L’éq. (3} donne g

On pourra donc trouver par l’expérience du pendule , la valeur delà pesanteur, ou du nombre g-, en un lieu déterminé.

PENDULE

ïS’}

On comptera le nombre N d’oscillations que fait un pendule simple connu r, dans un temps donné T, et le calcul fera connaître g. S’il s’agit d’un pendule à secondes de temps moyen , lequel fait une seule oscillation en une seconde , T et N seront i, et l’on aura

g = iV. . (6)

C’est ainsi qu’on a trouvé qu’à Paris , on a

S ~ 9"', 808672 = 30?', 19546, e — {gt\

logg — 0.9916103 1.4799416, v — gt.

g est V accroissement de vitesse d’un corps qui tombe dans le vide pendant une seconde , ou le double de la hauteur de sa chute dans la ir" seconde ; e est l’espace décrit en t secondes , et v la vitesse que le corps a reçue au bout de ce temps.

280. La pesanteur g varie selon les lieux , parce que cette force est la résultante de deux autres dont une seule est constante, savoir la gravité G, ou l’attraction qui tend à précipiter les corps au centre de la terre ; l’autre force est centrifuge et produite par la rotation diurne, et variable avec les lieux.

Soit C (fig. 94) le centre de la terre ellipsoïdale , point où réside la force attractive de sa masse ; M un point dont la latitude est l ; NMZ la normale en ce lieu , dont le zénith est Z, direction du fil-à-plomb. L’attraction agit selon CM.. Mais la rotation diurne de la terre imprime à toits ses points une force centrifuge, qui, enM, agit selon MF, prolongement du rayon 0M=* , du parallèle à l’équateur décrit par le point M.

Cette force centrifuge F est, comme on sait, F= — , v étant la vitesse de rotation de M. La rotation terrestre conserve en

tout temps une vitesse constante ; mais comme x décroît en allant vers le pôle , aussi bien#que v, pour un autre point M ,

on aurait F' =

et x : x'

v : v' ; donc F : F'

v W îï x ; x'. Ainsi la force centrifuge varie comme les

258 GÉOMOHPHtE.

rayons des circonférences décrites ; elle est maximum à l’équateur, nulle au pôle, et change avec la latitude. Nommons f la force centrifuge à l’équateur, nous avons

f cos/

V/(i — e’sin’/)’

à cause de la valeur de éq. 4» P- ï 73.

Or, la pesanteur en un lieu M s’exerçant selon la verticale ZMN, est la résultante de la gravité G qui agit selon le rayon CM , et delà force centrifuge F selon MF. Décomposons ces puissances selon la normale MN et la tangente kMt : les premières composantes se retrancheront l’une de l’autre pour produire la pesanteur g-, selon MN ; les deux autres, dirigées en Mk et Mt, devront se détruire et seront égales. Ainsi, i étant l’angle CMN de la verticale MN avec le rayon MC (wy. n° 1 78) , on a

g=Gcos» — F cos/, Gsin» = Fsin/.

Éliminant G, il vient

g=r (sp -

en remplaçant tangi par sa valeur e*sin / cos / (*), limitée au 2' ordre , qui suffit à nos recherches.

28t. Substituant pour F sa valeur, et développant....

(1 — e’sin“/) “ , on obtient

g = /(> + ^ e‘sin*/+ |r*siu4/^ cos*/),

ou g = — 1 -f- ^ sin’Z — g e*sin*/(4 — jsin‘/). . ."J.

(*) En ne prenant que le premier terme Hc la valeur développée de tang i fp. 174 ), et remplaçant - par e’ (n* tç5 }, on trouve tangi = e’ *in Icoal, ani termes près du 4® ordre en e.

PENDULE. 2 5g

En négligeant les termes où e* est facteur, on a g=/‘(H-4-3sinaZ): ainsi la pesanteur g varie très sensiblement comme le carré du sinus de la latitude : il en est de même de la longueur r du pendule à secondes , puisque g- = 7r‘r. On suppose ici les quantités g et r réduites au niveau des mers, comme il sera expliqué ci-après (n° 2g4).

282. La théorie de l’attraction (Méc. cé/.,T. Il, p. 102) démontre que l’aplatissement du sphéroïde terrestre est lié à la longueur du pendule à secondes. Puisqu’on sait que cette longueur peut être exprimée par la formule r = A -f- B sin*Z, on pourrait trouver les constantes A et B en mesurant les longueurs / et r* du pendule à secondes sous deux latitudes V et 1°, et l’on aurait deux éq. entre les inconnues A et B :

r~ A-+- Bsin’Z’, r1' A B sin’/".

