CHAP. III. NIVELLEMENT

■Nivellement géodésique.

254. Deux points M et N (fig. g3) sont de niveau quand ils sont situés sur une même surface MAN, concentrique au globe terrestre man , que nous supposerons être une sphère. Si l’on compare quelque sommet 0 au point M, la différence NO de niveau est mesurée sur la verticale, ou le rayon CN prolongé. Il s’agit de trouver NO =x.

Du point M, d’où l’on voit le signal O, on mesurera l’angle OMP qu’on appelle la distance zénithale de 0. Observous que la réfraction atmosphérique fait voir ce point O plus élevé qu’il ne l’est réellement, en sorte qu’on juge ce sommet O en 1, et que l’angle mesuré est, non pas OMP, mais /MP=z, plus petit que le 1"; la différ. est iM0 = r. La véritable distance au zénith est donc 0MP = z + r, z étant l’angle qu’on mesure actuellement, et r la réfraction inconnue.

GÉOMOHPHIE.

Quant à l’arc MAN , il est toujours fort petit; nous verrons qu’on peut lui substituer sa corde MBN= k (voy. n° i5i). t

2 55. Dans le triangle isoscèle CM N, f angle NMC=go° — jC j la corde MBN = A=aRsin jC, R étant le rayon terrestre, ou plutôt la normale en M , pour avoir égard à l’aplatissement terrestre. Donc, en exprimant l’angle C en secondes; et substituant le' petit arc -j C à ,pon sinus (on remplace sin \ C par ■j Csini", voy. p. Ï7), on'a£ = RCsin 1".

Le triangle OMN donne sinO:MN oak “ sin OMN: ON ou x \

d’où

. sin OMN

i-lX r-p— :

sin U

OMN 1800 — OMP — NMC é= 9o°— z — ^C,

NOM=0=OMD=OMP — C = z+r— C,

donc

cos (z + r — -jC)

r-lX . , ~ 1

■■ sm(z4-r — C)

avec

k — RC sin 1*. . . .

Cette éq. (a) où la distance k est connue, donne l’arc C en secondes : ainsi il ne reste plus pour avoir la diffôr. x de niveau 'des stations M et O , que de trouver la réfraction r.

En prenant R— 6 366 198 mètres, on a log — ^ „=a.5io5449-

11 peut arriver que l’angle C soit assez petit pour qq’on ne change pas sensiblement la valeur(i) , en remplaçant C par ~ C dans le dénominateur, attendu que l’arc z-f-r — C étant peu différent de go°, son sinus varie à peine pour un petit changement de l’arc: alors l’éq..(i) devient simplement

x = lXcot(z + r-iC) (3)

a56. Pour trouver la réfraction r, ou en éviter l’emploi , on prend des distances zénithales réciproques et simultanées : un observateur placé en O (fig. 93) mesure l’angle MOZ, distance zénithale de M vu de O, en même temps qu’une autre personne prend l’angle OMP. Soit MOZ =z'- f- r, z étant l’angle observé^

NIVELLEMENT GÉoDÉSIQUE. 24*

et r la réfraction qu’on suppose la même en 0 qu’en M (*).

On a MOZ 4- OMP * 4- z' 4- ar. Mais d’un autre côté, ces deux angles étant extérieurs au triangle MOC , sont l’un MOZ = OMC 4- C, l’autre OMP = O + C; la somme de ces angles se compose des trois angles du triangle MOC, plus de l’angle C : ainsi cette somme = i8o° 4- C, et l’on a

d’où r = iC-i(t + t' — t8o*) (5)

Introduisant cette valeur dans l’éq. (t), il vient

sin ~(z' z)

~~ cos y(z Z4-C)

L’éq. (3) qui n’est qu’approximative , mais qui suffit le plus souvent, devient

x = k X tang j(z' — z) = | k ( s — z ) sin i", . . . (7)

en exprimant en secondes le petit arc z — z. Lorsque z et z' ne sont pas à peu de chose près égaux , et que k est de quelque étendue, on doit se servir de l’éq. (6) de préférence.

