PC. On a x = N cos l (n° 177). •

Le triangle spbécique PBA donne (éq. B, p. 204)

, » . sin a sin z

comme P = sinP-f- £ sin3 P, il faut ajouter au second membre le 6* de son cube pour obtenir l’arc P : d’ailleurs faisant sina=ra — ia3, on en tire

1 a^si^z 6 cos3 l

En remplaçant a par ^7, comme précédemment, pour que le

côté a soit exprimé par sou nombre <p d’unités métriques, il vient

p p sin z <p3 sin z / sin“z\

N'cosZ 6K'3 cos / V cos 2 Z/

P est ici l’angle dièdre formé par les deux méridiens des stations extrêmes , ou plutôft’arc décrit du rayon 1 qui mesure cet angle , ou l'angle DIB que font les rayons ID, IB, menés perpendiculaires à l’axe PC , partant des deux extrémités de l’arc BD , arc qui est la projection de AB sur le parallèle idc B.

GÉOMOHPnit. .

Or on a i ;P;: IB; BD, BD = Pa/; les arcs semblables BD , GE, sont comme leurs rayons :

.r':x:: bd : ge— *x bd = Px = y.

Mettant ici pour P et x — N cos L leurs valeurs, on trouve

N cos L

N' cos

ÏD

tp sin z •

- sm z

On applique cette formule successivement à tous les côtés nord ou sud des triangles de la chaîne , et l’on obtient la somme de. leurs projections qui compose l’arc de parallèle proposé.

25 1. Pour la commodité des calculs, on compose une table des valeurs de la normale (éq. 6, p. 173) pour les diverses latitudes, entre les limites des sommets de triangles qui composent la chaîne, et pour l’aplatissement adopté. N cos L est ici constant; p, z, N' et l varient avec les stations. Mais on abrège ces calculs en cherchant d’abord N pour le parallèle OQ sur lequel les arcs sont projetés, puis le petit changement que N éprouve pour de légères variations de L.

On a N*= A’ (1 — e’sin’L)- 1 ; la différentielle par rapport à N et L est

T N e1 sin L cos L dL

mais = N + dS donne (éq. 22 , p. 36)

log N' = log N -f-log = log N + M.^,

M étant le module, et en se bornant au 1" ordre , qui suffit ici. Représentons le dernier terme par 1,

Me’siuaLdL 2 (1 — e1siuaL)"

Développant la puissance — 1 de (1 — e* sinaL)y et désignant par ^la différ. I — L des latitudes, il vient