L’élimination donnerait ensuite A et B, et par conséquent la longueur de ce pendule à toute autre latitude l, r=A-{- B sina/, et la pesauteurg en ce lieu, puisque g = sr ”r =V(A-l-Bsin,lZ).

a83. Mais comme les erreurs d’observations influeraient sur les valeurs des constantes A et B, il faudra répéter les expériences en un grand nombre de lieux, et en déduire autant d’équations entre A et B, qu’on emploiera concurremment à leur détermination , par la méthode des moindres carrés. C’est ce qui est exposé dans notre Astronomie pratique , n° 2g5, un Mémoire de M. Mathieu (Connaiss. des Tems de 1816), la Géodésie de Puissant, T. II, p. 338, et V Astr. physique de M. Biot, T. III , p. 166. Nous donnerons plus loin les valeurs des constantes des éq.

r= A + B sina/, g — C D sin’Z, (7)

dans lesquelles on a C = *-aA, D— waB. (8)

Comme l — o donne r = A, g = C , ou voit que A est la longueur du pendule à secondes sous l’équateur, et C la pesanteur en ces lieux -, quand /=go°, on a r=A-j-B, g=C-f-D: ainsi B est l’excès du pendule polarire sur le pendule équato-

a6o GKOMOftPHIE.

rial ; D est l’excès de pesanteur quand on passe de l’e'quateur au pôle.

284. il suit de la théorie de l’attraction (n° 34, T. II , Méc.

ce'/.) que l’aplatissement terrestre - - du rapport de la

force centrifuge sous l’équateur à la pesanteur, moins V excès B de la longueur du pendule polaire sur celle A du pendule êqua— - tonal, divisé par cette meme quantité A. Et comme la force centrifuge est démontrée être sous l’équateur le 289* de la pesanteur en ce lieu, on a l’éq.

1 5 1 B ace e B

- = -• ~ô t = o,oo8o5o5 — - ; (d)

d’où l’on conclut que l’aplatissement terrestre sera connu , dès que, pàr des observations du pendule, on aura les valeurs des constantes A et R. C’est ce qui sera calculé plus tard.

285. Réciproquement, si l’aplatissement est connu, l’équation (9) sert à éliminer B de la valeur générale de r, où il ne s’agit plus que de déterminer la constante A, savoir :

r=A[, +Ço, oo865o5 — sin*/J.

Une seule expérience qui fera connaître r et /, suffira donc pour trouver A, et par suite B, C etD.

Prenons pour exemple le pendule de Borda (p. 256), et l’aplatissement^ = 0,0032787. D’abord l’éq. ci-dessus

devient

r=A( 1 + 0,0053718 sin5/).

Qr l’expérience a été faite à l’observatoire royal de Paris , où la latitude est 48°5o'i4", et à 63m au-dessus de la mer, on trouve que le rayon terrestre, pour cet aplatissement (p. ig4), est R — 6 366 698"'. Et comme il faut réduire la valeur de r

PENDULE

(p. 25g) à ce qu’elle serait au uiveau des iners , par une théorie que nous exposerons bientôt, on trouve quer se réduit à o”,gg4o234- On en tire donc ces valeurs

A = om,9gioo62, C = 9", 780837, logB' = 3.7261962, 1050 = 2.7204959.

Ces résultats diffèrent peu de ceux que nous trouverons plus tard.

Au reste, on trouverait la valeur de A avec plus de sûreté, en faisant intervenir, dans le calcul, un grand nombre d’observations du pendule, par la méthode des moindres carrés.

Venons-en maintenant aux procédés suivis pour observer la longueur du pendule et lui faire subir les réductions exigées par les conditions mêmes des expériences.

286. Le pendule simple ne peut avoir qu’une existence théorique, puisqu’il est physiquement impossible de faire osciller un point matériel pesant , à l’extrémitc d’un fil inextensible et sans poids, dans un arc infiniment petit et dans le vide. Le pendule est toujours un corps figuré, qui se meut dans l’air à une densité et une température variables, et dans un arc fini. Voyons donc à dégager l’expérience des circonstances qui en altèrent les résultats. .

On démontre ( Voy . ma Mécanique , n°26i) que lorsqu’un corps de forme et de nature quelconques oscille autour d’un axe horizontal , parmi les différens points matériels qui le composent , les uns se meuvent plus vite et les autres plus lentement que s’ils étaient isolés et indépeudans de la masse : mais il existe un point dont le mouvement n’est nullement altéré par sa liaison aux autres , c.-à-d. qui se meut précisément comme s’il était seul. Ce point, appelé centre il’ oscillation, est donc un véritable pendule simple, et l’on peut, par la pensée, supposer que toute la masse du corps y est concentrée. Ce point est situé sur. la ligne qui va du centre de gravité per-, pendiculairement à l’axe de rotation; et il y est au-delà du centre de gravité ou plus bas que ce centre. Quand le corps a

'.\C)2 CLOMOW>HI£.

une figure régulière et géométrique, on peut même, par le calcul, déterminer la place du centre d'oscillation : ainsi quand le pendule est une sphère ou une lentille, suspendue à un fil, ou à une ou plusieurs tiges parallèles, on trouve, par la mécanique , la longueur r du pendule simple équivalant au pendule composé qu’on a mis en expérience : et cela quels que soient les métaux qui forment ce corps , pourvu que chacun soit homogène et de densité connue. On donnera bientôt le moyen de se rendre indépendant de cette dernière condition.

287. On risquerait beaucoup de se tromper si l’on voulait compter les oscillations nue à une, sans parler de l’ennui d’une semblable pratique. Yoici comment on opère : on fait d’abord en sorte que le pendule d’épreuve ait une telle longueur qu’il accomplisse les oscillations dans un temps peu diflérent d’une seconde. On dispose en arrière une horloge parfaitement réglée et à compensation , qui marque le temps moyen avec une précision presque rigoureuse, ou du moins dont la marche régulière soit assez connue , pour qu’on sache combien son pendule fait d’oscillations en 24 heures moyennes. La lentille est vernie en noir , et porte au centre une mouche blanche en papier.