L’éq. (7) peut aussi servir à trouver l’une des distances zénith. z et z' quand on connaît l’autre et la différ. x de niveau.

257. Comme il est pénible de doubler ainsi le nombre des observations, dans le seul but de trouver la réfraction r, on a fait des tentatives multipliée? pour éviter les distances zénithales réciproques, et déterminer r à priori ; car alors on pourrait se servir des éq. (1) ou (3). Ce petit arc r est variable par ies circonstances atmosphériques ; le Mémoire cité de M. Biot apprend à le trouver, mais les formules sont compliquées.

(*) M. Biot a donne, dans la Connaissance des Temps de 1842 > des formules ponr trouver r, et a prouvé que quand on fait des observations réciproques et simultanées, la réfraction r est sensiblement la même pour les deux stations, c’cil-à-dire que la trajectoire de la lumière est la rocmc*coorbc pour eèiacune.

OI-OMoHPHÏE.

Supposons que , par des observations très soignées, on soit parvenu à trouver diverses valeurs de r, correspondantes chacune à un angle G bien connu (fig. q3). En divisant ces valeurs par les angles C qui leur appartiennent, on a remarqué que les quotiens diffèrent peu de 6,08. Ainsi, dans les circonstances atmosphériques ordinaires, si l’on n’a pu obtenir defe distances zénithales réciproques, on pourra poser approximativement

r — 0,08 XC;~

ensuite l’équat. (i) donnera la différ. x de niveau entre les

deux stations, à fort peu près, et par des distances zénithales simples r.

258. Mais les variations qu’éprouve l’atmosphère dans ses diverses couches, changent notablement la réfraction, et l’on ne peut avoir une confiance absolue dans l’éq. r = O,o8 X G. Rigoureusement, on devrait poser r =mC, et choisir pourra la valeur qui convient aux circonstances atmosphériques où l’on opère.

La variable m est appelée le coefficient de la réfraction ; elle chaugeavec la température, la pression atmosphérique, et mille causes locales presque insaisissables par le calcul. De— lamkre ( Astron T. III, p. 5^5) a trouvé m de o,o5 à 0,06 en été; rarement de 6,i4à o,i5 par un temps brumeux d’hiver; et presque toujours m = 0,08, avec 0,02 de variation en moins pendant l’été, et en .plus dans les temps froids.

La moyenne de 17 observations dé la inerfn® 264) faites en été et en automne, est* 0,0783. On trouve, p. 234 et 366 du 6* vol. du Mémorial du dépôt de la guerre , un grand nombre de déterminations du facteur m, plus ou moins différentes de 0,08, et qui prouvent la variabilité de ce coefficient.

Concluons de là qu'il faut, autant qu’on le peut, mesurer des distances zénithales réciproques de tous lès somméis dont ou veut avoir le nivellement avec précision. Mais comme il n’est pas toujours possible de le faire au même moment., et

NIVELLEMENT GÉ0DBS1QDE. 243

^que lorsqu’on le peut , les difficultés et les frais d’exécution obligent souvent à renoncer à cet avantage, les distances zénithales sont alors réciproques , sans être simultanées. Et quand elles ne le sont ni l’une ni l'autre , faute de mieux , on prend m = 0,08, ce qui donne encore des résultats très satisfaisans, du moins quand l’atmosphère ne se trouve pas dans des conditions exceptionnelles de température, pression, humidité, etc.

Une simplification qu’on se permet, quand, d’une même station, on peut apercevoir plusieurs sommets environnans, consiste à mesurer, pour l’un seulement , des distances zénithales réciproques et, s’il se peut, simultanées, afin d’en conclure la valeur actuelle de m , qu’on fait ensuite servir à la détermination des hauteurs des autres soumiets, pour lesquels on se contente de distances zénith, simples. On se sert del’éq. (i) en y faisant r = mC, avec lai valeur de m qu’on vient d’obtenir, parce que l’on admet que l’état de l'air restant le même , ce coefficient conserve sa valeur.