Les deux appareils sont disposés l’un en avant de l’autre , de manière que quand les deux pendules se trouveront ensemble dans la verticale, la mouche soit cachée par un index que porte le pendule d’épreuve. On dispose à quelques mètres en avant une lunette , qui permet à l’observateur de reconnaître cette coïncidence.

On met le pendule d'épreuve en mouvement dans le même sens que celui de l’horloge , et l’on se rend attentif à l’instant où , retombant ensemble dans la verticale , la coïncidence a lieu. On note l’heure, la minute et la seconde que marque alors l’horloge. Comme les pendules marchent presque ensemble , ils ne paraissent se séparer qu’après quelques secondes : on prend pour le moment de la coïncidence, la moyenne entre les instans où on la voit commencer et finir.

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PENDULE

L’un des deux pendules devance l’autre de plus en plus , et bientôt atteint sa limite d’excursion d’un côté , quand le a* mobile atteint la sienne du côté opposé : ils marchent ensuite en sens contraire ; et quand ils retombent ensemble dans la verticale, l’un des pendules a fait une oscillation de plus que l’autre. On ne tient pas compte de cette observation , qui serait trop difficile à faire avec précision , à cause des vitesses en sens contraires. En laissant continuer l’expérience , il arrive un moment où une nouvelle coïncidence se produit , les pendules allant dans le même sens. On note l’heure, comme la 1" fois ; alors l’un des pendules a gagné deux oscillations sur l’autre.

Ainsi l’horloge a fait n oscillations, et le pendule d’épreuve n rfc 2 dans le même temps ; on fera donc cette proportion

sin oscil. répondent à n ± 2, 86400 répondent à

864oo(n-l-2)

Telle est la quantité N d’oscillations du pendule d’épreuve , pendant que l’horloge marque 24* (en supposant qu’elle marche comme le temps moyen) : et si l’horloge avance de i secondes en 24‘,

N = ?-=p(864oo + f)

est le nombre d’oscillations du pendule d’épreuve en un jour de temps moyen. On fait i négatif dans le cas d’un retard.

Supposons que la coïncidence ait lieu à i’ 17" et à 9' 4°" » >1 y a 5o3“ écoulées : pendant ce temps le pendule d’épreuve fait Soi excursions , et si l’horloge retarde de 4”5 en 24% on trouve que ce pendule, dans cette durée, fait 86051,98 oscilla tious.

L’expérience doit êtrecontinuée en notantles heures précises des coïncidences; et l’on en conclut d’autres résultats peu différens du précédent. Après avoir faitles corrections dont on va parler pour l’amplitude des arcs , la réduction au vide , etc. , on prend une moyenne, etl’on obtient enfin le nombre d’oscillations du pendule simple dans le vide , en un jour moyen.

Il ne faut pas que la marche du pendule d’épreuve soit beau-

a64 r.ÉOMORPHiE.

coup plus lente ou plus rapide que celui de l’horloge ; on évalué à 530" la plus grande durée entre les coïncidences. Comme les résistances diminuent beaucoup les arcs d’oscillation , on ne laisse durer l’expérience que 34 à 40 minutes sans l'interrompre (5 coïncidences). On a vu des pendules osciller encore après 3o heures d’observation , sans aucune force réparatrice des. pertes , quoique l’excursion ne fût pas de plus de 2 degrés dans l’origine. Maisilest tout-à-fait inutile de pousser très loin l’expérience; l'excursion devient petite et lente, et il est difficile de saisir la coïncidence.

288. Voyons à réduire les oscillations à être infiniment petites. Soit <p (fig. 91) le deini-arc décrit par le pendule dans son excursion ; b — AD ; on a OD = r — b = r cos q> , d’où b = r(i — cosp) = 2rsin3 jp. Ainsi l’e'q. (1) devient

,='v/(ï)(*+î,in';f}

Désignons par 9 le temps que le même pendule emploie à faire

on en con-

une oscillation infiniment petite, 9= ir dut que

t = -f-i sin* \<p).

L’observation fait connaître t et <p ; on a donc «.

Ou plutôt, n étant le nombre d’oscillations finies faites par le pendule , dans l’arc 2<p, et n' étant le nombre d’oscillations infiniment petites pendant le même temps, comme f est un petit arc, on a sin1 = isin’p, et

n’ = n(i -f- •^sin’p) . (10)

Ainsi, après avoir mesuré l’arc d’excursion 29 d’un pendule, et compté le nombre d’oscillations accomplies dans un temps quelconque, et par suite celui n qu’il fait dans la durée des 24*, cette formule servira à calculer n’, c.-à-d. combien le pendille en exécute d’infiuiment petites dans le même temps.

PENDULE

On voit qu’il nes’agit que d’ajouter à n la quantité -pg nsin"^.

Chaque période de coïncidence ne durant guère-plus de dix minutes , l’excursion totale •>,$ se conserve entière : mais si l’on remarquait qu’elle fût 29 en commençant et 29' à la fin, et que ces deux arcs fussent peu dilférens, on supposerait l’excursion constante, et l’on prendrait £ (<p + 9') au lieu de 9.

Si l’expérience a quelque durée , les résistances diminuent continuellement les excursions du pendule , et même on reconnaît qu’elles décroissent en progression géométrique : elles

sont donc successivement 9 , -, , - étant la rai-

son de cette progression. La formule que Borda a donnée pour calculer les effets de ce décroissement a été démontrée par M. Mathieu ( Connaissance des Tems, 1826).

La durée de chaque oscillation étant un peu plus longue que si l’arc était infiniment petit , le nombre total , après un temps donné, serait n, dans ce premier cas, et dans le 2* il serait accru de — n f’, en remplaçant le sinus par l’arc, et supposant 9 constant. Appliquons cette correction aux oscillations ire,2',3e. . .nf, successivement : la correction totale sera

L’observation donne les excursions terminales 9 et 9' ; q est inconnu, et il faut l’éliminer à l’aide de

OU qn~l

le carré 9',qaa~t = ç>* donne d’abord

Or, (p. 36), ioe

-f* Ax -j- J AV. . . Si z est le log. de

266 GÉ0M011PHIE.

z ~ a log q, et qu’on se borne aux i"’ puissances de z, attendu que deux 'excursions successives du pendule sont presque égales, et q très voisin de i, d où log q très petit; on a

io* = q' = « + 2. k l°q ? >

(i + a. h log g) <p* — tp'1 __ M (y* — <p'*) , <P*

3a k log q 3a log q 16’

M étant le module qui = ^ (p. 36). Comme on a d ailleurs

(n — i) log q = logp — log <p\ on trouve

3a (log <p — log p') 16

Or, 75 est la correction delà î" oscillation ; donc le iet terme est celle des n — i suivantes : changeons-y n — i en n, et ce terme comprendra toutes les corrections. De plus , pour la commodité des calculs , nous remettrons les sinus pour les arcs, et nous aurons enfin

g Mn sin (tp + $') sin (0 — <p )

3a " log sin <p — log sin qî

Telle est la correction d amplitude, ou la petite quantité qu’il faut ajouter au nombre n d’oscillations dans des arcs finis décroissans de ç à <p' , pour avoir le nombre d’oscilla-

tions infiniment petites correspondantes.

Par ex. ,*il’on a compté 9016,695 oacillations, et si le^arcsont été

9 = 3» 7'tg', ♦ + i = 3*57'3i". ...... , sin a. 83907

a' = o.So.ia , 4> — d = a. 17. 7 ain a.60070

tinp... a. 73609 3a ^ s.i3aG3

sin^' — a.i644i 9°,6>7 3-955o6

dén. = 0.571Ü8 log = T. 7^716 num T. 53746

dénom T. 7671 5

Ainsi la correction est 0,589,' ct h nombre des oscillations dans des arcs infiniment petits est 9017,384.

PENDULE. 267

289. L’éq. (3) donne, le temps T qu’un pendule simple met à faire N oscillations; mais si ce corps est ramené à la température zéro , au lieu d’avoir r, il a / pour longueur, et fait alors N' oscillations dans le même temps T. Ainsi

T="'\/? T=“'Vl’ K'=NV/?-

Soit et la dilatation linéaire du pendule pour un degré centigrade {voy. p. 125), la longueur r' deviendr Pat pour ./ degrés, etl’onaura r=r'-f-/ett, d'où N' = NyXi-f- ai). En. développant et se bornant au t" ordre, attendu que a est très petit , on trouve pour la correction qui ramène N à des oscillations sous une température plus basse de t degrés N' = N (I + i ai)

290. La théorie démontre que la résistance de l’air retarde la descente du pendule ce qui accroit la durée de la demioscillation. Mais la même cause s’oppose aussi à l’ascension , dont elle diminue la durée d’une égale quantité. Ainsi l’oscillation s’accomplit dans le même temps que si elle se faisait dans le vide : seulement l’étendue des excursions décroît sa.ns cesse. Mais d’un autre côté le poids du mobile est diminué dans l’air, du poids d’un volume d’air égal au sien. Il faut donc corriger la valeur de g qui entre dans nos formules.

Soit g' la pesanteur dans le milieu où l’on se trouve, et p'

le poids du pendule dans ce milieu : g la pesanteur et p le

poids du mobile dans le vide, enfin m la masse de ce corps. On a * /

P = g P = Gm, P’ G —PG' y G' — Py-

Telle est la valeur qu’il faut prendre pour g- dans nos éq. Ces formules donnent pour la longueur r du pendule à secondes, en fonction de la durée ou du nombre de ses oscillations infiniment petites, des expressions de la forme r = g-K, qui deviennent ainsi

r étant la longueur du pendule r réduite au vide.

GÉOMOKPH1E.

291. Soit t» le volume du pendule, / et t* les poids spécifiques de l’air aux températures centigrades o et r, sous les pressions et h. Les lois de Mariotte et de Gay-Lussac, relatives aux densités des gar, apprennent que sous la pression h mètres de la colonne de mercure,' et sous la température ar, la densité de l’air qui était Jào degrés et à om,n6, devient

0,76 (1 -f- mx) ’

en faisant m = o,oo3’]5. Ainsi le volume d’air v pèse <Fv> dans les circonstances données , et le poids p du pendule dans l’air, devient dans le vide p — p' Pv. d’où p' = p — âJv.