25g. Au reste, l’éq. (î) peut être développée, dansce^cas, d’une manière commode pour le calcul. Posons r=. mC dans cette éq., et faisons , pour abréger, ÿ — z — (j- — m)C; nous aurons

cos 4* k cot4'

sin^ — jC) cosjC(i — cot-vl tang£ C)’

en développant le sin^ — \ C), et divisant haut et bas par sin4' cos± C. Faisons la puissance — i de (i — cot-4- tang^C); et comme 4* est très voisin de z(etde 90°), cot 4* est fort petite, ainsi que C ; négligeons le 2e ordre ;

k cot 4' k /i \ ~ l

x= Tr= rr c°t z— ( m )C

cos ;C cos^C L j \2 / }

k cot z + tang(’ — m)C

cos { C ' i - cot z tang — m) C ’

faisons la puissance — 1 du dénominateur , et négligeons toujours le 2e ordre , puis remplaçons la tangente par le petit

GÉOMORPHIE.

k p. ; /i NÀ-cosecVn

*=sn*Lco“+(ï-m)— — J>

à cause de l’éq. (2), k = RC. Enfin

k cotz »k'(\ — m) cos^C R cos^ CsinV

Le plus souvent on prend cos | C = i , et même sin’z = i , et l’on a ^

x = AcoU + ^Q — m'y, (9)

Nous donnerons plus loin un exemple de cette formule , lorsque nous aurons déterminé k avec précision.

260. L’éq. (6) exprime la différ. de niveau x = ON (fig. 93) des deux stations M et 0 , d’où l’on a mesuré les distances zénith. réciproques s et z ; elle a été déduite de la résolution du triangle rectiligne MON qu’on appelle hjpsomé trique ; k y représente la corde MN. La même chose doit se dire deséq. (1), (8) et (q). Pour appliquer ces formules aux cas particuliers, il faut supposer que la corde MBN est égale à l’arc man qui est l’un des côtés de nos triangles géodésiques projetés sur le sphéroïde du niveau des mers et composant le réseau ; car tous les côtés de nos triangles ont été réduits à ce niveau par le calcul. 11 est bien certain que cette supposition n’altère pas sensiblement la valeur qu’on obtient pour x, qui est en général une petite quantité par rapport aux dimensions de la terre.

Mais , en fait, l’arc man diffère de la corde MN ; et si la valeur de x n’est pas influencée par lasnpposition de k— arc man , cela tient au peu d’élévation des sommités au-dessus de la mer. Désignons l’arc connu man parp, tel que le donnent la triangulation et les calculs ; nous aurons

Cm : mbn :: CM : MBN, ou R : a :: R + h : k, en faisant la corde mbn = et, et la hauteur Mm = h au-des-

NIVELLEMENT GIÎODÉSIQUE. 2^5

sus de la mer, liauteur connue , au moins à peu près. Ainsi

la corde « de l’arc <p, est (n° i5i), * = ç — ainsi

Telle est la valeur qu’il faut employer pour k dans les éq. précédentes. Comme les calculs se font toujours par log., nous, développerons les log. des deux binômes parl’éq. (22, p. 36) et nous négligerons les termes du 2* ordre, qui sont très petits; nous aurons , en désignant par M le module,

logÀ.= logp-f

Pour la latitude de 45°, on trouve en mètres

log ^ = 8. 8339041, log ^-a= 16.6498127.

Appliquons maintenant l’éq. (9) à un exemple. Supposons que du Panthéon on ait observé le clocher de Vélizy, et qu’on ait trouvé la distance zénithale de la boule de ce clocher, * = 89° 48' 33". L’arc de distance qui sépare les deux stations, réduit au niveau des mers, a été trouvé <p = i332i mètres; on demande la diflfér. x des niveaux de la boule du clocher et de la lanterne du Panthéon , d’où l’on a observé a. Prenons d’ailleurs m = 0,08 et h = 1 44m* (Uue détermination exacte a donné 1 43", 8 pour la hauteur du sommet de la lanterne du

Panthéon

au-dessus de la mer)