Donc

r p — Pv

d'où • •

Rapportons les- poids spécifiques à celui de l’air qui est à o° eto^^ô pris pour unité. Le volume d’air qui pèse 1 dans ces circonstances, est le même que celui de la matière dont est

formé le pendule qui pèse >;od a — - s= ainsi

Oj'J&r (1 4- mx)‘ ‘

Telle est la formule qui indique de combien il faut augmenter la longueur d’un pendule r oscillant dans l’air, pour la changer en celle d’un pendule oscillant dans le vide.

292. On préfère souvent , pour combiner plus facilement les résultats, calculer le changement que produit, dans le nombre des oscillations du pendule , la diminution de poids causée par la présence de l’air. Voici comment on s’y prend.

Le pendule va plus vite dans le vide que dans l’air, et dans un temps t, il fait plus d’oscillations, puisqu’il pèse plus. Soient n le nombre d’oscillations dans l’air, et n' dans le vide,

PENDULE

pendant !a durée r, g et gf les intensités correspondantes de la pesanteur; les temps d’une demi-oscillation infiniment

petite sont respectivement»- et v sJl ; ainsi l’on a

dans le même temps t, .

< = » \Jï = /?'

d’où n' = n »/§-.

Si v est le volume du pendule, D sa densité , i' celle de l’air, dans les circonstances où l’on opère ; les forces g’ et g étant x entre elles comme les poids du pendule dans le vide et dans l’air, o na •

En substituant ci-dessus, it vient

en se bornant au 1er ordre qui suffit ici , parce que / est très petit par rapport à D. Donc la réduction au vide est

C’est la quantité qu’il faut ajouter au nombre n d’oscillations dans l’air pour avoir celui n' des oscillations dans le vide, pendant le même temps.

Désignons, comme ci-devant, par h la hauteur du baromètre réduite à la température zéro , par x la température centigrade de l’air lors de l’expérience : la densité de l’air sera donnée par la valeur ci-dessus , <f étant sa densité à zéro et o",76; ainsi la réduction au vide est

a D — ï ora,76(i + mx)‘

2^0 GÉ0M0RPHIE.

Comme ^=7^ de la densité de l’eau dans les mêmes conditions en évaluant D par comparaison avec ce liquide , multipliant haut et bas par 770 , la réduction au vide est donc

2 \77o D — 1 / ’ o'n,76 (1 mx)

On calculera donc cette expression en prenant pour D la densité du pendule comparée à celle de l’eau à xéro : on ajoutera à n le nombre donné par cette formule, et l’on aura le nombre n d’oscillations qui seraient faites dans le vide, par le même pendule , dans la même durée que n.

Par ex. un pendule en cuivre dont la densité est D= 8,287 fait 90173,6 oscillations infiniment petites dans l’air à i2°,66 = x, d’où 770 D— i=638o; le baromètre est à o", 75 146 , d’où

mimer. * .

...... 4 * 83nt)853

. o.3oio3oo

dcnom. . .

denoin

. . 4»ooG8i83

réduction =

6,671 ; ajoutant à n.

on a «' = 90180, 17 .

C’est le nombre d’oscillations dans le vide faites en 24* moy .

Nous ne devons pas dissimuler que cette théorie conduit à des résultats qu’on ne trouve pas conformes aux faits observés. M. Bessel a le premier signalé ce désaccord , et même il en a expliqué la cause. Le pendule contracte une adhérence avec l’air qui touche sa surface , et une couche de cet air est entraînée par ce corps dans ses oscillations : la masse du pendule, et son moment d’inertie en sont changés, et la formule (12) manque d’exactitude. Ce savant trouve même que la couche d’air adhérent varie avec la figure et la substance du pendule, et qu’on ne peut nullement en calculer l’influence. Pour réduire les oscillations au vide, il propose de rempla-

PENDULE

cer la correction (ia) par la formule — — — , C e'tant une

I *4“ Ttix

quantité' variable avec les pendules , et dont on devra de'terminer la valeur pour chaque corps oscillant. A cet effet , on fera mouvoir le pendule dans l’air, puis dans le vide, et comptant les oscillations dans les deux cas, on déterminera combien il y en a de plus en 24*, dans l’un des cas que dans l’autre : ce sera la correction dont on a donné ci-dessus l’expression algébrique; et comme les conditions de l’expérience ont fait connaître h et x, on en tirera la valeur de C : ce sera celle qu’on devra attribuer à ce coefficient dans toutes les expériences qu’on fera avec le même pendule, lorsqu’on voudra les réduire au vide. M. Bessel a reconnu que le facteur C peut donner une correction double de celle qu’indique l’expression (12). {Voj. un Mémoire de M. Bailjr, Trans. Philos. i83?..).

293. Il suit de cet exposé que voici la succession d’expériences et de corrections qu’exige la détermination qui nous occupe.

On fait osciller librement un pendule dans une cage de verre, où l’on mesure la température et la pression barométrique. Si ces données varient dans la courte durée de l’observation, on les suppose constantes, en prenant la valeur moyenne. On en fait autant de l’arc d’excursion du pendule. En comparant le mobile à une horloge dont la marche sur le temps moyen est bien régulière et bien connue, on juge, par l’intervalle entre les coïncidences des deux pendules, du nombre n d’oscillations effectuées en 24* moyennes par le pendule d’épreuve ; et il s’agit de réduire ce nombre, à la température o°, à des vibrations infiniment petites et au vide. Les éq. précédentes indiquent .les corrections que doit éprouver n pour ramener ce nombre à cet état hypothétique. On connaît ainsi quel est le nombre d’oscillations que ferait le pendule en 24* moyennes dans le vide , si ses excursions étaient infiniment petites : il ne reste plus qu’à trouver la distance entre

2^2 GÉOMORPHIE.

les centres de suspension et d’oscillation pour avoir les étéinens du problème relatif à la figure delà terre.

294- Il y a encore une considération qu’il ne faut pas négliger. Comme la pesanteur décroît à mesure qu’on s’élève audessus du sol, c’est toujours au niveau des mers que les expériences doivent êtres faites , ou réduites. Cette réduction se fait par le calcul suivant.

Soient g- et g-' la pesanteur au niveau des mers, et à une élévation h au-dessus de ce niveau : comme la pesanteur varie en raison inverse des carrés des distances au centre de la terre , on a la proportion (où R est le rayon du sphéroïde)

g : g':: (R + hy : R».

Ainsi g' ~ =g(i— (“)

en négligeant le 2* ordre de h, qui est toujours excessivement petit par rapport à R. Réciproquement

donne la pesanteur g au niveau des mers, quand on la connaît sur une sommité. Ainsi les durées d’une oscillation infiniment petite sont » ^/^au niveau de là mer, et *• \J ~i à la

station. Les nombres correspondans N et N' d’oscillations dans le même temps ( , sont donc

‘=HVr=H'v/?’ k=bVf'

«comme' y/| = = . + £ ,

ona # N = N'(.+0

Réduction au niveau de la mer = . .

PENDULE. 2 j 3

G’est ce qu’il faut ajouter au nombre d’oscillations observées pour trouver combien le même pendule en accomplirait au niveau des mers dans les mêmes circonstances.

Et si le pendule r au niveau des mers est synchrone avec le pendule / sur une sommité , c.-à-d. fait des oscillations de même

g-) —r N'*, d-’tm

durée, l’éq. (4) rN*=r N’’ devient rN'*^i

Ainsi l’on peut toujours calculer la longueur r du pendule synchrone, au niveau des mers, quand on connaît celle r> sur une sommité , et réciproquement.

Le D' Young dans les Trans. phil. de 1819, considérant l’attraction des couches terrestres sur le pendule, introduit dans la formule («4) un facteur qu’il estime de o,5o à 0,^5. M. Baily le fait de 0,666. Ce sujet mérite d’être examiné avec plus d’attention. 11 existe encore une cause d’incertitude sur l’influence des couteaux de suspension. Les petites corrections qu’appellent ces circonstances sont encore dans le vague.

Il nous reste à diiy comment on trouve la longueur r d’un pendule mis en expérience. Sans doute, lorsque la forme en est géométrique , on peut facilement recourir aux formules de la Mécanique , pour assigner la position du centre d’oscillation. Ainsi la distance entre ce centre et la suspension est un simple résultat de calcul.

Mais comme les pendules sont souvent d’une forme très composée, que d’ailleurs les métaux dont on les fait sont rarement homogènes , on ne peut guère se fler à ce procédé pour déterminer une distance que la plus petite cause d’erreur peut altérer au point de jeter du doute sur les résultats. Ainsi on a dû renoncer le plus souvent à ce procédé.

296. Pendule de Borda. Cet appareil consiste en une sphère de platine pesant environ 5,2 hectogr. suspendue à un fil de métal très délié d’à peu près 4 mètres de long , et battant presque la double-seconde. La densité du platine étant trèsgrande,

jij 4 CÉOMORPHIE.

les pertes dues à la résistance de l’air sont faibles, et le mouvement oscillatoire se conserve très long-temps. La correction due au poids du fil , sur le lieu du centre d’oscillation est à peine sensible. Une calotte mince en métal , de même rayon que la sphère, adhère à la surface de celle-ci, par simple juxta-position , à l’aide d’une légère couche grasse qu’on interpose. Le fil tient au sommet de la calotte par une vis de pression. Comme on peut changer la calotte de place sur la boule , par la réitération des expériences , on se rend indépendant du défaut d’homogénéité du métal. On prend le fil très fin pour diminuer la résistance de l’air, et l’on n’y emploie pas le fer, pour éviter les attractions magnétiques. On pèse une grande longueur de ce fil , et l’on en conclutle poids et le diamètre de la partie qu’on a mise en expérience.

La suspension se fait par un prisme triangulaire en acier, dont la tranche, ou couteau, pose sur un plan d’agate, qu’on a rendu très solide, et qu’on a mis exactement horizontal, à l’aide d’un niveau à bulle d’air. Le support est fortement scellé dans la muraille. On donne à ce prisme d’acier la forme qui rapproche le plus possible son centre de gravité de l’arète servant de couteau ; et l’on fait en sorte que son centre d’oscillation soit tellement disposé , que la durée de ses excursions soit à peu près la même que celle du pendule même, afin que les inouvemens de celui-ci n’en soient pas influencés.

Un arc gradué qu’on fixe vers le bas du fil, et dont le centre est sur le couteau , sert à mesurer l’arc 2 <p d’excursion.

Lorsqu’on a compté le nombre d’oscillations accomplies dans la durée des deux coïncidences, pour en déduire ce nombre en 7.4 h. moy., on fait les réductions dont nous avons parlé , pour obtenir le nombre d’oscillations infiniment petites, dans le vide , pendant le même temps. Il reste à mesurer la longueur du pendule.

297. L’appareil est pourvu d’un plan d’acier horizontal, qui est mobile de bas en haut, par degrés insensibles, à l’aide

PENDULE. 375

d’une vis de rappel. On met le pendule en repos , on élève ce planjusqu’à ce qu’il touche taboulé, sans la soulever. Puis, avec le comparateur, on évalue avec une extrême précision , la distance D de ce plan au couteau de suspension. Si cette mesure est prise à une température différente de celle de l’expérience, on la réduit à celle-ci ; comme aussi l’étalon du comparateur, qui a dû lui-même être divisé à une autre température (ordinairement à zéro). Ce calcul se fait par la théorie du n° i3o.

Si de D on retranche le rayon p de la sphère, D — p est la distance de son centre au plan de suspension. Le centre d’oscillation de cette sphère est , comme on sait , au-dessous de

ce point de la quantité g-jrg Ainsi, en ne considérant

que la boule , le centre d’oscillation a pour distance au cou-

teau l — D — 1 + : : mais Ie poids du fil et celui

de la calotte ne doivent pas être négligés , ce qui apporte une petite correction à cette longueur du pendule simple synchrone. Le centre de gravité de la calotte étant fort près de sa surface se confond sensiblement avec sou centre d’oscillation. Ce centre est pour le fil, qui est un cylindre, ou plutôt une ligne droite pesante de longueur A, son moment d’inertie par rapportau milieu, qui en est le centre de gravité, est-j^A*. et la distance de son centre d’oscillation à l’axe est.... I" = I A + Jj A*.

Or, on sait (vojr. ma Mécanique , n° 364) que si trois poids P, P', P", liés ensemble, oscillent autour d’un axe horizontal, leurs centres de gravité respectifs étant aux distances respectives A, h', h." de cet axe, et leurs centres d’oscillation aux distances l, V , l", la distance du centre d’oscillation du système au même axe , est

PM+P'fc'r+P'ST

PA 4- P'A'-f- P" A" :

Vit p"A"

p rW+w*-1')

PA

PA

276 GÉOMORPHIE.

Ce a* terme est la petite correction que doit subir la longueur l propre au centre d’oscillation de la sphère, pour avoir égard à la calotte et au fil de suspension. On fait Z* = D — if , J*=ï* + TT**-

298. Pendule invariable. Les petites incertitudes et les soins multipliés qui doivent accompagner les mesures et les calculs, ont fait préférer au pendule de Borda, un corps fondu d’un seul jet sous une forme très simple, tel qu’une règle quadrangulaire et mince , à l’un des bouts de laquelle on fixe le couteau de suspension. Ce corps d’un usage et d'un transport facile, offre beaucoup de facilité aux observations et aux calculs. Mais M. de Prony l’a perfectionné en lui donnant deux axes de suspension réciproques l’un de l’autre. {Voy. fig. 96. 1

On connaît cette propriété du pendule composé, que les centres d’oscillation et de suspension sont réciproques ; c.-à-d. que si l’on fixe des couteaux à ces deux points, la durée des oscillations sera la même exactement, que l’on prenne l’un ou l’autre pour axe de rotation. Cela a lieu quelle que soit la figure et les substances qui composent le pendule. C’est le pendule invariable réciproque qui a servi à faire les belles observations les plus récentes.

Ainsi l’on fait fondre d’un seul jet, on écrouit et l’on répare une règle de cuivre, et l’on y fixe, vers l’un des bouts, un couteau en acier. Puis au centre d’oscillation , ou en adapte un semblable ; un petit mouvement ménagé à ce dernier couteau permet de lui assigner, par des expériences, la place nécessaire pour la réciprocité de ces deux axes de suspension. On conçoit que rien n’est plus aisé que de mesurer exactement l’intervalle des couteaux , qui est la distance des centres de suspension et d’oscillation.

299. Maintenant que nous savons trouver la longueur du pendule simple à secondes, dans le vide, à oscillations infiniment petites, en un lieu quelconque, et réduit au niveau des mers , appliquons les nombreuses expériences qu’on a faites à la recherche des constantes des éq. (7) et (8) et de l’aplatisse-

PENDULE

ment de la terre. Les plus exactes de ces expériences sont rapportées dans la table VI, à la fin de l’ouvrage , extraite d’un travail étendu que M. Saigey a insérédans le Bulle lin malhém. deM. Férnssac, p. 32, T. VII.

La 1” page contient les lieux d’observation, leur altitude ou l’élévation au-dessus de la mer, la latitude, la longitude, enfin les noms des observateurs ; la 2* page donne les longueurs du pendule simple à secondes réduit au vide et à des oscillations infiniment petites; la colonne suivante, la réduction au niveau des mers; puis celle qui vient après, le résultat du calcul donné par la formule générale que nous allons exposer.

Enfin la dernière colonne M indique le nombre de secondes de temps moyen dont le pendule observé avance ou retarde en 24 b. moy. sur le pendule calculé.

Quant à la réduction au niveau des mers , elle n’a point été faite parles formules qui ont été données ci-devant, mais par celle du cap. Kater ( Trans . phil. 1819). Ce savant veut qu’on tienne compte de l’attraction de la couche terrestre comprise entre la station et le niveau de la mer , ce qui le conduit à cette formule de réduction

/ mhr(i -f- C sin ’/}.

h est l’altitude , r le pendule , l la latitude du lieu, « et £ des coeff. cons tans log a = 7.497167g, log £ == 3. 4928028.

Les résultats numériques obtenus par les savans anglais ont été ramenés aux mesures françaises en prenant le mètre = 39,37079 pouces anglais (Trans ac. phil., 1818) et la Ion-, gitude de Greenwich 20 20' 24' à l’ouest du méridien de Paris.

3oo. M. Saigey a traité tous les nombres précédens par la méthode des moindres carrés, et est arrivé aux conséquences suivantes.

La longueur r du pendule simple à secondes sexagésimales de temps moyen dans le vide , par oscillations infiniment petites , réduit au niveau de la mer, et la pesanteur g , en un lieu

2^8 GF.OMORPniE.

quelconque dont la latitude est 1 , sont donnés par les éq.; suivantes .

r = A +Bsin*/,

g — C -f- D sin*/,

en {*) 1

log B = 3.7061690,

mètres 1

log D = 2. 6994687,

en

fA = 3?', 060817 ,

log B = 2. i935oo3,

pieds.

1 C = 3opl, 1 1 o35 ;

log D = s . 1878000.

Donc pendule à T équateur ~ o“, 99102567 = A,

pendule au pôle = o*1, 99609745 = A-f- B,.

gravité, ou force d’attraction au

pôle = 9",83io8g = C -f-D

pesanteur à l’équateur = g", 78 1097 = C et puisque

force centrifuge à V équateur = o,o33gog7,

en admettant, avec Delambre , que le rayon équatorial...

6 376 984™, et que le jour sidéral soit compose' de 86164" de temps moyen; on a

gravité , ou force d’attraction à l’équateur = 9"8i4g39.

Rapport de la force centrifuge , sous l’équateur à la force

„ • 1 d attraction = —x — 77-.

D’après le théorème de Clairaut (éq. 9, p. i56, n° 184)

^ = ^kàPeuPrès-

'(*) On irouve dans le Philos, magaz., décembre i3aa, p. ia3, sept h * neuf expériences du capitaine Lentke, qui conduisent h un résultat un peu différent de celui-ci.

PENDULE. jng

Telle est donc la valeur de l’aplatissement donnée par les nombreuses expériences du pendule. Alors en prenant

rayon équatorial = 6 3^6 = *432 lieues,

le rayon polaire est = 6 354 349m == 1427 lieues,

ce qui donne l’aplatissement de 22 635m = 5 lieues.

3or. Pour trouver la longueur du pendule en un lieu désigné, on emploiera la formule ci-dessus, qui repose sur les observations les plus certaines : et bien que l’aplatissement soit un peu trop fort pour l’usage de la Géodésie , qui doit préféré r 7; = 3og,65, ou de l’Astronomie, où p est 3o5, cependant on devra prendre p = 282 , quand il s’agira du pendule. Mais après avoir appliqué ceséq., on n’aura pas encore la longueur demandée, et il faudra faire les corrections inverses dues à l’altitude du sol, et à ce que les oscillations ne sont ni infiniment petites, ni dans le vide.

3o2.0n peut remplacer dans nos éq. sin’/ par { (1 — cos il), et l’on a

r = ©“jggSSôiSt — ABC0s2f, g = gm,8o6o55 — | D cos 2/. ' «

3o3. Plusieurs savants ont cherché par expérience la longueur du pendule à Paris ; ils ont trouvé

- ’ • '^v. .vj „.v -, ...

°m>994 Par Picard,

• o,g<)3g3.... Godiu,

0,99418 Bouguer,

n,9g4°3.... Mairan,

■ 0,99381)8... Borda,

0,99^ Riclier et Huyghens, *

, 0,99.3877... Sabine et Wliiterust,

0,993915. . . Biot et Mathieu,

0,993998... Kater et Sabine,

0,993781 . . . Bosse) et Müfflinp.

3o4- On avait présumé que les deux hémisphères boréal et austral ne sont pas symétriques. On a donc calculé à part. l’aplatissement qui résulte des observations du pendule dans les

GÉOMORPHIE.

régions australes, et l’on a trouvé p = 3i i,6, valeur aussi voisine qu’on peut l’espérer ùep — 3o5. Il n’y a donc pas lieu d’admettre un aplatissement différent pour les deux pôles; et si l’on considère que les erreurs d’observations du pendule se reportent fortement sur la valeur de p, et que les attractions locales doivent exercer une grande influence, on est fondé

à conserver l’aplatissement 2^2 que donne la théorie de la

Lune, et que confirment souvent les opérations ge'odcsiques.